Aula4 cap 03

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Estatística e Probabilidade Prof. Dr . Alysson Steimache r Prof. Dr . Alysson Steimache r Aula 4 – Cap 03 Probabilidade

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Aula 4 – Cap 03

Probabilidade

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Estatística Descritiva

Método Estatístico

Estatística Inferencial

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aprenderemos como usar informações para determinar a probabilidade de um

evento ocorrer.

Nesta aula...

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é um número entre 0 e 1 utilizado para exprimir o grau de certeza acerca da ocorrência de um evento associado a um experimento probabilístico.

Probabilidade

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Experimentos Probabilísticos

Se um metereologista diz que há 90% de chances de chover

Se um médico diz que há 35% de chance de sucesso em uma cirurgia

Você deveria submeter-se a cirurgia?

Você levaria o carro para lavar?

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Um experimento probabilístico satisfaz as seguintes condições:

São experimentos probabilísticos:

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Experimento Probabilísticoé uma ação ou ensaio por meio do qual os resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Ex: Jogar um dado de seis faces

A conseqüência de um único ensaio em um exp. probabilístico é um resultado (ponto amostral). Ex: Obter o número 6

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Ex: Para um dados de 6 faces, o espaço amostral é {1,2,3,4,5,6}

Um evento consiste em um ou mais resultados e é subconjunto do espaço amostral. Ex: Obter um número par {2,4,6}

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Tipos de ProbabilidadeProbabilidade clássica (ou Teórica)Usada quando cada resultado no espaço amostral tem mesmas probabilidade de ocorrer

P(E)=Número de resultados em E

Numero total de resultados no espaço amostral

P(E)=Probabilidade do evento E ocorrer

Exemplo: Um dado de 6 faces jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos:

1- Evento A: obter um 3:2- Evento B: obter um 7:3- Evento C: obter um número menor que 5

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Probabilidade Empírica (ou estatística)

Baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento E é a freqüência relativa deste evento.

P(E)=Freqüência do evento E

Freqüência total nf

=

Lei dos grandes números:

A medida em que se repete um experimento probabilístico, a probabilidade empírica de determinado evento aproxima-se da probabilidade teórica deste evento.

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Probabilidade SubjetivaResulta em intuição, estimativa ou de um “palpite bem fundamentado”.

Exemplo:

Dado o estado de saúde de um paciente e a extensão dos ferimentos, um médico pode sentir que este paciente tem 90% de chances de se recuperar completamente

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-1000 0 1000 2000 30000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pro

babi

lidad

e

Números de Vezes Jogado

• O mapa de dispersão abaixo mostra o resultado de simular a jogada da moeda 3000 vezes. Observe que, à medida que o número de jogadas cresce, a probabilidade de obter cara fica cada vez maisperto da probabilidade teórica, que é de 0,5.

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Espaço amostralEx: Determine o espaço amostral para o lançamento de dois dados

1a jogada

Você pode obter 36 resultados

2a jogada

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

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1,11,21,31,41,51,6

2,12,22,32,42,52,6

3,13,23,33,43,53,6

4,14,24,34,44,54,6

5,15,25,35,45,55,6

6,16,26,36,46,56,6

Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.

Determine a probabilidade de que a soma seja 11.

Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.

Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

3/36 = 1/12 = 0,083

2/36 = 1/18 = 0,056

5/36 = 0,139

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Propriedades da ProbabilidadeA soma das probabilidade do todos os resultados de um espaço amostral é 1 (100%).

Se você conhece a probabilidade de um evento E ocorrer, poderá obter a probabilidade do complemento do evento E

Complemento do Eventoé o conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento E. O complemento édenotado por E’ (E linha)

E 1 2 3

E’ 4 5 6 7 8 9 0P(E’) = 1 - P(E)

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A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais sãodefeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso.

Solução:

P(defeituoso) = 5/12

P(não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583

Complemento do Evento

Exemplo:

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Exemplo: Uma pesquisa feito com uma amostra de 1000 funcionários de uma companhia registra a idade de cada um. Os resultados estão mostrados abaixo.

1.0004265 ou mais12555-6418045-5423335-4436625-345415-24freqüênciaIdade 1- Se for selecionado um

outro funcionário ao acaso, qual é a probabilidade dele ter entre 25 e 34 anos?

2-Qual a probabilidade de escolher um funcionário que não tenha idade entre entre 25 e 34 anos?

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Probabilidade Condicional e Regra da Multiplicação

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Probabilidade Condicional

• Como obter a probabilidade de um evento ocorrer, dado que um outro ocorreu.

• Como distinguir eventos dependentes e independentes.

• Usar a regra da multiplicação para determinar a probabilidade de dois eventos ocorrerem em seqüência.

• Usar a regra da multiplicação para determinar probabilidades condicionais.

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Probabilidade Condicional é a probabilidade de ocorrer um evento, dado que um outro já ocorreu.

A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A já ocorreu, é denotada por:

P(B|A)

que significa Probabilidade de B, dado A

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Dois carros são selecionados em uma linha de produçãocom 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidadede o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeirocarro era defeituoso?

Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaçoamostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11.

Logo, P(B|A) = 4/11.

Probabilidade Condicional Exemplo:

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Dois eventos A e B são independentes se:

P(B|A)=P(B) ou se P(A|B)=P(A)

Eventos Independentes e Dependentes

Dois eventos são independentes se a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Os eventos que não são independentes, são dependentes.

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Dois dados são lançados. Determine a probabilidadede sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.

Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostralcondicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6

Eventos Independentes e DependentesExemplo:

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Eventos Independentes e DependentesExemplo:Classifique os eventos abaixo como independentes oudependentes:

• Selecionar um rei de um baralho comum (A), nãorecolocando-o, e então selecionar uma dama (B)

• Jogar uma moeda, obter uma cara (A) e jogar um dado e obter um 6 (B)

• Praticar piano (A) e ser um pianista de sucesso (B)

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Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu.

P(A e B) = P(A) . P(B|A)

A Regra da Multiplicação

Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser simplificada para:

P(A e B) = P(A) . P(B)

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De volta à nossa linha de produção.

Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas.

Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.

A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso.

P(A) = 5/12 P(B|A) = 4/11

P(A e B) = 5/12 . 4/11 = 5/33 = 0,1515

Exemplo:

A Regra da Multiplicação

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