Aula 17: 24/05/2012 Movimento de Partículas em Fluidos - Balanço de forças em uma partícula -...
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Aula 17: 24/05/2012
Movimento de Partículas Movimento de Partículas em Fluidos em Fluidos
- Balanço de forças em uma partícula
- Velocidade terminal
- Reynolds da Partícula- Coeficiente de arraste (Cd)
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
- Lei de Stokes
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS
Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como:
• Fluidização
• Transporte de sólidos em leito de fluido
• Sedimentação simples
• Centrifugação
• etc.
As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante.
Velocidade Terminal: definição
aceleração
Velocidade constante (terminal)
Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo.
Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)?
eacpr FFFamF resultante
gVgVamF pfdeslocadoffdeslocadofe
gVamF pppc .
Força de campo gravitacional:
Força de empuxo:
Força de arraste (atrito):
Força resultante
2)(2
1Rdcfa vCAF
As forças de campo, de empuxo e de arraste
Rpf vvv )(
Fe
Fc
FaResistência
Movimento da partícula
partículadavolume
partículadadensidade
partículadarelativavelocidade
arrastedeecoeficient
partículadatica"caracterís"área
fluidododensidade
nalgravitacioaceleração
aceleração
p
p
R
d
c
f
p
V
v
C
A
g
a
partículadamassam
)()(21)( 2. gVvCAgVam pfRdcfppresultp
[1]
eacp FFFam resultante
Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional:
vp = 0
fp
vf = 0
Velocidade da partícula (+)
Velocidade do fluido (+)g
vp = velocidade partícula
vf = velocidade do fluido +
pfpfpfR vvvvvvv )(
pfpfpfR vvvvvvv )(
pfpfR vvvvv
fpfR vvvv
pppfR vvvvv )(
-
vp = 0
vf = 0
+ -
(a) (b) (c) (d) (e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se:
0. resultaComo não há aceleração da partícula, tem-se:
gVvCA pfpRdcf )()(210 2
dcf
pfpR CA
gVv
)(2
Rearranjando tem-se:
Como calcular Vp, Ac e Cd?
[2]
[1] )()(21)( 2. gVvCAgVam pfRdcfppresultp
A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se:
2
4 pc dA
3)(6 pdVp
Calculo de Vp e Ac:
Área projetada
Partícula esférica
Área projetada de uma esfera
Volume de uma esfera
Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq) definido na “aula de sólidos particulados”.
[3]
[4]
3*6
.
esféricanãopartículaVdeq
Fluxo de fluido
esféricanãopartículaÁrea
deq 2.
E o valor de Cd?
Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se:
fd
fppR C
gdv
3
)(4 [5]
p
CdRe
24
p
CdRe
10
44,0Cd
4,0Re p
500Re4,0 p
510 x 2Re 500 p
O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula:
Regime Laminar(Eq. de Stokes)
Regime Intermediário
Regime Turbulento(Eq. Newton)
f
fRpp
vd
Re(Re)fCd , onde
Regime AltaTurbulência
2,0Cd510 x 2Re p
[6]
0.1
1
10
100
1000
0.1 1 10 102 103 104 105 106 107
2
)(2
Rfc
pfpd vA
gVC
Região camadaquase laminar
Região camada turbulenta
Região alta turbulência
Re
10Cd 44,0Cd 2,0Cd
Regime laminarLei de Stokes
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Reynolds da Partícula
pdC Re
24
Ao aumentar a velocidade relativa (vR), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera.
A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações.
Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta
Video sobre escoamento laminar:http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu
Vídeo sobre escoamento turbulento: http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related
p
CdRe
24No regime laminar tem-se:
f
fppR
gdv
)(
18
12
Lei de Stokes
Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5]
fd
fppR C
gdv
3
)(4 [5]
f
fRpp
vd
Re [6]
Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.
Se obtém:
De forma análoga para os outros regimes tem-se:
f
fppR
gdv
)(
.18
12
pff
fpR dgv
31
22)(
225
4
21
)(1,3
p
f
fpR dgv
4,0Re p
500Re4,0 p
5105,2Re500 xp
p
CdRe
24
p
CdRe
10
44,0Cd
Regime laminar
Regime de transição
Regime turbulento sem oscilações
Mas como saber o regime se Rep depende de vr?
Abordagens para o cálculo de vr:
Método 1
Método 2
As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular vR por tentativa e erro.
f
fRpp
vd
Re
Processo de cálculo com laço de interação:
dC
Se propõe um valor de vR
Gráfico
O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.
Método 1
vR
Comparar valores. Propor novo valor
ou aceitar o valor de vR calculado
fd
fppR C
gdv
3
)(4
Início
[6]
[5]
Define-se o número adimensional de Arquimedes
Cd Rep2
2
32
3
)(4Re
f
fpfppd
gdC
Método 2
f
fRpp
vd
Re
GráficoCd Rep2 versus Rep
Isola-se vr de [6] e substitui-se em [5].
vr
f
fRpp
vd
Re
2Re pdC
Esfer
icid
ade
2Re pdC
Esf
eric
idad
e
Exemplo:
(1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são:
dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3
f = 1,2 kg/m3
μf = 1,7.10-5 kg/m.s
O fluido é ar a 20ºC:
Método 1
vr (m/s) Cd (gráfico) dp= 0,006 mChute inicial 2,00 838,55 0,50 12,40 pf = 1,2 kg/m3
12,40 5199,24 0,40 13,86 uf = 1,70E-05 kg/m.s13,86 5812,93 0,40 13,86 g = 9,8 m/s2
pp= 1190 kg/m3
Velocidade relativa de 13,86m/s
f
fRpp
vd
Re
fd
fppR C
gdv
3
)(4
0.1
1
10
100
1000
0.1 1 10 102 103 104 105 106 107
2
)(2
Rfc
pfpd vA
gVC
Região camadaquase laminar
Região camada turbulenta
Região alta turbulência
Re
10Cd 44,0Cd 2,0Cd
Regime laminarLei de Stokes
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Reynolds da Partícula
pdC Re
24
Re Cd (gráfico)
838,55 0,505199,24 0,405812,93 0,40
0.5
f
fRpp
vd
Re
2Re pdC
1,35.10^7
6,00.103
Método 2
2Re pdC
vr=14,3m/s
2
32
3
)(4Re
f
fpfppd
gdC
(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos.
Para a partícula de 60 m: vR = (60 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s-1
18 (1,8 10-5)
f
fppR
gdv
)(
.18
12
f
fRpp
vd
Re
Regime Laminar
pff
fpR dgv
31
22)(
225
4
Regime Transição
Verificando o Re para a partícula de 60 m:Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição)
Recalculando para regime transição: vR = 0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).
Para a partícula de 10m:
vR = (10 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s-1
18 (1,8 10-5)
Verificando o Re para a partícula de 10 m:
Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)