Aula 3
-
Upload
luciano-silva -
Category
Documents
-
view
267 -
download
3
Transcript of Aula 3
Aula 3 - Introdução ao Estudo de Anéis e Subanéis
Objetivos
Espera-se que o estudante ao final deste conteúdo possa:
– Compreender o conceito de Anéis e Subanéis;
– Realizar operações que envolvem Anéis e Subanéis:
Assunto Anéis e Subanéis
IntroduçãoEstudamos anteriormente um sistema matemático que, apoiado por algu-
mas propriedades, serve para provar algumas das operações fundamentais
vistas em determinados conjuntos e subconjuntos, como por exemplo: O
produto de dois números complexos z = a + bi e w = c + di é definido por zw
= (ac – bd) + (ad +bc)i. Mas, ainda era ínfima essa ideia, diante da imensidão
da Álgebra Abstrata e da evolução, bem avançada, da Geometria através
dos Elementos de Euclides (c.300 a.C), por exemplo. Contudo, o trabalho
de William R. Hamilton (1805 – 1865) e outros matemáticos, como Bombelli
(1526 - 1572), que deu um passo decisivo na introduzindo o simbolismo
apropriado para as operações permitindo a manipulação de expressões e
fórmulas, colaborou já no século XIX para a criação de inúmeras “estruturas
algébricas” novas, entre as quais as de “corpo” e “anel”. O conceito de
anel inspira-se nas propriedades compartilhadas pelo sistema dos números
inteiros. A primeira definição de anel foi dada em 1914 pelo alemão A. Fra-
enkel (1891 – 1965), conquanto o nome já houvesse sido introduzido por D.
Hilbert (1852 – 1943) perto do final do século XIX.
Anel
Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio A e um par
UABÁlgebra II 3
de operações sobre A, respectivamente uma adição (x,y) x + y e uma
multiplicação (x,y) xy (ou x.y), é chamado anel se:
(A1) O par (A, ) é um grupo abeliano;
(A2) a , b, c € A, tem-se a (b c) = (a b) c
(A3) a , b, c € A,tem-se a a (b c)= a b a c
(b c)= a = b a c a
Obs1: Observe que para termos um anel precisamos que a terna (A, , )
seja, necessariamente, um grupo abeliano, ou seja, tenha intrinsecamente
satisfeitas as propriedades da: associatividade, elemento neutro, elemento
simétrico e comutatividade, mais, a complementaridade de A2 e A3.
De uma forma mais destrinchada poderíamos dizer que temos um anel
quando:
(i)(R,+) é um grupo abeliano, ou seja;
a+(b+c)=(a+b) +c, a,b e c € R;
0 € R; a + 0 =a, a € R;
a € R, - a € R ; a + (-a)= 0
a+b =b+a a,b € R
(ii) é associatica, ou seja satisfaz;
a.(b.c) = (a.b) . c, a, b e c € R
(iii) Valem a distributividade
a. (b+c) = (a.b) + (a.c) (b+c).a = (c.a), a,b e c € R
Obs2: Entende-se que R é o mesmo que A, dado na primeira dedução de
anel e, que ambos, são conjuntos não vazios. E o ponto logo em seguida de
ii simboliza a operação de multiplicação.
Álgebra IIUAB 4
Doravante, usaremos os símbolos de e para denotarmos as operações
de adição e multiplicação, respectivamente.
Porém, algumas conseqüências dessas propriedades nos levam a outros ti-
pos de anéis, para quando R ou A já é um anel, são eles:
Anel Comutativo
A terna (A, , ) é um anel comutativo, quando a operação é co-
mutativo, ou seja, vale a relação a b = b a.
Anel com Unidade
A terna (A, , ) é um anel com unidade, quando a operação tem
elemento neutro em A, valendo a relação: a 1A = 1A a = a.
Usaremos 0A para simbolizar o elemento neutro da operação adição( )
e 1A para o elemento neutro da multiplicação ( ).
Anel Comutativo com Unidade
A terna (A, , ) é um anel comutativo com unidade, quando a opera-
ção for comutativa e admitir elemento neutro em A.
Anel de Integridade
A terna (A, , ) é um anel de integridade, quando a, b € A, tem–se
a b = 0A a = 0A ou b = 0A , valendo a lei do anulamento do produto.
Sendo a e b elementos não nulos do anel A tais que a b = 0A ou b a = 0 A, diz-se que a e b são divisores próprios do zero em A.
Obs3: Deixaremos uma maior minúcia da definição de Anel de Integridade,
para a semana 5.
Achamos necessário apresentar alguns exemplos sobre anéis comutativos,
são eles:
# Exemplo1
UABÁlgebra II 5
ambas usuais em Z. A operação multiplicação é comutativa e 1 é o elemento
neutro para esta operação.
# Exemplo2
(operação multiplicação), ambas usuais em Z. Para cada caso, a operação
multiplicação é comutativa e 1 é o elemento neutro para esta operação.
# Exemplo3
Para todo n ≥ 0, seja n = {na; a € Z}. Com as operações induzidas pelas ope-
rações de , temos que (n
e não tem elemento neutro para esta operação, se n ≠ 1.
# Exemplo4
Sejam R= n = { 0,1,2,...,n - 1 }, n ≥ 0,+ e operações em n, definidas por:
a+b = a+b ,
a b = ab , para todo a , b € n.
( n -
mento neutro 1. Também chamado de anel dos inteiros módulo n.
Lembrete: Para todo a , b € n, temos: a = b a b mod n
a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n.
# Exemplo5
Seja R = {ƒ: ;ƒ é função}, ƒ e g € definimos, (ƒ+g) € e (ƒ.g) €
, por:
(ƒ+g) (x)=ƒ(x)+g(x), x €
(ƒ.g) (x)=ƒ(x) . g(x), x €
(R, +, . ) é um anel comutativo com 1.
Álgebra IIUAB 6
Subanel
Usaremos a mesma ideia de subgrupo, para denotarmos um subanel.
Sendo a terna (A, , ) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Po-
demos dizer que L é um subanel, se e somente se:
a) O subconjunto L é fechado para as operações que subsidia o conjunto A
de estrutura de anel;
b) Sendo a terna ( L, , ) também um anel.
Lembremos o seguinte:
i. Se A é um anel, então A é um grupo aditivo;
ii. Um subconjunto não vazio de um grupo aditivo e um subgrupo desse gru-
po se, e somente se, é fechado para a subtração. Então a proposição anterior
pode ser formulada da seguinte forma:
“Sejam A um anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel
de A se, e somente se, L é um subgrupo do grupo aditivo (A,+) e ab perten-
cem a L, quaisquer que sejam os elementos a, b pertencente a L.”
# Exemplo6
L = {a + b√2 | a, b € Z}. L é um subanel de R, pois, se a + b√2, c + d√2 € L,
então:
( i ) (a + b√2) - (c + d√2) = (a – c) + (b – d) √2 € L
Outra forma de identificarmos um subanel se dá quando:
x,y € B x+ y € B (B é fechado)
x,y € B x+(- y) x-y € B (B fechado para a diferença)
UABÁlgebra II 7
x, y € B x.y € B (B é fechado para produto)
0 € B (o elemento neutro de A pertence a B)
Assim podemos considerar a soma e o produto como operações em B. Se
(B, +, .) for anel com as operações de A, dizemos então que B é um subanel
de A.
Exercícios Comentados1.Prove que a terna ({0}, +, . ) é um anel.
De fato:
adição (+).
2. Prove que (M2( R = não é um anel comutativo.
De fato, pois:
3. Seja A um anel com unidade. Se a A e m, n são números naturais. Prove
que:
i. aman = am+n
ii. (am)n = amn
Demonstrando por indução em n.
aman = am+n
Álgebra IIUAB 8
i. Se n = 0, então ama0 = am m = am + 0. Portanto, a propriedade vale
para n = 0.
ii. Seja r ≥ 0 um número natural e suponhamos amar = am+r.
Então:
amar+1 *= am(ara) **= (amar) a ***= (am+r)a *= a(m + r)+1.
Portanto, se a propriedade vale para r ≥ 0, vale também para r+1. De onde,
pelo primeiro princípio de indução, vale para todo n ≥ 0. Observe que as
passagens assinaladas com * usamos a definição de r ≥ 0 (r+1); na passagem
assinalada com **, a associatividade da multiplicação; e na *** a hipótese
de indução.
(am)n = amn
i. Se n = 0, então (am)0 = a . Portanto, a propriedade vale para n = 0.
ii. Seja r ≥ 0 um número natural e suponhamos (am)r = a .
Então:
(am)r+1 *= (am)r am **= amr am ***= amr+m = am(r+1). Portanto, se a propriedade
vale para r ≥ 0, vale também para r + 1. De onde, pelo primeiro princípio de
indução, vale para todo n ≥ 0. Observe que na passagem assinalada com *
usamos a definição e as com ** a hipótese de indução e as com *** a pro-
priedade anterior.
4. Prove que Z[√p] é um subanel de R.
De fato, Z[√p] está contido em R e mais:
(i) 0 = 0 √p €
(ii)x =a+b√p, y=c+d√p x-y = (a-c)+(b-d) √p
(iii)x =a+b√p, y=c+d√p x . y = (ac+pdb)+(bc+ad)√p
e portanto Z[√p] = {a+b√p; com a,b pertencentes a Z} é um subanel de R.
UABÁlgebra II 9
5. Mostre que A={0,1} , um conjunto formado por dois elementos, é um
anel.
Definamos as operações de soma e produto de tal maneira que o
0 funcione como o zero e 1 como o um. Então:
0 + 0= 0; 0+ 1= 1; 1 + 1= 0; 0.0 = 0; 0+ 1= 0; 1. 1= 1.
Note em particular que, neste exemplo, vale a relação -1= 1 .
Exercícios Propostos1. Sendo um A um anel prove que:
i. a . 0 = 0, para todo a A;
ii. (- a) . (- a) = a2
2. Mostre que o conjunto Q dotado da lei de composição + e . abaixo defi-
nida é um anel.
i. a + b = a + b – 1
ii. a . b = a + b – ab
3. Seja A um anel com unidade. Se 2 A e 3, 4 são números naturais. Prove
que:
i. 23 . 24 = 27
4. Mostre que é um subanel de .
5. Prove que o conjunto dota d da lei usual de adição e da multiplicação
definida por a.b = 0, para qualquer a e b em , é um anel.
ResumoNesta aula apuramos o estudo de grupo, mediante a apresentação da com-
plementaridade das propriedades associatividade da multiplicação e distribu-
Álgebra IIUAB 10
esquerda, ampliando assim, o sistema matemático para a definição de anel.
Foram trabalhadas as propriedades sinequanon para que tenhamos um anel
e mostramos a diversidade da terna (A, +, .) com suas devidas restrições.
Minimizamos o conceito de subanel reduzindo-o ao fechamento da soma,
subtração e do produto.
Referências
GONÇALVES, A. Introdução a Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA Coleção
Projeto Euclides, 1998.
HEFEZ, A. Curso de Álgebra, volume 1 (3ª edição). Rio de Janeiro: IMPA Coleção Universitária, 1999.
IEZZI, G e HYGINO, H. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2001.
UABÁlgebra II 11