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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Aula de Física II - Capacitância e Energia
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes
Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ
Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação
25 de novembro de 2010
Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física II - Capacitância e Energia
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Capacitor Plano
Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,
conforme a �gura:
O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:
|~E | = σ
ε0; σ =
Q
A(1)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Capacitor Plano
Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,
conforme a �gura:
O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:
|~E | = σ
ε0; σ =
Q
A(1)
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Capacitor Plano
Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,
conforme a �gura:
O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:
|~E | = σ
ε0; σ =
Q
A(1)
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Capacitor Plano
Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,
conforme a �gura:
O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:
|~E | = σ
ε0; σ =
Q
A(1)
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Capacitor Plano
Seja um par de placas metálicas planas paralelas carregadas,
conforme a �gura:
O campo elétrico devido às placas (Veri�que!!!) é dado por:
|~E | = σ
ε0; σ =
Q
A(1)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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onde A é a área das placas. A diferença de potencial entre elas é
dada por:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
~E ∗ ~dl = E ∗ d (2)
De fato, pois ~E aponta no sentido da placa positiva pra negativa.
Logo:
V =σd
ε0=
Qd
ε0A(3)
é proporcional à carga Q da placa. De�nimos como sendo a
capacitância ζ do par de condutores, que se diz constituir um
capacitor, o coe�ciente:
ζ ≡ Q
V=ε0A
d(4)
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A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por
exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de
distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas
de área:
ζ =ε0A
d=⇒ A =
dC
ε0=
10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F
m
= 1, 13 ∗ 108m2 (5)
o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade
de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .
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A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por
exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de
distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas
de área:
ζ =ε0A
d
=⇒ A =dC
ε0=
10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F
m
= 1, 13 ∗ 108m2 (5)
o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade
de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .
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A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por
exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de
distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas
de área:
ζ =ε0A
d=⇒
A =dC
ε0=
10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F
m
= 1, 13 ∗ 108m2 (5)
o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade
de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .
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A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por
exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de
distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas
de área:
ζ =ε0A
d=⇒ A =
dC
ε0=
10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F
m
= 1, 13 ∗ 108m2 (5)
o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade
de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .
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A unidade de medida de capacitância é o Farad (1F ≡ 1C1∨ ). Por
exemplo, para um capacitor de placas planas com 1mm de
distãncia, para ter uma capacitância de 1F, precisaríamos de placas
de área:
ζ =ε0A
d=⇒ A =
dC
ε0=
10−3m ∗ 1F8, 85 ∗ 10−12 F
m
= 1, 13 ∗ 108m2 (5)
o que corresponde a 100 km2, o que mostra que F é uma unidade
de grandes dimensões. As mais usadas são µF e pF .
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Capacitor Cilíndrico
Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:
E (a) = σ+
ε0= B
a= Q
2πε0al
E (b) = −σ−ε0
= −Bb= − Q
2πε0bl
}B =
Q
2πε0l(6)
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Capacitor Cilíndrico
Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:
E (a) = σ+
ε0= B
a= Q
2πε0al
E (b) = −σ−ε0
= −Bb= − Q
2πε0bl
}B =
Q
2πε0l(6)
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Capacitor Cilíndrico
Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:
E (a) = σ+
ε0= B
a= Q
2πε0al
E (b) = −σ−ε0
= −Bb= − Q
2πε0bl
}B =
Q
2πε0l(6)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
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Capacitor Cilíndrico
Neste caso, sendo l o comprimento do capacitor, então:
E (a) = σ+
ε0= B
a= Q
2πε0al
E (b) = −σ−ε0
= −Bb= − Q
2πε0bl
}B =
Q
2πε0l(6)
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A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
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A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a
=⇒ ζ =2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒
ζ =2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
A diferença de potencial entre os cilindros é:
V ≡ V+ − V− =
∫ −+
E (ρ)dρ = BV
∫ b
a
dρ
ρ= B ln
(b
a
)(7)
o que por (6) dá:
ζ =2πε0l
ln(ba
) (8)
Se b = a + d , com d << a, então:
ln
(b
a
)= ln
(1+
d
a
)≈ d
a=⇒ ζ =
2πε0al
d=ε0A
d(9)
onde A = 2πal é a área da superfície lateral do cilindro, ou seja, o
capacitor cilíndrico funciona como um "capacitor plano enrolado".
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Capacitor Esférico
~E =Q
4πε0r2r̂ ; V =
Q
4πε0
(1
R1− 1
R2
)(10)
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Capacitor Esférico
~E =Q
4πε0r2r̂ ; V =
Q
4πε0
(1
R1− 1
R2
)(10)
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Capacitor Esférico
~E =Q
4πε0r2r̂ ; V =
Q
4πε0
(1
R1− 1
R2
)(10)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Logo, a capacitância será:
ζ = 4πε0
(R1R2
R2 − R1
)(11)
Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,
se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R
(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao
in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que
dá:
ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)
o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a
Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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Logo, a capacitância será:
ζ = 4πε0
(R1R2
R2 − R1
)(11)
Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,
se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R
(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao
in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que
dá:
ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)
o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a
Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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Logo, a capacitância será:
ζ = 4πε0
(R1R2
R2 − R1
)(11)
Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,
se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R
(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao
in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que
dá:
ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)
o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a
Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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Logo, a capacitância será:
ζ = 4πε0
(R1R2
R2 − R1
)(11)
Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,
se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R
(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao
in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que
dá:
ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)
o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a
Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Logo, a capacitância será:
ζ = 4πε0
(R1R2
R2 − R1
)(11)
Caso R2 − R1 = d << R1, obtemos (9) novamente. Em particular,
se R2 →∞, obtemos a capacitância de uma esfera de raio R
(ζ = 4πε0R). As linhas de força vão da superfície da esfera ao
in�nito. Um exemplo é a Terra, cujo raio é R ≈ 6, 37 ∗ 106m, o que
dá:
ζ ≈ 4π ∗ 6, 37 ∗ 106m ∗ 8, 85 ∗ 10−12 Fm≈ 710µF (12)
o que é considerável para que se possa escoar bastante carga para a
Terra sem alterar apreciavelmente seu potencial ("ligação terra").
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Associação de Capacitores
As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um
condutor único, de carga:
Q = Q1 +Q2 +Q3 = ζ1V + ζ2V + ζ3V = (ζ1 + ζ2 + ζ3)V = ζeqV(13)
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Associação de Capacitores
As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um
condutor único, de carga:
Q = Q1 +Q2 +Q3 = ζ1V + ζ2V + ζ3V = (ζ1 + ζ2 + ζ3)V = ζeqV(13)
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Associação de Capacitores
As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um
condutor único, de carga:
Q = Q1 +Q2 +Q3 = ζ1V + ζ2V + ζ3V = (ζ1 + ζ2 + ζ3)V = ζeqV(13)
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Associação de Capacitores
As placas superiores de uma conexão em paralelo formam um
condutor único, de carga:
Q = Q1 +Q2 +Q3 = ζ1V + ζ2V + ζ3V = (ζ1 + ζ2 + ζ3)V = ζeqV(13)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Agora, numa asociação em série de capacitores:
A diferença de potencial entre as extremidades é:
V =Q
ζ1+
Q
ζ2+
Q
ζ3= Q
(1
ζ1+
1
ζ2+
1
ζ3
)= Q
(1
ζeq
)(14)
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Agora, numa asociação em série de capacitores:
A diferença de potencial entre as extremidades é:
V =Q
ζ1+
Q
ζ2+
Q
ζ3= Q
(1
ζ1+
1
ζ2+
1
ζ3
)= Q
(1
ζeq
)(14)
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Agora, numa asociação em série de capacitores:
A diferença de potencial entre as extremidades é:
V =Q
ζ1+
Q
ζ2+
Q
ζ3= Q
(1
ζ1+
1
ζ2+
1
ζ3
)= Q
(1
ζeq
)(14)
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Agora, numa asociação em série de capacitores:
A diferença de potencial entre as extremidades é:
V =Q
ζ1+
Q
ζ2+
Q
ζ3= Q
(1
ζ1+
1
ζ2+
1
ζ3
)= Q
(1
ζeq
)(14)
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ
=⇒ U =1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒
U =1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Energia Eletrostática
Consideremos a carga gradual do capacitor por uma bateria. Num
instante em que a carga armazenada é q, a diferença de potencial
instantânea entre as placas é V = qζ , e a bateria realiza um
trabalho V dq para transferir uma carga adicional dq. Logo:
dU = V dq =q dq
ζ=⇒ U =
1
ζ
q=Q∫q=0
q dq =q2
2ζ
∣∣∣∣∣ζ
0
(15)
o que dá:
U =Q2
2ζ=
1
2ζV 2 =
1
2QV (16)
para a energia total armazenada até atingir a carga �nal Q.
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2
=ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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Para um capacitor plano, isto leva a:
U =1
2
ε0A
dV 2 =
ε02Ad
(V
d
)2
=ε02~E 2Ad (17)
Logo, podemos pensar na energia como estando armazenada no
campo, no espaço entre as placas, como uma densidade de
energia:
u =U
Ad=ε02~E 2 (18)
Consideremos agora uma esfera condutora, isolada, com carga Q.
Tratando-a como um capacitor, a energia potencial armazenada é:
U =Q2
2ζ=
Q2
8πε0R(19)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r)
=ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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o que também resulta de ser:
V =Q
4πε0R(20)
o potencial na superfície, e de ser:
1
2
∫VσdS =
1
2QV (21)
a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com
densidade σ. Supondo (18) válida, então:
u(~r) =ε02~E 2(~r) =
ε02
Q2
16π2ε20r4
(22)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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Logo, a energia contida numa camada esférica de raio r e espessura
dr seria:
dU(r) = 4πr2dr u(r) =Q2
8πε0r2dr (23)
e a energia total contida no campo seria:
U =Q2
8πε0
∞∫R
dr
r2︸︷︷︸= 1R
=Q2
8πε0R(24)
que concorda com (19). De modo geral, podemos a�rmar que:
U =ε02
∫~E 2(~r)dV =
1
2
∫ρ(~r)V (~r)dV (25)
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De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0
=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒
ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV (29)
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De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
De fato, se tomarmos a Equação de Poisson:
~∇ ∗ ~E =ρ
ε0=⇒ ρ = ε0~∇ ∗ ~E (26)
Então:
U =ε02(~r)~∇ ∗ ~EdV (27)
Aplicando a identidade:
~∇ ∗ (V ~E ) = V ~∇ ∗ ~E + E ~∇V = V ~∇ ∗ ~E − E 2 (28)
Temos:
UV =ε02
∫V
~E 2dV +ε02
∫V
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Pelo Teorema da Divergência:
∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV =
∮S
V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)
Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai
como 1R, ~E (~r) cai como 1
R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai
como 1R
e tende a zero para R →∞. Portanto:
U =ε02
∫~E 2dV (31)
onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Pelo Teorema da Divergência:∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV =
∮S
V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)
Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai
como 1R, ~E (~r) cai como 1
R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai
como 1R
e tende a zero para R →∞. Portanto:
U =ε02
∫~E 2dV (31)
onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Pelo Teorema da Divergência:∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV =
∮S
V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)
Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai
como 1R, ~E (~r) cai como 1
R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai
como 1R
e tende a zero para R →∞. Portanto:
U =ε02
∫~E 2dV (31)
onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Pelo Teorema da Divergência:∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV =
∮S
V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)
Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai
como 1R, ~E (~r) cai como 1
R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai
como 1R
e tende a zero para R →∞. Portanto:
U =ε02
∫~E 2dV (31)
onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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Capacitor PlanoCapacitor CilíndricoCapacitor Esférico
Associação de CapacitoresEnergia Eletrostática
Pelo Teorema da Divergência:∫V
~∇ ∗ (V ~E )dV =
∮S
V~r~E (~r) ∗ n̂ dS (30)
Se afastarmos a superfície S inde�nidamente, V (~r) sobre S cai
como 1R, ~E (~r) cai como 1
R2 e dS cresce como R2. Logo, a∮Scai
como 1R
e tende a zero para R →∞. Portanto:
U =ε02
∫~E 2dV (31)
onde integramos sobre todo o espaço, o que demonstra a (25).
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