Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos 10 de março de ...
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Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017
Pensamento
“Não creio em números, não creio na palavra
tudo e nem na palavra nada. São três afirmações
exatas e imóveis: o mundo está sempre dando
voltas.”
(Provérbio Chinês)
Prof. MSc. Herivelto Nunes
Unidades
• Conjuntos.
• Conjuntos Numéricos.
Conjuntos
A noção de conjunto usada na Matemática é a
utilizada na linguagem do dia a dia.
Georg Cantor (1845 – 1918), matemático russo,
foi quem, em seus trabalhos deu as noções
iniciais sobre conjunto, elemento e pertinência.
Conceitos Primitivos
Entende-se por conjunto, um agrupamento, uma
coleção, uma coleção.
Elemento é qualquer um dos componentes,
objetos, coisas, de uma conjunto.
Exemplos:
a) A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}.
b) B = { domingo, segunda, terça, quarta, quinta,
sexta, sábado}.
Formas de Representar Conjuntos
1ª) Por extensão: Esta forma consiste em
escrever os elementos do conjunto, separadas
por vírgula, entre uma par de chaves.
Ex.: A = {a, e, i, o, u}
Obs.: Podemos utilizar essa representação
mesmo que o conjunto seja finito ou infinito.
Formas de Representar Conjuntos
2ª) Por compreensão: O conjunto é representado
por meio de uma propriedade que caracteriza
seus elementos.
Ex.: A = {x/x é vogal}
Formas de Representar Conjuntos
3ª) Por diagramas: Os diagramas (figuras) que
representam os conjuntos por curvas fechadas
denominadas Diagramas de Venn
Ex.: A a.
e.
i.
o.
u.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os
elementos envolvidos em um determinado
assunto ou estudo é simbolizado por U ou S.
Importante: Se procuramos determinar as
soluções reais de uma equação do segundo grau,
nosso conjunto universo U é ℝ.
Conjunto Vazio e Conjunto Unitário
Conjunto Vazio – é o conjunto que não possui elemento e é representado por { } ou ∅.
Ex.: Seja A um conjunto de números maiores que 10 e menores que 5.
Este conjunto não possui elementos, logo:
A = { } ou ∅.
Conjunto Vazio e Conjunto Unitário
Conjunto Unitário – é o conjunto que possui
apenas elemento.
Ex.: A = {x/x é solução da equação 2x – 3 = 0}
Logo, A = 𝟑
𝟐 unitário.
Relações
Relação de Pertinência: é a relação entre uma elemento e o conjunto ao qual pertence. Assim, um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto.
Símbolos: ∈ pertence; ∉ não pertence
Ex.: A = {a, e, i, o, u}.
a ∈ A; c ∉ A
Relações
Relação de Inclusão (subconjuntos): dados dois
conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou A é um subconjunto de se, e somente se, cada elemento de A for também um elemento do conjunto B.
Indicamos a relação por: A ⊂ B ou B ⊃ A.
Símbolos: ⊂ está contido; ⊃ contém; ⊄ não contém e; ⊅ não contém.
Conjunto das partes de um conjunto
O conjunto das partes de um conjunto A ou
conjunto potência de A é o conjunto formado por
todos os subconjuntos de A.
Se um conjunto A possui n elementos, o
número de subconjuntos de A é dado pela
expressão: P(A) = 𝟐𝒏
Exemplos:
1) Escreva o conjunto das partes de A, sendo A={1,2,3}.
Solução: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
2) O conjunto das partes de A possui 32 elementos. Determine o número de elementos do conjunto A:
Solução: P(A) = 𝟐𝒏 32 = 𝟐𝒏 𝟐𝟓= 𝟐𝒏 n = 5
Operações com Conjuntos I- União
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B e é representado por A U B.
𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙\𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩
Obs.:
a) 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∪ 𝐀
b) 𝐀 ∪ 𝐀 = 𝐀
c) 𝐀 ∪ ∅ = 𝐀
d) 𝐀 ⊂ 𝐁 ↔ 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁
Operações com Conjuntos
II – Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. E é representado por 𝑨 ∩ 𝑩.
𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩
Obs.:
a) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨
b) 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨
c) 𝑨 ∩ ∅ = ∅
d) 𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨
e) Se 𝑨 ≠ ∅, 𝑩 ≠ ∅ 𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, dizemos que A e B são disjuntos.
Operações com Conjuntos III - Diferença
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença A – B é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertençam a B.
𝑨 − 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩
Obs.:
a) 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ → 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝒆 𝑩 − 𝑨 = 𝑩
b) 𝑨 − ∅ = 𝑨 𝒆 ∅ − 𝑨 = ∅.
c) A⊂ 𝑩 → 𝑨 − 𝑩 = ∅
d) 𝑨 − 𝑩 = 𝑩 − 𝑨 ↔ 𝑨 = 𝑩
e) Se 𝑩 ⊂ 𝑨, a diferença A – B denomina-se Complementar de B em relação a A
Exemplo 1: Sejam ao conjuntos A e B
representados a seguir:
Determine:
a) 𝐴 ∪ 𝐵
b) 𝐴 ∩ 𝐵
c) 𝐴 − 𝐵
• 1
• 2
• 7
• 5
• 4
• 6
• 3
A B
Solução:
a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5,6,7
b) 𝐴 ∩ 𝐵 = 3,6
c) 𝐴 − 𝐵 = {1,2,7}
Exemplo 2: Sejam os conjuntos A e b
representados a seguir:
Determine o complementar de B em relação a A.
• 6
• 3
• 5
• 1
A
B
Solução:
Neste caso, o conjunto B está contido em A, logo
a diferença entre A e B, será indicada por:
𝑪𝑨𝑩= A - B = {3,6}
Problemas que envolvem conjuntos
Na teoria dos conjuntos é possível resolver
problemas que tratam de conjuntos de elementos
que podem ou não, ter características comuns.
Exemplos:
1) Numa escola com 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam somente Matemática?
b) Quantos alunos estudam somente Física?
c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?
d) Quantos alunos não estuda nenhuma das duas matérias?
Solução:
São dados:
n(U) = número total de alunos = 630.
n(M) = número de alunos que estudam Matemática = 350.
n(F) = número de alunos que estudam Física = 210.
n(M ∩ F) = número de alunos que estudam Matemática e Física = 90.
Solução:(cont.)
a) Se 350 estudam matemática, e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Matemática é: 350 – 90 = 260.
b) Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Física é: 210 – 90 = 120.
c) O número de alunos que estudam Matemática ou Física é: 260 + 120 + 90 = 470.
d) O número de alunos que não estudam nenhuma das matérias é: 630 – 470 = 160
Exemplo:
2) Numa pesquisa 1 500 pessoas foram consultadas sobre o uso de um produto A e de um produto B. Verificou-se que o produto A é usado por 850 pessoas e que 180 pessoas usam os dois produtos. Quantas pessoas usam o produto B?
Solução:
São dados:
n(A U B) = número que usam os produtos A ou B = 1500.
n(A) = número que usam o produto A = 850.
n(B) = número que usam o produto B = ?.
n(A ∩ B) = número que usam o produto A e B = 180.
Assim, temos: 1500 = 850 + B – 180
B = 2030 – 1500 = 530
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula ℕ. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} ℕ* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
Conjuntos Numéricos
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
ℤ+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
Conjuntos Numéricos
- Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são
positivos.
ℤ- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Conjuntos Numéricos
- Inteiros positivos
É o conjunto ℤ+ excluindo o zero.
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
ℤ*+ = ℕ*
Conjuntos Numéricos
- Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z-
excluindo o zero.
ℤ*- = {... -4, -3, -2, -1}
Conjuntos Numéricos
- Conjunto dos Números Racionais (ℚ) Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros , números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.
Conjuntos Numéricos
- Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número 𝜋 (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o 𝜋. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como 2 =(1,4142135 ...).
Conjuntos Numéricos
- Conjunto dos Números Reais (ℝ)
É formado por todos os conjuntos citados
anteriormente (união do conjunto dos racionais
com os irracionais).
Conjuntos Numéricos
- Resumindo:
Importante: Dízima Periódica
As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos
números racionais, representado pela letra ℚ e que
engloba os números inteiros (ℤ), os números decimais
finitos…
Classificação das dízimas
As dízimas periódicas podem ser classificadas em:
• Dízimas periódicas simples: Quando o período
apresenta-se logo após a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
• 4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)
• 2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)
• 31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)
Classificação das dízimas
• Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte
não periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula.
Observe os exemplos a seguir:
• 44/45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)
• 35/36 = 0, 972222 … (Período: 2 ; parte não periódica: 97)
• 35/42 = 0, 833333 … (Período: 3 ; parte não periódica: 8)
Geratriz de uma dízima periódica
A geratriz da dízima periódica é a fração (número
racional) que deu origem a essa dízima periódica.
Exemplos:
1) 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…
2) 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta
0, 7666 …
Referências Bibliográficas:
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos, funções. Vol.1. São Paulo: Atual, 2000.
DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2013.
GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC, 2010.
http://www.estudopratico.com.br/dizimas-periodicas/
http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/
http://www.somatematica.com.br/emedio.php
https://pt.khanacademy.org/