Aula Pieri Controle Robos Manipuladores
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8/17/2019 Aula Pieri Controle Robos Manipuladores
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Controle de Robˆ os Manipuladores
Edson Roberto De PieriDaniel Martins
Programa de P´ os-Gradua¸cão em Engenharia MecˆanicaUniversidade Federal de Santa Catarina
Florianópolis, Setembro de 2007
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http://goforward/http://find/http://goback/
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Sum´ ario
Sum´ ario
1 Introdu¸ c˜ ao Geral
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Introdu¸ c˜ ao Geral
Sum´ ario
1 Introdu¸ c˜ ao Geral
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Introdu¸ c˜ ao Geral Introdu¸ c˜ ao
Introdu¸ c˜ ao
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Introdu¸ c˜ ao Geral Arquitetura do Manipulador
Arquitetura do Manipulador
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I d ˜ G l R i ˜ M ´ i
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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica
Revis˜ ao Matem´ atica
Alguns dos principais śımbolos usados:
∀ Para qualquer
∃ Existe
∈
Pertence à=⇒ Implica
⇔ Equivale
→ Tende à Igual por denição
R Números reaisC Números Complexos
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Introd c˜ o Ger l Re is˜ o M tem´ tic
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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica
´ Algebra Linear
Vetores:
Rn , corresponde ao espaço Euclidiano de dimensão nSeja x um vetor de n componentes:
x =
x 1
x 2...x n
=⇒ x T = x 1 x 2 . . . x n T
Norma euclidiana
x de um vetor x :
x ni =1
x 2i = √ x T x
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Introdu cão Geral Revis˜ ao Matem´ atica
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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica
´ Algebra Linear
Matrizes:Uma A∈Rn × m corresponde a um arranjo de números reais:
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m
... ... . . . ...an1 an2 . . . anm
Para uma matriz quadrada A∈Rn × n , existe n autovalores λ∈C quesão soluções da equação caracteŕıstica:
∆( λ) = det[ λ I −A] = 0
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Introdu cão Geral Revis˜ ao Matem´ atica
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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica
´ Algebra Linear
Equivalentemente x = 0 é um autovetor associado ao autovalor λ de A se:Ax = λx =⇒ Ax = λ i x , i = 1 , 2, . . . , n
Obs. Quando tratar-se de uma matriz simétrica A = AT , ent ão, todos osautovalores são reais.
Teorema de Rayleigh-Ritz
∀ x ∈R =⇒ λm x 2 ≤x T Ax ≤ λM x 2
Onde,
λM = maxi λ i ; λm = mini λ i , i = 1 , 2, . . . , n
Norma espectral de A∈Rn× m :A λM
{AT A
} 9 / 9 8
Introdu cão Geral Revis˜ ao Matem´ atica
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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica
Pontos Fixos
Seja f :
Rn
→ Rn uma função cont́ınua. Um vetor x ∗
∈Rn é um ponto
xo de f (x ) se:f (x ∗) = x ∗
Se x ∗ é um ponto xo de f (x ), ent ão x ∗ é solução da equação:
f (x ) −x = 0Exemplo: f (x ) = sin x
f (0) = 0 =⇒ apenas um ponto xoExemplo: f (x ) = x 3
f (0) = 0 ; f (1) = 1 ; f (−1) = −1 =⇒ 3 pontos xos
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Introdu cão Geral Revis˜ ao Matem´ atica
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Introdu¸ c ao Geral Revis ao Matem atica
Estabilidade usando Lyapunov
Segundo método de LyapunovSeja o sistema dinâmico descrito por:
ẋ = f (t , x ) ; x (t 0) = x t 0 : uma condição inicial dada
x ∈Rn
corresponde ao estado do sistemat ∈R+ corresponde ao tempox (t ) é a solução do sistema dinâmico, ou seja:
d dt
x (t ) = f (t , x )
x (t 0) = x t 0
OBs. Esse problema é conhecido como problema do valor inicial.
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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica
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Estabilidade usando Lyapunov
Vericar as soluções para os seguintes problemas dinâmicos:
Exemplo: ẋ = x 2 ; x (0) =
−1 , t
≥0
Exemplo: ẋ = x 2 ; x (0) = 1 , t ≥0Exemplo: ẋ = Ax ;x (0) = x 0 , t ≥0Procurar uma solução do tipo x (t ) = e
At
x 0
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Estabilidade usando Lyapunov
Ponto de Equiĺıbrio
Denição: Um vetor constante x̄ ∈Rn é um equiĺıbrio do sistemadinâmico se:
f (t , x̄ ) = 0 ∀t ≥0Obs. Normalmente consideramos x̄ = 0, ou seja, a origem como ponto deequiĺıbrio. Quando x = 0, é necess ário fazer uma transformação decoordenadas.
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Estabilidade usando Lyapunov
Gracamente temos:
x 1
x 2
x 10x
20
t t 0
x̄
Se o estado inicial x (t 0) é um ponto de equiĺıbrio, isto é x (t 0) = x̄ , ent ãox (t ) = x̄ , 0 ≤ t 0 ≤t ẋ (t ) = 0 , 0 ≤ t 0 ≤t
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Pêndulo Simples
J q̈ + mgl sinq = τ (t )
m massa do pênduloJ momento de inércial comprimento até o centro de massaq posição angular
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Estabilidade usando Lyapunov
Representação de estados
d dt
q q̇ =
q̇ J − 1[τ (t ) −mgl sinq ]
τ (t ) = 0
d dt
q q̇
= 00 =⇒ q̄ ˙̄q =
nπ0
n = 0 , ±1, ±2, · · ·
τ (t ) = τ
d dt
q q̇ =
00 =⇒
q̄ ˙̄q =
arcsin( τ mgl )0
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Equação de Van der Pol
ẋ 1 = x 2ẋ 2 = ẋ 2 = −x 1 + (1 −x 21 )x 2
Exemplo: Equação de um manipulador ŕıgido com n graus de liberdade
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
Exemplo: Equação de um manipulador com exibilidade nas juntas comn graus de liberdade
M (q 1) q̈ 1 + C (q 1, q̇ 1) q̇ 1 + K (q 1 −q 2) = 0J q̈ 2 + K (q 2 −q 1) = τ
onde q 1 é a variável associada ao elo e q 2 a varíavel associada ao atuador17/98
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade:A origem é um ponto de equiĺıbrio estável se dado ε > 0, existe
δ
δ (ε, t 0) > 0 tal que:
x (t 0) < δ =⇒ x (t ) < ε 0 ≤ t 0 ≤t
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Estabilidade usando Lyapunov
δε
x 1
x 2
x 0
t x (t )
Obs.: Toda trajet´oria iniciada no ”tubo”de raio δ deve permanecer no”tubo”de raio ε
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Uniforme:A origem é um ponto de equiĺıbrio uniformemente estável se dado ε > 0,existe δ δ (ε) > 0 tal que:
x (t 0) < δ =⇒ x (t ) < ε 0 ≤ t 0 ≤t Obs.: Neste caso, a estabilidade independe de t 0Exemplo:
ẋ = −x 2 sin t
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Assint´ otica:A origem é um ponto de equiĺıbrio assintoticamente est ável se:
Se a origem é estável
Se a origem é um ponto de equiĺıbrio atrativo, isto é, se para cada t 0existe δ (t 0) > 0 tal que:
x (t 0) < δ =
⇒
limt →∞
x (t )
→0 ; t 0 > 0
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Estabilidade usando Lyapunov
δε
x 1
x 2
x 0
t x (t )
Exemplo: ẋ = − x 1 + t ; x 0 = x (t 0)Solu ção: ln(
x (t )x (t 0)
) = ln(1 + t 01 + t
) =⇒ x (t ) = 1 + t 01 + t
x 0
é est ável (assintoticamente) mas n ão é uniformemente estável 22/98
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Assint´ otica Uniforme:A origem é um ponto de equiĺıbrio assintoticamente uniformemente est ável
A origem é uniformemente estável
a origem é atrativa com taxa de convergência independente de t 0.Exemplo:
ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1 −x 2
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Assint´ otica Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente assintoticamente est ável se:
Se a origem é estávelSe a origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente atrativo, isto é:
x (t 0)∈Rn =⇒ limt →∞ x (t ) →0 ; t 0 > 0
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Assint´ otica Uniforme Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente assintoticamenteuniformemente est ável se:
Se a origem é uniformemente estávelSe a origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente uniformementeatrativo, isto é:
x (t 0)
∈Rn =
⇒
limt →∞
x (t )
→0 ; t 0 > 0
com taxa de convergência independente de t 0.
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade Exponencial Global:A origem é um ponto de equiĺıbrio globalmente exponencialmente estávelse ∃α, β , independentes de t 0 e x (t 0)∈Rn tais que:
x (t 0) < α x (t 0) e − β (t − t 0 ) ; 0 ≤ t 0 ≤t
Obs. Equivale a dizer que existe uma função exponencial, envolvendo a
resposta x (t )
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Estabilidade usando Lyapunov
Instabilidade:A origem é um ponto de equiĺıbrio instável se não for estável.
Dada uma condição inicial x (t 0 < δ A solução do sistema
x (t ) não necessariamente tende para innito
Exemplo: Equa¸ cão de Van der Pol
ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −x 1 + (1 −x 21 )x 2
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Estabilidade usando Lyapunov
Fun ções de LyapunovUma função V : Rn → R+ é localmente denida positiva em uma regiãoΩ se:
V (0) = 0V (x ) > 0 para x = 0 , ∀x ∈Ω
Uma função V : Rn → R+ é globalmente denida positiva se:V (0) = 0V (x ) > 0 para x = 0 , ∀x ∈Rn
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Estabilidade usando Lyapunov
Uma função W : Rn → R+ é localmente denida negativa em uma regiãoΩ se:−W (x ) é denida positiva para x ∈Ω
Uma função V : ×R+ ×Rn → R+ é localmente denida positiva em Ω seexiste W : Rn → R+ tal que:V (t , 0) = 0 , ∀t ≥0V (t , x )
≥W (x ) para t
≥0 e
x = 0 ,
∀x
∈Ω
Obs. O resultado é global se Ω = Rn
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Estabilidade usando Lyapunov
Fun ção radialmente ilimitada e decrescente
W : Rn → R+ é radialmente ilimitada se:W (x ) → ∞ quando x → ∞
V (t , x ) é radialmente ilimitada se:
V (t , x ) ≥W (x ) t ≥0V (t , x ) é localmente decrescente se existe W (x ) tal que:
V (t , x ) ≤W (x ) ; ∀t ≥0 ∀x ∈Ωse Ω = Rn ent ão é globalmente decrescente.
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Estabilidade usando Lyapunov
0
0
x
V 1(x )
V 1(x ) é localmente denida positiva mas não é globalmente denidapositiva
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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica
E bilid d d L
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Estabilidade usando Lyapunov
0
0
x
V 3(x )
V 3(x ) é globalmente denida positiva mas não é radialmente ilimitada
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E t bilid d d L
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Estabilidade usando Lyapunov
0
0
x
V 4(x )
V 4(x ) é globalmente denida positiva e radialmente ilimitada
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E t bilid d d L
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Estabilidade usando Lyapunov
Fun ção candidata de LyapunovUma função V : Rn ×R+ → R+ é uma função candidata de Lyapunovpara o sistema dinâmico:
ẋ = f (t , x ) , x̄ = 0 : um ponto de equiĺıbrio
V (t , x ) é localmente denida positiva∂ V (t ,x )
∂ t é cont́ınua com respeito a t e x ∂ V (t ,x )
∂ x é cont́ınua com respeito a t e x
onde
V̇ d dt
V (t , x ) = ∂ V (t , x )
∂ t +
∂ V (t , x )∂ x
ẋ
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Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Fun ção de Lyapunov
Uma função candidata V (t , x ) é uma fun ção de Lyapunov se:
V̇ (t , x ) =
≤0 ,
∀
t
≥0 ,
∀
x
∈Ω
Resumindo, V (t , x ) é uma fun ção de Lyapunov em uma região Ω se
V (t , x ) é localmente denida positiva∂ V (t ,x )
∂ t é cont́ınua com respeito a t e x
∂ V (t ,x )∂ x é cont́ınua com respeito a t e x V̇ (t , x ) ≤0 ,∀t ≥0 (é localmente semi-denida negativa)
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Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Estabilidade e estabilidade uniforme
A origem é um ponto de equiĺıbrio estável de ẋ = f (t , x ) se:
V (t , 0) ,∀t ≥0V (t , x ) ≥W 1(x ) > 0 , t ≥0, x ∈ΩV̇ (t , x ) ≤0 ,∀t ≥0, x ∈Ω
se além das condições acima,
V (t , x ) ≤W 2(x )∀t ≥0 , x ∈Ωentão a origem é Uniformemente estávelW 1(x ), W 2(x ) são funções denidas positivas
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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica
Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Pêndulo simples sem atritoConsidere o modelo dinâmico de um pêndulo sem atrito
J q̈ + mgl sinq = 0
Escolhendo x 1 e x 2 como variáveis de estado:
x 1 = q =⇒ ẋ 1 = x 2
x 2 = q̇ =⇒ ẋ 2 = −mgl
J sinx 1
Portanto, ẋ = f (x ) ; f (x ) = x 2
−mgl J sinx 1O sistema não depende explicitamente de t =
⇒
Sistema Autônomo39/98
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Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Pêndulo simples sem atritoPontos de equiĺıbrio
d dt
q q̇
= 00 =⇒ q̄ ˙̄q =
nπ0
n = 0 , ±1, ±2, · · ·x ’ = yy ’ = − sin(x)
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x
y
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Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Pêndulo simples sem atritoConsidere a representação de estados para j = 1 e mgl = 1
ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1
Modelo linearizado em torno da origem (x̄ , ˙̄x ) = (0 , 0):
δ̇ x = Aδ x
A = J (x̄ , ˙̄x ) = ∂ f ∂ x ( x̄ , ˙̄x )
Analise a estabilidade do sistema não linear usandoV = (1
−cos x 1) + x 2
2 ,
−π < x 1 < π
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Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Exemplo: Pêndulo simples com atritoConsidere a representação de estados para j = 1 e mgl = 1
ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −sin x 1 −x 2
Modelo linearizado em torno da origem (x̄ , ˙̄x ) = (0 , 0):
δ̇ x = Aδ x
A = J (x̄ , ˙̄x ) = ∂ f ∂ x ( x̄ , ˙̄x )
Analise a estabilidade do sistema não linear usandoV = (1
−cos x 1) + x 22 ,
−π < x 1 < π
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Introdu¸ c˜ ao Geral Revis˜ ao Matem´ atica
Estabilidade usando Lyapunov
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Estabilidade usando Lyapunov
Teorema de La SalleConsidere um sistema autônomo ẋ = f (x ) com um ponto de equiĺıbriox̄ = 0. Considere uma V (x )
Denida positivaV̇ (x ) ≤0
Considere um conjunto Ω tal queΩ = {x ∈Rn / V̇ (x ) = 0}se dado x (0)
∈
Ω =
⇒
x (t ) permanece em Ωentão x̄ é assintoticamente est´avel.
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Introdu¸ c˜ ao Geral Bibliograa
Bibliograa
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Bibliograa
H. K. Khalil – Nonlinear Systems, 3rd edition, Prentice Hall, 2002
J. J. Slotine, W. Li – Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991R. Kelly, V. Santibáñez, A. Loria – Control of Robot Manipulators inJoint Space, Springer, 2005
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Introdu¸ c˜ ao Geral Exerćıcios
Exerćıcios
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Analise a estabilidade dos seguintes sistemas:
1) ẋ 1 = −x 1 + x 1x 2ẋ 2 = −x 2
3) ẋ 1 = −x 2 −x 1(1 −x 21 −x 22 )ẋ 2 = −x 1 −x 2(1 −x 21 −x 22 )
5) ẋ 1 = −x 2(1 −x 21 )
ẋ 2 = −(x 1 + x 2)(1 −x 21 )
2) ẋ 1 = −x 1 −x 2ẋ 2 = 2x 1 −x 32
4) ẋ 1 = x 2ẋ 2 = −x 31 −x 32
6) ẋ 1 = −x 1 + x 21
ẋ 2 = −x 2 + x 23ẋ 3 = x 3 −x 21
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Controle de Posi¸ c˜ ao
Sum´ ario
http://find/
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2 Controle de Posi¸ c˜ ao
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Regula¸c˜ ao
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g ¸
Posicionamento do efetuador nalposições intermediárias são desconsideradastarefas do tipo pick and place
A B
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http://find/
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias
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Exemplo: Considere o robô planar de 2 gl
l 1
l 2
θ 1
θ 2
x
y (x , y )
Seja uma trajet ória p (t ) = ( x (t ), y (t )) no espaço cartesiano. Qual atrajet ória correspondente no espaço das juntas?
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias
http://find/
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Solu ção:
p (t ) = ( x (t ), y (t )) =⇒θ(t ) = ( θ1(t ), θ2(t ))
r 2 = x 2 + y 2
s 2 = sin θ2 ; c 2 = cos θ2 = r 2 −l 21 −l 22
2l 1l 2
d = ± 1 −cos2 θ2 = ± 1 −c 22θ2 = atan 2(d , c 2)θ1 = atan 2(y , x ) −atan 2(l 2s 2, l 1 + l 2c 2)
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias
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Interpola¸ cão Polinomial
Pontos de passagemInterpolação a partir de polinômiosOrdem dos polinômios depende dos pontos de passagem: posição,velocidade, aceleração
Espa¸co das Juntas: Conjunto de pontos q i (t k ) de posição e develocidades fornecidos (i : junta, t k : instantes de tempo igualmenteespaçados.
q d i (t k ) = q i (t k ) ; q d i (t k +1 ) = q i (t k +1 )q̇ d i (t k ) = q̇ i (t k ) ; q̇ d i (t k +1 ) = q̇ i (t k +1 )
T = t k +1 −t k
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias
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Solu ção: Para interpolar os 4 pontos necessitamos de um polinômio de 3aordem:
q d i (t ) = ai + b i (t −t k ) + c i (t −t k )2 + d i (t −t k )3Os coecientes ai , b i , c i , d i são determinados a partir de:
1 0 0 00 1 0 01 T T 2 T 3
0 1 2T 3T 2
a i b i c i d i
=
q i (t k )q̇ i (t k )
q i (t k +1 )q̇ i (t k +1 )
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Gera¸c˜ ao de Trajet´ orias
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a i = q i (t k )b i = q̇ i (t k )
c i = 3[q i (t k +1 ) −q i (t k )] −T [2q̇ i (t k ) + q̇ i (t k +1 )]T 2
d i = 2[q i (t k ) −q i (t k +1 )] + T [q̇ i (t k ) + q̇ i (t k +1 )]
T 3
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Problema de Controle
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Regulaçãoq d (t ) = q d : constante
Seguimento de trajet ória
q d (t ): vetor variante no tempo
Seja a equação do manipulador:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ A representação por variáveis de estados é dada por:
q̇ q̈ =
q̇ M − 1(q )[τ
−C (q , q̇ )q̇
−g (q )]
M (q )∈ℜn× n é a matriz de inércia
C (q , q̇ )q̇ ∈ℜn é o vetor de forças centŕıfugas e de Coriolisg (q )∈ℜ
n é o vetor de forças e torques gravitacionaisτ
∈ℜ
n é o vetor de forças e torques externos˙ ¨ re resentam os vetores de osicão velocidade e aceleracão.55/98
Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Problema de Controle
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O objetivo da estratégia de controle é encontrar τ tal que:Regulação
limt →∞
q̃ (t ) = 0 =⇒ limt →∞ q (t ) = q d
onde q̃ = q d −q (t ).Controle de trajet órialim
t →∞q̃ (t ) = 0 =⇒ limt →∞ q (t ) = q d (t )
onde q̃ = q d (t ) −q (t ).
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Problema de Controle
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A lei de controle τ depende, em geral, dos seguintes parâmetros:
τ (t ) = τ (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))
Tendo em vista os custos e diculdades de implementação, as medidas deaceleração (q̈ ) devem ser evitadas.Um esquema clássico de controle é dado por:
q d
q̇ d
q̈ d
τ Controlador
q
q̇ Robô
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Controle de Posi¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao
Problema de Controle
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Analyse de estabilidade:1
Obter a equa ção dinâmica em malha fechada2 Obter a representa ção de estados
q̇ d − q̇ q̈
= f (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))
q d
q̇ d
q̈ d
Controladorq
q̇ Robô
+
3 Encontrar os pontos de equiĺıbrio em malha fechada4 Dada uma função de Lyapunov candidata analisar a estabilidade
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Controle de Posi¸ c˜ ao Revis˜ ao de Controle
Revis˜ ao de Controle
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Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD
Controlador PD
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Lei de controle do tipo PD realimentação de q̃ , q̇ ):
τ = K p q̃ −K v q̇ q d
+ +
− −
K p
K v
q
q̇ Robô
K p , K v são matrizes simétricas denidas positivasq d corresponde à posição desejada da juntaq̃ = q d −q é o erro de posição
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Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD
Controlador PD
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Lei de controle do tipo PD (realimentação de q̃ , ˙̃q ):
τ = K p q̃ + K v ˙̃q
q d +
+
+
+q̇ d
−
−
τ
K p
K v
q
q̇ Robô
K p , K v são matrizes simétricas denidas positivas
q d corresponde à posição desejada da juntaq̃ = q d −q é o erro de posição
Obs. Quando q d é constante ambos os controladores PD s ão iguais
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Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD
Controlador PD
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Representação de estados em malha fechada para q d constante ˙̃q q̈
= −q̇ M − 1(q )[K p q̃ −K v q̇ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]
Pontos de equiĺıbrio
˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ −g (q ) = 0
Obs. Podem haver vários pontos de equiĺıbrio
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Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD
PD - Robˆ os sem termos gravitacionais
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Modelo do sistema:M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ = τ
Para um valor de referência q d constante, a equa ção em malha fechada édada por:
˙̃q
q̈ = −q̇
M − 1
(q d −q̃ )[K p q̃ −K v q̇ −C (q d −q̃ , q̇ )q̇ ]Ponto de equiĺıbrio
˙̃q = 0 =
⇒
q̇ = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ = 0
Obs. Possui um único ponto de equiĺıbrio63/98
Controle de Posi¸ c˜ ao Controlador PD
PD - Robˆ os sem termos gravitacionais
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Análise de estabilidade:Candidata a fun ção de Lyapunov
V (q̃ , q̇ ) = 12
q̃ q̇
′
K p 00 M (q d −q̃ )
q̃ q̇
= 12
q̇ ′ M (q )q̇ + 12
q̃ ′ K p q̃
Obs. V (q̃ , q̇ ) é denida positiva pois M (q ) > 0 e K p > 0
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Modelo do sistema:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
q d
+
+
+
+ +
q̇ d
g (q )
−
− τ K p
K v
q q̇ Robô
Lei de controle :τ = K p q̃ −K v ˙̃q + g (q )
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Para um valor de referência q d constante, a equa ção em malha fechada édada por:
˙̃q q̈
= −q̇ M − 1(q d −q̃ )[K p q̃ −K v q̇ −C (q d −q̃ , q̇ )q̇ ]
Ponto de equiĺıbrio
˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =
⇒
K p q̃ = 0
Obs. Possui um único ponto de equiĺıbrio
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Análise de estabilidade:Candidata a fun ção de Lyapunov
V (q̃ , q̇ ) = 12
q̃ q̇
′
K p 00 M (q d −q̃ )
q̃ q̇
= 12
q̇ ′ M (q )q̇ + 12
q̃ ′ K p q̃
Obs. V (q̃ , q̇ ) é denida positiva pois M (q ) > 0 e K p > 0
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Análise de estabilidade:A derivada temporal de V (q̃ , q̇ )
V̇ (q̃ , q̇ ) = −q̇ ′ K v q̇
= − q̃ q̇ ′
0 00 K v
q̃ q̇ ≤0
A origem é est́avelq̇ e q̃ são limitadas
Usando La Salle temos que a origem é assintoticamente estável.
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada
PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada
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Modelo do sistema:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
q d
++
++
+
q̇ d
g (q d )
−
−
τ
K p
K v
q
q̇ Robô
Lei de controle :
τ = K p q̃ −K v ˙̃q + g (q d )
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada
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Para um valor de referência q d constante, a equa ção em malha fechada édada por:
˙̃q q̈
= −q̇ M − 1(q )[K p q̃ −K v q̇ −C (q , q̇ )q̇ + g (q d ) −g (q )]
Os pontos de equiĺıbrio são dados por:
˙̃q = 0 =⇒ q̇ = 0q̈ = 0 =
⇒
K p q̃ = g (q d
−q̃ )
−g (q d )
Se K p >> 0 então q̃ = 0 é o único ponto de equiĺıbrio.
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Controle de Posi¸ c˜ ao PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade Desejada
PD + g (q d ) - An´ alise de Estabilidade
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71/98
Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PID
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Modelo o sistema:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
q d
+
+
+
+
+
q̇ d
K i t 0 dt
−
−
τ K p
K v
q
q̇ Robô
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Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PID - Malha Fechada
Lei de controle:
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Lei de controle:
τ = K p q̃ + K v ˙̃q + K i t
0q̃ dt K p , K v , K i > 0
A lei de controle pode ser escrita como:
τ = K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ
ζ̇ = q̃
A equação em malha fechada é dada por:
ζ̇ ˙̃q q̈
=q̃ ˙̃q
q̈ d −M − 1(q )[K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]73/98
Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PID - Pontos de Equiĺıbrio
Se a trajet ória desejada for constante o equiĺıbrio é dado por:
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Se a trajet oria desejada for constante, o equilıbrio e dado por:
ζ̇ = 0 =⇒ q̃ = 0˙̃q = 0 =⇒
˙̃q = 0q̈ = 0 =⇒ K p q̃ = 0
O que resulta em:
ζ q̃ ˙˜q
=K − 1i g (q d )
0
0Portanto, possui um único ponto de equiĺıbrio fora da origem.Para analisar a origem dene-se uma tranforma ção de variáveis do tipo:
z = ζ −K − 1i g (q d )
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Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PID - Pontos de Equiĺıbrio
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A equação em malha fechada nas novas variáveis é dada por:
ż ˙̃q q̈
=q̃ ˙̃q
q̈ d
−M − 1(q )[K p q̃ + K v ˙̃q + K i ζ
−C (q , q̇ )q̇
−g (q )]
O único ponto de equiĺıbrio é
z q̃
˙̃q
=00
0
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Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Análise de estabilidade:Candidata a fun ção de Lyapunov
V (q̃ , q̇ ) = 12
q̃ q̇
′
K p 00 M (q d −q̃ )
q̃ q̇
= 12
q̇ ′ M (q )q̇ + 12
q̃ ′ K p q̃
Obs. V (q̃ , q̇ ) é denida positiva pois M (q ) > 0 e K p > 0
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Controle de Posi¸ c˜ ao PID
Controle PD com Compensa¸ c˜ ao de Gravidade
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Análise de estabilidade:A derivada temporal de V (q̃ , q̇ )
V̇ (q̃ , q̇ ) = −q̇ ′ K v q̇
= − q̃ q̇ ′
0 00 K v q̃ q̇ ≤0
A origem é est́avelq̇ e q̃ são limitadas
Usando La Salle temos que a origem é assintoticamente estável.
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Seguimento de Trajet´ oria
Sum´ ario
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3 Seguimento de Trajet´ oria
78/98 Seguimento de Trajet´ oria Introdu¸ c˜ ao
Introdu¸ c˜ ao
S j ˜ d i l d
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Seja a equação do manipulador:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
A representação por variáveis de estados é dada por:
q̇ q̈ =
q̇ M − 1(q )[τ −C (q , q̇ )q̇ −g (q )]
M (q )∈ℜn× n é a matriz de inércia
C (q , q̇ )q̇
∈ℜn é o vetor de forças centŕıfugas e de Coriolis
g (q )∈ℜn é o vetor de forças e torques gravitacionais
τ ∈ℜn é o vetor de forças e torques externosq , q̇ , q̈ representam os vetores de posição, velocidade e aceleração.
79/98 Seguimento de Trajet´ oria Introdu¸ c˜ ao
Introdu¸ c˜ ao
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Dado um conjunto de trajet órias desejadas q d (t ), q̇ d (t ), q̈ d (t ), o controle
de trajet ória consiste em encontrar τ tal que:
limt →∞
q̃ (t ) = 0
onde
q̃ (t ) = q d (t ) −q (t ) é o erro de posição˙̃q (t ) = q̇ d (t ) − q̇ (t ) é o erro de velocidade
O problema de controle é mais complexo pois:
O sistema em malha fechada, em geral, é não aut ônomo (oscoecientes dependem do tempo)A análise de estabilidade é mais complexa que no caso de regulação
80/98 Seguimento de Trajet´ oria Introdu¸ c˜ ao
Introdu¸ c˜ ao
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81/98
A lei de controle τ depende, em geral, dos seguintes parâmetros:
τ (t ) = τ (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))
Tendo em vista os custos e diculdades de implementação, as medidas deaceleração (q̈ ) devem ser evitadas.
Um esquema clássico de controle de trajetória é dado por:
q d
q̇ d
q̈ d
τ Controlador
q
q̇ Robô
81/98 Seguimento de Trajet´ oria Introdu¸ c˜ ao
Problema de Controle
Analyse de estabilidade:
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y1 Obter a equa ção dinâmica em malha fechada2 Obter a representa ção de estados
q̇ d − q̇ q̈ d −q̈
= f (q , q̇ , q̈ , q d , q̇ d , q̈ d , M (q ), C (q , q̇ ), g (q ))
q d
q̇ d
q̈ d
Controladorq
q̇ Robô
+
3 Encontrar os pontos de equiĺıbrio em malha fechada4 Dada uma função de Lyapunov candidata analisar a estabilidade
82/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado
Torque Computado
Esquema de controle:
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Esquema de controle:
u
++
+
+q̈ d
g (q )
−
τ
C (q , q̇ ) q̇
M (q )
Controlador
Sistema Linear
q
q̇ Robô
O controlador torque computado compensa as n ão linearidades e a novavariável de controle u pode ser gerada livremente usando técnicas deprojeto de sistemas lineares.
83/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado
Torque Computado
Dada a equação do manipulador:
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q ¸ p
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
Da denição de q̃ temos:
q̃ = q d −q ˙̃q = q̇ d − q̇ ¨̃q = q̈ d −q̈
Do esquema de controle temos que τ é denido por:τ = M (q )[q̈ d −u ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )
onde u (t ) é uma nova entrada de controle, refer ente à malha externa.
84/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado
Controle Torque Computado - Malha Fechada
A equacão em malha fechada é dada por:
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A equaçao em malha fechada e dada por:
M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −u ]Ou equivalentemente,
¨̃q = u
Na representa ção por variáveis de estado: ˙̃q ¨̃q =
˙̃q u
= 0 I
0 0 q̃ ˙̃q +
0I
u
O sistema resultante é linearA forma resultante é um banco de integradores conhecida como formade Brunovski
85/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes
Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes
Dada a equação do manipulador sujeito a perturba ções externas:
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ada a equaçao do a pu ado suje to a pe tu ba çoes e te as:
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q )τ d = τ
onde τ d representa as perturba ções externas, normalmente, desconhecidas.O controle τ é denido por:
τ = M (q )[q̈ d −u ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )onde u (t ) é uma nova entrada de controle, referente à malha externa.A equação em malha fechada é dada por:
M (q )q̈ τ d = M (q )[q̈ d −u ]Ou equivalentemente,
¨̃q = u + M − 1(q )τ d
86/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes
Torque Computado - Inuência de Perturba¸ c˜ oes
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Na representa ção por variáveis de estado: ˙̃q ¨̃q =
˙̃q u + M − 1(q )τ d
˙̃q ¨̃q =
0 I 0 0
q̃ ˙̃q +
0I u +
0I w
onde,w = M − 1(q )τ d
A lei de controle u deverá ser projetada para compensar as perturba çõesexternas.
87/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD
Torque Computado com Controlador PD
Esquema de controle:
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++ +
+
+
+
++
q d
q̇ d
q̈ d g (q )
−
−
K p
K v C (q , q̇ )
M (q )
q
q̇ Robô
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
O controle τ é denido por:
τ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )88/98
Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD
Controle Torque Computado - Malha Fechada
A ˜ lh f h d ´ d d
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A equaçao em malha fechada e dada por:
M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q ]Ou equivalentemente,
¨̃q = −K p q̃ −K v ˙̃q Na representa ção por variáveis de estado:
˙̃q ¨̃q =
˙̃q
−K p q̃ −K v ˙̃q = 0
I
−K p −K v q̃ ˙̃q
Possui um único ponto de equiĺıbrio na origemK p > 0 e K v > 0 podem ser escolhidos livremente
89/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PD
Torque Computado e PD - An´ alise de Estabilidade
Denindo as seguintes variáveis:
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x = q̃ ˙̃q ; A = 0 I −K p −K v Função de Lyapunov candidata:
V (x ) = x ′
Px V (x ) é denida positiva desde que P > 0. A derivada temporal de V :
V̇ = ẋ ′ Px + x ′ P ẋ = x ′ [A′ P + PA]x
V̇ ≤0 =⇒ x ′
[A′
P + PA]x ≤0V̇ = −x ′ Qx ≤0 ; Q < 0
90/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PID
Torque Computado com Controlador PID
Esquema de controle:q̈d
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+
+
+
++
+
+
+
+
q d
q̇ d
q d
g (q )
−
−
K p
K v
K i t 0 dt
C (q , q̇ )
M (q )
q
q̇ Robô
M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ O controle τ é denido por:
τ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K i t
0q̃ dt −K v ˙̃q ] + C (q , q̇ )q̇ + g (q )
91/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PID
Controle Torque Computado - Malha Fechada
A equação em malha fechada é dada por:
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M (q )q̈ = M (q )[q̈ d −K p q̃ −K v ˙̃q −K i t
0 q̃ dt ]Ou equivalentemente,
¨̃q = −K p q̃ −K v ˙̃q −K i t
0q̃ dt
Na representa ção por variáveis de estado:
ζ̇ ˙̃q ¨̃q
=q̃ ˙̃q
−K i ζ −K p q̃ −K v ˙̃q =
0 I 00 0 I
−K i −K p −K v ζ q̃ ˙̃q
Possui um único ponto de equiĺıbrio na origemK i , K p > 0 e K v > 0 podem ser escolhidos livremente
92/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador PID
Torque Computado e PID - An´ alise de Estabilidade
Denindo as seguintes variáveis:
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x =ζ q̃ ˙̃q
; A =0 I 00 0 I
−K i −K p −K v Função de Lyapunov candidata:
V (x ) = x ′ Px
V (x ) é denida positiva desde que P > 0. A derivada temporal de V :
V̇ = ẋ ′ Px + x ′ P ẋ = x ′ [A′ P + PA]x
V̇ ≤0 =⇒ x ′ [A′ P + PA]x ≤0V̇ = −x
′ Qx ≤0 ; Q < 0
93/98 Seguimento de Trajet´ oria Torque Computado com Controlador Feedforward
Torque Computado com Controlador Feedforward
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94/98 Seguimento de Trajet´ oria Estudos de Casos
Estudos de Casos
Dado um robô de dois graus de liberdade:
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M (q )q̈ + C (q , q̇ )q̇ + g (q ) = τ
M (q ) = (m1 + m2)a21 + m2a22 + 2m2a1a2 cosq 2 m2a22 + m2a1a2 cosq 2
m2a22 + m2a1a2 cosq 2 m2a22
C (q , q̇ )q̇ = −m2a1a2(2q̇ 1q̇ 2 + q̇ 22 ) sin q̇ 2m2a1a2q̇ 21 sin q 2
g (q ) = (m1 + m2)ga1 cos q 1 + m2ga2 cos(q 1 + q 2)m2ga 2 cos(q 1 + q 2) ; τ = τ 1τ 2
Trajet órias desejadas: q 1d = g 1 sin(2π t T
) ; q 2d = g 2 cos(2π t T
)
onde, a1 = a2 = 1 m,m1 = m2 = 1 kg , T = 2 s , g 1 = 0 .1 rad e g 2 = 0 .1 rad
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Controle Torque Computado + PD
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Controle Torque Computado + PID
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Seguimento de Trajet´ oria Exerćıcios
Exerćıcios
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