Aula de Matemática Professor : Neilton Satel 02 de setembro 2014 Bom dia!
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Aula de MatemáticaProfessor : Neilton Satel
02 de setembro 2014
Bom dia!
POLÍGONO vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
POLÍGONO é figura plana limitada por uma linha poligonal fechada, ou seja, os polígonos precisam ser figuras fechadas.
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PolígonosDefinição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha
determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
4
Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está
sempre contido nela.
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos Polígonos côncavosUm polígono se diz côncavo quando
existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
Polígonos
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PolígonosElementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
A
B
CD
E
• Os segmentos são os lados do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono;
• Os segmentos são as diagonais do polígono;
, , , ,AC AD BD BE CE
• são os ângulos do polígono;
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD,CDE, DEA, EAB
Nota:Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.
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Polígonos
Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos
congruentes (ângulos que possuem a mesma medida).
Polígonos regulares
A
B
CD
E Num polígono regular destacamos:
• O centroÉ o ponto que dista igualmente de todos
os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.)M
O
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Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de lados Nome Número de
lados Nome
3 Triângulo 9 Eneágono4 Quadrilátero 10 Decágono5 Pentágono 11 Undecágono6 Hexágono 12 Dodecágono7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
Polígonos
8
Polígonos
Soma das medidas dos ângulos internos:
180º 2iS n
Soma das medidas dos ângulos externos:
360ºeS
Ângulos internos de um polígono regular:
180º 2 ou i
i i
nSa an n
Ângulos externos de um polígono regular:
360º ou ee eSa an n
Número de diagonais de um polígono:
32
n nd
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Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso.
Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.
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Quadriláteros
Quanto aos ângulos
Quanto às diagonais
Quanto aos lados
ParalelogramoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.
Encontram-se no seu ponto médio.
Lados opostos congruentes.
RetânguloQuatro ângulos retos.
São congruentes. Lados opostos congruentes.
LosangoÂngulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares.
São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Quatro lados congruentes.
QuadradoQuatro ângulos retos.
Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes.
Quatro lados congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
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Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retânguloÉ todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.
Trapézio isóscelesÉ todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.
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CircunferênciaÂngulos em uma circunferência
Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela.
Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas.
Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela.
Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
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Circunferência
Relações métricas na circunferência
Cruzamento de duas cordas:
Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto:
PA PB PC PD
Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto:
2PA PB PT
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CircunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
3ra2 4
r 2a2
6r 3a
23 r 3l 4 r 2l 6 rl
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Áreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado
Retângulo
Paralelogramo
A = b h A = b h2A = l
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Áreas: medidas de superfície
Área do triângulo
Área do triângulo
Área do triângulo
sendo conhecido os
três lados
Área do triângulo equilátero
Área do triângulo
com o auxílio da
trigonometria
b h 1A b h2 2
A p p a p b p ca b cp
2
1A a b senα2
2 3A4
l
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Áreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losango
Trapézio Losango
B b hA =
2D dA =2
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Áreas: medidas de superfície
Área de polígonos regulares
(l) lado do polígono(a) apótema(n) número de lados do polígono(p) semiperímetro
A p a.
np2l
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Áreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circular
Círculo Setor circular
2A π r
graussetor2
A = =π r 360º 2 π r
l
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Resolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulos
2 2 2a b ccateto oposto bsenα
hipotenusa acateto adjacente ccosα
hipotenusa acateto oposto btgα
cateto adjacente c
a = hipotenusab = cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo
30º 45º 60ºsencostg
12
12
22
22
32
32
33 31