Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
Aula 19 Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares.
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Aula 19
Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares
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Revisão da Integral Definida
definida para Subdividimos em subintervalos
de comprimento
Escolha
Soma de Riemann
( )f x ,a x b [ , ]a b n
1[ , ]i ix x ( ) /x b a n
*1[ , ]i i ix x x
*
1
( )n
ii
f x x
*
1
lim ( )n
in
i
f x x
( )b
af x dx
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Caso Especial
( ) 0f x
( ) b
af x dx área sob a curva ( ) de até . y f x a b
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Integrais Múltiplas
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Volumes e Integrais Duplas
definida em um retângulo
Suponhamos
Seja o sólido que está contido na região
acima de e abaixo do gráfico de
( , )z f x y
2
[ , ] [ , ]
( , ) | ,
R a b c d
x y a x b c x d
( , ) 0f x y
S
R .f
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Volumes e Integrais Duplas
Objetivo: determinar o volume de
3( , , ) | 0 ( , ), ( , )S x y z z f x y x y R .S
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Procedimentos
1) Dividir o retângulo em sub-retângulos.
Para isso dividimos em subintervalos de comprimento
e dividimos em subintervalos de
comprimento
R[ , ]a b m
1[ , ]i ix x
( ) /x b a m
[ , ]c d 1[ , ]i iy y
( ) /y d c n
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Procedimentos
2) Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos
Cada um dos quais com área
1 1
1 1
[ , ] [ , ]
( , ) | ,
ij i i j j
i i j j
R x x y y
x y x x x y x y
.A x y
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Procedimentos
* *( , ) - ponto amostraij ijx y
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Aproximação do Volume
* *
volume da caixa retangular é dado por
( , )ij ijf x y A
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Aproximação do Volume
* *
1 1
( , )
(Soma Dupla de Riemann)
m n
ij iji j
V f x y A
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Aproximação do Volume
Intuitivamente percebemos que a aproximação dada melhora quando aumentarmos os valores de portanto devemos concluir que
* *
,1 1
lim ( , )m n
ij ijm ni j
V f x y A
e ,m n
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Integral Dupla sobre o Retângulo
Definição:
se esse limite existir.
Se então
* *
,1 1
( , ) lim ( , )m n
ij ijm n
i jR
f x y dA f x y A
( , ) 0,f x y
( , )R
V f x y dA
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Exemplo 1
Estime o volume do sólido que está acima do quadrado e abaixo do parabolóide elíptico
[0,2] [0,2]R 2 216 2 .z x y
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Volume das caixas aproximadoras
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Melhor aproximação do volume
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Exemplo 2
Se calcule a integral
2{( , ) | 1 1, 2 2},R x y x y
21R
x dA
2 211 (1) 4 2
2R
V x dA
2
2 2
Se 1
1 e 0
z x
x z z
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Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio
1
1
é o ponto médio de [ , ] e
é o ponto méido de [ , ]i i i
j j j
x x x
y x x
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Exemplo 3
Use a Regra do Ponto Médio com
para estimar o valor da integral
onde
2m n
2( , ) | 0 2,1 2 .R x y x y
2( 3 ) ,R
x y dA
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Exemplo 3
Solução: Usando a Regra do Ponto Médio com
calcularemos no centro de
quatro sub-retângulos de acordo com a
figura
2,m n 2( , ) 3f x y x y
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Exemplo 3
Então temos
A área de cada sub-retângulo é
1 2 1 2
1 3 5 7, , e .
2 2 4 4x x y y
1.
2A
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Exemplo 3
Logo
Portanto, temos
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Valor Médio
O valor médio de uma função de uma variável definida em é
Analogamente, o valor médio de uma função de duas variáveis definida em um retângulo contido em seu domínio é dado por
méd
1( )
b
af f x dx
b a
f[ , ]a b
f
méd
1( , )
( ) R
f f x y dAA R
onde ( ) é a área de .A R R
R
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Valor Médio
Se , a equação
diz que a caixa com base e altura tem o mesmo volume que o sólido delimitado pelo gráfico de
( , ) 0f x y
R
.f
méd( ) ( , )R
A R f f x y dA médf
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Observação
Se descreve uma região
montanhosa e vc corta os topos dos morros
na altura então pode usá-los para
encher os vales de forma a tornar plana a
Região.
( , )z f x y
médf
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Observação
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Exemplo 4
O mapa do contorno na figura a seguir mostra a quantidade da precipitação de neve, em polegadas, no Estado do Colorado, em 20-21 de dezembro de 2006 (O Estado tem formato retangular com medidas 388 milhas na direção leste-oeste e 276 milhas na direção norte-sul). Utilize o mapa de contornos para estimar a precipitação média no Colorado nesses dias.
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Mapa de Contornos
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Mapa de Contornos
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Exemplo 4
Logo e é a queda de neve, em polegadas
onde
Usando a Regra do Ponto Médio com
(dividimos em 16 sub-retângulos de tamanhos iguais)
( , )f x y
4m n
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Exemplo 4
Logo a área de cada sub-retângulo é
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Exemplo 4
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Propriedades das Integrais Duplas
1)
2)
3) Se ( , ) ( , ) ( , ) em , entãof x y g x y x y R
( cte.)c
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Integrais Iteradas
contínua em
A notação irá significar que
é mantido fixo e é integrado em
relação a de e
Esse procedimento é chamado integração
parcial em relação a
( , )z f x y
x ( , )f x y
[ , ] [ , ]R a b c d
( , )d
cf x y dy
y y c .y d
.y
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Integrais Iteradas
( ) ( , )d
cA x f x y dy
integral iterada
( ) ( , )b b d
a a cA x dx f x y dy dx
( , ) ( , )b d b d
a c a cf x y dy dx f x y dy dx
( , ) ( , )d b d b
c a c af x y dxdy f x y dx dy
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Exemplo 1
Calcule o valor das integrais
3 2 2 32 2
0 1 1 0( ) ( )a x ydy dx b x ydxdy
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Solução a)
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Solução b)
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Teorema de Fubini
Se for contínua no retângulo
Então
( , ) | ,R x y a x b c y d
( , ) ( , )b d
a cR
f x y dA f x y dy dx
f
( , )d b
c af x y dxdy
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Teorema de Fubini
Justificativa razoável de sua validade!
( , ) 0f x y
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Aproximação do VolumeAnalogamente
( )d
cV A y dy
( ) ( , )b
aA y f x y dx
( , ) ( ) ( , )d d b
c c aR
f x y dA V A y dy f x y dxdy
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Exemplo 2
Calcule a integral dupla
onde
{( , ) | 0 2, 1 2}R x y x y
2( 3 ) ,R
x y dA
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Solução 1
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Solução 2
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Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3
Calcule onde
[1,2] [0, ].R sen( ) ,R
y xy dA
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Solução 1
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Solução 2
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Solução 2
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Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 4
Determine o volume do sólido que é delimitado pelo parabolóide elíptico
os planose os três planos coordenados.
2 22 16,x y z
S
2 e 2, x y
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Solução
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