Aula7 Algebra Booleana
-
Upload
sec95423616 -
Category
Documents
-
view
37 -
download
0
Transcript of Aula7 Algebra Booleana
![Page 1: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/1.jpg)
PROGRAMA DE INFORMÁTICA BÁSICA
Álgebra Booleana
Prof. João Dallyson
![Page 2: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/2.jpg)
Na aula passada....
• Sistemas de Numeração
• Operações Aritméticas
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 2
![Page 3: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/3.jpg)
Sumário
• Introdução
• Variáveis Lógicas
• Tipos de Representação
• Operações Lógicas
– AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR
• Aplicações de Portas Lógicas
• Equivalência de Expressões Lógicas
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 3
![Page 4: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/4.jpg)
Introdução
• O computador codifica a informação por meio de padrões de 0s e 1s. (bits) – O bit 0 representa o valor falso
– O bit 1 representa o valor positivo
• Operações Booleanas: – São operações que manipulam valores
verdadeiro/false
– George Boole (1815-1864) • Pioneiro na área da matemática chamada de lógica
• A álgebra booleana foi inicialmente relacionada ao computador por Claude Shannon em 1937;
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 4
![Page 5: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/5.jpg)
Variáveis Lógicas
• Toda variável lógica só pode assumir dois estados lógicos distintos
• Operações: AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 5
Baixo e Alto ON e OFF Falso e Verdadeiro 0 e 1 (usado em digital)
![Page 6: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/6.jpg)
Tipos de representação
• Expressões booleanas
• Tabela Verdade
• Circuitos Lógicos
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 6
![Page 7: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/7.jpg)
Tipos de representação
• Expressões booleanas
– Precedência na avaliação:
• Respeitar os parênteses
• Avaliar a inversão
• Avaliar a multiplicação
• Avaliar a adição
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 7
![Page 8: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/8.jpg)
Tipos de representação
• Tabela Verdade:
– Tabela na qual são exibidas todas as possíveis entradas e saídas de uma expressão booleana
– facilita o cálculo do valor lógico de uma proposição composta
– Para n variáveis booleanas, há 2^n
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 8
![Page 9: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/9.jpg)
Tipos de representação
• Porta Lógica: – Dispositivo que produz a saída de um operação booleana dados os valores
de entrada
– Podem ser construídas:
• Engrenagens, relés, circuitos eletrônicos e dispositivos ópticos
– Gráficos: AB ; ABCD..N
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 9
![Page 10: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/10.jpg)
Operação Lógica: “E” (AND)
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;
• Para que a proposição composta seja considerada verdade ambas as proposições que a compõem devem ser verdade;
• realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias;
• Notação: P1 and P2
– P1P2, P1.P2, P1˄P2
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 10
P1 P2 P1 e P2
F F F
F V F
V F F
V V V
P1 P2 P1 . P2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela Verdade
![Page 11: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/11.jpg)
Operação Lógica: “E” (AND)
• Exemplo:
– Considere as seguintes sentenças abaixo:
• O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino; – Verdade
• O Vasco é campeão mundial; – Falso
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 11
P1 P2
O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino
E Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil
O Flamengo é campeão mundial E O Vasco é campeão mundial
P1 E P2
V
F
![Page 12: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/12.jpg)
Operação Lógica: “E” (AND)
• Implementação da Porta Lógica AND
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 12
![Page 13: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/13.jpg)
Operação Lógica: “E” (AND)
• Casos possíveis (AND)
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 13
![Page 14: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/14.jpg)
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Possuem duas ou mais entradas e apenas uma saída;
• Nesse caso a proposição composta só será verdade se pelo menos uma das proposições sejam verdade;
• Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias;
• Notação: P1 or P2
– P1 + P2, P1 v P2
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 14
P1 P2 P1 ou P2
F F F
F V V
V F V
V V V
P1 P2 P1 + P2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabela Verdade
![Page 15: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/15.jpg)
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Exemplo:
– Considere as seguintes sentenças abaixo:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 15
P1 P2
O Brasil é pentacampeão mundial de futebol masculino
OU Nenhuma seleção possui tantos título mundiais como o Brasil
O Flamengo é campeão mundial OU O Vasco é campeão mundial
O Paraguai possui sete títulos mundiais
OU O Vasco é tricampeão mundial
P1 E P2
V
V
F
![Page 16: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/16.jpg)
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Implementação da Porta Lógica OR
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 16
![Page 17: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/17.jpg)
Operação Lógica: “OU” (OR)
• Casos possíveis Porta Lógica OR
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 17
![Page 18: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/18.jpg)
Operação Lógica: “NÃO” (NOT)
• Possuem apenas uma entrada e uma única saída;
• Este conectivo tem o papel de negar uma proposição, ou seja, inverte seu valor;
• Basta acrescentar “é falso que”;
• Notação: not P1; P1’ ; ¬P1 ; P1 ; ~;
• Exemplo:
– É falso que a Itália possui 7 títulos mundiais
• Verdadeiro
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 18
P1 Não P1
V F
F V
![Page 19: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/19.jpg)
Operação Lógica: “NÃO” (NOT)
• Implementação porta lógica NOT
• Casos possíveis
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 19
![Page 20: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/20.jpg)
Operações Lógicas “Não E” (NAND)
• NAND
– realiza a multiplicação booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado
– Notação: P1 nand P2 ; P1.P2 ; (P1.P2)’ ; ¬(P1.P2)
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 20
P1 P2 P1 nand P2
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela Verdade Porta Lógica
![Page 21: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/21.jpg)
Operações Lógicas “Não Ou” (NOR)
• NOR
– Realiza a soma booleana de duas ou mais variáveis binárias e inverte o resultado
– Notação: P1 nor P2 ; P1+P2 ; (P1+P2)’ ; ¬(P1+P2)
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 21
P1 P2 P1 nor P2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Tabela Verdade Porta Lógica
![Page 22: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/22.jpg)
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Nesse caso a preposição composta só será verdade se as proposições forem diferentes;
• Notação: P1 xor P2 ; P1 P2
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 22
P1 P2 P1 xor P2
F F F
F V V
V F V
V V F
P1 P2 P1 xor P2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabela Verdade
![Page 23: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/23.jpg)
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Implementação porta lógica XOR
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 23
![Page 24: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/24.jpg)
Operação Lógica: “Ou Exclusivo” (XOR)
• Casos possíveis porta lógica XOR
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 24
![Page 25: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/25.jpg)
Aplicação de Portas Lógicas
• Ex:
– Circuito para testar de modo rápido se duas
palavras são iguais
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 25
Solução: Porta XOR e porta NOR
![Page 26: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/26.jpg)
Aplicação de Portas Lógicas
• Ex:
– Alerta de cinto de segurança não afivelado
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 26
1 1 1
0 0 1
0 1 0
0 0 0
campainha Cinto desafi-velado
ignição
Solução:
Porta AND
![Page 27: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/27.jpg)
Exemplos
• (A E B) OU C
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 27
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
A E B
0
0
0
0
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
(A E B) OU C
0
1
0
1
0
1
1
1
![Page 28: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/28.jpg)
Resumo
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 28
![Page 29: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplo 1
• Composição de operações lógicas:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 29
![Page 30: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplo 2
• Composição de operações lógicas:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 30
![Page 31: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemplo 3
• Composição de operações lógicas:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 31
![Page 32: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/32.jpg)
Exemplo 4
• Representação por Tabela Verdade
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 32
![Page 33: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplo 5
• Representação por Tabela Verdade
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 33
![Page 34: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/34.jpg)
Equivalência de expressões Lógicas
● Uma expressão booleana pode ser representada por mais de um circuito lógico
● Dados dois circuitos, como saber se eles são equivalentes (possuem a mesma expressão lógica)? – Tabela verdade
• Se os resultados da tabela verdade são iguais, então são equivalentes
• Se os resultados da tabela verdade são diferentes, então não são equivalentes
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 34
![Page 35: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/35.jpg)
Equivalência de expressões Lógicas
● Exemplo 1:
● Exemplo 2:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 35
![Page 36: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/36.jpg)
Exercícios
• Faça a tabela-verdade dos circuitos combinatórios (portas lógicas):
1)
2)
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 36
![Page 37: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/37.jpg)
Exercícios
3) Represente a função F = A.B + A.B usando portas lógicas e a tabela verdade (tabela de combinações).
4) Verifique se as expressões abaixo são equivalentes:
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 37
![Page 38: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/38.jpg)
Exercícios
5) Dadas as seguintes proposições: A = 3, B = 10, C = 21 e D = 8 Determine o resultado de: a) A < B b) ~(C < B) c) (A > D) + (C > D) d) (C < B) + ~(A < A) e) ~((D < B) . (C < B)) f) (B > C) + (A > D) g) (C < D) + ((D < A) . ((A < D) + (B > D))) h) ~(D > C) + ~(A > B) i) ~(((A < D) + (A = B)) . (A < 3)) j) (9 > C) + (C < C) . ~(D > 2)
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 38
![Page 39: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/39.jpg)
Agradecimentos
• Ao Prof. Dr. Bruno Feres, do BCT/UFMA
• Ao Prof. Dr. Sergio Souza Costa, do BCT/UFMA
• Ao Prof. Me. Geraldo Braz, DEINF/UFMA
• Ao Prof. Me. Osvaldo Silva Sousa Junior, NTI/UFMA
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 39
![Page 40: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/40.jpg)
Referências
• TANENBAUM, A. S. Organização Estruturada de Computadores. 5ª Ed. São Paulo: Prentice-Hall, 2007.
• MARÇULA, M.; BENINI FILHO, P. A. Informática Conceitos e Aplicações. 3ª Ed. São Paulo: Érica, 2008;
• VELLOSO, F. C. Informática Conceitos Básicos. 8.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011.
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 40
![Page 41: Aula7 Algebra Booleana](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050805/55cf9984550346d0339dc579/html5/thumbnails/41.jpg)
Perguntas....
09/10/2013 Prof. João Dallyson (BCT – UFMA) Fundamentos da Computação 41