Aula 4 - Elementos Planimétricos
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Elementos Planimtricos
Prof.: Rogrio Dias Dalla Riva
ESTRADAS I
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Elementos Planimtricos
1.Consideraes Iniciais
2.Estaqueamento
3.Concordncia com Curva Circular Simples
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1. Consideraes Iniciais
Elementos do eixo de uma rodovia
Poligonal aberta, orientada, cujos alinhamentos so concordados, nos vrtices, por curvas horizontais
O eixo compreende trechos retos e curvos; na terminologia de projeto geomtrico, os trechos retos do eixo so denominados tangentes (no sendo chamados retas)
O eixo orientado, isto , tem um ponto de origem e um sentido de percurso definidos; as curvas horizontais podem ser curvas direita ou curvas esquerda, conforme o sentido de desenvolvimento das curvaturas
As distncias so sempre tomadas horizontalmente, sendo expressas em metros, com a preciso padronizada de 0,01 m
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2. Estaqueamento
Elementos do eixo de uma rodovia
Estacas marcadas a cada 20,00 m de distncia a partir do ponto de incio do projeto e numeradas sequencialmente
Estaca 0 (zero) representada por 0 = PP (estaca zero = Ponto de Partida; os demais pontos, equidistantes de 20,00 m, constituem as estacas inteiras (estaca 1, estaca 2, )
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2. Estaqueamento
Elementos do eixo de uma rodovia
Tangentes: no ocorre perda de preciso terica quando se medem distncias ao longo de retas; o procedimento de marcao no oferece dificuldades maiores
Curvas: ocorre alguma perda de preciso, pois as distncias (reais ou de projeto) entre as estacas correspondem a comprimentos de arcos de curvas, ao passo que as medidas de distncias no campo, quando da marcao das posies das estacas com os recursos normais da topografia, so sempre tomadas ao longo de segmentos retos
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2. Estaqueamento
RAIOS DE CURVA (R) CORDA MXIMA (c)
R < 100,00 m 5,00 m
100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m
R > 600,00 m 20,00 m
Tabela 4.1 Cordas admissveis para as curvas
Fonte: Manual de projeto de engenharia rodoviria (DNER, 1974, v.3, cap. 9, p.4).
Visando minimizar esses erros de mensurao e de referenciamento dos trechos curvos do eixo, as normas do DNIT estabelecem a obrigatoriedade de se marcar, nos trechos em curva, alm dos pontos correspondentes s estacas inteiras, outros pontos correspondentes a estacas intermedirias de forma a melhorar a preciso na caracterizao do eixo nas curvas, por meio de cordas
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2. Estaqueamento
Notao quilomtrica
Exemplo: Estaca situada a 5.342,87 m da origem
Mtodo convencional de estaqueamento: estaca 267 + 2,87 m
Notao quilomtrica: km 5 + 342,87 m
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3. Concordncia com Curva Circular Simples
Esquema da concordncia com curva circular simples
Para a concordncia de dois alinhamentos retos que se interceptam em um vrtice, utiliza-se geralmente, no projeto geomtrico de rodovias, a curva circular
Vantagens: Esta preferncia devido s boas propriedades que a curva circular oferece tanto para trfego, pelos usurios da rodovia, como para o prprio projeto da curva e para a sua posterior materializao no campo, por processos de locao
A
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3. Concordncia com Curva Circular Simples
Esquema da concordncia com curva circular simples
PI: Ponto de Interseo
PC: Ponto de Curva PT: Ponto de Tangente
I: ngulo de Deflexo
AC: ngulo Central
T: Tangente Externa ou Exterior (m)
D: Desenvolvimento (ou Comprimento) da Curva Circular (m)
R: Raio da Curva Circular (m)
O: Centro da Curva Circular (m)
A
A: Afastamento
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3.1 Clculo da Concordncia
Esquema da concordncia com curva circular simples
A
As normas do DNIT estabelecem tambm, para cada classe de projeto e para as diferentes condies de relevo da regio atravessada (que condicionam as velocidades diretrizes de projeto), os valores de raios mnimos a serem utilizados nos projetos das concordncias horizontais, observadas as superelevaes mximas recomendadas para cada caso (vide valores constantes nas Tabelas 2.3.a, 2.3.b, 2.4 e 2.5)
AC = I
-
A
3.1 Clculo da Concordncia
tg2
ACT R
180
R ACD R AC
sec 12
ACA R
EST PC EST PI T
EST PT EST PC D
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3.1 Clculo da Concordncia
Exemplo 4.1: Para ilustrar o procedimento de clculo com concordncias com curvas circulares simples, imagine-se o projeto de um eixo, com os alinhamentos definidos na forma da figura a seguir, no qual se queira efetuar as concordncias com os raios de curva R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m
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3.1 Clculo da Concordncia
Alinhamentos para clculo de concordncias
Use as frmulas do slide 11 para determinar as tangentes, os desenvolvimentos e as estacas
correspondentes aos pontos PC1, PT1, PC2, PT2 e PF
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3.1 Clculo da Concordncia
Desenho do eixo projetado
Desenhado de acordo com as convenes recomendadas pelo DNIT, na forma indicada pelo Manual de servios de consultoria para estudos e projetos rodovirios (DNER, 1978, v.2)
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3.2 Locao de Curvas Circu-lares
Locao por deflexes acumuladas
A locao dos trechos em curva deve ser feita por mtodo apropriado, j que no praticvel riscar a curva no terreno com auxlio de algum compasso, e nem se conseguem visadas curvas ou marcao de distncias curvas com os recursos da topografia Processo de locao por deflexes acumuladas: consiste no
posicionamento de pontos da curva a partir das medidas dos ngulos de deflexo em relao tangente curva onde est instalado o teodolito, e das respectivas distncias, medidas ao longo da curva, desde o teodolito at os pontos em questo
A preciso resulta aceitvel, para os fins prticos, quando se marcam as curvas com pontos que compreendam cordas no superiores a 20,00 m, a 10,00 m ou a 5,00 m, dependendo dos raios das curvas, de acordo com o indicado na Tabela 4.1 slide 6
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3.2.1 Grau de Curva
Grau da curva circular para uma corda c
c MN
cG MONO grau de uma curva (Gc) para uma determinada corda (c) , por definio, o ngulo central que corresponde corda considerada
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3.2.1 Grau de Curva
Grau da curva circular para uma corda c
2: 2
c
cG MP
OPM senR R
22
c
cG arcsen
R
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3.2.1 Grau de Curva
Exemplo 4.2: Na concordncia projetada para o PI1, no Exemplo 4.1, foi utilizada uma curva circular com raio R1 = 200,00 m, em funo do qual deve ser considerada, como j visto, corda de 10,00 m
Use a frmula do slide 17 para determinar o Grau da Curva para essa corda, que ser representada por G10
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Deflexo da curva circular para uma corda c
lc
3.2.2 Deflexes de uma Curva Circular
1
2c cd G
cc l
Embora no seja matematicamente exato, considera-se que a deflexo para um arco de 5,00 m, de 10,00 m ou de 20,00 m (conforme o raio da curva), seja igual, respectivamente, deflexo para uma corda de 5,00 m, de 10,00 m ou de 20,00 m
A deflexo (dc) de uma curva circular, para uma corda c, o ngulo formado entre essa corda e a tangente curva em uma das extremidades da corda
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3.2.2 Deflexes de uma Curva Circular
Exemplo 4.3: O grau da curva circular de raio R = 200,00 m G10 = 25154, conforme visto no Exemplo 4.2. A deflexo para uma corda de 10,00 m resulta, portanto:
Use a frmula do slide 19 para determinar a Deflexo da Curva para essa corda, que ser representada por d10
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3.2.3 Deflexo por Metro
cm
dd
c
dm: valor da deflexo para o arco (ou corda) de 1,00 m. Usado quando a deflexo da curva no coincide com os valores de 5,00 m, 10,00 m ou 20,00 m
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3.2.3 Deflexo por Metro
Exemplo 4.4: O valor da deflexo por metro para a curva circular com raio R = 200,00 m utilizado na concordncia projetada para o PI1, no caso do Exemplo 4.1, calculado por meio da frmula do slide 21, resulta
Use a frmula do slide 21 para determinar a Deflexo por Metro para essa corda, representada por dm
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3.2.3 Deflexo por Metro
l md l d
dl: valor da deflexo que corresponde a um arco de comprimento l.
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3.3 Mtodos de Locao
Mtodos de locao
Locao por estaca fracionria
Locao por estaca inteira
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3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Exemplo 4.5: Na Figura a seguir est ilustrado, em escala deformada, o trecho inicial da curva projetada para a concordncia do PI1, no Exemplo 4.1
Preencha a caderneta de locao do slide 36
-
Locao por estaca fracionria
X, Y e Z cordas inteiras (c = 10,00 m)
Y = 5 + 11,07 m
X = 5 + 1,07 m
Z = 6 + 1,07 m
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
So locados pontos que correspondem a arcos inteiros, i.e., mltiplos do valor da corda c
-
Locao por estaca fracionria
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Em X (corda = cx; ngulo central = G10)
dx = d10
Em Y (corda = cy; ngulo central = 2.G10)
dy = dx + d10 = 2.d10
Em Z (corda = cz; ngulo central = 3.G10)
dz = dy + d10 = 3.d10
-
Locao por estaca fracionria
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
dy = 1o2557 + 1o2557 = 2o5154
dz = 2o5154 + 1o2557 = 4o1751
dx = 1o2557
-
Locao por estaca fracionria
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Instalando-se o teodolito no PC1 e tomando-se a direo da tangente curva como origem para a contagem de ngulos, posiciona-se a visada correspondente deflexo dX = 12557, e marca-se o comprimento correspondente ao arco de 10,00 m (substitudo pela corda) ao longo do alinhamento visado, obtendo-se a posio do ponto X
-
Locao por estaca fracionria
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
A seguir, mantido o teodolito estacionado no mesmo ponto, gira-se a luneta at se obter a visada correspondente deflexo acumulada para o arco de 20,00 m (dY = 25154), e mede-se o comprimento do arco de 20,00 m; para tanto, basta tomar a medida de 10,00 m a partir do ponto X, de modo que a extremidade da medida coincida com a linha de visada, obtendo-se a posio do ponto Y
-
Locao por estaca fracionria
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Ainda com o teodolito posicionado no PC1, pode-se repetir o procedimento para a marcao das demais estacas fracionrias correspondentes s cordas de 10,00 m; assim, para a materializao da prxima estaca (ponto Z), posiciona-se a visada correspondente deflexo acumulada (dZ = 41751), para um arco de 30,00 m, e mede-se esse arco acrescentando uma medida de 10,00 m a partir do ponto Y, obtendo-se a posio do ponto Z ao se interceptar a extremidade dessa medida com a linha de visada
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3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Caso exista alguma obstruo que impea as visadas a partir do teodolito instalado no PC1, pode-se mudar a posio do teodolito, instalando-o no ltimo ponto locado da curva, e reiniciando a locao a partir da. Para isso, ser necessrio obter a direo da tangente curva nesse ponto, que ser a nova referncia (ou origem) para a contagem dos ngulos de deflexo.
Mudana de aparelho na locao da curva circular
-
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
A direo da tangente pode ser obtida conhecendo-se o ngulo entre a ltima corda (cZ) e a tangente cuja orientao se quer determinar, ngulo esse que denominado ngulo de r, em contraposio ao ngulo correspondente ao da ltima deflexo visada antes da mudana de instalao do teodolito (dZ), e que denominado ngulo de vante. Por simetria, o ngulo de r igual ao ngulo de vante, quando se tratar de curvas circulares simples
Mudana de aparelho na locao da curva circular
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3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Instalando-se ento o teodolito na nova estao (no ponto Z), visa-se a estao anterior (PC1) e fixa-se a visada que corresponde a um giro de 41751 (ngulo de r), obtendo-se a direo da tangente no sentido contrrio ao da locao. Para se obter a orientao correta, basta agora girar a luneta em 180, ou ento mergulhar a luneta, girando-a no sentido vertical. Assim, com o teodolito instalado no ponto Z e com as novas contagens de ngulos referenciadas tangente curva nesse ponto, pode-se marcar os demais pontos de interesse da curva circular
Mudana de aparelho na locao da curva circular
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3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Locao da ltima estaca
Estaca fracionria 8 + 11,07 m, remanescendo um arco fracionrio de 4,51 m de comprimento
(PT1 = 8 + 15,58 m)
4,51
o o
4,51
4,51
4,51 0 08 36 0 38 47
l m md l d d d
d
-
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Tabela 4.2 Locao da curva por estaca fracionria
ESTACAS ARCOS (m)
DEFLEXES AZIMUTES OBSERVAES
SIMPLES ACUMULADAS
PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1
Caderneta de locao
-
3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria
Tabela 4.2 Locao da curva por estaca fracionria
ESTACAS ARCOS (m)
DEFLEXES AZIMUTES OBSERVAES
SIMPLES ACUMULADAS
PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1
5 + 1,07 m 10,00 12557 12557
5 + 11,07 m 10,00 12557 25154
Z = 6 + 1,07 m 10,00 12557 41751 633542 R = 41751
6 + 11,07 m 10,00 12557 12557
7 + 1,07 m 10,00 12557 25154
7 + 11,07 m 10,00 12557 41751
8 + 1,07 m 10,00 12557 54348
8 + 11,07 m 10,00 12557 70945
PT1 = 8 + 15,58 m 4,51 0o3847 74832 791246 R = 74832
-
3.3.2 Locao por Estaca In-teira
Marcam-se os pontos que correspondem s estacas inteiras e mltiplas da corda mxima
permitida para a locao da curva circular
Estaca fracionria na locao do primeiro ponto
da curva (PC)
Pontos intermedirios da curva (arcos de comprimentos inteiros)
Procedimento de clculo o mesmo que o da locao por estaca fracionria
Estaca fracionria na locao do ltimo ponto da
curva (PT)
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3.3.2 Locao por Estaca In-teira
Exemplo 4.6: Utilizando a mesma concordncia horizontal que serviu para exemplificar o tipo de locao anterior, pode se calcular os elementos para a locao da curva circular por estaca inteira, chegando-se aos resultados que constam na Tabela 4.3
Preencha a caderneta de locao do slide 40, com mudana de teodolito nas estacas 6, 7 e 8
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3.3.2 Locao por Estaca In-teira
ESTACAS ARCOS (m) DEFLEXES
AZIMUTES OBSERVAES SIMPLES ACUMULADAS
PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1
Tabela 4.3 Locao da curva por estaca inteira
-
3.3.2 Locao por Estaca In-teira
ESTACAS ARCOS (m) DEFLEXES
AZIMUTES OBSERVAES SIMPLES ACUMULADAS
PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1
5 + 0,00 m 8,93 11648 11648
5 + 10,00 m 10,00 12557 24245
6 + 0,00 m 10,00 12557 40842 631724 R = 40842
6 + 10,00 m 10,00 12557 12557
7 + 0,00 m 10,00 12557 25154 690112 R = 25154
7 + 10,00 m 10,00 12557 12557
8 + 0,00 m 10,00 12557 25154 744500 R = 25154
8 + 10,00 m 10,00 12557 12557
PT1 = 8 + 15,58 m 5,58 0o4759 21356 791252 R = 21356
Tabela 4.3 Locao da curva por estaca inteira
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
Exemplo 4.1 Utlizados raios de curvas inteiros (R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m)
Clculos para fins de locao de curvas deflexes fracionrias demandando arredondamentos
Dificulta o posicionamento das visadas no campo (d10 = 1o2557 e dm = 0o0836)
Melhor seria se as deflexes de interesse resultassem inteiras ou, pelo menos, mltiplas de valores que possam ser facilmente marcados nas
visadas dos teodolitos empregados para as locaes
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
8md
Exemplo
o
10 10 10 8 1 20 00md d
Fcil definio em teodolitos convencionais
Qual o valor correspon-dente a uma corda de 10,00 m (d10)?
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
Combinando as frmulas abaixo:
22
c
cG arcsen
R
Obtemos
2 sen c
cR
d
1
2c cd G
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
Exemplo 4.7: Utilizando a frmula do slide anterior, calcule o valor do raio ao qual correspondem as deflexes inteiras que interessam (dm = 8 e d10 = 12000), com o devido arredondamento
Use a frmula do slide 44
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
o10,00
2 sen 1 20 00R
214,88mR
O valor encontrado para o raio compatvel com o tamanho da corda utilizada (c = 10,00 m), de acordo com o DNIT
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
R < 100,00 m
c = 5,00 m 100,00 m < R < 600,00 m
c = 10,00 m R > 600,00 m
c = 20,00 m
R
(m) d5 =
G5/2 dm
R
(m) d10 =
G10/2 dm
R
(m) d20 =
G20/2 dm
31,86 43000 54 107,47 24000 16 644,60 0o5320 240
34,41 41000 50 122,81 22000 14 736,68 0o4640 220
39,09 34000 44 143,27 20000 12 859,46 0o4000 200
45,26 31000 38 171,91 14000 10 1.031,34 0o3320 140
50,58 25000 34 214,88 12000 8 1.289,17 0o2640 120
61,41 22000 28 286,49 10000 6 1.718,88 0o2000 100
71,63 20000 24 343,79 05000 5 2.578,32 1o1320 040
85,96 14000 20 429,73 04000 4 3.437,75 0o1000 030
95,50 13000 18 572,97 03000 3 5.156,62 0o0640 020
Tabela 4.4 Raios de curva tabelados
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
Exemplo 4.8: Considerando os alinhamentos representados no slide 13 e projetando nova concordncia horizontal para o PI1, com curva circular simples de raio R = 214,88 m, chega-se determinao de outras posies para os pontos singulares (PC1 e PT1). Calcule esses pontos e os ngulos de deflexo para a locao por estaca fracionria, organizando os resultados na forma de caderneta de locao. Mude a posio do teodolito nas estacas 6 + 7,88 m e 7 + 7,88 m
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
ESTACAS ARCOS (m) DEFLEXES
AZIMUTES OBSERVAES SIMPLES ACUMULADAS
Tabela 4.5 Locao por estaca fracionria: raio tabelado
-
3.4 Raios de Curva Tabelados
ESTACAS ARCOS (m) DEFLEXES
AZIMUTES OBSERVAES SIMPLES ACUMULADAS
PC1 = 4 + 7,88 m - - - 550000 Tangente 0-PC1
4 + 17,88 m 10,00 12000 12000
5 + 7,88 m 10,00 12000 24000
5 + 17,88 m 10,00 12000 40000
6 + 7,88 m 10,00 12000 52000 654000 R = 52000
6 + 17,88 m 10,00 12000 12000
7 + 7,88 m 10,00 12000 24000 710000 R = 24000
7 + 17,88 m 10,00 12000 12000
8 + 7,88 m 10,00 12000 24000
8 + 17,88 m 10,00 12000 40000
PT1 = 8 + 18,68 m 0,80 00624 40624 791248 R = 40624
Tabela 4.5 Locao por estaca fracionria: raio tabelado