Aula 4 Otimização e...
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 4 Otimização e Discretização
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
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Forma adimensional das equações
Motivação: às vezes, as equações são normalizadas para:
• facilitar as mudanças de escala dos resultados obtidos para condições de fluxo reais
• evitar arredondamento devido a manipulações com números grandes / pequenos
• avaliar a importância relativa de termos nas equações do modelo
Variáveis e os números adimensionais:
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Simplificações do modelo
Objetivo: obter soluções analíticas / reduzir o custo computacional
Outras simplificações: Stokes flow, camada limite, eqs. Inviscidas, potenciais, etc...
Derivação de um modelo simplificado:
1. determinar o tipo de fluxo a ser simulado 2. separar efeitos importantes e sem importância 3. deixar características irrelevantes fora de consideração 4. omitir termos redundantes nas equações do modelo 5. prescrever condições iniciais / limite adequadas
Eqs. Navier-Stokes p/
escoamento compressível
Eqs. Navier-Stokes p/
escoamento incompressível
Eqs. Euler p/ escoamento
compressível
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Escoamentos incompressíveis viscosos
Seja
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Problemas de convecção natural
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Escoamentos incompressíveis viscosos
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Escoamentos incompressíveis invíscidos
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Equações de Euler compressíveis
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Classificação das equações diferenciais parciais
EDPs podem ser classificadas como hiperbólicas, parabólicas e elípticas Cada classe de PDEs modela um tipo diferente de processos físicos
• O número de condições iniciais e/ou limite depende do tipo de EDP
• Métodos de solução diferentes são necessários para EDPs de tipo diferente
Hiperbólicas As informações se propagam em certas direções em velocidades finitas
A solução é uma superposição de várias ondas simples
Parabólicas As informações viaja a jusante / frente no tempo
A solução pode ser construída usando um método de passos / tempo
Elipticas As informações se propagam em todas as direções a uma velocidade infinita
Descreve fenômenos de equilíbrio (problemas elipticos nunca são instáveis)
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Classificação das equações diferenciais parciais
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Classificação das EDPs de segunda ordem
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Forma quase-linear
Solução de onda plana
Onde n=s é a normal à superfície característica s(x,t)=const
Sistemas Hiperbólicos: Existem D normais reais n(k), k = 1,. . . , D
e as soluções dos sistemas associados são linearmente independentes
Sistemas Parabólicos: Existem menos de D soluções reais n(k) e
Sistemas Elipticos: Não existem normais reais n(k) não existem soluções com
características de ondas.
Classificação de sistemas de EDPs de primeira ordem
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EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem
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EDP de segunda ordem como um sistema de EDPs de primeira ordem
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Interpretação geométrica de uma EDP de segunda ordem
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Objetivo: para aproximar a EDP por um conjunto de equações algébricas
EDP estacionária (elíptica)
Condição de contorno de Dirichlet
condição limite de Neumann
condições de fronteira de Robin
Problema dos valores limite: BVP = EDP + condições de contorno
Introdução: problemas simplificados 1D e 2D
1. –Du = f equação de Poisson
2. ·(uv) = ·(du) convecção-difusão
Técnicas de Discretização do Espaço
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Malhas computacionais
Os graus de liberdade para a solução aproximada são definidos em uma malha computacional que representa a uma subdivisão do domínio em células e/ou elementos.
estruturada em blocos estruturada não estruturada
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Malhas Estruturadas (regulares)
• As famílias de linhas de grade não se cruzam .
• Topologicamente equivalente a grade cartesiana de modo que cada ponto de grade (ou VC) é exclusivamente definida por dois índices em 2D índices ou três em 3D.
• Pode ser do tipo H (não periódica), O (periódica) ou C (periódica com cúspide).
• Limitada aos domínios simples.
• Refinamento da malha local afeta outras regiões.
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Malhas bloco-estruturadas
• Subdivisão de vários níveis do domínio com redes estruturadas dentro de blocos.
• Podem ter não-correspondência.
• Tratamento especial é necessária nas interfaces dos blocos.
• Maior flexibilidade.
• Refinamento local pode ser realizada blockwise.
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Malhas não-estruturadas
• Adequadas para domínios arbitrários e passíveis de refinamento de malha adaptativa.
• Consistem em triângulos ou quadriláteros em 2D, tetraedros ou hexahedra em 3D.
• As estruturas complexas de dados, padrão de dispersão irregular, difícil de executar.
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Técnicas de discretização
Diferenças finitas / forma diferencial • Derivadas de aproximação nodal • simples e eficazes, fáceis de gerar • limitada a malhas estruturadas
Volumes finitos / forma integral • aproximação de integrais • conservativa por construção • adequado para malhas arbitrárias
Elementos finitos / forma fraca • formulação ponderada residual • notavelmente flexível e geral • adequado para malhas arbitrárias