Aula05 Tangentes
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Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas
Emılio Eiji Kavamura
Eng. MecanicaUniversidade Positivo
6 de fevereiro de 2009
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
SUMARIO
1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
TOPICOS
1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.
2009
-02-
06Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Tangentes
Tangente a uma circunferencia por um ponto dado
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e acircunferencia que possui apenas um unico ponto em comumcom esta curva.Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a retaque une os seus centros.
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
α O
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
α O
PDada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia
α O
PDada uma circunferenciaα = �{O, r} eum ponto P fora dela.Tracar por P a tangentea α.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
M
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
M
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no14 - Tangente a uma circunferencia - solucao
α
P
O
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
TOPICOS
1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
2009
-02-
06Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Tangentes
Circunferencia Tangente
Problema no15 - Circunferencia tangente
Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e acircunferencia que possui apenas um unico ponto em comumcom esta curva.Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a retaque une os seus centros.
Problema no15 - Circunferencia tangente
α O
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente
α O
A
Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente
α O
A
P Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente
α O
A
P Dada uma circunferenciaα = �{O, r} e um ponto delaqualquer A,um ponto P fora dela.Tracar uma circunferenciatangente a α que passe porP e A.
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
M
N
1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
M
N
I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no15 - Circunferencia tangente - solucao
α
P
O
A
I1 OA;2 PA;3 �{A, r} ∩ �{P, r} ={M,N};
4 MN ∩OA = {I};5 �{I, IA};
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
TOPICOS
1 TangentesTangente a uma circunferencia por um ponto dadoCircunferencia TangenteTangente a Duas Circunferencia
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia
Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia
α O
Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia
α O
α′O′
Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia
α O
α′O′
Dadas duas circunferenciaα = �{O, r} e α′ =�{O′, r ′},Tracar uma reta tangente aα e α′ .
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
M N
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
M NI
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
M NI
β1
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
I
β1
β2
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
I
β1
β2
P Q
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
I
β1
β2
P QA D
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
A D
B C
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
Problema no16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao
α
O
α′O′
A D
B C
1 OO′;2 �{O,a} ∩ �{O′,a} ={M,N},a > OO′/2;
3 MN ∩OO′ = {I};4 β1 = �{I, IO};5 β2 = �{O, r − r ′};6 β1 ∩ β2 = {P,Q};7 OP ∩ α = {A};
OQ ∩ α = {D};8 O′B//OA;
O′C//OD;9 AB;
CD;
[email protected] Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas