AULA Calculo de areas 1 ATUALIZADO.pdf
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CLCULO DE REA DAS
FIGURAS PLANAS
Professor: Marcelo Silva
Natal-RN, agosto de 2013
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REAS
REA
A reunio de um polgono com sua regio interior denominada
superfcie do polgono. A medida da superfcie expressa por
um nmero real positivo e chamada rea do polgono.
Para medirmos a superfcie do polgono precisamos compar-la
com uma unidade de medida de rea. Essa unidade de medida
corresponde a uma figura unitria, isto , de dimenses unitrias.
A partir da, podemos verificar quantas vezes essa figura unitria
cabe na regio que queremos medir.
A unidade de rea utilizada uma regio quadrada cujo lado
mede uma unidade de comprimento. Qualquer regio quadrada
cujo lado mea 1 ter, por definio, rea igual a 1.
-
REAS
REA
A unidade padro de medida de rea o metro quadrado.
-
REA
Utilizamos o conceito de rea em vrias situaes do
cotidiano:
determinar a extenso de um terreno;
quantidade de lajotas para revestir um piso;
quantidade de tinta necessria para pintar uma casa, etc.
Exemplo: determinar a quantidade de lajotas quadradas com 15
cm de lado para revestir o piso de um banheiro de 2,3 m de
largura por 3 m de comprimento.
REAS
-
Figuras equivalentes
(equidecomponveis)
So figuras que mesmo tendo formatos diferentes, possuem
a mesma rea.
Uma propriedade interessante :
Se dois polgonos tm a mesma rea, sempre possvel
decompor um deles em polgonos menores, dois a dois
congruentes, de modo a preencher o outro.
REAS
-
Figuras equivalentes
(equidecomponveis)
Exemplos:
Transformao de um paralelogramo em um retngulo;
Transformao de um hexgono regular em seis tringulos equilteros.
REAS
-
Como se expressa o tamanho de sua superfcie?
RETNGULO
REAS
-
A rea de um retngulo a multiplicao do seu comprimento
por sua largura. A = CxL ou A = BxH
Considere um pequeno quadrado unitrio, isto , de rea 1
u.a. Vamos ver quantos quadrados com lado igual a 1 u.c.
podemos enfileirar para preencher o retngulo.
1
2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
16 u.c.
4 u
.c.
Comprimento = base
La
rgu
ra
=
alt
ura
O retngulo tem rea de 16 x 4 (u.c.) = 64 (u.c.)
-
A rea de um quadrado a multiplicao dos seu dois lados.
QUADRADO
REAS
Vamos rearrumar os 64 quadradinhos de modo a formar um
quadrado de 8 linhas e 8 colunas.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
lad
o
lado
A = LxL = L
-
Como se expressa o tamanho de sua superfcie?
PARALELOGRAMO
REAS
-
b
h A = b . h
REAS
PARALELOGRAMO
-
Como calcular sua rea?
Somente 24 pequenos quadrados de 1 u.a. esto na superfcie
interna. Os outros esto parte dentro e parte fora.
REAS
TRINGULO
Vamos tentar preencher o tringulo com os quadradinhos.
-
Base = b
Alt
ura
h
O que temos? Dois tringulos!!!
Vamos desenhar um paralelogramo e dividi-lo em duas partes
iguais.
REAS
TRINGULO
Sendo a rea do paralelogramo base x altura, a rea do tringulo
base x altura
2
-
REAS
TRINGULO
E QUANDO NO SE TEM BASE E/OU
ALTURA?????
-
REA DO TRINGULO EM FUNO
DOS LADOS E DO SENO
a b
c
h
sen = h / a => h = a sen
sen = h / b => h = b sen
A = c a sen 2
A = c b sen 2
REAS
-
4 m
45
REA DO TRINGULO EM FUNO
DOS LADOS E DO SENO
REAS
Determine a rea do tringulo abaixo.
2 2 m
2 2 4 45
2
senA
22 4
2A
2
24
2A
224 42
A m
-
TEOREMA DE HEIRO, HERON
OU HERO
REAS
-
P = 9 + 7 + 14
2
= 30
2
= 15
A = 15(15 9)(15 7)(15 14)
A = 15 6 8 1
A = 720
A = 720 26,8 cm
EXEMPLO - TEOREMA DE HERON
REAS
-
EXERCCIOS
REAS
1) Um terreno retangular tem 72m de permetro. O comprimento o dobro da largura. Calcule sua rea.
2) Numa figura retangular a diagonal mede 10cm e um dos lados mede 6cm. Calcule sua rea.
288m
48cm
3) Qual a rea de um paralelogramo no qual dois lados consecutivos medem 7 cm e 5 cm, sabendo-se que eles formam um ngulo de 120?
235 3 2
cm
-
EXERCCIOS
REAS
4) Uma piscina tem 8m de comprimento, 4m de largura e 1,20m
de profundidade. Deseja-se colocar azulejos quadrados de 0,20m
de lado nas paredes laterais e no fundo da piscina. Quantos
azulejos sero necessrios?
1520 azulejos
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TRINGULO EQUILTERO
REAS
. .
2
a b senCA
L
L
60
Empregando a frmula
3
22
L LA
2 3
4
LA
-
EXERCCIOS
REAS
5) Um tringulo issceles tem base medindo 8 cm e lados iguais
com medidas de 5 cm. A rea deste tringulo :
a) 20 cm2. b) 10 cm2. c) 24 cm2.
d) 18 cm2. e) 12 cm2.
6) Um pedreiro deseja cobrir o piso de uma sala com formato
retangular medindo 10 m por 4 m e, para isso, quer usar
cermicas com medidas de 20 cm por 20 cm. Considerando o que
foi dito, o nmero mnimo de cermicas que sero usadas igual
a:
a) 3100. b) 2100. c) 1500.
d) 1000. e) 500.
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EXERCCIOS
REAS
7) Num tringulo ABC, e a rea vale . Calcule a
medida do ngulo .
8) Sabendo que BD=12, qual a rea da figura?
3 e 2b c
30
6
4A
A