Aula 4: C´ırculos - Universidade Federal Fluminense · 2018. 8. 27. · Aula 4 Lhaylla Crissaff...
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Geometria Basica
Aula 4: Cırculos
Lhaylla CrissaffDepartamento de Geometria
Universidade Federal Fluminense
2018
CırculosDefinicao 1. Cırculo e uma figura geometrica formada por todos os pontosdo plano que estao a uma mesma distancia de um ponto fixado do plano. Oponto fixado e chamado de centro do cırculo, e a distancia de qualquer pontodo cırculo ao centro e chamada raio do cırculo. Tambem chamamos de raioqualquer segmento que liga o centro a um ponto do cırculo.
Cırculo γ de centro O e raio r.
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Cırculos
Qualquer segmento ligando dois pontos de um cırculo e chamado decorda. Uma corda que passa pelo centro e chamada de diametro.
A medida de um diametro e tambem chamada de diametro.
AB e CD sao cordas do cırculo γ de centro O. Em especial, AB e umdiametro.
Um cırculo divide o plano em duas regioes: interior do cırculo e exteriordo cırculo. Um ponto esta no interior (ou dentro) de um cırculo de raio r se
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a distancia desse ponto ao centro do cırculo for menor do que r. Se essadistancia for maior do que r, o ponto esta no exterior (ou fora) do cırculo.
Considere um angulo AOB e, com centro em O e trace um cırculo de raioqualquer.
Esse cırculo intersecta os lados de AOB nos pontos A1 e B1. O angulo
AOB divide o cırculo em dois arcos, que serao denotados por_
A1XB1 (o que
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contem X) e_
A1Y B1 (o que contem Y ).
Quando AOB mede 180◦, dizemos que o arco_
A1XB1 (e tambem o arco_
A1Y B1) e um semicırculo. Entao, cada um dos arcos determinados por umareta que corta o cırculo passando pelo centro e um semicırculo.
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A medida de um semicırculo, por definicao, e 180◦ e de um cırculo inteiroe 360◦.
Definicao 2. Dado um angulo agudo AOB e um cırculo centrado em O, amedida do menor arco determinado por AOB e a mesma medida de AOB ea medida do maior arco determinado por AOB e 360◦ −m(AOB).
NOTACAO: o arco_
A1XB1 mede m(_
A1XB1).
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Posicoes relativas entre retas e cırculos
Dados um reta r e um cırculo γ no plano, existem tres possibilidades:
• r nao intersecta γ (r e exterior a γ);
• r intersecta γ em um ponto (r e tangente a γ);
• r intersecta γ em dois pontos (r e secante a γ).
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Posicoes relativas entre retas e cırculos
Considere agora um cırculo γ de centro no ponto O, um ponto A ∈ γ eo segmento OA que liga o centro do cırculo ao ponto A. Seja r a reta quepassa por A e e perpendicular ao segmento OA.
CONCLUSAO: r e tangente ao cırculo.
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Posicoes relativas entre retas e cırculos
Na verdade, e possıvel demonstrar que:
• Toda reta tangente a um cırculo e perpendicular ao raio no ponto detangencia.
• Toda reta perpendicular a um raio em sua extremidade e tangente aocırculo.
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Posicoes relativas entre cırculos
Dados dois cırculos, temos as seguinte possibilidades:
• os dois cırculos nao se intersectam;
• os dois cırculos se intersectam em um ponto;
• os dois cırculos se intersectam em dois pontos.
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Cırculos que nao se intersectam
Neste caso, ha duas possibilidades:
• cada cırculo esta contido no exterior do outro ou
• um dos cırculos esta contido no interior do outro.
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Cırculos secantes
Dizemos que dois cırculos sao secantes quando eles se intersectam emdois pontos.
Neste caso, e possıvel mostrar que a retaque liga os dois centros O1 e O2 e a media-triz do segmento determinado pelos pontos deintersecao dos cırculos.
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Cırculos tangentes
Dizemos que dois cırculos sao tangentes quando eles se intersectam emum ponto.
Neste caso, ha duas possibilidades:
• cırculos tangentes exteriormente ou
• cırculos tangentes interiormente.
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Cırculos tangentesExteriormente: os dois cırculos se intersectam em um ponto e todos os
outros pontos de cada um deles esta no exterior do outro.
Neste caso, o ponto de encontro pertence ao segmento O1O2 e a retaperpendicular a reta
←−−→O1O2 no ponto de encontro e tangente aos dois cırculos.
O ponto de encontro e chamado de ponto de tangencia.
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Cırculos tangentesInteriormente: os dois cırculos se intersectam em um ponto e todos os
outros pontos de um deles esta no interior do outro.
Neste caso, O1, O2 e o ponto de encontro sao colineares e a reta tangentea um dos cırculos no ponto de encontro e tambem tangente ao outro. O pontode encontro e chamado de ponto de tangencia.
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Angulo central
Definicao 3. Um angulo central de um cırculo e um angulo com vertice nocentro do cırculo.
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Angulo inscrito
Definicao 4. Um angulo inscrito e um angulo com vertice sobre o cırculo ecujos lados sao semirretas tangentes ou secantes ao cırculo.
Dado um angulo inscrito BAC de um cırculo γ, o arco de cırculo contidona uniao do interior com os lados de BAC e chamado arco subentendido porBAC. Diz-se tambem que BAC subentende tal arco.
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Medida do angulo inscrito
Proposicao 1. A medida de um angulo inscrito e a metade da medida doarco que ele subentende.
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Proxima aula
Polıgono!
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