Aula 05 201403242346 · 5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, a...
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24/03/2014
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ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II
AULA 05
ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II
AULA 05
Site da disciplina:
engpereira.wordpress.com
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
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Material disponibilizado:
1 - Programação das aulas:
METODOLOGIA DA DISCIPLINA
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2 - Plano de ensino:
• Objetivos
• Ementa
• Conteúdo programático
• Metodologia do curso
• Bibliografia
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Material disponibilizado:
3 – Slides das aulas que poderão ser impressos para acompanhamentoda disciplina:
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4 – Tabelas de cálculo, catálogo de fabricantes, artigos, etc..
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Material disponibilizado:
5 – Programas gratuitos para análise estrutural (STRAP, Ftool, etc..)
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Material disponibilizado:
6 – Resolução de alguns exercícios em vídeo.
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Demais informações serão sempre postadas no site.
• Lista de exercícios;
• Resoluções dos exercícios (algumas soluções em vídeo);
• Provas anteriores para estudo;
• Gabaritos;
• Avisos em geral (alterações de sala, vistas de prova, etc...);
• Qualquer informação adicional pertinente à disciplina.
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• Determinação da flecha e rotação em vigas isostáticas e hiperestáticassimples
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1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:
a) Não há rigidez nos apoios para transmissão de momento
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
1.1 - Condições para adotar modelo bi-apoiado:
b) Ligação flexível (permite mais que 80% da rotação teórica)
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
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1.2 - Condições para adotar modelo apoiado engastado:
Um dos apoios não permite rotação devido à sua rigidez.
- Gera momento no apoio
engastado.
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
1.3 - Condições para adotar modelo bi-engastado:
Apoios têm rigidez suficiente para impedir rotação
1. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.1 – Considere uma viga engastada isostática com carregamentoconcentrado na extremidade:
Convenção:
Carregamento para cima (+)
Carregamento para baixo (-)
Hipótese:
Material elástico, flexão-pura (V = 0)
ν – Deslocamento de qualquer ponto do eixo da viga
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.2 – Durante flexão, cada ponto da viga sofre deflexão(ν) e rotação(θ)
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.3 – Convenções:
• Deflexão(ν): positiva para cima (observarconvenção dos esforços)
• Rotação(θ): positiva pela “regra da mão direita”
No ponto m1: Deflexão = ν; rotação = θ
No ponto m2: Deflexão = ν + dν; rotação = θ + dθ
� ds – distância de m1 e m2 (arco);
� dθ – ângulo (em rad)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.4 – Para vigas com pequenas rotações:• Na prática, as deformações nas vigas das
edificações não possíveis de serem observadassem instrumentação, portanto:
• Por definição ângulo(θ) em radianos é:
s – arco; ρ - raio
• Sabemos que a curvatura é inversamenteproporcional ao raio (quanto maior o raio, menora curvatura), então a curvatura(k) é:
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.4 – Para vigas com pequenas rotações:• Na prática, as deformações nas vigas das
edificações não são possíveis de seremobservadas sem instrumentação
Portanto:
• Derivando em função de x, temos:
• O primeiro membro da equação acima é acurvatura (conforme slide anterior), então:
• (I)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.5 – Lei de Hooke:
Inclinação no regime elástico: (II)
Deformação específica (adimensional): (III)
Definição de momento com equações (II) e (III):
A integral do produto dos elementos de uma área pelo quadrado da distância de umeixo pode ser substituída pela inércia:
(IV)
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.6 – Conclusão da dedução:
A partir de (I) e (IV), temos:
DEFINIÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.6 – Convenção de sinais da curvatura:
Curvatura positiva:
Curvatura negativa:
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.7 – Integração da equação da curvatura:
Derivada do momento: (força cortante)
Derivada da cortante: (carregamento)
(observar convenção do eixo de referência da carga distribuída. Em geral, a carga depeso próprio é positiva, assim algumas bibliografias utilizam a derivada da cortanteigual a -q, entretanto, se adotarmos eixo y para cima, a carga de peso próprio énegativa, desta forma o sinal já está indicado com a carga, como é utilizado em todosos programas de modelagem estrutural)
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.8 – Vigas com rigidez constante:
Isolando momento da equação da linha elástica:
Derivar os dois membros:
Então:
Derivando novamente: (observar convenção de esforços)
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.9 – Rotina para resolução:
1º Passo: escrever as equações de momento da viga;
2º Passo: substituir equação de momento na equação da linha elástica;
3º Passo: integrar duas vezes para isolar a deflexão.
As integrações geram constantes C1 e C2
4º Passo: determinar as constantes C1 e C2 de acordo com condições decontorno
2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.10 – Condições de contorno:
Nos apoios não há deflexão. Somente engaste produz momento.
Deflexão e momento = 0
Deflexão e momento = 0
Deflexão e rotação = 0
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2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA CURVA DE DEFLEXÃO
2.11 – Vigas bi-apoiadas:
Nos apoios não há deflexão nem momento.
3. EXERCÍCIO
3 – Qual é a deflexão máxima e a rotação nos apoios da viga abaixocom rigidez constante?
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3 EXERCÍCIO
1º Passo: determinar a equação do momento fletor
3 EXERCÍCIO
2º Passo: substituir equação de momento obtida na equação da linhaelástica.
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3 EXERCÍCIO
3º Passo: integração dupla
Primeira integração:
Segunda integração:
3 EXERCÍCIO
4º Passo: determinar condições de contorno e C1 e C2
Momentos e deflexões inexistentes nos apoios
Então:
Para determinação das constantes, substituir na equação da linha elástica daviga
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3 EXERCÍCIO
Substituição para determinação das constantes C1 e C2:
3 EXERCÍCIO
5º Passo: substituir C1 e C2 na equação da linha elástica
Substituindo:
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3 EXERCÍCIO
A deflexão máxima ocorre no meio da viga, então:
Para: em
Temos:
3 EXERCÍCIO
Equação da rotação:
Substituindo:
Obs.: Pode ser obtida derivando a equação da deflexão.
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3 EXERCÍCIO
Rotação nos apoios:
Equação da rotação:
4 EXERCÍCIO
4 – Determinar a deflexão e rotação no ponto D da viga abaixo.Verificar resultados com programa de análise estrutural. E = 10 Gpa.
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4 EXERCÍCIO
4.1 Determinação das reações de apoio:
4 EXERCÍCIO
4.2 Equação da linha elástica:
Carregamento
Cortante
Momento
Rotação
Deflexão:
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4 EXERCÍCIO
4.3 Equação da linha elástica:
Carregamento
Cortante
Momento
Rotação
Deflexão:
4 EXERCÍCIO
4.4 Constantes C1, C2, C3 e C4:
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4 EXERCÍCIO
4.5 Rigidez:
4.6 Equações
Rotação:
Deflexão:
4 EXERCÍCIO
4.7 Deflexão e rotação no ponto D: x = 2,20 m
Rotação:
Deflexão:
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4 EXERCÍCIO
4.8 Verificação no programa de análise estrutural
Rotação:
Deflexão:
5 EXERCÍCIO PARA SEMANA
5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, adeflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastadaisostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidezconstante.
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5 EXERCÍCIO PARA SEMANA
5 – Deduzir a equação da linha elástica, a equação da rotação, adeflexão máxima e a rotação na extremidade da viga engastadaisostática com carregamento uniformemente distribuído e rigidezconstante.