Aula 9 análise das equações de conservação. sistema físico modelo de camadas múltiplas...
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Aula 9
análise das equações de conservação
sistema físico
• modelo de camadas múltiplas
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura
Yb : cota do fundo
La
modelo conceptual
2dx hu ( )212
d d w
x x b bg h gh Y
d 0x hu q uh cte massa total
conservação da massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente
2 2(1 ) 1 (1 ) 1
u S u St b x b
u q u qY Y J
p h Fr p h Fr
hu
bY
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: cota do fundo
: velocidade média do escoamentoSq
J
equações de fecho:
: concentração de sedimentos
: declive da linha de energia
análise das equações
• motivação
t xC C G
considere-se a equação de advecção pura de uma grandeza C:
seja, para simplificar o cálculo, e G constantes. em particular, seja:
1
0G
considere-se o problema de valores iniciais e de fronteira representado por (A) e pelas condições de fronteira e iniciais:
( 0, ) 2C x t
( , 0) 1C x t
(A)
comportamento esperado: C
x
análise das equações
• motivaçãodiscretize-se a derivada espacial por diferenças “upwind” e a derivada temporal por diferenças de 1ª ordem:
1
1112
0n n n n
n ni i i ii i
C C C C
t x
i i+1i1
n
n+1
discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico considerando
1 11 12
n n n n n ni i i i i i
tC C C C
x
1t
x
• motivação
i i+1i1
n
n+1
discretize-se o domínio de cálculo em 10 secções de cálculo (9 trechos) e proceda-se ao cálculo numérico
11 2C
1 0 0 0 02 2 2 2 1 1 1 1 1 1
tC C C C
x
1 0 0 0 03 3 3 3 2 1 1 1 1 1
tC C C C
x
21 2C
2 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1 1 2 0
tC C C C
x
2 1 1 1 13 3 2 3 2 1 1 1 1 1
tC C C C
x
31 2C
3 2 2 2 22 2 2 2 1 0 1 0 2 2
tC C C C
x
3 2 2 2 23 3 2 3 2 1 1 1 0 2
tC C C C
x
análise das equações
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
11
n n n n ni i i i i
tC C C C
x
• motivação
i i+1i1
n
n+1
análise:
note-se que a derivada material de uma grandeza C se escreve, num referencial Eulereano:
d
d
x
t
análise das equações
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
d d0
d dt xC x
C Ct t
comparando com a equação (A) conclui-se que
i.e., tem o significado físico de uma velocidade de propagação
conclusão: existe uma velocidade física para a propagação de informação relativa a um fenómeno essencialmente advectivo e, também, uma velocidade numérica de propagação; num modelo numérico, terão que ser compatíveis!
• motivação
i i+1i1
n
n+1
direcção de propagação física: jusante para montante
1
análise das equações
direcção de propagação numérica: montante para jusante
1 1i ix x
t
se se colocar a condição de fronteira na secção correcta (jusante) e se discretizar o termo equação convectivo da equação (A) por diferenças finitas de 1ª ordem “downwind” obtém-se
1 11 12
n n n n n ni i i i i i
tC C C C
x
( , ) 2C x L t
( , 0) 1C x t -8
-3
2
7
0 2 4 6 8 10
x (m)
C (-
)
• objectivos da análise matemática dos modelos de transporte de sedimentos
- determinar as velocidades (magnitude e sentido) de propagação de informação inerentes ao modelo conceptual
análise das equações
- determinar a natureza da informação propagada
- determinação do número e natureza das condições de fronteira e iniciais
• aplicações
- escolha dos esquemas numéricos em face da correcta propagação da informação no domínio de cálculo
conservação da massa de sedimentos
2 2(1 ) 1 (1 ) 1
u S u St b x b
u q u qY Y J
p h Fr p h Fr
velocidade de propagação:
• exemplo, modelo #5
2(1 ) 1
u Ss
u q
p h Fr
s
t
x
P
1 0SFr 1 0SFr
t
x
P
s
grandeza transportada: bY
análise das equações
t b s x b sY Y J derivada temporal gradiente
velocidade de propagação termos de fonte
(perturbações na cota do fundo)
forma canónica não-conservativa de uma pde (equação diferencial parcial)
• exemplo, modelo #5
t
x
CF
Mt
x
1 condição de fronteira a montante
1 condição inicial
condições no contorno:
1Fr
I
CI
1Fr
CI
JCF
1 condição de fronteira a jusante
1 condição inicial
análise das equações
• problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem
quanto à determinação das velocidades de propagação, os conceitos fundamentais são:
análise das equações
t x V V GA B
linearidade/não linearidade
hiperbolicidade
forma canónica não-conservativa de um sistema de n pdes
A e B : por analogia com a equação diferencial única do exemplo anterior, as matrizes A e B dão conta das direcções e velocidades de propagação de informação física
V: vector das variáveis dependentes primitivas
G: vector dos termos de fonte (irrelevante para as velocidades de propagação)
• problema unidimensional, caso geral: sistema de n pdes de 1ª ordem
análise das equações
t x V V GA B
os sistemas de equações de conservação associados a processos fluviais são sistemas de pdes de 1ª ordem quasi-lineares, i.e., as matrizes A e B são função das variáveis dependentes primitivas mas não das suas derivadas.
linearidade/não linearidade
exemplo:
2t xhu hu ( )21
2w
x x b bg h gh Y
0t xY hu
(1 ) 0t b xp Y Cuh
b
h
u
Y
V
( )
0
0
w
b
G V
1 0 1
0
0 0 1
u h
p
A
( )TPCB
• hiperbolicidade do sistema
análise das equações
. o sistema é hiperbólico se tiver n direcções de propagação independentes
(ver acetato para a noção de fase, velocidades de fase = características do sistema)
definição:
. o sistema é hiperbólico se o polinómio característico
(ex: ) tiver n raízes reais distintas
. o sistema é hiperbólico se a matriz A-1B admitir n vectores próprios independentes
3 21 2 3 0a a a
0 B A
nota: as características do sistema permitem conhecer a velocidade e a direcção de propagação da informação no domínio; falta conhecer as grandezas efectivamente propagadas!
t x V V 0A B
• hiperbolicidade do sistema t x V V 0A B
exemplo: equações de Saint-Venantforma conservativa
2 212t xq q h gh gh i J
0t xh q
( ) ( )t x U V F V G
h
q
U q uh
análise das equações
t x xu g h u u g i J
0t x xh u h h u forma não-conservativa (TPC)
1 0
0 1
A u h
g u
B
polinómio característico 0 B A
det 0u h
g u
2 0u gh u gh
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
características do sistema:
análise das equações
(1) u gh propagação da informação para jusante (cheias)
(2) u gh propagação da informação para montante ou jusante (efeitos de regolfo)
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Fr ( )
/(gh
)0.5
(-)
(1)
(2)
(1)
t
x
P
(2)1 0Fr
escoamento lento
(2)
(2)1 0Fr
t
x
P
escoamento rápido
(1)(2)
t x V V 0A B
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
que informação é propagada ao longo das linhas características? ou...
análise das equações
t x V V 0A B
pode um sistema ser escrito na forma
?
t x V V 0M
t x W W 0Λ (1)
(2)
0
0
Λ
sim, pode, desde que, sendo S uma matriz de mudança de base, seja possível proceder à transformação
d dW VS
1 1t x
W W 0SS SMS
t t x x W V W VS S
1 1
t x
t x
V V
W W 0 S MS
t x W W 0Λ 1Λ SMS
nesse caso
com
variáveis características: informação propagada ao longo das linhas características
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
a matriz de mudança de base é, por definição composta pelos vectores próprios de M. em rigor, as linhas de S são os vectores próprios esquerdos de M.
análise das equações
t x V V 0A B
(1) (1)(1)
(2) (2)(2)
1 2
1 2
l l
l l
l
l
S
para as equações de Saint-Venant, B = M e os vectores próprios são:
(1) (1) (1)
(1)
1 2l l u h
g u
0 (2) (2) (2)
(2)
1 2l l u h
g u
0
(1) (1)
1 2u u gh hl l
g u u gh
0
(2) (2)
1 2u u gh hl l
g u u gh
0
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
análise das equações
t x V V 0A B
(1) (1)
1 2 gh hl l
g gh
0
(1) (1)
1 2 0l h l gh
(1)
2 1l
(1) (1)
1 2g
l lh
(1) 1g
h
l
(2) (2)
1 2
2
gh hl l
g gh
0
(2) (2)
1 2 0l h l gh
(2) (2)
1 2g
l lh
(2)
2 1l
(2) 1g
h
l
1
1
g
h
g
h
S
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
análise das equações
t x V V 0A B
1
1
g
h
g
h
Sd dW VS VW S
1 11hg
Wh
S 1 12 1u W S
2 21hg
Wh
S 2 22 1u W S
1 2W u gh
2 2W u gh
informação propagada ao longo de
informação propagada ao longo de
(1)
(2) t x W W 0Λ
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: equações de Saint-Venant
análise das equações
t x V V 0A B
ao longo de
ao longo de
(1)
(2)
t x W W 0Λ 1d d0 2 0
d d
Wu gh
t t
2d d0 2 0
d d
Wu gh
t t
(2)1 0Fr exemplo: escoamento lento
t
x
P
(1)(2)
2u
ghcte
2u
ghcte
• hiperbolicidade do sistemaexemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média
análise das equações
t x V V 0A B
2t xhu hu ( )21
2w
x x b bg h gh Y
0t t b xh Y hu
(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh
massa total
conservação da massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
o polinómio característico, , é .
tem três raízes reais distintas (três vectores próprios independentes).
é portanto um sistema hiperbólico!
3 21 2 3 0a a a 0 B A
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema t x V V GA B
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Fr ( )
/(gh
)0.5
(-)
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Fr ( )
/(gh
)0.5
(-)
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média
linhas características, comparação com as equações de Saint-Venant para água limpa
concentrações calculadas por: linha vermelha ( ) fórmula de Meyer-Peter & Muller; linha azul ( ) fórmula de Bagnold.
notas:
- (1) é, fundamentalmente, idêntica à água limpa;- (2) e (3) são afectadas pelo transporte de sedimentos;- se Fr < 0.7 o sistema exibe duas escalas distintas.
(1)
(3)
(2)
análise das equações
• hiperbolicidade do sistema t x V V GA B
exemplo: modelo #4 – equilíbrio, granulometria uniforme, velocidade média
t
x
(2)
P(1) (3)
Fr < 0.7 t
x
(2)
P(1)
(3)
Fr > 1.0
aspecto das linhas características (notar que as características não mudam de sinal com Fr... como se define o regime crítico?)
análise das equações
• estudo da hiperbolicidade; conclusõesseparação de escalas: se Fr < 0.7, (2) é aproximadamente igual a
e (3) é aproximadamente igual a s (justifica o modelo #5)u gh
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Fr ( )
/(gh
)0.5
(-)
2dx hu ( )212
d d w
x x b bg h gh Y
d 0x hu q uh cte massa total
massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
2 2(1 ) 1 (1 ) 1
u S u St b x b
u q u qY Y J
p h Fr p h Fr
{
análise das equações
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação.
resolução desacoplada (I) do sistema de equações porque
t
x
(2) P
1Fr t
x
(2)P
1Fr
- propagação na fase líquida resolvida como uma sucessão de regimes permanentes; velocidades de propagação (1) e (2) infinitas ((2) determina o sinal, consoante o número de Froude);
- num dado t, a equação da fase líquida é resolvida antes da equação relativa à evolução morfológica (problemas: ver acetatos).
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
(1) (2)s
s s
análise das equações
separação de escalas: se Fr < 0.7, o modelo #5 representa uma boa aproximação.
resolução desacoplada (II) do sistema de equações porque
t
x
0s
- num dado t, as equações (dinâmicas completas, ie. com termos de inércia local) da fase líquida são resolvidas antes das equações relativas à conservação da massa de sedimentos e do leito (problemas: ver acetatos).
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
(1) (2)s
(3)M(1)
- localmente:
análise das equações
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio:
(2)
M
t
x
(1)J
(3)
I
montante: hidrograma de caudais sólidos e líquidos
ou hidrograma de caudais sólidos e alturas do escoamento
jusante: curva de vazão (Fr < 1)
ou evolução temporal da cota do fundo
(Fr > 1)
iniciais: h, u e Yb
CFM 1
CFM 2CFJ
CIs
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
0 0 ( 0, )n ts sQ Q x t
0 ( 0, )n tQ Q x t
0 ( 0, )n tY Y x t
( )n t n tN NQ Q h
( , )n tbN bY Y x L t
análise das equações
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em equilíbrio:
(3)
M
t
x
(1)J
(2)
I
montante: notar que a variável dependente é a cota do fundo, Yb, mas a condição de fronteira relativa a s = (2) é expressa em termos de Qs.
há que converter, na vizinhança da fronteira, o caudal sólido em equilíbrio em cotas do fundo;
CFM 1
CFM 2CFJ
CIs
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
0 ( ), ( )b s sY F Q t Q t t
em modelos desacoplados este procedimento pode levar ao mau-condicionamento do problema (oscilações que crescem a partir da fronteira).
análise das equações
condições iniciais e de fronteira; exemplo: modelos de transporte em desequilíbrio (Cb é variável dependente):
t
x
CIs
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
I
CFM 1
CFM 2
M(3)
(4) 0 CFJ
(2)
J(1)
(4) 0
(2)
P(1) (3)
(4) 0
notas: i) Qs é facilmente introduzido na equação de conservação da massa de sedimentos na camada de transporte; ii) não se pode prescrever a cota do fundo nas fronteiras sob pena de provocar o mau condicionamento do problema.
análise das equações
condições iniciais e de fronteira:
- em geral, o número de condições independentes a especificar numa dada superfície de contorno é igual ao número de linhas características que “entram” por essa superfíce;
- simbolicamente:
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
( ) 0k C nem que C(k) é a expressão vectorial da linha caracterísitca cuja velocidade de fase é (k).
análise das equações
problemas descontínuos, soluções fracas.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3x ( L )
t (
T )
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
x (L)
u1 (
-)
t = 0.10 t = 0.40
(1)
w
( ) 0t xu f u
0t xu u
forma conservativa:
forma não-conservativa:
com:
2
2
d ( ) d ( )0 0
dd
f u u
uu
( ) é monotona crescenteu
o aparecimento de soluções descontínuas é inevitável!
análise das equações
problemas descontínuos, soluções fracas.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
( ) ( )t x U V F V 0
S U U F F
dx
dt
t1
t1+dt
x1 x1+dx
U+
U
caminho do choque
1 1
1 1
d d
d d
x x t t
t x
x t
t x
U F 0
1
1
1
1
d
1 1
d
1 1
( d ) ( )d
( d ) ( )d
x x
x
t t
t
t t t x
x x x t
U U
F F 0
1 1 1 1( d ) ( ) d ( d ) ( ) dt t t x x x x t U U F F 0
d)
d
x
t U U F F 0
análise das equações
soluções fracas – solução descontínua num número contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
L U U
R U U
teorema de Lax (1957): se i) o sistema de equações é estritamente hiperbólico, se os fluxos são funções contínuas e diferenciáveis e iii) se a amplitude da descontinuidade inicial é finita, então a solução do problema de Riemann consiste em n ondas (choques ou ondas de expansão), em que n é a dimensão da matriz jacobiana do sistema, mediados por n+1 estados constantes.
análise das equações
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
x
t
S
onda de expansão associada a
choque associado
a
* R
* R
uh uhS
h h
2 2 2 21 12 2* R
* R
u h gh u h ghS
uh uh
LU RU
*U
através do choque - condições de Rankine-Hugoniot:
através da onda de expansão – quasi-invariantes de Riemann:
1 2
d du d du du2
1 d/
h h gu gh cte
h hg hr r
análise das equações
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
solução para a onda de expansão:
L L2 2u gh u gh
d
d
x xu gh
t t { {
L2 3x
gh ght {
L2 1
3 2
xgh gh
t
L2
3
xu gh
t
* R * Rh h S uh uh
2 2 2 21 12 2* R * R
uh uh S u h gh u h gh
* * L L2 2u gh u gh
solução para o estado constante e para o choque:
incógnitas:
h*, u* e S
análise das equações
soluções fracas – solução descontínua num nuúmero contável de pontos.
exemplo: solução de Stoker do o problema de Riemann para as shallow-water equations.
• estudo da hiperbolicidade; conclusões
stoker's solution, = 0.20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x /t /(9.8h L)0.5
h/h
L
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u/(
9.8h
L)0.
5
stoker's solution, = 0.05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x /t /(9.8h L)0.5
h/h
L
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u/(
9.8h
L)0.
5
stoker's solution, = 0.00
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x /t /(9.8h L)0.5
h/h
L
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u/(
9.8h
L)0.
5
R R
* R
0 0 * R
lim limh h
uh uhS
h h
*max L2u gh
*
R
*0
L * L0
lim
lim 2 2
h
h
u
gh gh gh