Aula 02 SEPs
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INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS
DE POTÊNCIA
Aula 02
Prof.: Haroldo de Faria Junior
HAROLDO DE FARIA JR - 2015
![Page 2: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/2.jpg)
Preocupação do Engenheiro de SEP:
• Operação Normal
• Condições Anormais
Objetivo:
• Estudar o estado permanente de circuitos AC, particularmente, os trifásicos
Premissa:
• Forma de onda nas barras de um sistema de potência (senoidal e frequência
constante)
Introdução
![Page 3: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/3.jpg)
Sistema de tensões polifásico e simétrico a n fases
n = 3: Sistemas trifásicos
( )
−⋅−⋅=
⋅−⋅=
⋅−⋅=
⋅=
n
ntEe
ntEe
ntEe
tEe
mn
m
m
m
12cos
22cos
12cos
cos
3
2
1
πω
πω
πω
ω
M
Circuitos Polifásicos
![Page 4: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/4.jpg)
( ) [ ]
⋅=
−⋅=
⋅=
−⋅=
⋅=⋅=
−
tjj
MM
tjj
MM
tj
MM
eeEtEe
eeEtEe
eEtEe
ωπ
ωπ
ω
πω
πω
ω
3
2
3
3
2
2
1
Re3
4cos
Re3
2cos
Recos
0
3
0
2
0
1
1202
3
2
1
3
2
3
2cos
1202
3
2
1
3
2
3
2cos
00
∠=
+−=
+
=
−∠=
−−=
−+
−=
∠=+=
EjEjsenEE
EjEjsenEE
EjEE
ππ
ππ
&
&
&
2
mEE =
tjsentetj ωωω += cos
Lembrar:
Circuitos Polifásicos
Onde:
![Page 5: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/5.jpg)
0
3
0
2
0
1
120
120
0
∠=
−∠=
∠=
EE
EE
EE
&
&
&
2
mEE =
Circuitos Polifásicos
![Page 6: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/6.jpg)
Análise de Circuitos Trifásicos
Métodos para solução de circuitos em diversas condições envolvendo tensões nos terminais
dos geradores, as linhas utilizadas para a transmissão da energia e a carga conectada no final
da linha
Geradores, Linhas e Cargas
![Page 7: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/7.jpg)
Definições
(1-a) Sistema de tensões trifásico simétrico: sistema trifásico em que as tensões nos
terminais dos geradores são senoidais, de mesmo valor máximo, e defasadas entre si de��
���� ou 1200 elétricos
(1-b) Sistema de tensões trifásico assimétrico: sistema trifásico em que as tensões nos
terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma das condições apresentadas em
(1-a)
Geradores, Linhas e Cargas
![Page 8: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/8.jpg)
Definições
(2-a) Linha (ou rede) trifásica equilibrada: linha (ou rede) trifásica, constituída por 3 ou 4 fios
(3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retorno), na qual se verificam as seguintes
relações:
- Impedâncias próprias dos fios de fase iguais entre si: �̅ = �̅�� = �̅�� = �̅
- Impedâncias mútuas entre os fios de fase iguais entre si: �̅� = �̅�� = �̅� = �̅�
- Impedâncias mútuas entre os fios de fase e o fio de retorno iguais (para sistema a 4 fios):
�̅� = �̅�� = �̅�� = �̅′�
(2-b) Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: linha (ou rede) trifásica, constituída por 3 ou 4
fios (3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retorno), na qual não se verifica pelo menos
uma das relações apresentadas em (2-a)
Geradores, Linhas e Cargas
![Page 9: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/9.jpg)
Definições
(3-a) Carga trifásica equilibrada : carga trifásica constituída por 3 impedâncias complexas
iguais, ligadas em estrela ou em triângulo
(3-b) Carga trifásica desequilibrada : carga trifásica na qual não se verifica a condição
descrita em (3-a)
Geradores, Linhas e Cargas
![Page 10: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/10.jpg)
( )θω +⋅= tEe M cos
Sequência de Fases
![Page 11: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/11.jpg)
• Ordem pela qual as tensões passam pelo seu valor máximo
• Exemplo: Slide anterior (A-B-C)
A-B-C: Seq.Direta ou positiva
A-C-B: Seq. Inversa ou negativa
• Exemplo: Um sistema trifásico tem sequência B-A-C e determinar as
tensões e
VVC
040220∠=&
Sequência de Fases
AV& BV&
![Page 12: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/12.jpg)
2
3
2
11201
0j+−=∠=αOperador que, aplicado a um fasor,
perfaça nele uma rotação de 1200 .
00034
00023
0002
01
1201120101
0112011201
120112011201
1201
∠=∠⋅∠=⋅=
∠=∠⋅−∠=⋅=
−∠=∠⋅∠=⋅=
∠==
ααα
ααα
ααα
αα
( ) ( )( )( ) 202323
10313
00033
1201
1201
0101
αααα
ααααα
ααα
=−∠=⋅=
=∠==⋅=
=∠=∠==
+
+
nn
nn
nnn
Operador αααα
![Page 13: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/13.jpg)
030
03
3
0
02
2
20
0
1
0101
11
12011201
11
12011201
11
ααα
α
αα
α
αα
α
==∠=∠
==
=∠=−∠
==
=−∠=∠
==
−
−
−
( )
( ) ααα
α
ααα
α
αα
α
=∠=−∠
=⋅
=
=−∠=∠
=⋅
=
=∠=∠
==
+−
+−
−
0
023
23
20
03
13
0
03
3
12011201
11
12011201
11
0101
11
n
n
n
n
o
n
n
Operador αααα
![Page 14: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/14.jpg)
012 =++ αα
Propriedade mais importante !Propriedade mais importante !
Operador αααα
![Page 15: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/15.jpg)
CBA MMM &&& ,,
=
C
B
A
M
M
M
&
&
&
AM
Sequência : Conjunto ordenado de três fasores
Sequências
![Page 16: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/16.jpg)
Os três fasores são iguais
=⋅=
=
=
1
1
1
,
1
1
1
V00
0
0
0
000SSVV
V
V
V
&&
&
&
&
Sequência Nula ou de Fase Zero
![Page 17: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/17.jpg)
=⋅=
=
⋅
⋅=
α
α
α
α
α
α 2
111
2
1
1
1
2
1
1
1
,
1
V SSVV
V
V
V
&&
&
&
&
1
1
2
1
,,
VV
VV
VV
VVV
C
B
A
CBA
&&
&&
&&
&&&
⋅=
⋅=
=
α
α
Sequência Direta ou Positiva
![Page 18: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/18.jpg)
=⋅=
=
⋅
⋅=2
222
2
2
2
2
2
2
2
1
,
1
α
α
α
α
α
α SSV VV
V
V
V
&&
&
&
&
2
2
2
2
,,
VV
VV
VV
VVV
C
B
A
CBA
&&
&&
&&
&&&
⋅=
⋅=
=
α
α
Sequência Inversa ou Negativa
![Page 19: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/19.jpg)
Valores Instantâneos
Letras minúsculas com índice
Fasores
Letra Maiúscula: Módulo em valor absoluto
Letra Minúscula: Módulo de valor % ou pu
Módulo e Fase
Temporal: Valor máximo e ângulo em radianos
Fasorial: Valor eficaz e ângulo em graus
Grandezas não cossenoidais representadas por números complexos (impedâncias, admitâncias e potências complexas)
Letra maiúscula: módulo de valor absoluto
Letra minúscula: módulo de valor % ou pu
BCANA vvi ;;
BCANA VVI &&& ;;
BCANA vvi &&& ;;
ABZ
ABz
AI
Ati
A
A
030
2
20
)6cos(20
−∠=
−=
&
πω
Grandezas cossenoidais que podem ser representadas por fasores (correntes e tensões)
Simbologia
![Page 20: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/20.jpg)
Considerações Gerais
• Linhas de 3 ou 4 fios para alimentação das cargas à
partir dos geradores
• Nesta seção serão desconsideradas as mútuas
• Se as mútuas forem iguais, todas as deduções serão
válidas
Sistemas 3f Simétricos e Equilibrados com Cargas Equilibradas
![Page 21: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/21.jpg)
−+∠=∠
+∠==
−−∠=∠
−∠==
−∠=∠
+==
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
0
0
0
0
120120
120120
0
Z
E
Z
E
Z
EI
Z
E
Z
E
Z
EI
Z
E
Z
jE
Z
EI
C
B
A
CN
C
BN
B
AN
A
&&
&&
&&
jXRZZ +=∠= ϕ
Carga Equilibrada
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
Ligações em Estrela
![Page 22: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/22.jpg)
0'
=++= CBANN IIII &&&&
• Condutor NN’: Fio neutro ou quarto fio
• Para a transmissão da mesma potência:
• 3f: 3 ou 4 fios
• Monofásico: 6 fios
• Condutor NN’: Fio neutro ou quarto fio
• Para a transmissão da mesma potência:
• 3f: 3 ou 4 fios
• Monofásico: 6 fios
INN`
Circuito Trifásico
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
1) Interligando os pontos NA , NB e NC no ponto N
2) Interligando os pontos NA’, NB
’e NC’no ponto N’
![Page 23: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/23.jpg)
INN`
Circuito Trifásico
Define-se:
• Tensão de fase: tensão medida entre o centro-estrela e qualquer um dos terminais do
gerador ou da carga
• Tensão de linha: tensão medida entre dois terminais (nenhum deles sendo o “centro-
estrela”) do gerador ou da carga. Evidentemente, podemos definir a tensão de linha
como sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga
• Corrente de fase: corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou, o que é
o mesmo, corrente que percorre cada uma das impedâncias da carga.
• Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à
carga (exclui-se o neutro)
![Page 24: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/24.jpg)
CCNBBNAAN IIIIII &&&&&& === ;;
Correntes de Linha e de Fase são Iguais
Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em Y
RELAÇÃO ENTRE CORRENTES
Relação entre Valores de Linha e Fase para Y
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
![Page 25: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/25.jpg)
⋅=
=
α
α 2
1
AN
CN
BN
AN
V
V
V
V
&
&
&
&
ANV
Considerando Seq. De Fase Direta ou +
−=
−=
−=
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
RELAÇÃO ENTRE TENSÕES
Relação entre Valores de Linha e Fase para Y
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
![Page 26: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/26.jpg)
−=
−=
−=
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
−
−
−
⋅=
⋅−
⋅=
=
1
1
1
12
22
2
α
αα
α
α
α
α
α ANANAN
CA
BC
AB
VVV
V
V
V
&&&
&
&
&
ABV
0
022
02
3031
303
3031
∠=−
∠=−
∠=−
αα
ααα
α
∠⋅⋅
∠⋅⋅
∠⋅⋅
=
⋅∠⋅=
=0
0
0
20
303
303
3031
303
CN
BN
AN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
α
αAB
V
Considerando Seq. De Fase Direta ou +
Relação entre Valores de Linha e Fase para Y
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
![Page 27: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/27.jpg)
ANANAB
ANABANABBN
VVV
POMVVVVV
330cos2
)ˆcos(2
0
222
==
−+=−
&&
&&&&&
Sistemas 3f Simét. e Equilib. com Cargas Equilib.
Obtenção das Tensões de Linha a Partir das de Fase - Seq (+)
![Page 28: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/28.jpg)
⋅=
=2
1
α
αAN
CN
BN
AN
V
V
V
V
&
&
&
&
ANV
Considerando Seq. De Fase Negativa ou -
−=
−=
−=
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
RELAÇÃO ENTRE TENSÕES
Relação entre Valores de Linha e Fase para Y
![Page 29: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/29.jpg)
−=
−=
−=
ANCNCA
CNBNBC
BNANAB
VVV
VVV
VVV
&&&
&&&
&&&
−
−
−
⋅=
⋅−
⋅=
=
1
1
1
1
2
22
2 α
αα
α
α
α
α
α ANANAN
CA
BC
AB
VVV
V
V
V
&&&
&
&
&
ABV
022
02
0
3031
303
3031
−∠=−
−∠=−
−∠=−
αα
ααα
α
−∠⋅⋅
−∠⋅⋅
−∠⋅⋅
=
⋅−∠⋅=
=0
0
0
2
0
303
303
3031
303
CN
BN
AN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
α
αAB
V
Considerando Seq. De Fase Negativa ou -
Relação entre Valores de Linha e Fase para Y
![Page 30: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/30.jpg)
Obtenção das Tensões de Linha a Partir das de Fase - Seq (-)
![Page 31: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/31.jpg)
21
2'';;
1
ϕϕ
α
αθ ∠=∠=
⋅∠=
= ZZZZE
V
V
V
CN
BN
AN
&
&
&
ANV
Circuito trifásico em estrela – Circuito trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
![Page 32: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/32.jpg)
( ) ( )( ) ( )'2'
''2
ZZZZVV
ZZZZVV
CNBN
BNAN
+++−=−
+−+=−
βγ
βγ
&&
&&
0')()('
0)(')('
=−−−−−−−
=−−−−−−−
CNBN
BNAN
VZZZZV
VZZZZV
&&
&&
ββγβγβ
βγβγγγMalha NAA`N`B`BN :
Malha NBB`N`C`CN :
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
![Page 33: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/33.jpg)
'2
'2
ZZ
VV
ZZ
VV
CNBN
BNAN
+
−=+−
+
−=−
&&
&&
βγ
βγ ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]BNANCN
CNBNAN
VVVZZ
VVVZZ
&&&
&&&
++⋅−⋅+
=
+−⋅⋅+
=
2'3
1
2'3
1
β
γ
( ) ( )( ) ( )'2'
''2
ZZZZVV
ZZZZVV
CNBN
BNAN
+++−=−
+−+=−
βγ
βγ
&&
&&
Sistema
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
![Page 34: Aula 02 SEPs](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050820/5695d3381a28ab9b029d30a4/html5/thumbnails/34.jpg)
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]BNANCN
CNBNAN
VVVZZ
VVVZZ
&&&
&&&
++⋅−⋅+
=
+−⋅⋅+
=
2'3
1
2'3
1
β
γ
( )( ) CNANANBNAN
ANANCNBN
VVVVV
VVVV
&&&&&
&&&&
−=⋅−=+=+
−=+=+
αα
αα2
2
1
'
'
ZZ
V
ZZ
V
CN
AN
+
−=
+=
&
&
β
γ
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
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'
'
ZZ
V
ZZ
V
CN
AN
+
−=
+=
&
&
β
γ
( )
ACN
C
ABN
ANCNB
ANA
IZZ
E
ZZ
VI
IZZ
E
ZZ
VVV
ZZI
ZZ
E
ZZ
VI
&&
&
&&
&&&
&&
⋅=+
∠⋅=
+=−=
⋅=+
∠=
+=−−
+=−=
+
∠=
+==
αθα
β
αθα
γβ
θγ
''
'''
1
''
2
2
Esse resultado pode ser obtido de forma mais simples observando que os pontos N e N` estão ao mesmo
potencial – sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
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''
'
2
2
'
'
'
''
AACC
AABB
AA
IZZ
EI
IZZ
EI
ZZ
EI
&&
&
&&
&
&&
⋅=+
⋅=
⋅=+
=
+=
αα
αα
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela
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⋅+
=
⋅
⋅
+
+
+
=
⋅
α
α
α
α
α
α
α
α
22
'
'
22
1
'
1
1
'00
0'0
00'1
ZZ
EI
I
ZZ
ZZ
ZZ
E
AA
AA
&&
&&
Forma matricial
Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela