Aula 8 . Inferência para várias populações normais . ANOVA
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Aula 8. Inferência para várias populações normais. ANOVA
Capítulo 15, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição
Análise de variância
(The ANalysis Of VAriance = ANOVA)
Experimentos com um fator.
http://www.uwsp.edu/psych/stat/12/anova-1w.htm
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
nxxx ,,, 21
amostra 1
população 1
população 2myyy ,,, 21
),(
,,,
21
21
NX
X
XXX
i
i
n
independentes
),(
,,,
22
21
NY
Y
YYY
i
i
m
independentes
amostra 2
μ1 e μ2 são iguais?
nxxx ,,, 21
amostra 1
(sub)população 1
(sub)população 2myyy ,,, 21
),(
,,,
21
21
NX
X
XXX
i
i
n
independentes
),(
,,,
22
21
NY
Y
YYY
i
i
m
independentes
amostra 2
μ1, μ2 e μ3 são iguais?
(sub)população 3pzzz ,,, 21
),(
,,,
23
21
NY
Y
ZZZ
i
i
p
independentes
amostra 2
Ideia básica: Vamos estimar a variância por dois métodos diferentes: um que não depende da veracidade de e outro que depende. Depois comparamos as duas estimativas. Se os grupos tiverem todos a mesma média (verdadeiro) as duas estimativas deverão ser próximas, senão deverão diferir significativamente.
Sentre grupos
k
i
n
jijTotal
i
yyS1 1
2)(
11 ,,1 njy j
22 ,,1 njy j
33 ,,1 njy j
y
k
i
n
jiij
k
iii
i
yyyyn1 1
2
1
2 )()(
1y
2y
3y
y
Decomposição de soma de quadrados total
k
i
n
jiij
k
iii
k
i
n
jijTotal
ii
yyyynyyS1 1
2
1
2
1 1
2 )()()(
k
i
n
jiijErro
k
iiiGroup
i
yyS
yynS
1 1
2
1
2
)(
)(
ErroGroupTotal SSS
Decomposição de soma de quadrados total
Height of tomato plants (in inches)
Treatments 1 2 3 74 76 87 68 80 91 77
Total 219 156 178 553Mean 73 78 89 79
1 -2 -2-5 2 24
k
i
n
jiij
k
iii
k
i
n
jijTotal
ii
yyyynyyS1 1
2
1
2
1 1
2 )()()(
1 4 425 4 416
58
-5 -3 8-11 1 12-2
25 9 64121 1 144
4368 310
73 78 89 79-6 -1 1036 1 100
3 2 2108 2 200 310
13
322212
312111
y
yyy
yyy
Total ErroGroup
Model
22 ,,1 njy j
33 ,,1 njy j
12
11 ,,1),( njNY j
diisãoY
nj
ki
NY
ij
i
iij
...2
,,1
,,1
),(.1 2
22
22 ,,1),( njNY j
32
33 ,,1),( njNY j
11 ,,1 njy j
Model
tesindependensãoY
nj
ki
NY
ij
i
iij
.2
,,1
,,1
),(.1 2
),0(
....2
,,1
,,1
.1
2
N
diisão
nj
ki
Y
ij
ij
i
ijiij
kiii
,,1
),0(
....2
,,1
,,1
.1
2
N
diisão
nj
ki
Y
ij
ij
i
ijiij
caso contrário
caso contrário
Inferência
k
i
n
jiij
k
iii
k
i
n
jijTotal
ii
yyyynyyS1 1
2
1
2
1 1
2 )()()(
ErroGroupTotal SSS
1. Se modelo vale e a hipótese nula é verdadeira: k 21
212
1
2
2
)(
k
k
iii
Group
yynS
2. Se modelo vale
kkN
k
i
n
jiij
Erro nnnN
yyS
i
212
2
1 1
2
2
)(
3. Então
kNkErro
Group FkNS
kSF
,1)/(
)1/(
Tabela de Análise de Variância
causas devariação
graus deliberades
somaquadrados
quadradosmédios
F-estatística níveldescritivo
entregrupos
k -1 SSGroup
SSErro
SSTotal
N - k
MSSGroup=SSGroup/(k-1)
MSSErro=SSErro/(N - k)
MSSGroup
MSSErro
dentrogrupos
total N -1
p
Tabela de Análise de Variância
causas devariação
graus deliberades
somaquadrados
quadradosmédios
F-estatística níveldescritivo
entregrupos
3 -1=2 310
58
368
7-3=4
310 / 2 =155
58 / 4 = 14.5
15514.5
dentrogrupos
total 7-1=6
0.025=10.7
Exemplo (Exemplo 15.2 Bussab&Morettin)
Uma escola analisa seu curso por meio de um questionário com 50 questões sobre diversos aspectos de interesse. Cada pergunta tem uma resposta, numa escala de 1 a 5, em que a maior nota significa melhor desempenho. Na última avaliação, usou-se uma amostra de alunos de cada período, e os resultados estão na tabela abaixo.
Período
Manhã Tarde Noite
4.2 2.7 4.6
4.0 2.4 3.9
3.1 2.4 3.8
2.7 2.2 3.7
2.3 1.9 3.6
3.3 1.8 3.5
4.1 3.4
2.8
Existem as indicações estatísticas para dizer que o desempenho no curso tem uma influencia de período de aplicação do curso?
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html
On-line ANOVA http://faculty.vassar.edu/lowry//anova1u.html