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Aula 09: Modelagem / Variáveis inteirasOtimização Linear e Inteira
Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br
BCC464/PCC174 –2018/2Departamento de Computação –UFOP
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Aulas anteriores sobre Programação Linear:
Modelagem
Método gráfico
Algoritmo Simplex
Dualidade
Análise de sensibilidade
... e implementação dos modelos no Gurobi
2 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Aula de Hoje: mais modelagem!
1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
3 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Aula de Hoje: mais modelagem!
1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
3 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendoas especificações a seguir:
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo
BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5
Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________
Prova 01 – 20,0 pontos
Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total
• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar
necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das
folhas disponibilizadas.
Questão 01 (6,0 pontos)
Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição,disponibilidade e custo são dados a seguir:
Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB Departamento de Computação – DECOM Disciplina: BCC464 / PCC174 – Otimização Linear e Inteira Professor: Túlio A. M. Toffolo
BCC464 / PCC174 Data: 17/04/2018 Página 1 de 5
Aluno: __________________________________________ CPF ou Matrícula: ______________
Prova 01 – 20,0 pontos
Questão 01 Questão 02 Questão 03 Questão 04 Nota Total
• A interpretação das questões faz parte da avaliação, por isso faça as observações que achar
necessário, por escrito; • Utilize o espaço abaixo de cada questão para responde-la. Se necessário, utilize o verso das
folhas disponibilizadas.
Questão 01 (6,0 pontos)
Uma empresa mineradora deve exportar 6.000 toneladas de minério de ferro atendendo as especificações a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Teor mínimo 44,5 0,27 0,035 2,05 38 Teor máximo 49,5 0,37 0,043 2,65 50
A mineradora dispõe de um conjunto de pilhas de minérios, cuja composição, disponibilidade e custo são dados a seguir:
Fe Al2O3 P PPC He Disp. Custo Pilha 1 52,64 0,52 0,084 4,48 45 1500t 10,5 Pilha 2 39,92 0,18 0,029 0,65 97 2000t 12,5 Pilha 3 47,19 0,5 0,05 2,52 52 1700t 12 Pilha 4 49,36 0,22 0,039 1,74 78 1450t 10 Pilha 5 43,94 0,46 0,032 2,36 41 1250t 11,5 Pilha 6 48,97 0,54 0,057 4,34 90 1890t 11 Pilha 7 47,46 0,2 0,047 5,07 9 1640t 10,8 Pilha 8 46,52 0,32 0,039 3,51 4 1124t 11,2 Pilha 9 56,09 0,95 0,059 4,1 80 1990t 10,4 Pilha 10 46 0,26 0,031 2,51 21 900t 12 Pilha 11. 49,09 0,22 0,04 4,2 12 1540t 10,3 Pilha 12 49,77 0,2 0,047 4,81 12 1630t 11,9 Pilha 13 53,03 0,24 0,047 4,17 1 1320t 12,3 Pilha 14 52,96 0,29 0,052 4,81 1 1245t 11,1 Pilha 15 42,09 0,17 0,031 1,38 47 1859t 12,1
4 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios
Notação utilizada:
P : conjunto de pilhas
T : conjunto de teores de qualidade
d: quantidade de minério a produzir (demanda)
ci: custo por tonelada utilizada da pilha i
qi: capacidade da pilha i
ai,j : teor de qualidade j da pilha i
b−j : teor mínimo para o parâmetro j
b+j : teor máximo para o parâmetro j
5 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios
Minimizar:∑i∈P
cixi
Sujeito a:∑i∈P
xi = d
xi ≤ qi ∀i ∈ P∑i∈P
ai,jxi ≥ b−j d ∀j ∈ T∑i∈P
ai,jxi ≤ b+j d ∀j ∈ T
xi ≥ 0 ∀i ∈ P
6 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios (2)
Minimizar:∑i∈P
cixi
Sujeito a:∑i∈P
xi = d
xi ≤ qi ∀i ∈ P∑i∈P
ai,jxi ≥∑i∈P
b−j xi ∀j ∈ T∑i∈P
ai,jxi ≤∑i∈P
b+j xi ∀j ∈ T
xi ≥ 0 ∀i ∈ P
7 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios (3)
Minimizar:∑i∈P
cixi
Sujeito a:∑i∈P
xi = d
xi ≤ qi ∀i ∈ P∑i∈P
(ai,j − b−j
)xi ≥ 0 ∀j ∈ T
∑i∈P
(ai,j − b+j
)xi ≤ 0 ∀j ∈ T
xi ≥ 0 ∀i ∈ P
8 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios
Solução ótima:
Last login: Thu Apr 19 11:32:18 on ttys000tuliotoffolo:arquivos tuliotoffolo$ python pi.py/usr/local/Cellar/python/2.7.14/Frameworks/Python.framework/Versions/2.7/Resources/Python.app/Contents/MacOS/Python: can't open file 'pi.py': [Errno 2] No such file or directorytuliotoffolo:arquivos tuliotoffolo$ gurobi.sh exemplo1.py Academic license - for non-commercial use onlyOptimize a model with 26 rows, 15 columns and 180 nonzerosCoefficient statistics: Matrix range [3e-02, 1e+02] Objective range [1e+01, 1e+01] Bounds range [0e+00, 0e+00] RHS range [2e+02, 3e+05]Presolve removed 20 rows and 0 columnsPresolve time: 0.00sPresolved: 6 rows, 20 columns, 95 nonzeros
Iteration Objective Primal Inf. Dual Inf. Time 0 6.0000000e+04 6.332375e+03 0.000000e+00 0s 8 6.5061443e+04 0.000000e+00 0.000000e+00 0s
Solved in 8 iterations and 0.00 secondsOptimal objective 6.506144344e+04
Solução: x_1 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.299643950278 x_2 = 269.89443 | base: Sim | reduced cost = 0.0 x_3 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.604060216128 x_4 = 1450.00000 | base: Sim | reduced cost = 0.0 x_5 = 1250.00000 | base: Sim | reduced cost = 0.0 x_6 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.756774314448 x_7 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.927147229683 x_8 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.365456930477 x_9 = 635.00843 | base: Sim | reduced cost = 0.0 x_10 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 0.568299081767 x_11 = 1540.00000 | base: Sim | reduced cost = 0.0 x_12 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 1.87052907739 x_13 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 1.86743706665 x_14 = 0.00000 | base: Não | reduced cost = 1.06001624086 x_15 = 855.09713 | base: Sim | reduced cost = 0.0
Informações: demanda : dual = 12.991 | folga = 0.0 | range = 5.6e+03, 6.4e+03 capacidade_1 : dual = 0.000 | folga = 1500.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_2 : dual = 0.000 | folga = 1730.1 | range = 2.7e+02, 1e+100 capacidade_3 : dual = 0.000 | folga = 1700.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_4 : dual = -1.850 | folga = 0.0 | range = 2e+02, 2e+03 capacidade_5 : dual = -0.005 | folga = 0.0 | range = 3.6e+02, 2.1e+03 capacidade_6 : dual = 0.000 | folga = 1890.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_7 : dual = 0.000 | folga = 1640.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_8 : dual = 0.000 | folga = 1124.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_9 : dual = 0.000 | folga = 1355.0 | range = 6.4e+02, 1e+100 capacidade_10 : dual = 0.000 | folga = 900.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_11 : dual = -0.104 | folga = 0.0 | range = 1.3e+03, 2.1e+03 capacidade_12 : dual = 0.000 | folga = 1630.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_13 : dual = 0.000 | folga = 1320.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_14 : dual = 0.000 | folga = 1245.0 | range = 0.0, 1e+100 capacidade_15 : dual = 0.000 | folga = 1003.9 | range = 8.6e+02, 1e+100 teor_minimo_1 : dual = 0.000 | folga = -17478.4 | range = -1e+100, 2.8e+05 teor_minimo_1 : dual = 0.000 | folga = 12521.6 | range = 2.8e+05, 1e+100 teor_minimo_2 : dual = 0.000 | folga = -410.0 | range = -1e+100, 2e+03 teor_minimo_2 : dual = 0.000 | folga = 190.0 | range = 2e+03, 1e+100 teor_minimo_3 : dual = 0.000 | folga = -20.0 | range = -1e+100, 2.3e+02 teor_minimo_3 : dual = 0.000 | folga = 28.0 | range = 2.3e+02, 1e+100 teor_minimo_4 : dual = 0.000 | folga = -3600.0 | range = -1e+100, 1.6e+04 teor_minimo_4 : dual = -0.613 | folga = 0.0 | range = 1.4e+04, 1.7e+04 teor_minimo_5 : dual = 0.000 | folga = -72000.0 | range = -1e+100, 3e+05
9 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Exercícios
Exercício prático
Adapte o modelo de forma que:1 O custo fixo de 100 unidades monetárias seja considerado pela
utilização de uma pilha.2 Uma pilha seja utilizada apenas se 500 ou mais toneladas forem
extraídas.
E agora, como modelar estas situações?
10 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Variáveis inteiras
Embora tenham profundo impacto negativo na resolução do modelo,variáveis inteiras (e binárias) são extremamente úteis!
Para resolver o exercício 1:
criaremos uma variável binária (e portanto inteira) yi ∈ {0, 1}se y1 = 1 então a pilha i é utilizada;
se y0 = 0 então a pilha i não é utilizada.
11 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios (3)
Minimizar:∑i∈P
cixi + 100yi
Sujeito a:∑i∈P
xi = d
xi ≤ qiyi ∀i ∈ P∑i∈P
(ai,j − b−j
)xi ≥ 0 ∀j ∈ T
∑i∈P
(ai,j − b+j
)xi ≤ 0 ∀j ∈ T
xi ≥ 0, yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ P
12 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Variáveis inteiras
Para resolver o exercício 2:
A variável yi pode ser utilizada também para definir um mínimo a serretirado da pilha:
se y1 = 1 então xi ≥ 500
se y0 = 0 então x1 não precisa ser maior ou igual a 500
Basta adicionar a restrição a seguir:
xi ≥ 500yi ∀i ∈ P
13 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Mistura de minérios (3)
Minimizar:∑i∈P
cixi + 100yi
Sujeito a:∑i∈P
xi = d
xi ≤ qiyi ∀i ∈ P
xi ≥ 500yi ∀i ∈ P∑i∈P
(ai,j − b−j
)xi ≥ 0 ∀j ∈ T
∑i∈P
(ai,j − b+j
)xi ≤ 0 ∀j ∈ T
xi ≥ 0, yi ∈ {0, 1} ∀i ∈ P
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1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
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Ex.: Indústria do Vestuário
Uma indústria fabrica camisetas, meias e calças.
O maquinário necessário para a confecção de cada item pode ser alugadosemanalmente por: camisetas (200), meias (150) e calças (100).
A fabricação de cada item requer um certo tempo de trabalho em horas e umaquantidade de tecido em m2. Além disso, existe um preço de venda para cadaitem e um custo unitário de produção.
Item Horas de Trab. Tecido Preço Venda Custo Produção
Camiseta 3 4 12 6Meias 2 3 8 4Calça 6 4 15 8
Em uma semana, existe a disponibilidade de 150 horas de trabalho e 160 m2 detecido. Formule o programa linear que maximize o lucro dessa indústriaconsiderando o planejamento de uma semana.
16 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Indústria do Vestuário
Variáveis
x1: número de camisetas produzidas
x2: número de meias produzidas
x3: número de calças produzidas
x1, x2, x3 ∈ Z
Custo FixoNote que o custo de aluguel das máquinas não depende da quantidadeproduzida de um determinado item e sim da decisão binária de produzirou não determinado item.
17 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Indústria do Vestuário
Variáveis Auxiliares
y1: 1 se alguma camiseta foi produzida e 0 caso contrário
y2: 1 se alguma meia foi produzida e 0 caso contrário
y3: 1 se alguma calça foi produzida e 0 caso contrário
y1, y2, y3 ∈ {0, 1}
Custo FixoNote que cada yi é uma variável inteira tal que 0 ≤ yi ≤ 1(com i ∈ {1, 2, 3})
18 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Indústria do Vestuário
Maximize6x1 + 4x2 + 7x3 − 200y1 − 150y2 − 100y3
Sujeito a
horas : 3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150
tecido : 4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160
Mas... Como garantir que o valor de y é consistente com o de x, ou seja, quequalquer valor maior que zero em xi implique yi = 1?
Big M
Utilizaremos o Big M: xi ≤Myi,onde M é uma constante suficientemente grande
19 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Indústria do Vestuário
Maximize6x1 + 4x2 + 7x3 − 200y1 − 150y2 − 100y3
Sujeito a
horas : 3x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 150
tecido : 4x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160
maqCamisetas : x1 ≤My1
maqMeias : x2 ≤My2
maqCalcas : x3 ≤My3
x1, x2, x3 ∈ Zy1, y2, y3 ∈ {0, 1}
20 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
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1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
21 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Transportes de Asteróide
Uma transportadora tem uma frota de caminhões dedicada a uma rota com altarequisição (ex.: Rio – São Paulo).
Os caminhões são utilizados para a entrega de um conjunto de encomendas jáestabelecido. O objetivo é distribuir todas as encomendas minimizando onúmero de caminhões necessário.
Cada caminhão tem uma determinada capacidade. Além disso, por questões desegurança, encomendas de alto valor não devem ser concentradas em umcaminhão só, de modo que existe um limite para o valor máximo estimado dasencomendas na carga de um caminhão. O custo de um caminhão realizar umaviagem no trecho também é pré-determinado.
22 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Transportes Asteróide
Dados de entrada
C conjunto de caminhões E conjunto de encomendaswc capacidade do caminhão c pe peso da encomenda evc valor máx. no caminhão c se valor da encomenda etc custo viagem do caminhão c
Variáveis
xe,c =
{1 se encomenda e é transportada pelo caminhão c0 caso contrário
yc =
{1 se o caminhão c é utilizado0 caso contrário
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Ex.: Transportes Asteróide - Modelo
Dados de entrada
C conjunto de caminhões E conjunto de encomendaswc capacidade do caminhão c pe peso da encomenda evc valor máx. no caminhão c se valor da encomenda etc custo viagem do caminhão c
Restrições
cada encomande em um caminhão:∑c∈C
xe,c = 1 ∀ e ∈ E
capacidade do caminhão:∑e∈E
pexe,c ≤ wcyc ∀ c ∈ C
valor máx. em cada caminhão:∑e∈E
sexe,c ≤ vcyc ∀ c ∈ C
24 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Ex.: Transportes Asteróide - Modelo
Minimize∑c∈C
tcyc
Sujeito a∑c∈C
xe,c = 1 ∀ e ∈ E∑e∈E
pexe,c ≤ wcyc ∀ c ∈ C∑e∈E
sexe,c ≤ vcyc ∀ c ∈ C
xe,c ∈ {0, 1} ∀ e ∈ E, c ∈ C
yc ∈ {0, 1} ∀ c ∈ C
25 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Variáveis de Folga
Considere o exemplo de Transportes Asteróide
Caso todos os caminhões fiquem cheios e ao menos uma encomendanão caiba mais, o resolvedor indicará que o problema é infactível e nãoinformará nenhuma solução.
Para o usuário, seria mais prático receber uma solução com o máximopossível de itens carregados e com a informação de quais itens nãopuderam ser carregados.
26 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Variáveis de Folga
Restrições Fortes
Até agora os modelos foram especificados com restrições que devem sersatisfeitas sempre. Essas restrições são denominadas RestriçõesFortes.
Restrições Fracas
Para evitar o problema de restringir demais as soluções do problema etorná-lo infactível, podemos utilizar Restrições Fracas: variáveis de folgasão inseridas e penalizadas na função objetivo, de forma a minimizar onão atendimento às restrições consideradas.
27 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Aula de Hoje: mais modelagem!
1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
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Exemplo: Transporte de Fábricas
Fonte: [1] Luís Herique Rodrigues et al. (2014), Pesquisa Operacional -Programação Linear Passo a Passo, Editora Unisinos.
Você possui três fábricas localizadas em regiões geográficas distintas, e precisasaber quanto deve produzir e transportar para quatro diferentes mercados a umcusto mínimo. As informações do custo de transporte unitário entre as fábricas eos mercados estão no quadro a seguir.
Xij – Quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado parao mercado j
Passo 4 – Identificando o que deve ser minimizado ou maximizado
Esse problema indica que “Você possui três fábricas localizadas em regiõesgeográficas distintas e precisa saber quanto deve produzir e transportar para quatrodiferentes mercados, a um custo mínimo”. Dessa maneira, podemos entender que oproblema trata-se da minimização dos custos, e sua função objetivo pode ser definida daseguinte forma:
MINIMIZAR CUSTO
Onde o custo é: custo de transporte da fábrica i para o mercado j multiplicadopela quantidade de unidades de produto produzidos na fábrica i a ser enviado para omercado j.
Passo 5 – Identificando classes de restrições
Ao observar o quadro que apresenta os dados do problema, identificam-se duasclasses de restrições, destacadas a seguir:
Quadro 9 – Classes de restrições do problema 3 – transporte
Custo de transporteMercados
Capacidade Produtiva1 2 3 4
FábricasA $ 0,90/un $ 1,00/un $ 1,80/un $ 1,05/un 22.500 unB $ 2,10/un $ 0,80/un $ 0,70/un $ 1,15/un 21.000 unC $ 1,10/un $ 1,00/un $ 1,20/un $ 1,50/un 19.500 un
Demanda mínima 10.000un 15.000un 11.000un 10.000un
Demanda mínima: Para cada um dos mercados deve ser expedido uma quantidade29 / 40 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 09: Modelagem / Variáveis inteiras
Exemplo: Transporte de Fábricas
min∑i∈F
∑j∈M
ci,jxi,j
s.a.∑j∈M
xi,j ≤ pi ∀i ∈ F
∑i∈F
xi,j ≥ dj ∀j ∈M
xi,j ≥ 0 ∀i ∈ F,∀j ∈M
Mas... faz sentido enviar uma única unidade?Faz sentido produzir só uma unidade?
Na prática, geralmente tem-se um frete mínimo (ou custo fixo).
E uma produção mínima para viabilizar a fábrica...
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Exemplo: Transporte de Fábricas
ExercícioAdicione as seguintes características do mundo real ao modelo:1 Inclua uma produção mínima mi para cada fábrica i ∈ F .2 Inclua um custo fixo fi,j para transportar produtos da fábrica i ∈ F
para o mercado j ∈M (ou seja, um custo fixo se xi,j > 0).
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Aula de Hoje: mais modelagem!
1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
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Ex.: Investimentos
A empresa VALOR está considerando 4 investimentos. Cada um tem umaperspectiva de ganho e um custo, os quais são descritos a seguir:
Investimento Ganho Custo
1 16.000 5.0002 22.000 7.0003 12.000 4.0004 8.000 3.000
A empresa tem atualmente 14.000 disponível para investir. Modele o problemaque descreve como a VALOR irá investir de maneira ótima.
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Ex.: Investimentos
Investimentos
(em milhares de unidade monetárias)
max. 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4
s.t. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
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Exercícios
Exercícios (para o final da aula)
Que restrições adicionais devem ser incluídas no problema da VALOR
para tratar as seguintes particularidades:
1 deve-se investir no máximo em 2 investimentos;2 o investimento em 2 implica que se deve investir em 1;3 o investimento em 2 implica que não se deve investir em 4;
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Dica: negação
O Complemento Binário
Sejam y e x variáveis binárias (lógicas), se y é a negação de xdenominamos y como complemento binário de x.
y = x
Linearizando:
y = 1− x
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Aula de Hoje: mais modelagem!
1 Exemplo 1: Mistura de Minérios
2 Exemplo 2: Problemas de Custo Fixo
3 Exemplo 3: Transportes Asteróide
4 Exemplo 4: Transporte de Fábricas
5 Exemplo 5: Investimentos
6 Exercício: Viagem a Paris
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Exercício
Exercício 1O casal Uni & Sina decidiu passar a sua lua de mel em Paris. Para tanto,conseguiram uma folga de dez dias para desfrutar as belezas da CidadeLuz. Entretanto, estão com duas grandes dúvidas:
1 Qual passeios escolher dentre as várias possibilidades e estilosdisponíveis.
2 Qual opção de financiamento para custear as despesas.
Os passeios disponíveis são listados a seguir com seus estilos, dias deduração e custo.
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Exercício
Passeios disponíveis
Passeio Estilo Duração (dias) Custo (R$)
A Histórico 4 R$ 1000.00
B Histórico 3 R$ 900.00
C Aventura 5 R$ 1500.00
D Aventura 1 R$ 800.00
E Romance 3 R$ 2000.00
F Romance 4 R$ 3000.00
G Infantil 2 R$ 500.00
Opções de financiamento
Financeira Valor mínimo Valor máximo Taxa de juros
I Histórico 4 R$ 1000.00
II Histórico 3 R$ 900.00
III Aventura 5 R$ 1500.00
�1
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Exercício
Passeios disponíveis
Passeio Estilo Duração (dias) Custo (R$)
A Histórico 4 R$ 1000.00
B Histórico 3 R$ 900.00
C Aventura 5 R$ 1500.00
D Aventura 1 R$ 800.00
E Romance 3 R$ 2000.00
F Romance 4 R$ 3000.00
G Infantil 2 R$ 500.00
Opções de financiamento
Financeira Valor mínimo Valor máximo Taxa de juros
I Histórico 4 R$ 1000.00
II Histórico 3 R$ 900.00
III Aventura 5 R$ 1500.00
�1
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