Aula - 2 Movimento em uma dimensão - Sites do IFGW1. 60 e 0 km/h 2. 0 e 60 km/h 3. 100 e 60 km/h 4....
Transcript of Aula - 2 Movimento em uma dimensão - Sites do IFGW1. 60 e 0 km/h 2. 0 e 60 km/h 3. 100 e 60 km/h 4....
Aula - 2 Movimento em uma dimensão
Física Geral I -‐ F-‐128 2o semestre, 2012
Ilustração dos “Principia” de
Newton mostrando a ideia
de integral
Movimento 1-D
• Entender o movimento é uma das metas das leis da Física. • A Mecânica estuda o movimento e as suas causas. • A sua descrição é feita pela CinemáFca. • As suas causas são descritas pela Dinâmica. • Iniciamos com o movimento em 1-‐D.
Conceitos: posição, movimento, trajetória
Velocidade média Velocidade instantânea
Aceleração média Aceleração instantânea
Exemplos
F128 – 2o Semestre de 2012 2
Questão 1:
1. m/s; m; s; 2. km; km/h; m/s2
3. m/s; m/s; m/s2 4. m; m/s; m/s2 5. nenhuma das alternaFvas
Quais são, no SI, as unidades referentes a distância, velocidade e aceleração?
F128 – 2o Semestre de 2012 3
Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência, geralmente tomado como a origem (x = 0). Exemplo:
O movimento de um objeto consiste na mudança de sua posição com o decorrer do tempo.
t7
x 7x≡
Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua descrição depende do observador. Já a escolha da origem é arbitrária. A trajetória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo objeto que se movimenta.
t1
x4 x5 x3 x6 x2 x1
t2 t3 t4 t5 t6
0
Posição – 1D
F128 – 2o Semestre de 2012 4
Deslocamento e Velocidade média O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (t2-t1) é a diferença entre a posição final (x2 ) no instante t2 e a posição inicial (x1) no instante t1.
tx
ttxxvm Δ
Δ=−−=
12
12
Se (movimento para a direita, ou no sentido de x crescente); Se ou no sentido de x decrescente).
00 >⇒>Δ mvx
00 <⇒<Δ mvx (movimento para a esquerda, ou no
(unidade: m/s)
A velocidade média é definida como:
•
•
F128 – 2o Semestre de 2012 5
Exemplo: (uma possível representação do movimento)
)eentre(0
)eentre(0
)eentre(0
6446
46
7117
17
3223
23
ttvttxxv
ttvttxxv
ttvttxxv
mm
mm
mm
<−−=
=−−=
>−−=
de 0 a 5,0 s : vm = 40 m/5,0s = 8,0 m/s
de 5,0 a 10,5 s: vm = 60 m/5,5s = 10,9 m/s Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) : vm = 100 m/10,5s = 9,5 m/s
Exemplo numérico: corrida de 100 metros.
Exemplo:
F128 – 2o Semestre de 2012 6
)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ
Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtgttxvm =
ΔΔ= )(
1
( )xt
vt
=DD
Velocidade média
F128 – 2o Semestre de 2012 7
A velocidade média nos dá
informações sobre o movimento em um intervalo de tempo. Mas podemos querer saber a velocidade
em um dado instante.
)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ12v v<
Velocidade média
F128 – 2o Semestre de 2012 8
Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtgttxvm =
ΔΔ= )(
)(tx
t
)(txΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θ
Velocidade média
F128 – 2o Semestre de 2012 9
Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtgttxvm =
ΔΔ= )(
)(tx
t0t tt Δ+0
θ
Velocidade média
F128 – 2o Semestre de 2012 10
Velocidade média entre: ttet Δ+00
θtgttxvm =
ΔΔ= )(
)(tx
t
θtgdttdx
ttxtv
t=≡
ΔΔ=
→Δ
)()(lim)(0
θ
0t
Velocidade instantânea em t0
reta tangente à curva
Velocidade instantânea
F128 – 2o Semestre de 2012 11
(a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo)
Velocidade instantânea
F128 – 2o Semestre de 2012 12
( )dtdx
txtv
t=
ΔΔ=
→Δ 0lim
sm0,8s2,11m90)s2( ≅==tv
Geometricamente:
Exemplo: No gráfico abaixo (corrida de 100 m), a velocidade em t = 2s é
tangente Derivada
Visualização gráfica da derivada
F128 – 2o Semestre de 2012 13
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol4/kaskosz/derapp.html
0
)(tfdttbdgdttadf /)(/)( +)()( tgbtfa +
dttdf /)(
constante=ant 1−nnttωsin tωω cos
tωcos tωω sin−teλ teλλtλln 1t -‐
Algumas derivadas importantes
F128 – 2o Semestre de 2012 14
Em muitas situações, . Entretanto, essas duas velocidades podem ser bastante diferentes. Exemplo: partícula parte de O, descreve uma circunferência de raio r e retorna a O, depois de decorrido um tempo T. Neste caso:
A velocidade escalar média é uma forma de descrever a “rapidez” com que um objeto se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e do sentido:
tvem Δ
= percorrida totaldistância
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido. (O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido do movimento).
mem vv =
0=mv Trvem
π2= e
Velocidade escalar média e velocidade média
F128 – 2o Semestre de 2012 15
r
o
Questão 2
F128 – 2o Semestre de 2012 16
1. 60 e 0 km/h 2. 0 e 60 km/h 3. 100 e 60 km/h 4. 60 e 100 km/h 5. Nenhuma das acima
Uma viagem de Campinas a São Paulo é feita, em média em 1,5 horas. A distância entre estas duas cidades é de 150 km. Quais são a velocidade média e escalar média numa viagem de ida e volta à São Paulo, com uma parada total de 2 horas durante o percurso?
Um caso particular: velocidade constante
0
0)(ttxxv
dtdxtv m −
−===
Graficamente:
)( 00 ttvxx −=−ou:
Velocidade instantânea
F128 – 2o Semestre de 2012 17
t0 t
x0
x
t0 t
)(tv)(tx
Note que v(t-t0) é a área sob a curva da velocidade v = constante em função do tempo.
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 18
,)( ttvx Δ=Δ
)( 00 ttvxx −=−
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante, isto é:
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
t
v
t0
v
Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever:
)(tv
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 19
No limite N e t0:
0
( )
( ) ( )
( )
i i
ii
ii
x v t t
x t x t x
v t t
Δ ≈ Δ
⇓− = Δ =
Δ
∑∑
Dividimos o intervalo (t-t0) em um número grande N de pequenos intervalos tΔ
∫ ′′=−t
t
tdtvxtx0
)()( 0
)(tv
t0t it
)( itvtΔ
)(tv
t0t
área=Δx
∫ ′′=−=t
t
tdtvxtxdttdxtv
0
)()(e)()( 0
A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição em função do tempo no instante considerado. O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou integração) da velocidade; geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da velocidade em função do tempo.
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 20
)(tf)()( tGbtFa +)()( tgbtfa +
)(tF
1, −≠ntn 1/1 ++ nt n
tωsin ωω /cos t−
tωcos ωω /sin tteλ λλ /te
||ln t1−t
atconstante=a
Algumas integrais importantes
F128 – 2o Semestre de 2012 21
Questão 3:
F128 – 2o Semestre de 2012 22
• I • II • III • IV • V
Qual desses cinco gráficos de coordenada versus tempo representa o movimento de uma partícula cujo módulo da velocidade está aumentando?
Aceleração média
F128 – 2o Semestre de 2012 23
tv
ttvvam Δ
Δ=−−=
12
12Aceleração média:
de 0s até 4s: am = 10 m/s / 4s = 2,5 m/s2
Exemplo: Um corredor acelera uniformemente até atingir 10 m/s em t = 4,0 s. Mantém a velocidade nos próximos 4,0s e reduz a velocidade para 8,0 m/s nos 5,0s seguintes. Acelerações médias:
de 4s até 8s: am = 0 m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 13s: am = -2 m/s / 5s = -0,4 m/s2
(unidade: m/s2)
Note que am também pode ser >0, <0 ou =0. v(m/s)
t(s)
10
2 4 6 8 10 12 14
2 4 6
8
0
)(tv
t
)(tvΔ
tΔ
0t tt Δ+0
θtgttvam =
ΔΔ= )(
θ
Aceleração média entre: ttet Δ+00
Aceleração média
F128 – 2o Semestre de 2012 24
)(tv
t
θ
0t
Aceleração instantânea em t0:
reta tangente à curva da velocidade
(a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo)
Aceleração instantânea
F128 – 2o Semestre de 2012 25
θtgdttdv
ttvta
t=≡
ΔΔ=
→Δ
)()(lim)(0
Aceleração instantânea
F128 – 2o Semestre de 2012 26
dtdv
tva
t=
ΔΔ=
→Δ 0lim
2sm2,2s7,2sm9,5)s2( ===ta
2
2
dtxd
dtdx
dtd
dtdva =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
Gráficos
Exemplo: Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s é:
Note que
v(t)
v(t)
a(t)
Segunda derivada
Primeira Derivada
( ) ( )0
0
tttvtvaa m −
−==
atvv += 0
2)(00 tvv
txxvm
+=−=
Se a aceleração a é constante:
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, a velocidade fica:
Note que neste movimento a velocidade média é dada por
2
2
00attvxx ++=
temos: Como tvxx m+= 0 ,
Aceleração constante
F128 – 2o Semestre de 2012 27
t/2 t
v
v0
v(t)
vm
Resumo: aceleração constante
F128 – 2o Semestre de 2012 28
( )
( )tvvxx
xxavv
attvxx
atvv
++=
−+=
++=
+=
00
020
2
200
0
212
21
As equações de movimento para o caso de aceleração constante são:
O movimento de uma partícula é descrito pela equação:
Exemplo 1:
F128 – 2o Semestre de 2012 29
)sememem(342 txttx +−=
a) fazer o gráfico de x(t); b) calcular v(t) e a(t) e fazer os
gráficos correspondentes.
( )m/s42)( −== tdtdxtv
( )2m/s2)( ==dtdvta
O GP de Mônaco
F128 – 2o Semestre de 2012 30
1 volta = 3,340 km
Vettel no GP de Mônaco
F128 – 2o Semestre de 2012 31
Tempo Velocidade Tempo Velocidade Tempo Velocidade 0 218 25 90 50 104 1 242 26 143 51 158 2 260 27 101 52 200 3 272 28 62 53 227 4 273 29 49 54 183 5 157 30 55 55 181 6 114 31 95 56 210 7 136 32 89 57 104 8 179 33 89 58 223 9 213 34 133 59 168 10 238 35 93 60 117 11 256 36 88 61 99 12 266 37 110 62 114 13 272 38 176 63 162 14 209 39 212 64 197 15 174 40 237 65 123 16 155 41 253 66 68 17 161 42 263 67 61 18 137 43 272 68 82 19 138 44 281 69 112 20 175 45 279 70 84 21 207 46 166 71 110 22 175 47 91 72 161 23 100 48 74 73 207 24 75 49 69 74 233
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Velo
cida
de (k
m/h
)
Link: http://www.youtube.com/watch?v=boQqf49sd8g&feature=related
Distância Percorrida e Velocidade Escalar Média
F128 – 2o Semestre de 2012 32
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Velo
cida
de (k
m/h
)
Área sob a curva = deslocamento
1 volta = 3.35km!!!!!
∫ ′′=−=t
t
tdtvxtxdttdxtv
0
)()(e)()( 0
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Velo
cida
de (k
m/h
)
hkm163h1s3600
s74km35.3totaldistância =×=
Δ=
tvem
dtdv
tva
t=
ΔΔ=
→Δ 0lim
Aceleração
F128 – 2o Semestre de 2012 33
42 44 46 48 50 52 54 56
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
X: 49Y: 0.7324
Tempo (s)
Acel
eraç
ão (m
/s2 )
X: 52.9Y: 2.439X: 44.1
Y: -0.1142
0 10 20 30 40 50 60 700
50
100
150
200
250
300
Tempo (s)
Velo
cida
de (k
m/h
)
Deriva
Aceleração da gravidade
F128 – 2o Semestre de 2012 34
Galileu, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses de Aristóteles. Através de experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade (aceleração), independente-mente de sua massa.
x ~ t2 , v ~ t : consequências de uma aceleração constante!
Aceleração da gravidade
F128 – 2o Semestre de 2012 35
Mas... devemos notar que há, em geral, outras forças atuando no corpo em queda considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos.
a resistência do ar!!
Resumo: aceleração constante (-g)
F128 – 2o Semestre de 2012 36
( )( ) tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv
++=
−−=
−+=
−=
00
020
2
200
0
212
21
As equações de movimento para o caso da aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y):
g y
Todo objeto em queda livre fica sujeito a uma aceleração dirigida para baixo, qualquer que seja seu movimento inicial (objetos atirados para cima ou para baixo ou aqueles soltos a partir do repouso).
Exemplo 2
F128 – 2o Semestre de 2012 37
gtvgty −=−= e21 2
Um corpo cai livremente a partir do repouso; calcule a sua posição e sua velocidade em t = 1,0, 2,0 e 3,0 s.
Em t = 1,0 s: y = - 4,9 m e v = -9,8m/s Continuando, obtenha os resultados da tabela ao lado.
y
g
Note que a(t-t0) é a área sob a curva da aceleração a(t) = constante em função do tempo. Este também é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 38
ttav Δ=Δ )(
)( 00 ttavv −=−
Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o caso de aceleração constante. Então:
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t.
t
a
0t
a(t)
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 39
( ) tdtavvt
t
′′=− ∫0
0
Dividimos o intervalo (t-t0 ) em um número grande N de pequenos intervalos .
0
( )
( ) ( )
( )
i i
ii
ii
v a t t
v t v t v
a t t
Δ ≈ Δ
⇓− = Δ =
Δ
∑∑
tΔ
No limite N à ∞ e Δtà0:
t0t
)(ta
área=Δv
t0t it
)(ta
)( itatΔ
∫ ′′=−=t
t
tdtavtvdttdvta
0
)()(e)()( 0
A aceleração é obtida derivando-se a velocidade; geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente à curva da velocidade em função do tempo no instante considerado. A velocidade é obtida pela anti-derivação (ou integração) da aceleração; geometricamente, a variação de velocidade é igual à área sob a curva da aceleração em função do tempo.
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
F128 – 2o Semestre de 2012 40
Questão 4
F128 – 2o Semestre de 2012 41
1. I 2. II 3. III 4. NDA
Baseado na curva da velocidade em função do tempor e sabendo que em x=0 para t=0, escolha os gráficos de posição e aceleração que melhor representam o movimento desta partícula.
2 4 6 8 - 10
10 20 30 v(t)
t 2 4 6 8 - 10
10 20 30 v(t)
t
x(t)
t 0
2 4 6 8 - 10
10 20 30 v(t)
t
a(t)
t 0
x(t)
t 0
a(t)
t 0
x(t)
t 0
0
a(t)
t
Dadas as posições xA e xB de dois corpos A e B em relação a uma origem 0 (referencial), a posição relativa de A em relação a B é dada por:
xAB = xA – xB
Então, a velocidade relativa vAB de A em relação a B é:
Movimento relativo 1D
F128 – 2o Semestre de 2012 42
BABAAB
AB vvdtdx
dtdx
dtdxv −=−==
BAAB
AB aadtdva −==
E a aceleração relativa aAB de A em relação a B é:
Alternativamente, podemos escrever: BABA vvv +=BABA aaa +=
Regra mnemônica: BTABAT vvv +=
Referencial Relativo: Exemplo
F128 – 2o Semestre de 2012 43
Ao fazer o reabastecimento aéreo, os dois aviões têm velocidade relativa próxima de zero.
Link: http://www.youtube.com/watch?v=ullR3nN8x8w&hd=1
http://www.youtube.com/watch?v=AJMVTqRWHC4