Aula de Matemática AGOSTO 2011 – prof. Neilton Satel TRIÂNGULOS Razão de semelhança.
Aula de Matemática Professor : Neilton Satel 03 de setembro de 2014 Bom dia!
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Aula de MatemáticaProfessor : Neilton Satel
03 de setembro de 2014
Bom dia!
POLÍGONO vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
POLÍGONO é figura plana limitada por uma linha poligonal fechada, ou seja, os polígonos precisam ser figuras fechadas.
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PolígonosDefinição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha
determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
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Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está
sempre contido nela.
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos Polígonos côncavosUm polígono se diz côncavo quando
existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
Polígonos
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Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de lados
Nome Número de lados
Nome
3 Triângulo 9 Eneágono4 Quadrilátero 10 Decágono5 Pentágono 11 Undecágono6 Hexágono 12 Dodecágono7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
Polígonos
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Polígonos
Soma das medidas dos ângulos internos:
180º 2iS n
Soma das medidas dos ângulos externos:
360ºeS
Ângulos internos de um polígono regular:
180º 2 ou i
i i
nSa an n
Ângulos externos de um polígono regular:
360º ou ee eSa an n
Número de diagonais de um polígono:
32
n nd
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Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.
Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.
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Triângulos - medidas de seus ângulos
Soma das medidas dos ângulos internos
Teorema do ângulo externo
Condição de existência de um triângulo
a + b + g 180º
a + x 180º b + g x
A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior.
b + c > a
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Triângulos – cevianas e pontos notáveisCeviana Definição Ponto notável Figura
MedianaÉ o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.
Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo.
BissetrizÉ o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice.
Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados.
AlturaÉ o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo.
MediatrizReta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices.
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Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o caso: LALDois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente
3o caso: ALADois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente
4o caso: LAAoUm lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente
2o caso: LLLTrês lados congruentes
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Quadriláteros
Quanto aos ângulos
Quanto às diagonais
Quanto aos lados
ParalelogramoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.
Encontram-se no seu ponto médio.
Lados opostos congruentes.
RetânguloQuatro ângulos retos.
São congruentes. Lados opostos congruentes.
LosangoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.
São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Quatro lados congruentes.
QuadradoQuatro ângulos retos.
Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.
Quatro lados congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
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Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo.
Assim teremos:
BD ABDC AC