Aula 01: Introdução - Otimização Linear e Inteira...Introdução Exemplo de problema: Objetivo:...
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Aula 01: IntroduçãoOtimização Linear e Inteira
Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br
BCC464/PCC174 – 2018/2Slides baseados no material de Haroldo Gambini
Aula de Hoje
1 Otimização
2 Pesquisa Operacional
3 Exemplo: O Problema da Dieta
4 Método Gráfico
1 / 26 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 01: Introdução
Aula de Hoje
1 Otimização
2 Pesquisa Operacional
3 Exemplo: O Problema da Dieta
4 Método Gráfico
1 / 26 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 01: Introdução
Introdução
Selecionar a melhor entre um conjunto de alternativas
Ramo da matemática aplicada:
teoria;
algoritmos;
aplicações.
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Introdução
Exemplo de problema:
Objetivo:
encontrar o maior número primo.
Restrição:
com 3 casas decimais.
Solução ótima:
997
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Introdução
FormatoFunção objetivo:
f : Rn → R
Restrições que definem o conjunto de soluções válidas:S ⊆ Rn
(normalmente um conjunto de equações/desigualdades)
Resolvendo...
Encontrar x∗ ∈ S, uma solução ótima, que minimiza/maximiza o valorda função objetivo f
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Otimização ...
Linearx1 + 3x2 . . .
Não Linearseno(x1) + 3x2 . . .
Contínuax ∈ Rn
Discretax ∈ Zn
Multicritério
...
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Aula de Hoje
1 Otimização
2 Pesquisa Operacional
3 Exemplo: O Problema da Dieta
4 Método Gráfico
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Pesquisa Operacional
Ramo da Ciência que lida com a otimização do desempenho de sistemas.
Otimizar...
maximizar lucro;
maximizar satisfação;
minimizar custos;
minimizar riscos;
...
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Pesquisa Operacional: Origens Históricas
Início formal: II Grande Guerra Mundial
Exército britânico:
Cerca de 1000 cientistas de Pesquisa Operacional.
Grupo altamente interdisciplinar.
Problemas resolvidos pelo grupo:
Localização de radares.
Determinação do tamanho de frotas de navios.
Detecção de submarinos.
Rapidamente implementado pelos países aliados.
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Pesquisa Operacional: Definição
Pesquisa Operacional (PO) ou Ciência do Gerenciamento es-tuda as operações de uma organização e utiliza modelos matemá-ticos e/ou computacionais ou outras abordagens analíticas paraencontrar maneiras melhores de realizá-las.
The Science of Betterhttp://www.scienceofbetter.org/
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Construindo um Modelo
Interesse em modelar matematicamente o processo de decisão:
Parar com o:
E começar a formalizar:
x1 + x4 + x7 ≤ 10x3 − x5 ≥ 5. . .
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O Modelo
Variáveis de Decisão
variáveis cujos valores serão escolhidos.
Exemplo
Planejamento de produção de combustíveis:
x1 quantidade em milhares de litros de gasolina que será produzida;
x2 quantidade em milhares de litros de diesel que será produzido.
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O Modelo
Dados de Entrada
valores fixos (decididos a priori);
também chamadas variáveis não controladas.
Exemplo
Planejamento da Produção:
custos de matéria prima;
custos trabalhistas;
disponibilidade de matéria prima.
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Programação Linear: breve histórico
George Dantzig
1939: teoria matemática por Kantorovich(lhe rendeu um Nobel)
1940: algoritmo Simplex (por Dantzig)
baseado em operações elementares sobre matrizes;
tedioso de resolver a mão.
felizmente: nascimento do computador eletrônicotambém nos anos 40!
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Programação Linear
Utilização Pós-Guerra
Crescente utilização no comércio e indústria
Moscow, 1958: Planejamento do transporte de areia para construção:
10 pontos de origem
230 pontos de destino
10 dias de um computador Strena
11% de economia
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Programação Linear
Utilização Pós-Guerra
Rijkswaterstaat da Noruega, 1986: definição da política degerenciamento de água
15 milhões economizados anualmente
Eletrobrás, CEPEL, 1986: alocação de recursos térmicos e hidráulicosno sistema nacional gerador de energia
43 milhões economizados anualmente
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Programa Linear - Formato
Função Objetivo
Minimizar custo, tempo, risco, poluição, . . . ouMaximizar lucro, qualidade, segurança, . . . ouEncontrar qualquer solução viável
Restrições
Disponibilidade: recursos finitos, . . .Operacionais: horários de trabalho, tempo de máquina, . . .Limites: venda em escala, . . .
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Aula de Hoje
1 Otimização
2 Pesquisa Operacional
3 Exemplo: O Problema da Dieta
4 Método Gráfico
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Exemplo: O Problema da Dieta
Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas.
A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínasde 36 unidades por dia.
Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade decarne contém 8 unidades de vitamina e 6 unidades de proteínas. Cada unidadede ovo contém 4 unidades de vitamina e 6 unidades de proteínas.
Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovocusto 2,5 unidades monetárias.
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir asnecessidades de vitaminas e proteínas com menor custo possível
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Exemplo: O Problema da Dieta
Variáveis de Decisãox1 quantidade de carne
x2 quantidade de ovos
Custo de uma solução
Preço da carne: 3 unidades monetárias
Preço dos ovos: 2,5 unidades monetárias
Custo total = 3x1 + 2, 5x2
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Exemplo: O Problema da Dieta
A solução tem que satisfazer os requerimentos nutricionais:
Nutriente Quantidade MínimaVitaminas 32Proteínas 36
Restrições
Carne OvosVitaminas 8x1 4x2 ≥ 32Proteínas 6x1 6x2 ≥ 36
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Exemplo: O Problema da Dieta
Minimizar: 3x1+2, 5x2 (1)
Sujeito a: 8x1+ 4x2 ≥ 32 (2)
6x1+ 6x2 ≥ 36 (3)
x1 ≥ 0 (4)
x2 ≥ 0 (5)
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Aula de Hoje
1 Otimização
2 Pesquisa Operacional
3 Exemplo: O Problema da Dieta
4 Método Gráfico
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O Método Gráfico
Trabalhando com 2 variáveis, podemos visualizar um Programa Linearno plano cartesiano:
Soluções representadas por pontos no gráfico.
Restrições indicadas por regiões do gráfico onde as soluções sãoválidas.
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Método Gráfico - Restrições
x1
x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
1
Exemplo: considere a restrição x1 + 2x2 ≥ 10
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Exemplo de Método Gráfico: A Roça
Um pequeno agricultor está decidindo quantos sacos de sementes irá plantar desoja e de milho.
Ele dispõe de 350 reais. O custo do saco de sementes de soja é 70 reais e ocusto do saco de sementes de milho é de 50 reais.
Para buscar as sementes o agricultor tem uma picape capaz de carregar 400 kilos.Cada saco de sementes de soja pesa 50 quilos e cada saco de sementes de milhopesa 80 kilos.
Consultando o vendedor, ele verificou que o vendedor dispõe de 4 sacos de sojae uma grande quantidade de sacos de milho.
O agricultor calculou que irá lucrar na época da colheita 300 reais por saco desoja e 280 reais por saco de milho plantados.
Quantos sacos de soja/milho ele deve plantar para maximizar o lucro?
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O Gráfico
x1
x2
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
300
600
900
1200
1500
18001720,4
Variáveis:x1: qtde de sojax2: qtde de milho
Restrições:Dinheiro (máx: 350)
soja: 70milho: 5070x1 + 50x2 ≤ 350
Peso (máx: 400)soja: 50milho: 8050x1 + 80x2 ≤ 400
Disponibilidadesoja: 4x1 ≤ 4
Lucro (Objetivo):
Max. 300x1 + 280x2
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Espaço de Soluções
Exemplo 21 desenhe no gráfico a região factível (região de soluções) que satisfaz
as restrições abaixo:x1 + 3x2 ≤ 122x1 + x2 ≥ 16x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0
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/ 12Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira: Apresentação
x1
x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
Espaço de Soluções
x1+3x2 12 (6)2x1+ x2 � 16 (7)
x1, x2 � 0 (8)
29 / 31 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira: Aula 01
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Espaço de Soluções
Exercício1 desenhe no gráfico a região factível (região de soluções) que satisfaz
as restrições abaixo:5x1 + 2x2 ≥ 254x1 − 3x2 ≥ −3x1 ≥ 0,x1 ≤ 2x2 ≥ 0
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/ 12
Perguntas?