Aula 02 - Eletricidade CA
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ELETRICIDADE CA
Aula 02 Elementos de circuitos e nmeros complexos
Prof. Jos Daniel de Alencar Santos [email protected]
Escola Tcnica Aberta do Brasil - ETEC Instituto Federal do Cear - IFCE
Fortaleza - CE 2014
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Sumrio Apresentao....................................................... 03
Tpico 1 - Para comeo de conversa ................. 04
Tpico 2 - Elementos de circuitos ....................... 05
2.1 Consideraes iniciais ................................... 05
2.2 Resistor .......................................................... 05
2.3 Capacitor ....................................................... 07
2.4 Indutor ........................................................... 09
Tpico 3 - Nmeros complexos .......................... 12
3.1 Consideraes iniciais .................................. 12
3.2 Definies ..................................................... 13
3.3 Formas de Representao ........................... 15
Concluso ........................................................... 20
Referncias ........................................................ 21
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Apresentao
Nesta aula, estudaremos os elementos bsicos que constituem os
circuitos em corrente alternada. So eles: os resistores, os
indutores e os capacitores.
Verificaremos como cada um desses elementos se comporta
quando alimentados por uma tenso ou uma corrente alternada e
senoidal. Na sequncia, tambm estudaremos a teoria dos
nmeros complexos, focando suas definies e formas de
representao, as quais sero muito utilizadas no decorrer da
nossa disciplina.
Objetivos
q Entender o comportamento dos elementos passivos
(resistores, indutores e capacitores) em circuitos eltricos
excitados por fontes alternadas e senoidais.
q Identificar as formas de onda de tenso e corrente em
cargas resistivas, capacitivas e indutivas.
q Compreender a teoria dos nmeros complexos, bem como
suas operaes e formas de representao em circuitos de
corrente alternada.
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Tpico 1 - Para comeo de conversa
Para a anlise de circuitos eltricos, seja em corrente contnua ou
em corrente alternada, utilizamos as leis de Kirchhoff para
escrever as equaes que regem o comportamento do circuito.
Os mtodos matemticos so empregados aos circuitos eltricos
em corrente alternada para determinar uma tenso (funo do
tempo) a partir da aplicao de uma corrente, ou o contrrio, uma
corrente (funo do tempo) a partir da aplicao de uma tenso.
A tenso ou a corrente determinada uma composio de duas
partes: uma transitria, que geralmente dura uma pequena frao de tempo; e uma parte que corresponde ao regime permanente ou estacionrio, que permanece at que o circuito sofra alguma nova alterao.
Os tpicos desta aula tratam de circuitos eltricos em regime
permanente. O estudo do regime transitrio dos elementos de
circuito no faz parte do propsito da nossa disciplina, pois
envolve ferramentas matemticas no contempladas no ensino
mdio.
A lei de Kirchhoff das correntes LKC estabelece que a soma das correntes que entram em um n igual a soma das correntes que saem deste mesmo n. J a lei de Kirchhoff das tenses (LKT) estabelece que a soma algbrica de todas as tenses em um caminho fechado (ou malha) zero.
Para relembrar sobre as leis de Kirchhoff acesse < http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff>
Objetivo q Relacionar o uso das leis de Kirchhoff para compreender as
equaes que regem o comportamento do circuito.
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Tpico 2 - Elementos de circuitos
2.1 Consideraes iniciais
Os elementos passivos e ideais do circuito possuem apenas uma das seguintes propriedades: resistncia, capacitncia e
indutncia. Estes so representados por resistor (R), capacitor (C)
e indutor (L).
importante esclarecer que R dissipa imediatamente qualquer energia recebida, enquanto C e L armazenam energia,
respectivamente, no campo eltrico e no campo magntico,
devolvendo posteriormente essa energia.
2.2 Resistor
Carga Resistiva
Observe a figura 2.1, em que uma fonte de tenso alternada
senoidal alimenta uma carga puramente resistiva de valor R.
A resistncia medida em ohms (), a capacitncia em farads (F) e a indutncia em henrys (H).
Objetivos q Entender o comportamento dos elementos passivos
(resistores, indutores e capacitores) em circuitos eltricos
excitados por fontes alternadas e senoidais.
q Identificar as formas de onda de tenso e corrente nas
cargas resistivas, capacitivas e indutivas.
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Fig. 2.1 Circuito puramente resistivo ref. [3], pag.63
A fonte de tenso desenvolve uma corrente diretamente
proporcional ao valor da tenso, quando aplicada sobre o resistor
(R).
Matematicamente:
em que:
As formas de onda da tenso e da corrente no resistor so
mostradas na figura 2.2, em que ambas crescem e decrescem
nos mesmos instantes.
v(t) = V = Vmaxsen(t) i(t) = iR
No resistor, as
formas de onda de
tenso e corrente
esto em fase.
O que diferencia a forma da onda uma da outra so apenas os valores de amplitude.
o que a lei de
Ohm explica:v = Ri
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Fig. 2.2 Tenso e corrente em uma carga resistiva ref. [2], pag.08
A razo entre a tenso e a corrente no resistor, em qualquer
instante de tempo, a prpria resistncia.
2.3 Capacitor
Carga capacitiva
Na figura 2.3, a fonte de tenso alternada senoidal alimenta uma
carga puramente capacitiva de valor C.
Fig. 2.3 Circuito puramente capacitivo ref. [3],
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Para a tenso de alimentao:
A corrente no capacitor (iC) dada pela expresso:
Conforme comentado na aula passada, a funo cosseno
deslocada 90 em relao funo seno. Assim, h um
deslocamento de =90 entre a tenso e a corrente no capacitor, conforme pode ser verificado na figura a seguir.
Fig. 2.4 Corrente adiantada 90 em relao tenso ref. [2], pag.09
Podemos dizer que a corrente no capacitor ideal est adiantada de 90 em relao a onda de tenso.
v(t) = V = Vmaxsen(t)
Esta expresso que representa a corrente do capacitador obtida atravs de uma operao matemtica chamada derivada. Para complementar seus estudos, pesquise sobre a expresso derivada. Como sugesto, segue o link: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA5ngAL/teoria-limite-derivadas
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A razo entre a tenso e a corrente no capacitor dada por:
em que Xc denominada reatncia capacitiva, e dada em ohms ().
2.4 Indutor
Carga indutiva
A figura 2.5 apresenta a fonte de tenso alternada senoidal que
alimenta uma carga puramente indutiva de valor L.
Fig. 2.5 Circuito puramente indutivo ref. [3], pag.66
Para a tenso de alimentao:
A corrente no indutor (iL) dada pela expresso:
v(t) = V = Vmaxsen(t)
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A tenso auto-induzida sobre o indutor L, descrita pela lei de Lenz, vlida para situaes que envolvem correntes variveis.
No caso do indutor, a forma de onda corrente atrasada em relao forma de onda da tenso em =90, conforme mostra a figura 2.6.
A razo entre a tenso e a corrente no indutor dada por:
em que XL denominada reatncia indutiva, e medida em ohms ().
A lei de Lenz afirma que o sentido da corrente gerada pela induo eletromagntica no sentido de se opor variao do campo magntico que lhe deu origem.
Fig. 2.6 Corrente atrasada 90 em relao tenso ref. [2], pag.11
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Resumo
Apresentamos a seguir um resumo das expresses para tenso e
corrente nos elementos de circuitos (R, L e C).
Elemento Tenso para
i = Im sen t
Tenso para
i = Im cos t
Resistncia R vR = RIm sen t vR = RIm cos t
Indutncia L vL = LIm cos t vL = LIm (- sen t)
Capacitncia C vC = Im (- cos
t)C vC = Im sen t
C
Tab. 1 Tenso em cada elemento, para uma corrente senoidal adaptada da ref. [1]
Elemento Tenso para
v = Vm sen t
Tenso para
v = Vm cos t
Resistncia R IR = Vm sen t
R
IR = Vm cos t
R
Indutncia L iL = Vm (- cos
)
L
tiL = Vm sen t
L
Capacitncia C IC = CVm cos t
IC = CVm (-sen t)
Tab. 2 Corrente em cada elemento, para uma tenso senoidal adaptada da ref. [1]
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Tpico 3 - Nmeros complexos
3.1 Consideraes inicias
A melhor forma de analisar grande parte dos circuitos CA
usando nmeros complexos.
Podemos dizer que a lgebra dos nmeros reais (lgebra comum)
aplicada na anlise de circuitos CC, enquanto a lgebra dos
nmeros complexos aplicada na anlise de circuitos CA.
Como veremos no decorrer da nossa disciplina, as tenses e
correntes senoidais so transformadas e representadas na forma
de nmeros complexos, e passam a ser chamadas de fasores.
Alm disso, as resistncias, indutncias e capacitncias tambm
so transformadas em nmeros complexos, e so chamadas
impedncias.
O vdeo < https://www.youtube.com/watch?v=pOCUumUAkhA> apresenta uma breve explicao sobre os nmeros complexos.
Objetivo q Compreender a teoria dos nmeros complexos, bem como
suas operaes e formas de representao em circuitos de
corrente alternada.
Podemos encontrar maiores informaes sobre os nmeros complexos no captulo 2 da nossa apostila, disponvel em sua biblioteca virtual.
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3.2 Definies
O conceito de nmero complexo ou nmero imaginrio foi
introduzido com o intuito de representar razes quadradas de
nmeros negativos, cujos resultados no fazem parte do conjunto
dos nmeros reais.
Pela definio da unidade imaginria (j2 = -1), pode-se deduzir
que:
j3 = j2 j = -j
j4 = j2 j2 = 1
j5 = j4 j = j
j6 = j5 j = -1
j7 = j6 j = -j
j8 = j7 j = 1
j9 = j8 j = j
j10 = j9 j = -1
(e assim sucessivamente).
Um nmero complexo na forma retangular formado por uma parte real e uma parte imaginria, conforme mostra a
representao a seguir:
z = a + jb, em que a e b so nmeros
reais
a parte real b parte imaginria
possvel
representar a raiz
quadrada de um
nmero negativo
usando o nmero imaginrio j.
Exemplos:
Um nmero complexo pode ser representado de diferentes formas, dentre as quais se destacam a forma cartesiana e a forma polar, que ser tratada na prxima seo.
Denomina-se
unidade
imaginria o
nmero j, tal que
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Exemplo: z = 1,5 j3 (a = 1,5 e b = -3)
Um nmero complexo pode ser tambm representado por um
ponto no chamado plano complexo, como mostra a figura a
seguir.
Fig. 2.7 Plano complexo ref. [4], pag.343
No plano complexo, o eixo horizontal chamado de eixo real, e o eixo vertical chamado de eixo imaginrio.
Analisando o plano complexo representado na figura 2.7, temos:
Z1 = 6 Z2 = 2 j3 Z3 = j4 Z4 = -3 + j2 Z5 = -4 j4 Z6 = 3 + j3
As potncias de j s podem assumir os valores: +1, -1, +j e j.
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Nos exemplos anteriores, Z1 um nmero real, pois sua parte
imaginria nula, enquanto Z3 dito como um nmero puramente
imaginrio, pois sua parte real nula.
3.3 Formas de Representao
J que aprendemos a representao de um nmero complexo na
forma cartesiana, agora entenderemos como represent-lo nas
formas trigonomtrica, exponencial e polar.
Considerando o nmero complexo z = a + jb, mostrado na figura 2.8.
Aplicando as relaes trigonomtricas de um tringulo retngulo,
podemos escrever as partes real e imaginria de z como:
Assim:
A forma de representar um nmero complexo como z = r (cos + jsen ) chamada de forma trigonomtrica.
a = r cos b = r
z = a + jb = r(cos + jsen)
Fig. 2.8 Representao polar de z ref. [4],pag.346
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em que r chamado de mdulo ou valor absoluto de z, e o ngulo chamado de argumento ou ngulo de fase de z. O mdulo e o argumento so calculados pelas expresses:
So quatro as possibilidades:
Agora que vimos como escrever um nmero complexo na forma
retangular e na forma trigonomtrica, aprenderemos uma terceira
Dependendo do quadrante em que o nmero complexo z estiver localizado, precisamos ter cuidado na determinao do valor correto de .
z = a + jb = arctg(b/a) (1QUADRANTE) z =-a + jb = 180- arctg(b/a) (2QUADRANTE) z = -a - jb = 180+ arctg(b/a) (3QUADRANTE) z = a - jb = 360- arctg(b/a) (4QUADRANTE)
Fig. 2.9 Representao dos quadrantes ref. [5].
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forma de representar esses nmeros. Trata-se da forma exponencial.
Para isso, precisamos apresentar a conhecida frmula de Euler,
que expressa por:
Com a aplicao da frmula de Euler, um nmero complexo z = a + jb pode ser escrito na forma exponencial como:
Mostraremos agora uma ltima forma de representar nmeros
complexos, que inclusive amplamente utilizada em anlise de
circuitos CA. a representao na forma polar, a qual definida
como:
em que novamente r o mdulo de z, e o seu argumento.
ej = cos + jsen
e a base do logaritmo natural. e = 2,718...
z = rej
z = r(cos + jsen)
Observe que a forma exponencial bem parecida com a forma polar na representao de um nmero complexo.
Relembrando: r o valor absoluto de z. O ngulo o ngulo de fase de z.
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Nesta aula, trabalhamos com quatro formas diferentes de
representar um nmero complexo, resumidas na tabela abaixo:
Forma retangular Z = a + jb
Forma trigonomtrica Z = r (cos + jsen)
Forma exponencial Z = rej
Forma polar Z = r
Tab. 3 - Formas de representar um nmero complexo
A seguir, alguns exemplos de representaes de nmeros
complexos.
EXEMPLO 01: Transformar para a forma polar os seguintes
nmeros complexos:
a) z = -4 j3
b) z = -j4
RESOLUO:
a) para calcularmos o mdulo:
e para calcularmos o argumento:
Assim, o nmero na forma polar :
Para representar os nmeros complexos, utilizaremos em nossa disciplina somente as formas cartesiana e polar.
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b) j4 um nmero puramente imaginrio e, portanto, est localizado no eixo vertical do plano complexo. Se ele est no eixo
vertical, seu argumento ou 90ou 270. Pelo sinal negativo,
podemos concluir que a segunda opo a correta neste
exemplo.
Portanto:
EXEMPLO 02: Transformar os seguintes nmeros complexos
para a forma cartesiana:
a)
b)
RESOLUO:
a)
b)
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importante que todos tenham entendido tudo que vimos at o
momento sobre os nmeros complexos, para que possamos
estudar na prxima aula as operaes de adio, subtrao,
multiplicao e diviso entre esses nmeros.
Concluso
Nessa aula, comeamos a aprofundar nossos estudos em
eletricidade CA. Inicialmente, tratamos dos elementos passivos de
circuitos (R, L e C), verificando seus comportamentos com
excitaes de tenso ou corrente, com formas de onda alternadas
e senoidais. Na sequncia, vimos a teoria dos nmeros
complexos, envolvendo suas definies e formas de
representao.
importante salientar que j na prxima aula faremos uso dos
elementos passivos aqui tratados e da teoria dos nmeros
complexos para definirmos fasores e impedncia.
Voc agora pode explorar ainda mais os temas tratados. Estude
tambm pelo material postado na biblioteca virtual e pesquise
outras fontes na internet.
Bom trabalho!
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Referncias
[1] ALBUQUERQUE, R. O. Circuitos em Corrente Alternada. 2 ed. So Paulo: Makron Books, 1991.
[2] PEREIRA, A. H. Eletricidade CA. Apostila, 2010.
[3] FREITAS, J. A. L.; ZANCAN M. D. Eletricidade. Santa Maria: Universidade Federal: Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria,
2008.
[4] O'MALLEY, J. Anlise de Circuitos. 2 ed. So Paulo: Makron Books, 1993.
[5] Mundo CNC. Conceitos Bsicos em CNC's. Disponvel em http://www.mundocnc.com.br/conceito2.php. Acesso em:
14/01/2014.