Aukštoji matematika

7/30/2019 Auktoji matematika

1/80

MATRICOS

Pagrindins svokos

Matrica vadinama staiakamp lentel, kurioje m eilui ir n stulpelisurayta mn skaii.

Matrica ymima:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Skaiiai, surayti matricoje, vadinami jos elementais. Matricos elementoij

a

pirmasis indeksas i nurodo eilut, o antrasis - j - stulpel, kuriame yra elementas.

Norint pabrti, kad matrica A sudaryta i m eilui ir n stulpeli, raoma

nmA ir sakoma, kad tai yra nm formato matrica.

Matrica, kurios eilui skaiius lygus stulpeli skaiiui, ( )nm = , vadinama

tosn eils kvadratine matrica, o skaiius n vadinamas tos matricos eile.

Kvadratin matrica uraoma:

nA arba

=

nnnn

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

Kvadratins matricos elementai nna,...,a,a 1211 - sudaro pagrindin matricos

striain.

Kvadratin matrica, kurios pagrindins striains elementai yra vienetai, o

visi kiti elementai nuliai, vadinama vienetine matrica. Ji ymima E:

=

100

010

001

...

............

...

...

E

Matrica, gauta i matricos A , sukeitus jos eilutes ir stulpelius vietomis,

vadinama matricos A transponuota matrica. Ji ymima TA . Taigi, kai

1


2/80

=

mnmm

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

, tai

=

mnnn

m

m

T

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22212

12111

2


3/80

Veiksmai su matricomis

Matric suma/ skirtumas. Sudti galima tik dvi vienodo formato matricas.

Dviej matric A ir B suma vadinama matrica C, kurios kiekvienas elementas

apskaiiuojamas kaip matricA irB atitinkam element suma.

Matric suma ymima BA +

Pvz.1: Jei

=

402

351A ir

=215

473B , tai

( )

( )

=

++++++

=+217

1122

241052

437531BA

Pvz.2: Jei

=6

41A ir ( )203 =B , tai

( )

=

++

+=+

4

4

4

26

04

31TBA

Matricos daugyba i skaiiaus. Norint matricA padauginti i skaiiaus, i jo

dauginame kiekvien tos matricos element.

Pvz.3:

=

15

20

31

A ,

( )

( )

=

=

=

315

60

93

1353

2303

3313

15

20

31

33A

Matric daugyba. Sudauginti galima tik suderintas matricas. Matrica A

vadinama suderinta su matrica B , jei matricos A stulpeli skaiius yra lygus

matricos B eilui skaiiui.

Pvz.4:

=

41

5322A ,

= 105231

32B

Matrica A yra suderinta su matrica B , nes matricoje A yra 2 stulpeliai, o

matricoje B 2 eiluts, taiau matrica B nra suderinta su matrica A .

3


4/80

Kai matrica A yra suderinta su matrica B , tai element skaiius matricos A

eilutje yra lygus element skaiiui matricos B stulpelyje. Todl galima sudaryti

matricos A bet kurios eiluts ir matricos B bet kurio stulpelio atitinkam element

sandaug sumas. Matricos A tosi

eiluts ir matricos B tojoj

stulpelioatitinkam element sandaug sum galime paymti ijc , t.y.

pjipjijiij ba...babac +++= 2211

Matricos pmA ir matricos npB sandauga vadinama matrica nmC , kurios

kiekvienas elementas ijc yra matricos A tosi eiluts ir matricos B tojoj

stulpelio atitinkam element sandaug suma.

Sandaugos matricoje eilui yra tiek, kiek pirmojoje matricoje, o stulpelitiek, kiek antrojoje matricoje.

Pvz.5:

=

41

53A ir

=104

231B

( )

( )

=

=

++++++

=

=

2317

11917

142104314411

152305334513

104

231

41

533222 BA

Pvz.6:

=

10

43

12

A ir

=2

5B

( )

( )

( ) ( )

=

++

+=

=

2

23

8

2150

2453

2152

2

5

10

43

12

1223 BA

2312

AB - negalima

Pvz.7:

=

02

31

13

A ir

=

503

112B

=

=

224

1417

839

503

112

02

31

13

3223 BA

4


5/80

=

= 319

19

02

31

13

503

1122332 AB

I matric sandaugos apibrimo matosi, kad

pmnppm CBA =

t.y. dauginamj matric format vidiniai indeksai turi bti vienodi, o ioriniai

indeksai, nekeiiant j raymo tvarkos, sudaro gautosios matricos format.

5


6/80

Uduotys savarankikam darbui

1. Duotos matricos

=

=

123

451ir

401

312BA . Rasti:

.2);4)

;4);2) ;2);)

ABfBc

ABeAbBAdBAa

++

2. Duotos matricos:

=

=

40

23

51

ir401

231BA . Rasti:

.3)

;2)T

T

BAb

BAa

+

3. Rasti matric sandaugas:

=

=

104

212ir

10

23

01

) BAa

=

=

3

2

1

ir

232

142

103

) BAb

=

=

50

12

11

ir405

123) 2332 BAc

( )

==

3

5

1

ir012) 1331 BAd

=

=

21

10

23

ir

124

123

051

) 2333 BAe

Atsakymai.

1.

=+522

743) BAa

=

802

6242) Ab

= 481216204

4) Bc

= 725

2722) BAd

6


7/80

=+8811

191964) ABe

=

725

2732) ABf

2.

=+ 12243

93

2) BAa T

= 828

61223) TBAb

3.

=

=

14

01;

204

832

212

) BAABa

negalima-;

5

7

6

) BAABb

=

=

=

20025

6411

322

;155

01) BAABc

( )

==036

0510

012

;3) BAABd

negalima;

813

68

73

) BAABe

=

7


8/80

DETERMINANT PAGRINDINS SVOKOS IR

SKAIIAVIMAS

Determinantu vadinamasskaiius, kuris pagal tam tikr taisykl priskiriamaskvadratinei matricai.

Kvadratins matricos A determinantas ymimas D arba

nnnn

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

= .

Tiesiogiai galima apskaiiuoti tik antros ir treios eils determinantus.

Antros eils determinantas apskaiiuojamas taip:

211222112221

1211aaaa

aa

aa=

Pvz. 1: ( ) ( ) 21210435254

32=+==

Treios eils determinantas apskaiiuojamas remiantis striaini taisykle:

a) determinanto trij stulpeli deinje priraome pirmj ir antrj stulpel

b) sudarome sandaugas nari, sujungt tiesmis

c) sandaugas i kairs dein sudedame, o i deins kair atimame

Pvz.2:

( ) ( ) ( ) ( ) 5611324813313821614

38

11

14

638

211

314

=++=

Determinantas, kuris gaunamas ibraukus bet kurios eils determinante

taji eilut ir tajj stulpel, vadinamas minoru ir ymimas ijM .

332112322311312213322113312312332211

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

++=

8


9/80

Minoras ijM , padaugintas i ( ) ji+1 , vadinamas adjunktu ir ymimas ijA ;

pagal apibrim ( ) ijji

ij MA+= 1 .

Pvz.3: Duotas 3 os eils determinantas:

638

211

314

=D

Rasime jo adjunktus 312311 ,, AAA

( ) ( )( ) 12663261163

211 1111 =+==

= +A

( ) ( ) ( )( ) ( ) 481218134138 1413223 =+===

+A

( ) ( )( ) ( ) 1321321121

311 1331 =+==

= +A

ATVIRKTIN MATRICA

Matricos vadinamos atvirktinmis viena kitai, jei j sandauga yra vienetinmatrica, t.y. EBAAB ==

Matrica, atvirktin matricai A , ymima 1A .

Kvadratins matricos

=

nnnn

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

atvirktin matrica uraoma

tokiu bdu:

=

nnnn

n

n

A...AA

............

A...AA

A...AA

AA

21

22212

12111

1 1

ia nnA,...,A,A 2111 - matricos A adjunktai.

Pvz.1: Rasime

=03

21A atvirktin matric.

6=A

9


10/80

3

0

12

11

==

A

A

1

2

22

21

==

A

A

Tada

= 13 2061

1A

Pvz.2: Rasime

=

213

132

041

A atvirktin matric.

1=A

71

5

13

12

11

==

=

AA

A

112

8

23

22

21

==

=

AA

A

51

4

33

32

31

==

=

AA

A

=

=

5117

121

485

5117

121

485

1

11A

10


11/80


1. Apskaiiuoti 2 eils determinantus:

a)04

13; b)

21

35

; c)

43

26

2. Apskaiiuoti 3 eils determinantus:

a)

311

102

141

; b)

114

013

321

; c)

221

431

011

=A .

3. Rasti matricos A atvirktines matricas, kai:

a)

=21

32A b)

=

10

23A

c)

=

211

012

343

A d)

=

124

231

015

A e)

=

312

021

110

A

Atsakymai

1. a) 4=D ; b) 13=D c) 30=D

2. a) 17=D b) 2=D c) 8=D

3. a)

= 21

32

7

11A b)

= 30

21

6

11A

c)

=

573

694

3521A d)

=

141414

1057

217

42

11A e)

=

123

123

226

6

11A

11


12/80

TIESINI LYGI SISTEMOS

Tiesini lygi sistema su m lygi ir n neinomj uraoma tokiu bdu:

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxa...xaxa

..........................................

,bxa...xaxa,bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

ia mnaaa ,...,, 1211 - sistemos koeficientai; mbbb ,...,, 21 - laisvieji nariai;

nxxx ,...,, 21 - neinomieji.

Tiesini lygi sistem galima urayti matricine forma. Tuo tikslu yra

uraoma koeficient matrica A :

=

mnmm

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

sudaryta i sistemos lygi koeficient prie neinomj. Neinomj matrica stulpelis

=

nx

x

x

X...

2

1

ir laisvj nari matrica stulpelis

=

mb

b

b

B...

2

1

.

Tada tiesini lygi sistemos matricin lygtis yra: BAX=

Kramerio metodas

Nagrinsime n tiesini lygi su n neinomj sistem

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........................................

...

...

2211

22222121

11212111

Sprendiant Krameriometodu, neinomieji iekomi tokiu pavidalu:

12


13/80

A

Dx,...,

A

Dx,

A

Dx nn ===

22

11

ia A - matricos A determinantas; 0A ; o nD,...,D,D 21 - determinantai, gaunami

matricos A determinante atitinkam stulpel pakeitus laisvj nari stulpeliu B .Pvz.1:

==+

12

5

21

21

xx

xx

=

=

=1

5,,

12

11

2

1B

x

xXA

33

9,2

3

6

912

51,6

11

15

312

11

21

21

=

==

=

===

=

=

=

xx

DD

A

Pvz.2:

==+

224

52

21

21

xx

xx

=

=

=2

5,,

24

12

2

1B

x

xXA

38

24,1

8

8

24,8

8

21

21

=

==

=

==

=

xx

DD

A

Pvz.3:

=+=+=+

7523

33

52

321

321

321

xxx

xxx

xxx

=

=

=

7

3

5

,,

523

311

112

3

2

1

B

x

x

x

XA

13


14/80

15

5

,25

10

,25

10

5

723

311

512

,10

573

331

152

,10

527

313

115

,5

523

311

112

321

321

======

===

==

==

=

xxx

DDDA

Pvz.4:

==+

=+

3322

85

123

321

321

321

xxx

xxx

xxx

=

=

=38

1

,,322

115

213

3

2

1

B

x

x

x

XA

148

48,2

48

96,1

48

48

48,96,48,48

321

321

===

===

====

xxx

DDDA

Atvirktins matricos metodas

Sprendiant tiesini lygi sistem atvirktins matricos metodu, neinomieji

=

nx

x

x

X...

2

1

iekomi pavidalu:

BAX 1=

ia

=

nnnn

n

n

A...AA

............

A...AA

A...AA

AA

21

22212

12111

1 1- atvirktin matrica. T.y. lygt sprendiant

atvirktins matricos metodu reikia surasti matricos A atvirktin matric ir

padauginti j i laisvj nari stulpelio B .

Pvz. 1:

14


15/80

=+=1042

135

21

21

xx

xx

=

=

=

101,,

4235

2

1 BxxXA

=

=

++

=

=

=

=

=

2

1

52

26

26

1

502

304

26

1

10

1

52

34

26

1

52

34

26

1

2642

35

1

X

A

A

Pvz. 2:

==+

83

52

21

21

xx

xx

== = 85

,,13

21

21 B

x

xXA

=

=

1

3

13

21

7

11

X

A

PVZ.3:

=+=+=+

72

532

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

=

=

=7

5

2

,,

211

312

121

3

2

1

B

x

x

x

XA

15


16/80

=

=

+

=

=

=

=

0

3

4

0

36

48

12

1

21156

71514

35152

12

1

7

5

2

333

137

531

12

1

333

137

531

12

1

12

1

X

A

A

PVZ.4:

=++

=+=++

322

1032

434

321

321

321

xxx

xxx

xxx

=

=

=

3

10

4

,,

221

132

341

3

2

1

B

x

x

x

XA

=

=

1

13

521

715

1328

9

11

X

A

16


17/80


1. Isprsti Kramerio metodu

a)

32

42 03

321

321

321

=++=++ =

xxx

xxxxxx

b)

9552

822 652

321

321

321

=++=+ =+

xxx

xxxxxx

c)

==+

=+

2162

1162

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

d)

=+=++

=++

12

3

62

21

321

321

xx

xxx

xxx

e)

==+

=

724

23

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

f)

=+=+

=+

2125

3272

122

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2. Isprsti atvirktins matricos metodu

a)

=++=

=++

022

623

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

=++=+=+

1492

198

323

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c)

=++=++

=+

1862

103

42

321

321

321

xxx

xxx

xxx

17


18/80

d)

=++=

=++

11425

13

632

321

321

321

xxx

xxx

xxx

e)

=+=+

=++

12

4432

5

321

321

321

xxx

xxx

xxx

f)

=++=++

=++

79124

1773

132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Atsakymai

1. a) ( )

T

X 1;1;2 = ; b) ( )T

X 2;3;2 = ; c) ( )T

X 3;2;1= ; d) ( )T

X 1;3;1= e)

( )TX 2;1;3=

f) ( )TX 1;1;3 =

2. a) ( )TX 1;2;2 = ; b) ( )TX 1;1;2= ; c) ( ) TX 2;2;2= ; d) ( ) TX 1;1;1= e)

( ) TX 2;2;1= f) ( ) TX 1;2;2 =

18


19/80

PAGRINDINS VEKTORI SVOKOS IR VEIKSMAI

Pagrindins svokosVektoriumivadinama kryptin atkarpa, tai yra apibrto ilgio atkarpa erdvje,

kurioje nurodyta kryptis. Jei A vektoriaus pradios takas, o B galo takas, taivektorius ymimas BA (kartais ymimas ir viena raide a arba b ). Jeigu duoti

pradios ir pabaigos takai: ( )111 ;; zyxA = ir ( )222 ;; zyxB = . Tai( )121212 ;; zzyyxxBAa ==

Vektoriaus BA ilgiu, arba moduliu, vadinamas atstumas tarp takA irB irymimas BA arba a . Jeigu vektorius ireiktas koordinatmis

zyx aaaa ;;=tai modulis bus

222zyx aaaa ++= .

Vektorius, kurio pradios takas sutampa su galo taku, vadinamas nuliniu

vektoriumi. Jis ymimas 0 . Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui (t.y. 00 = ), o

kryptis neapibrta.

Vienoje arba lygiagreiose tiesse esantys vektoriai vadinami kolineariais.Kolinears vektoriai ymimi ba || .Kolinearumo slyga:

ba =

Vektoriai, lygiagrets vienai ploktumai, vadinami komplanariais.Vektoriai vadinami lygiais, kai jie yra vienodo ilgio, kolinears ir vienod

krypi. ymima ba = .Du kolinears vienodo ilgio, bet prieing krypi vektoriai vadinami

prieingais. Vektoriui a prieingas vektorius ymimas ( )a .

Vektori tiesiniai veiksmai

Duoti du vektoriai a ir b . Pasirenkame bet kur takO ir atidedame vektori

aOA = , o nuo takoA atidkime vektori bAB = . Vektorius OB , jungiantis pirmojosudedamojo vektoriaus pradios tak su antrojo vektoriaus galo taku, vadinamas i

19


20/80

vektori suma ir ymimas cOBba ==+ .

T pai vektori a ir b sum galima gauti, atidedant duotuosius vektorius

i bendro pradios tako O ( bOCaOA == , ) ir i j sudaryti lygiagretain OABC.

Vektorius OB , sutampantis su ivesta i virns O lygiagretainio striaine, lygus

vektori a ir b sumai. Pirmoji vektori sudties taisykl vadinama trikampiotaisykle, o antroji lygiagretainio.

Galima sudti ir daugiau nei du vektorius, naudojant daugiakampio taisykl.

PVZVektori a ir b skirtumu vadinamas toks vektorius c , kur pridj prie

vektoriaus b , gauname vektori a . ymime bac = .Vektoriaus a ir skaiiaus 0 sandauga vadinamas vektorius b ,

kolinearus vektoriui a. Jo ilgis ab = , o kryptis ta pati, kaip vektoriaus a , jei

0> ir prieinga, jei 0


21/80

Ir sakoma, kad vektorius a ireiktas baziniais vektoriais 1e ir 2e . Skaiiai 1

ir 2 vadinami vektoriaus a koordinatmis ploktumoje pasirinktoje bazje ir

raoma ( )21,=aBaze erdvje 3R vadinami bet kurie 3 tiesikai nepriklausomi vektoriai,

pavyzdiui 321 ,, eee . Tada bet kur erdvs 3R vektori galima urayti

332211 eeea ++=

Ir sakoma, kad vektorius a ireiktas baziniais vektoriais 1e , 2e ir 3e .

Skaiiai 1 , 2 ir 3 vadinami vektoriaus a koordinatmis erdvje 3R pasirinktoje

bazje ir raoma ( )321 ,, =a

Vektoriai ( ) ( ) ( )nnnnnnn aaaaaaaaaaaa ,...,,,...,,...,,,,...,, 21222122121111 === yra tiesikai nepriklausomi (sudaro tiesins erdvs baz) tada ir tik tada, kaideterminantas sudarytas i i vektori (vektori raom stulpel!!!) yra nelygus

nuliui:

0

...

............

...

...

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

D

PVZ.: Duoti vektoriai ( ) ( )1,2,3,1 21 == ee , patikrinti ar jie sudaro baz ir

ireikti jais vektori ( )7,4= .

( ) ( )

( )

21

2121

21

2211

21

2

1,273

42

sistemSudarome

05611321

1,2,3,1

eea

D

ee

=

==

==

+=

===

==

Jei baziniai vektoriai yra kas du statmeni, baz vadinama ortogonalia, o jei jie yra dar

ir vienetiniai vektoriai (ortai), baz vadinama ortonormuota.Jei staiakampj koordinai sistemoj erdvje 3R kiekvienoj ayje parinksim

vienetin vektori, kurio kryptis sutaps su teigiama tos aies kryptimi:

kOZjOYiOX ;; ; 1=== kji . Kampai tarp j stats, tai ie vektoriai

sudaro ortonormuot erdvs 3R baz. Kiekvien ios erdvs vektori a vieninteliu

bdu galima ireikti baziniais vektoriais kji ,, ; su koordinatmis

( ) ( ) ( )1;0;0,0;1;0,0;0;1 === kji :

kajaiaa zyx ++=

Skaiiai zyx aaa ,, vadinami vektoriaus a staiakampmis koordinatmis.

21


22/80

Koordinatmis duot vektori tiesiniai veiksmai.

Jei ,, yra kampai, kuriuos vektorius a sudaro su koordinai aimis, tai

vektoriaus a ortas )cos,cos,(cos0 =a . Vektoriaus a krypties kosinusai:

aa

aa

aa zyx

=== cos,cos,cos .

PVZ.: ( ) ( )1;6;1,2;8;3 BA . Rasti AB krypties kosinusus.

( )( ) ( )1;2;221;86;31 ==AB

( ) ( ) 39122 222 ==++=AB .

AB krypties kosinusai:

3

1cos,

3

2cos,

3

2cos

=

==

inant vektori koordinates, tiesinius veiksmus su vektoriais, pakeiiameveiksmais su j koordinatmis.

);;(

);;(

zyxzyx

zyxzyx

bbbkbjbibb

aaakajaiaa

=++=

=++=

tai

( ) );;( zyxzyxzyx aaakajaiakajaiaa =++=++=( ( );;( zzyyxxzyxzyx bababakbjbibkajaiaba =++++=

Kolineari vektori koordinats yra proporcingos.

z

z

y

y

x

xba

b

a

b

a

===

22


23/80

Dviej vektori a ir b skaliarin sandauga:

cosbaba =

arba zzyyxx babababa ++=

Kampo tarp vektori a ir b kosinusas:

ba

ba

=cos

Vektori statmenumo slyga:

0=++= zzyyxx babababa

Vektori a ir b vektorins sandaugos modulis:

sinbaba =

Jei vektoriai ireikti koordinatmis, vektorin sandauga:

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

ba

=

Lygiagretainio, kur sudaro vektoriai a ir b , plotas:

baS =

Mirioji vektori sandauga:

( )zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba =

Gretasienio, kur sudaro vektoriai cirb,a tris:

23


24/80

Udaviniai

Tiesiniai veiksmai su vektoriais

1. Duoti 2 vektoriai a irb . Remiantis trikampio ir lygiagretainio taisyklmis,pavaizduoti:

bababaab 23;212;

31;

21 +

2. Duoti 3 vektoriai cba ir, .Remiantis daugiakampio taisykle pavaizduoti:

cbacba +++ ;2

3. Duoti vektoriai kjia 325 += ir kjib 42 += . Apskaiiuoti:a) ba +

b) ba 34 c) ba 23 +

4. Duoti vektoriai ( )3;1;4=a ir ( )2;1;2 =b . Apskaiiuoti:a) ba +

b) ba 23 c) ba 35. Rasti vektoriaus a ilg (modul), kai

a) kjia 35 +=

b) kjia 32 +=c) ( )1;2;0 =ad) ( )2;3;1=a

6. Rasti vektoriaus a ort, kai:a) kjia += 32

b) kjia 34 ++=c) ( )4;1;2 =ad) ( )0;3;2=a7. Duotas vektorius ABa = . Rasti a koordinates, ilg ir ort, kaia) ( )5;3;4 A ir ( )3;2;6 B

b) ( )2;3;1 A ir ( )1;2;3 Bc) ( )0;2;4 A ir ( )4;3;1 B

8. ( )3;2;1 =a , kjib 42 ++= , ( )5;4;3=c . Rasti:a) vektoriaus cba 432 + koordinates

b) vektoriaus ( bca + koordinatesc) vektoriaus ac 2 ilg9. Duoti takai: ( ) ( ) ( )4;1;2,1;0;3,0;4;2 CBA . Rasti:

a) AB ilg

b) vektoriaus ACAB + koordinates ir ilg

c) vektoriaus ABACAB + koordinates

24


25/80

10. Duoti vektoriai ( )12;a = ir ( )21 = ;bPatikrinti ar jie sudaro baz ir rasti vektoriaus ( )23;c = koordinates ioje bazje.11. Duoti vektoriai ( )12;p = ir ( )34;q =Patikrinti ar jie sudaro baz ir rasti vektoriaus ( )1116;r = koordinates ioje

bazje12. Duoti vektoriai kjia += 2 , kjib 2+= ir kjic += 23

Patikrinti ar jie sudaro baz ir rasti vektoriaus kjid += 98 koordinates iojebazje13. MNc = , kai ( )321 ,,M ir ( )542 ,,N . Rasti krypties kosinusus14. Duoti vektoriai:a) kjim 523 += ir kjin ++= 46

b) kjim 32 += ir kjin 32 +=ar jie kolinears?

15. Duoti vektoriai: kjim += 23 ir kjin 26 += Su kuriomis ir reikmmis jie yra kolinears?

Vektori skaliarin sandauga

1. Apskaiiuoti vektoria irb skaliarin sandaug, kai

a)3

,2,3

=== ba

b)

4

,1,4

=== ba

c)6

,5,1

=== ba

d) ( ) ( )4;0;1,5;1;2 == ba

e) ( ) ( )3;1;2,0;4;2 == ba

f) kjibkjia 34,23 +=+=

g) kjibkjia =+= 24,222. Rasti kamp tarp vektoria irb , kai

a) ( ) ( )0;3;2,4;1;0 == ba

b) ( ) ( )2;1;3,1;2;2 == ba

c) kjibkjia +=+= 23,32

d) kjibkjia +== 2,23

e) ACbABa == , ir ( ) ( ) ( )1;0;2,1;2;1,0;1;2 CBA

f) BCbABa == , ir ( ) ( ) ( )1;0;2,1;1;1,1;2;3 CBA

3. Su kuria reikme vektoriai a irb yra statmeni, kai:

a) ( ) ( )0;3;2,4;1; == ba

b) ( ) ( )1;;2,1;2;1 == ba

c) kjibkjia +=+= 32,2

25


26/80

d) kjibkjia +=+= ,42

Vektorin vektori sandauga

1. Apskaiiuoti a irb

vektorin sandaug, kai

a)6

,5,6

=== ba

b)2

,4,2

=== ba

c)4

,5,1

=== ba

d) ( ) ( )4;1;0,3;1;2 == ba

e) ( ) ( )3;1;0,1;4;1 == ba

f) kjibkjia 32,3++=+=g) kjibkjia == 2,322

2. Apskaiiuoti lygiagretainio plot, jei jo kratins yra vektoriai:a) kjibkjia 32,453 ++=++=

b) kjibkjia +=+= 3,23

c) kjibkjia 623,236 +=+=

d) kjibkjia 223,22 ++=++=3. Apskaiiuoti lygiagretainio plot, kai jo virns yra takuose:a) ( ) ( ) ( )3;1;5,6;1;3,3;1;1 CBA

b) ( ) ( ) ( )1;1;2,1;1;0,3;2;1 CBA

Vektori mirioji sandauga

1. Apskaiiuoti vektoria , b ir c mirij sandaug, kai

a) ( ) ( ) ( )2;4;2,1;1;3,2;1;1 === cba

b) ( ) ( ) ( )4;3;1,3;1;3,2;1;2 === cba

c) kjickjibkjia 23,23,23 +=++=+=2. Rasti lygiagretainio, kur sudaro vektoriai a , b ir c , tr, kai:

a) ( ) ( ) ( )2;4;2,1;2;3,0;1;2 === cba

b) ( ) ( ) ( )1;1;2,0;1;2,2;0;1 === cba3. Rasti piramids, kurios virns yra takuose

( ) ( ) ( ) ( )2;2;4,2;1;2,1;2;1,3;1;2 DCBA , tr.

26


27/80

BENDROJI PLOKTUMOS LYGTIS

1. Ploktumos padtis yra nustatyta, kai inomas vienas jos takas

( )1111 ;; zyx ir jai statmenas vektorius ( )CBAn ;;= . is vektorius

kCjBiAn ++= vadinamasploktumos normaliuoju vektoriumi . Pasirinkus bet

kok toje ploktumoje esant tak ( )zyx ;; ploktumos einanios per duot

tak 1 ir statmenos vektoriui n lygt galime urayti:

( ) ( ) ( ) 0111 =++ zzCyyBxxA

Bendroji ploktumos lygtis:

0=+++ DCzByAx

ia 111 CzByAxD ++=

PVZ.:1

Praysime lygt ploktumos, einanios per tak ( )3;5;21 M ir statmenos

vektoriui ( )2;3;1 =n

tai yra normalusis vektorius. Tada lygtis bus:

( ) ( ) ( )

01123

0325321

=++=+

zyx

zyx

Koeficientai CBA ;; yra ploktumos normaliojo vektoriaus n koordinats.

2. Taip pat galime parayti ploktumos lygt, kai inome vien jos tak

( )1111 ;; zyx ir du jai lygiagreius vektorius a irb :

01 =baMM

ia ( )1111 ;; zzyyxxMM =

PVZ.:2

Paraysime lygt ploktumos, einanios per tak ( )0;5;21 M ir

lygiagreios vektoriams ( ) ( )7;2;21;3;4 == ba

27


28/80

( )

( ) ( ) ( ) ( )

010423023

0253022322

34

72

14

572

13

2

0

722

134

52

1

==+=

+

+

=

+

=

zyx

zyxzyx

zyx

baMM

TIES ERDVJE

Tiess padtis erdvje yra nustatyta, jei inomas vienas jos takas

( )1111

;; zyxMir tai tiesei lygiagretus vektorius ( )nmlknjmils ;;=++= , kuris

vadinamas tiess krypties vektoriumi.

Jei tiesje paymsime dar vien bet kok tak ( )zyxM ;; (kintamas), tai

tiess lygiagreios vektoriui s ir einanios per takusMirM1 lygtis bus:

n

zz

m

yy

l

xx 111 =

=

ios lygtys vadinamos kanoninmis (paprasiausiomis) tiess lygtimis. Jas

inant visada galima pasakyti per kok tak eina ties ir koks ios tiess kryptiesvektorius.

PVZ.: 3

Parayti kanonin tiess einanios per tak ( )4;3;11 M ir lygiagreios vektoriui

( )2;1;1 =s kanonin lygt:

2

4

1

3

1

1 +=

= zyx

PVZ.: 4

Ties13

1

0

2 zyx=

=

eina per tak ( )0;1;21M ir jos krypties vektorius yra

( )1;3;0 =s

I tiesi kanonini lygi, galime gauti tiess parametrines lygtis, kurios

uraomos tokia forma:

28


29/80

+=+=+=

ntzz

mtyy

ltxx

1

1

1

PVZ.: 5

==

+=

==

==

+==

tz

ty

tx

tztz

tyty

txtx

31

221

313

1

220

2

PVZ.: 6

4

4

3

1

2

34

43

12

3

4

4

13

32

=

=+

=

=

=+

=+=

=

zyx

tz

ty

tx

tz

ty

tx

Tiess, einanios per du takus ( )1111 ;; zyxM ir ( )2222 ;; zyxM , lygtis:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

=

=

PVZ.: 7 Ties eina per takus ( )1;1;21 M ir ( )1;3;22 M , jos kanonins

lygtys:

11

1

13

1

22

2

++

=

=

zyx

29


30/80

Kampas tarp ploktum

Jei ploktumo ireiktos lygtimis 01111 =+++ DzCyBxA ir

02222 =+++ DzCyBxA , tai normalieji j vektoriai yra ( )1111 ;; CBAn = ir

( )2222 ;; CBAn = , kampas tarp jrandamas i vektori skaliarins sandaugos:

21

21cosnn

nn=

PVZ.: 8

Duotos ploktumos 0532 =+ zyx ir 0423 =++ zyx

J normalieji vektoriai: ( )3;1;21 =n ( )2;1;32 =n

139141 =++=n

134192 =++=n

( ) ( ) ( )

13

1

1313

231132cos

21

21 =++

==nn

nn

( )13/1arccos=

Ivados:

1. Kai ploktumos yra statmenos 00 21212121 =++= CCBBAAnn arba

2. Kai lygiagreios2

1

2

1

2

121

C

C

B

B

A

Ann === arba

PVZ.: 9

Nustatyti pl P1 padt pl. P2, P3, P4 atvilgiu

( )

( )( )( )14/1arccos0823:

03224:

||017624:

0132:

4

313

212

1

==+=+

=+=+

zyxP

PPzyxP

PPzyxP

zyxP

Kampas tarp tiesi

30


31/80

Kampas tarp tiesi1

1

1

1

1

1

n

zz

m

yy

l

xx =

=

ir

2

2

2

2

2

2

n

zz

m

yy

l

xx =

=

lygus kampui tarp i tiesi krypi vektori ( )1111 ;; nmls = ir ( )2222 ;; nmls = ,

kuris randamas i skaliarins sandaugos:

21

21cosss

ss=

Ivados:

1. Tiesi statmenumo slyga 00 21212121 =++= nnmmllss arba

2. Kai lygiagreios2

1

2

1

2

121

n

n

m

m

l

lss === arba

PVZ.: 10

Nustatyti tiess T1padt tiesi T2. T3, T4 atvilgiu, kai:

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )703arccos,1;0;210

3

2

:

,4;2;54

11

25

2:

||,1;3;2

1

3

52

:

1;3;21

6

3

1

2

1:

44

3133

2122

11

/s

tz

y

tx

T

TTszyx

T

TTs

tz

ty

tx

T

szyx

T

==

+===

=

+==

=

+==

+=

=+

=

=+

Kampas tarp tiess ir ploktumos

Kampas tarp tiess1

1

1

1

1

1

n

zz

m

yy

l

xx =

=

ir ploktumos

0=+++ DCzByAx skaiiuojamas kaip kampas tarp tiess ir jos projekcijos

ploktumoje, kampas tarp vektori ( )nmls ;;= ir ( )CBAn ;;= bus apskaiiuojamas

pagal formul

ns

ns=sin

Ivados:

1. Tiesilygiagreios slyga 00 21212121 =++= nnmmllss arba

31


32/80

2. Kai statmenumo2

1

2

1

2

121

n

n

m

m

l

lss === arba

Tiess ir ploktumos susikirtimas

Jei tiesn

zz

m

yy

l

xx 111 =

=

ir ploktuma 0=+++ DCzByAx nra

lygiagreios (vektoriai ( )CBAn ;;= ir ( )nmls ;;= nra statmeni), tai jos susikerta.

Iekodami susikirtimo tako koordinai, ties paraome parametrinmis lygtimis:

+=+=+=

ntzz

mtyy

ltxx

1

1

1

ias lygtis sulygin su ploktumos lygtimi, gauname:

( ) 0111 =++++++ CnBmAltDCzByAx

I ia:

CnBmAl

DCzByAxt

+++++

= 111

Gaut t reikm raius parametrines tiess , gauname tiess ir ploktumos

susikirtimo koordinates.PVZ.: 11

Rasime tiess3

7

1

2

3

1

+

=

= zyx

ir ploktumos 042 =+ zyx

susikirtimo tak.

Parametrins tiess lygtys:

=+=

+=

tz

ty

tx

37

2

31

( ) ( )( ) ( )

32

6

311231

4712211=

=++

+=t

( )

( )

( )

===+==+=

2337

532

8331

z

y

x

Taigi tiess ir ploktumos susikirtimo tako koordinats yra ( )2;5;81

M

32


33/80

Udaviniai

1. Parayti ploktumos lygt, einanios per tak ( )5;4;11 M ir statmenos

vektoriui:

a) ( )2;3;1 =n ( )0323 =++ zyxb) AB , kai ( )3;8;2 A ir ( )3;6;1 B ( )092 =++ yx

2. Parayti ploktumos lygt, einanios per tak ( )5;1;21 M ir:

a) lygiagreios vektoriams ( )3;2;1 =a ir ( )6;1;3=b

( )0433 = zyx

3. Parayti ploktumos lygt,:

a) einanios per tak ( )5;1;21

M ir lygiagreios ploktumai

0843:1 =++ zyxP ( )0343 =++ zyx

b) einanios per tak ( )2;3;51 M ir lygiagreios ploktumai

0127:1 =+ zyxP ( )03927 =++ zyx

4. Parayti parametrines ir kanonines tiess lygtis, einanios per tak

( )1;1;21 M ir

a) tak ( )3;1;02M

+==+=

=

+=

12

12

222

1

2

1

2

2

tz

ty

tx

zyx

b) lygiagreios vektoriui ( )1;5;2=a

+==+=

=

+=

1

15

221

1

5

1

2

2

tz

ty

tx

zyx

c) lygiagreios tiesei2

1

33

4

+

=

=+ zyx

+==

+=

=+

=

12

13

232

1

3

1

3

2

tz

ty

tx

zyx

33


34/80

d) lygiagreio tiesei

+=+=

=

23

1

tz

ty

tx

+=

=+=

=

+

=

13

11

23

1

1

1

1

2

tz

ty

tx

zyx

5. Rasti kamp tarp tiesi 1T ir 2T , kai:

a)8

1

7

3

2

4:1

+=

=

+ zyxT ir

7

1

11

3

8

4:2

+=

=+ zyx

T (1350)

b)2

7

1

5

2

4:1

=

=

+ zyxT ir

=

+==

22

12

3

:2

tz

ty

tx

T (900)

6. Rasti kamp tarp ploktum:

a) P1: 011352 =+ zyx ir P2: 0542 =++ zyx (900)

b) 0224:1 =++ zyxP ir 052:2 =+ zyxP ( 126/9arccos

7. Rasti kamp tarp tiess ir ploktumos, kai:

a)2

4

1

5

1

3:

+=

=+ zyx

T ir 09242: =+ zyxP (300)

b)

+=+==

52

14

23

:

tz

ty

tx

T ir 05: =+ zyxP ( 87/5arcsin

8. Rasti tiess3

7

1

2

3

1:

+

=+

= zyx

T ir ploktumos 052: =+ zyxP

susikirtimo tako koordinates ( )2;5;8

9. Sukuria m reikme:

a) statmenos ploktumos: 0532: =+ zyxP ir 082: =+ zymxP

( )5.0=m

b) lygiagreios tiess1

71

2

2:

+

=

=+ z

m

yxT ir

2

7

6

2

4

1:

+=

+

= zyx

T

( )3=m

c) lygiagreios ties4

1

2

3

4

1:

+

=+

= zyx

T ir ploktuma

0262: =++ mzyxP ( )5=m

34


35/80

BENDROJI TIESS LYGTIS PLOKTUMOJE

Tiess ploktumoje padtis nusakyta, kai inomas vienas jos takas

( )111 ;yx ir jai statmenas (normalusis) vektorius ( )BAn ;= . Tiess, einanios perduot tak ir statmenos vektoriui, lygtis :

( ) ( ) 011 =+ yyBxxA

Bendroji tiess lygtis ploktumoje:

0=++ CByAx

PVZ 1.: ( )3;21 , ( )2;1 =n

( ) ( ) 03221 = yx arba

0622 =+ yx

KRYPTIN TIESS LYGTIS

bkxy +=

ia skaiius tgk= - kampo kur ties sudaro su teigiama Ox aies kryptimi

tangentas, vadinamas tiess krypties koeficientu, o b - takas, kuriame ties kerta Oy

a.

PVZ2.: tiess 32

1= xy krypties koeficientas

2

1=k ir ties kerta Oy a

take ( )3;0 B

Brinys parinkus 2 takus

Galime urayti tiess lygt, kai inomas jos vienas takas ( )111 ;yxM ir

krypties koeficientas k:

( )11 xxkyy =

Tiess einanios per du duotus takus ( )111 ;yxM ir ( )222 ;yxM lygtis

uraoma:

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

=

PVZ3.: tiess, einanios per takus ( )3;21 M ir ( )4;52M lygtis

35


36/80

( ) ( ) 0233733277

3

3

2

34

3

25

2=+=

+=

++

=

yxyxyxyx

-

bendroji tiess lygtis

Galime parayti kryptin:

3

23

3

7= xy

Tiess ploktumoje padtis taip pat nusakyta, kai inomas vienas jos takas

( )111 ;yx ir jos krypties vektorius (t.y. bet koks vektorius lygiagretus tiesei)

( )mls ;= :

m

yy

l

xx 11 =

PVZ 4.: ( )1;31 ir ( )1;1=s

1

1

1

3 +=

yx

Kampas tarp tiesi ploktumoje

1. Jei dvi tiess ploktumoje duotos kryptinmis lygtimis 11 bxky += ir

22bxky +=

. Kampas tarp j:

21

21

1 kk

kktg

+

=

PVZ.: kampas tarp tiesi 321 += xy ir 22 = xy

3

1

121

12=

+

=tg

3

1arctg=

1. Tiesilygiagretumo slyga: 21 kk =

2. Tiesistatmenumo slyga: 121 =kk

2. Jei tiess duotos bendrosiomis lygtimis 0111 =++ CyBxA ir

0222 =++ CyBxA . Norint rasti kamp tarp j, iekome kampo tarp j normalij

vektori ( )111 ;BAn = ir ( )222 ;BAn = kosinuso, t.y.:

36


37/80

21

21cosnn

nn=

Statmenumo slyga: 021 =nn arba 02121 =+ BBAA

Lygiagretumo slyga: 21 nn = arba2

1

2

1

BB

AA =

37


38/80

Udaviniai

1. Duota ties 0623 = yx

a) rasti takus, kuriuose ties kerta Ox irOy ais

b) parayti kryptin tiess lygt, rasti krypties koeficienta) kai ties kerta Ox a,y=0: 26306023 === xxx ( )0;2

kai ties kerta Oy a,x=0: 36206203 === yyy ( )3;0

b) i duotos lygties ireikiamey:

32

30623 == xyyx , t.y. kryptin lygtis, o krypties koeficientas

2

3=k

2. Parayti lygt tiess, einanios per tak ( )1;21 ir

a) lygiagreios tiesei T1: 0125 =+ yx ( 01225 = yx )

b) lygiagreios tiesei T2: 73

1+= xy ( 053 = yx )

c) statmenos tiesei T3: 023 =+ yx (3

1

3

1= xy )

d) tak ( )0;32 ( 035 =++ yx )

3. Duotos trikampio virns ( )4;11 ir ( )0;42 ir kratins 32M

lygtis 047 =+ yx . Rasti kamp prie virns 2M

Kampas yra tarp tiesi 21M ir 32M . Tiess 21M lygtis:

( ) ( ) 0163443144

4

3

1

40

4

14

1=+=+

=+

=+

+yxyx

yxyx

( )7;11 =n ( )3;42 =n

( ) ( )

=

=

=+

===+=

=+=

50

5arccos

50

5

505

25

505

3741cos

525916

50491

2

1

n

n

4. Ties eina per tak ( )5;21 ir statmena tiesei 053 =+ yx . Parayti

jos lygt

= 323

3

1xy

38


39/80

5. Patikrinti, ar takas M priklauso tiesei, jei:

a) ( ) 0124:;4;2 =+ yxTM (priklauso)

b) ( ) 34:;2;2 = xyTM (nepriklauso)

6. Rasti duotj tiesi krypties koeficientus:

a) 0823 =+ yx (2

3=k )

b) 12

=x

y (2

1=k )

7. Duota tiess T1 lygtis 0123 =+ yx . Parayti tiess Tlygt, jei:

a) ( ) 11 ||irtieseipriklauso2;-3takas TTTM ( 023 =+ yx )

b) ( ) 12 irtieseipriklauso5;2-takas TTTM ( 01632 =+ yx )8. Parayti tiess, einanios per du takus, lygt, kai:

a) ( )0;21M ir ( )3;52 M ( 02 =+ yx )

b) ( )2;52 M ir ( )2;43M ( 02 =y )

9. Ties bkxy += eina per takus ( )1;21M ir ( )5;32 M . Rasti tiess lygt (

136 += xy )

10. Ties kxy = eina per tak ( )5;1P . Rasti tiess lygt ( xy 5= )

11. Apskaiiuoti kamp tarp tiesi

075 =+ yx ir 0532 = yx

075 =+ yx ir 0243 =+ yx

12.Ar tiess yra lygiagreios: 0452 =++ yx ir 08156 =+ yx (taip)

13. Rasti kamp tarp tiesi:

5332 +=+= xyxy ir (135)

0540753 =+=+ yxyx 2ir (7

11arctg )

015434 =++=+ yx0ir83y-x (lygiagreios)

39


40/80

FUNKCIJOS ( )xfy = RIBA TAKE

Panagrinkime funkcij

2164 2

=

xxy

Ji neapibrta take 2=x . Paskaiiuosime funkcijos reikmes, kai x reikm artima

2:

x 1,9 1,95 1,995 2,0005 2,001y 15,6 15,8 15,98 16,002 16,004

2x 0,1 0,05 0,005 0,0005 0,001

16y 0,4 0,2 0,02 0,002 0,004

Matome, kad kuo ariau skaiiaus 2 yra x reikm, tuo funkcijos reikm artimesn

skaiiui 16. Kitaip tariant majant reikinio 2x reikmms maja ir 16y

reikms. T.y. kai x pakankamai artimos skaiiui 2, funkcijos reikms kiek norima

maai skiriasi nuo 16. Tada sakome, kad 16 yra2

164 2

=x

xy funkcijos riba, kai x

artja prie 2. ymime:

162

164lim

2

2=

x

x

x

Skaiius b vadinamas funkcijos ( )xfy = riba take a (arba kai 2x ), jeigu bet

kur 0> atitinka toks 0> , kad visiems ( )fDx , tenkinantiems slyg


41/80

FUNKCIJOS RIBA, KAI x

Panagrinsim funkcij ( )x

xf3

5 += . Aiku, kad, didjant x , trupmenosx

3reikms

maja. Kitaip tariant, kai x reikms didels, funkcijos ( )xf reikms maai skiriasi

nuo 5. Sakoma, kad ( )xf riba lygi 5, kai x . ymima:

53

5lim =

+

xx

Skaiius b vadinamas funkcijos ( )xf riba, kai x , jeigu bet kur 0> atitinka

toks 0>M , kad visiems ( )xDx , tenkinantiems slyg Mx > , teisinga nelygyb:

( )


42/80

Udaviniai:

1. Apskaiiuoti( )

122

422lim

2

8lim

2

2

3

2=

++

=

x

xxx

x

x

xx

2. Apskaiiuoti 37992 12lim 2

2

3 =+ + xx xxx

3. Apskaiiuoti 2421

9lim

2

3=

+

x

x

x

4. Apskaiiuoti2

523lim

3

2

1=

xx

xx

x

5. Apskaiiuoti9

4

27

933lim

3

23

3=

++++

x

xxx

x

6. Apskaiiuoti2

1

8

12

2

1lim

32=

xxx

7. Apskaiiuoti40

1

5

6231lim

25=

++

xx

xx

x

8. Apskaiiuoti 24

3

332

21lim

3=

+

x

x

x

9. Apskaiiuoti 33lim

2

=

+ xxx

x

10. Apskaiiuoti ( 07353lim =+

xxx

11. Apskaiiuoti =+

132lim 22 xxx

12. Apskaiiuoti 0319lim2 =+

xx

x

13. Apskaiiuoti5

3

25

13lim

2

2

=+

xx

x

x

14. Apskaiiuoti3

1

532

13lim

2

2

=++

xx

xx

x

15. Apskaiiuoti 013

11lim =

++

x

x

x

42


43/80

Klasikins ribos:

( )

1sin

lim

1lim

11lim

0

1

0

=

=+

=

+

x

x

ex

ex

x

xx

x

x

Pvz.:3 11

1lim1

1lim 01

22

2

==

+=

+

e

xx

xx

x

x

x

Pvz.:4 53

5

5

3

3

51lim1

3

21lim

3

2lim e

xx

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

=

+=

++=

+

Pvz.:5

( )

2

23

323

3

233232

23

31lim1

23

131lim

23

13lim e

xx

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x=

+

+=

+

+=

+

++

+

+

+

Pvz.:65

2

5

2lim

55

5sin

22

2sin

lim0

0

5sin

2sinlim

000==

==

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xxx

Ekvivalenios funkcijos

Skaiiuojant ribas, kai kurias funkcijas galima pakeisti joms ekvivaleniomis:

(

0kai,2~cos1

0kai,~

~sin,~sin0kai,~sin

2

2222

xx

x

xxtgx

xxxxxxx

Pvz.:72

5

2

5lim

0

0

2

5sinlim

00===

x

x

xtg

x

xx

Pvz.:82

1

2lim

0

0

2lim

00===

x

x

xtg

x

xx

Pvz.:912

2

3lim

0

0

2sin

3lim

2020=

==

x

xx

x

xxtg

xx

43


44/80

Pvz.:102

92

9

lim0

03cos1lim

2

2

020===

x

x

x

x

xx

Trigonometrini funkcij ribos

Formuls:

x

xctgx

xxtgx

xx

xx

xxx

xxx

sin

cos

cossin

sin1cos

cos1sin

sincos2cos

cossin22sin

22

22

22

=

=

=

=

=

=

Funkcijos vienpuss ribos

Iki iol nagrinjome funkcijos rib take ax = , kai x gyja visas reikme i intervalo

( ) + aa ; tiek i kairs tiek i deins.

Intervalas ( ) + aa ; yra vadinamas tako a aplinka.

Jei, iekant ribos apsiribojama tikx reikmmis, esaniomis kair nuo a , tai tokia

riba vadinamafunkcijos riba i kairs ir ymima:

( ) ( ) ( ) 10

00limlim bafbxfxf

aaxax

===+

Funkcijos ribos i kairs ir deins vadinamos vienpusmis ribomis.

44


45/80

PVZ 11.: Apskaiiuoti

= xx

1lim

00

+=+ xx

1lim

00

45


46/80

FUNKCIJ TOLYDUMAS IR TRKIO TAKAI

Nagrinjam funkcij ( )xfy =

Ap. Funkcija ( )xfy = vadinama tolydia take Dx 0 , jeigu ji yra apibrta iametake ir aplinkoje, be to,

( ) ( )00

lim xfxfxx

=

t.y. jeigu funkcijos riba take 0x lygi jos reikmei tame take.

PVZ .:12 Ar funkcija ( ) 21 xxf += yra tolydi take 10 =x ?

( ( )121lim 21

fxx

==+

Vadinasi funkcija yra tolydi.

Ap.Jei lygyb ( ) ( )00

lim xfxfxx

= negalioja, sakoma, kadfunkcija take 0xx = turi

trk( 0xx = yra trkio takas)

Ap. Takas 0x vadinamas funkcijos ( )xfy = I tipo trkio taku, jei jame egzistuoja

baigtins ribos i kairs ( )00 xf ir deins ( )00 +xf .

Jei ( ) ( )00 00 += xfxf -paalinamas trkio takas

Jei ( ) ( )00 00 + xfxf - nepaalinamas

Ap. Takas 0x vadinamas funkcijos ( )xfy = II tipo trkio taku, kai bent viena

vienpus funkcijos riba take neegzistuoja arba yra begalin.

PVZ .:13 Patikrinti ar funkcija ( ) 21

xxf = take 0=x yra tolydi .

= 200

1lim

xx

=+ 200

1lim

xx

II tipo trkio takas.

PVZ .:14 Kurio tipo trk take 2=x turi funkcija ( )2

83

=x

xxf ?

( )

( ) 1242lim28lim

1242lim2

8lim

202

3

02

2

02

3

02

=++=

=++=

++

xxxx

xxx

x

xx

xx

46


47/80

I tipo paalinamas trkio takas.

PVZ .:15 Itirsim funkcijos ( ) 12

34 = xxf tolydum take 1=x

=+=

+==

====

+

+

+

3;0

24lim34lim

03;0

2

404lim34lim

01

1

2

01

01

1

2

01

x

x

x

x

x

x

takas 1=x yra II tipo trkio takas.

PVZ .:16Itirsim funkcijos ( )

>


48/80

Udaviniai:

1. 623

52

12lim

=

++

ex

xx

x

2. 5115

2

5954lim

+

=

++

ex

x xx

x

3. 12

22

16

16lim

=

++

ex

xx

x

4. ( ) 21

3

0

321lim

= ex xx

5. 23cos

6lim

3cos

6sinlim

00

=

= xx

x

xxtg

x

xx

6.3

8

6

16lim

3sin

4cos1lim

2

2

00==

x

x

xx

x

xx

7.2

9

2

3

3lim

0=

xtg

xctg

x

8. 0sin

1lim

0=

xxctg

x

9. 22sin222cos1lim 20 =+

xx

x

10. 2cos1

lim2

0=

xx

x

11.

++

= 03kai,0

03kai,2lim 3

1

03 x

xx

x

12.

+

=

+

02kai,

02kai,2

3

12lim

2

02 x

xxx

x

13.

++

=

+

04kai,1

04kai,31lim 4

04 x

xx

x

x

14.

++

=

++ +

x

x

x

xx

x kai,0

kai,

23

32lim

1

15.

=

+==

+

++

+

xe

xe

x

xx

x

kai,

kai,0

34

14lim

12

48


49/80

16. Itirti funkcijos ( )x

xxf

+=

251

1tolydum ir nubrti funkcijos grafik

(funkcijos apibrimo sritis ( )( ) ( ) ( )= ;22;xfD , todl tiriam take 2=x

). Ats.: I tipo trkio takas

17. Itirti funkcijos ( )1

1

2

11

+

+=

x

xf tolydum ir nubrti funkcijos grafik

(funkcijos apibrimo sritis ( )( ) ( ) ( )= ;11;xfD 1=x ). Ats.: 1=x

II tipo trkio takas

18. Itirti funkcijos ( )x

xf1

23

1

+

= tolydum. Ats.: 0=x I tipo trkio takas

19. Itirti funkcijos ( )( )

>


50/80

IVESTINS APIBRIMAS

Turime funkcij ( )xfy = , x - jos argumento reikm, ( )xf - j atitinkanti funkcijos

reikm. Nuo reikms x galime pereiti prie reikms 1x , t.y.:

xxxxxx =+= 11

x vadinamas funkcijos argumento pokyiu. Funkcijos reikm tame take bus

( )xxf + . Tada skirtumas

( ) ( )xfxxfy += vadinamas funkcijos pokyiu take x , atitinkaniu argumento

pokyt x .

Jei funkcija ( )xfy = yra apibrta tako x aplinkoje,funkcijos ( )xfy = ivestine

takex vadinama riba:

( ) ( )( ) ''limlim

00yxf

x

y

x

xfxxf

xx==

=

+

Ap. Funkcija ( )xfy = , turinti baigtin ivestin, yra vadinama diferencijuojama. Jei

funkcija yra diferencijuojama take x , ji yra tolydi tame take.

PVZ.:1 Rasti 2xy = ivestin, remiantis apibrimu:

( ) ( ) ( )

( )

xy

xxxx

xxx

x

yxxxxxxxfxxfy

xxx

2'

22lim2

limlim

2

0

2

00

222

=

=+=

+=

+=+=+=

prastai ivestins skaiiuojamos remiantis ivestini skaiiavimo taisyklmis ir

formulmis.

PVZ.:2 xxy 53 2 +=

( ) ( ) 56'5'3' 2 +=+= xxxy

PVZ.:3 xy 3sin=

( ) xxxxy cossin3'sinsin3' 22 ==

Dalins ivestins

Kai turim funkcij ( )yxfz ,= , galime apskaiiuoti funkcijos dalines ivestines.

Funkcijos ( )yxfz ,= dalin ivestin pagal x ymima xf' ir apskaiiuojama

fiksuojant y reikm (t.y. y laikome tiesiog skaiiumi); dalin ivestin pagal y

50


51/80

ymima yf' ir apskaiiuojama fiksuojant x reikm (t.y. x laikome tiesiog

skaiiumi).

PVZ.:4 324 yxz =

238

yz

xz

y

x

==

PVZ.:5 3223 2 yxyxz +=

22

3

34

23

yxyz

xyxz

y

x

+=

+=

Parametrikai apibrtos funkcijos ivestin

T.y. funkcija apibrta sekaniu pavidalu:

( )

( )

==

tgy

tfx

Tada( )( )tgtf

x

yy

t

tx '

'

'

'' ==

PVZ.:6

=+=ty

tx

sin

52 3

2

2

6

cos'

cos',6'

t

ty

tytx

x =

==

Auktesni eili ivestins

Funkcijos ( )xfy = ivestins ivestin yra vadinama antrosios eils ivestine ir

ymima ( )xfy '''' = . Skaiiuojant antros eils ivestins ivestin gausime treios

eils ivestin ( )xfy ''''''

= ir t.t.

PVZ.:7 xxy 52 2 +=

0'''

4''

54'

==

+=

y

y

xy

51


52/80

Udaviniai:

1. Remiantis ribos apibrimu, apskaiiuoti ivestines:

a) xxy 32 2 =

b) 352

+= xxy

c) xy /1=

2. Apskaiiuoti funkcij ivestines

a) 324 35 += xxy

b)x

xxy1

42 37 ++=

c)3 5

26 32 xx

x

xy +=

d)x

xy

sin=

e) xxexy += ln

f) ( tgxxy x23 +=

g)4

3

3 x

xxy

x ++

=

h)xx

xy

lncos+

=

i) ( 24ln xxy +=

j) xy 3sin=

k) 14 += xy

l)x

xexy x

arcsin

sin4 +=

m)( )1ln

523

4

++

=x

ey

x

n) ( xxy tgx 23 cossin3 ++=

3. Apskaiiuoti funkcij ivestines ir rasti j reikmes nurodytuose takuose:

a) 3;24

3cos3 =+= x

x

xy

b) 0;

2

=+=

xxxeyx

52


53/80

4. Apskaiiuoti antros eils ivestines:

a)2

1 x

xy

=

b) xxy ln2

=

c) 22x

ey

=

d) xey x sin=

5. Rasti parametrini funkcij ivestines:

a)

+=

1

42t

ty

b)

=

2cos

2sin2

t

t

y

c)

=t

ty

2arcsin

412

d)

=2

ln

t

ttty

6. Rasti dalines ivestines:

a) 533

423

+= yyxx

z

b)yx

yxz

2

2

+

=

c) yxz=

d) ( 22ln yxz +=

e)1

=x

xyz

53


54/80

FUNKCIJOS DIFERENCIALAS IR JO SAVYBS

Funkcijos ( )xfy = ivestins iekojimas kitaip vadinamas funkcijos

diferencijavimu.Funkcijos ( )xfy = diferencialu vadinama ios funkcijos ivestins ir argumento

pokyio sandauga.

Diferencialas ymimas ( )dxxfdy '=

T.y. x keiiam dx .

Kadangi ( )dxxfdy '= . Tai diferencialo savybs yra analogikos ivestini savybms:

1. ( ) 0=cd

2. ( ) duccud =

3. ( ) dvduvud +=+

4. ( ) udvvduvud +=

5. 2v

udvvdu

v

ud

=

Tai, kad funkcija yra sudtin nieko nekeiia, t.y. vis tiek skaiiuojame ivestin ir

dauginame gale idx

.Pvz 1.: xxy cos4

3

=

xdxxdy sin4

3 41

=

Pvz 2.: xarctgy 2=

22 41

2

41

2

x

dxdx

xdy

+=

+=

Pvz 3.: )2cos(ln xy =

( ) tgxdxdxx

xdxx

xdy ===

cos

sinsin

cos

1

I lygybs ( )dxxfdy '= gauname, kad ivestin galime ymti:

( )dx

dyxf ='

54


55/80

Liopitalio taisykl

Liopitalio taisykl taikoma skaiiuoti riboms neapibrtum atvejais.

J galima taikyti, kai turime neapibrtumus 0

0ir .

Jeigu:

( ) ( )

( ) ( ) ==

==

xgxf

xgxf

axax

axax

limlim

arba

0limlim

ir galime apskaiiuoti

( )xf' ir ( )xg'tada yra teisinga lygyb

( )

( )

( )

( )xgxf

xg

xf

axax '

'limlim

=

Pvz 4.: ( ) 1coslimsin

lim00

==

x

x

xx

xx

Pvz 5.: 51

5lim

2

35lim ==

+

xx x

x

Pvz 6.:3

1

113

75lim

2

2

=+

++ x

xx

x

55


56/80

Udaviniai

1. Rasti duot funkcij diferencialus

a) 32sin5

++=x

xxy

b) tgxxxctgy += 2

c) xxy sin3 =

d)12

3

+=

x

xy

e) xtgy 5=

f) 2

1 xy +=g) xxy 2ln=

h) ( )4223 xy =

i) )2ln( 2 xxy +=

j) xy sin2=

2. Apskaiiuoti ribas remiantis Liopitalio taisykle:

a) 0sin

lim20

= xxxtgx

x

b) 0ln

lim3

2

= x

x

x

c)3

2

12

1lim

2

2

1=

xx

x

x

d)2

1

375

254lim

23

23

1=

++

xxx

xxx

x

e)4

1

234

53lim

23

23

=+++

xx

xx

x

f)3

4

2

321lim

4=

+

x

x

x

g) 22cos1

lim20

=

x

x

x

h)( )

441ln

lim0

=+

x

x

x( ( ) 01ln = )

56


57/80

i)(

7

4

103

3lnlim

2

2

2=

+

xx

x

x

j)( )

6

1

82

2sinlim

22=

+

xx

x

x

k)2

5

164

242lim

23

24

2=

++

xx

xx

x

l) 1223

8lim

2

3

2=

+

xx

x

x

m)( ) 2

3

21ln

3sinlim

0=

+ xx

x

n) 2

1

2

1

lim0 =

xtg

ex

x

57


58/80

PIRMYKT FUNKCIJA IR NEAPIBRTINIS INTEGRALAS

Diferencialinio skaiiavimo pagrindinis udavinys buvo rasti duotosios funkcijos

( )xF ivestin ( ) ( )xfx'F = arba diferencial ( ) ( )dxxfxdF = . iame skyriuje

nagrinsime atvirktin udavin iekosime funkcijos ( )xF , kai inoma ios

funkcijos ivestin ( )xf arba diferencialas ( )dxxf .

Apibrimas. Funkcija ( )xF vadinama funkcijos ( )xf pirmykte funkcija, jei

teisinga lygyb ( ) ( )xfx'F = arba ( ) ( )dxxfxdF = .

Pvz1.: Funkcijos ( ) 3xxf = pirmykts funkcijos ( )xF yra:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xfxCx

x'Fx

xF

xfxx

x'Fx

xF

xfxx

x'Fx

xF

xfx

x

x'F

x

xF

'

'

'

'

==

+=+=

==

==

==

+=+=

==

==

344

344

344

344

4nesC,

4

54

nes,54

24

nes2,4

4nes,4

ia C bet koks realusis skaiius.

Pvz 2.: Funkcijos ( ) xcosxf = pirmykts funkcijos ( )xF yra:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xfxcos'Cxsinx'FCxsinxF

xfxcos'.xsinx'F.xsinxF

xfxcos'xsinx'FxsinxF

==+=+=

====

====

nes,

42nes,42

nes,

Kai ( )xF yra viena funkcijos ( )xf pirmyki funkcij, tai kiekviena kita tos

funkcijos pirmykt funkcija ioje atkarpoje ireikiama suma ( ) CxF + , ia

.constC=

Apibrimas. Aib vis duotosios funkcijos ( )xf pirmyki funkcij ( ) CxF + , ia

.constC= , vadinama funkcijos ( )xf neapibrtiniu integralu ir ymima simboliu

( )dxxf .

58


59/80

Funkcija ( )xf vadinama pointegraline funkcija, sandauga ( )dxxf - pointegraliniu

reikiniu, enklas - integralo enklu, o x - integravimo kintamuoju.

Vadinasi( ) ( ) CxFdxxf += , .constC= , kai ( ) ( )xfx'F = .

Veiksmas, kuriuo surandama duotosios funkcijos pirmykt funkcija vadinamas

integravimu.

Pagrindins neapibrtinio integralo savybs:

1. Neapibrtinio integralo ivestin lygi pointegracinei funkcijai:

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )xfx'F'CxF'dxxf

,xf'dxxf

==+=

=

nes

2. Neapibrtinio integralo diferencialas lygus pointegraliniam reikiniui, t.y.:

( )( ) ( )dxxf'dxxfd =

3. Bet kurios funkcijos ( )xF diferencialo neapibrtinis integralas lygus tai

funkcijai, sudtai su konstanta, t.y.:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+===+=

CxFdxxfdxx'FxdF

,CxFxdF nes

4. ( ) ( ) ( ) ( ) +=== CxFdxxfdxx'FxdF

Pvz.: +== Cxln

xlnxdlndxx

xln

2

2

5. ( ) ( ) ( ) == 0kai a.consta,dxxfadxxaf

6. ( ) ( )( ) ( ) ( ) =+=+ .constb,adxxgbdxxfadxxbgxaf

Tiesioginis integravimas

Neapibrtini integral skaiiavim, taikant integravimo formules ir savybes,

vadiname tiesioginiu integravimu.

Pvz 3.: Cx

xlnx

x

dxdxxdx

xdxx

x++=

++=+=

+

+

5

214

222 51444

59


60/80

Pvz 4.:

( )Cx

xC

xxdxx

xdxxdxxdxxx

++=+++=+=+=+

+

233

12

13

2

1322

3

2

312133

Pvz 5.:

Cxsinxarcsinx

xdxcosx

dxxdxdxxcos

xx

++=

=+

=

+

63

61

3261

32

2

22

Keletas integravimo taisykli (kaip pertvarkyti integral, kad galtume taikyti

pagrindines formules):

Jei ( )xF yra funkcijos ( )xf pirmykt funkcija, tai

1.( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .consta,dxdx'axaxd

,CaxFaxdaxfdxaxf

==+=+++=++=+

nes

Vadinasi, visada galima dxpakeisti ( )axd +

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ++=++=+ CbaxFa

baxdbaxfa

dxbaxf11

Pvz 6.: ( ) Cxlnxxd

xdx ++=++=+

2222

Pvz 7.: ( ) ( ) ( ) ( ) ++=++=+ Cxcosxdxsindxxsin 233

12323

3

123

Pvz 8.: Cexdedxe xxx +== 3333

13

3

1

Pvz 9.: Cxlnxxx

dxdxdxxdx

x

xx+==

2

4

323

123 434

Pvz 10.: ( ) Cxlnxx

dxdxdxx

xdxx

xdxx

x +++=

+=

+=

+=

111

111

111

60


61/80

Udaviniai

1. dxx

xx

+3

2 5215.

== 3252

3

13dxdxxdxex x

2.

dxxcos

21 16.

( )

=

=

xarcsind

xdx

xxarcsindx

225 11

3. ( ) dxx 21 17. ( )[ ]xcosdxdxsinxcos

xdxsin==

5

4. dxx

x

+122

18. xsin

xdxcos

1

2

5.

233 x

dx19. + dxx5 12

6. dxx 20. +12 5

4

x

dxx

7. 3x

dx21.

+ 3x

x

e

dxe

8. x

dx

9. 2169 xdx

10.( )

xsin

dx

342

11.( )

dxxx

x

21

12.( )

dxxx

x

++

22

2

1

21

13. ctgxdx

14.

==

+

22 2

1

4dxxdx

x

xdx

61


62/80

Integravimas keiiant kintamj

Kartais patogu, skaiiuojant integral ( )dxxf , kintamj pakeisti pagal formul

( )tx = . Tada ( ) ( )( ) ( ) = dtt'tfdxxf .Suintegravus reikia grti prie kintamojo x .

Pavyzdiai:

1. { } Cxsin

Ct

tdtxdxcosdt,xsintdxxcosxsin +=+===== 22

22

2. CeCedtedtdx,t

x,xtdxe xttx +=+==

=

+=== 2525

5

1

5

1

5

1

5

1

5

225

3. CxlnCtlntdtdtdx,tx,xt

xdx ++=+==

==+==+

2661

61

61

61

6226

26

4. CeCedtedttdx,tx,xtdxexxttx +=+==

==== 33

3

1

3

1

3

1

3

1 32

3

132

5.

{ } ( ( )( )

( ) ( ) Cxxdttt

dtt

tttdtt

tttdtdx,tx,xtdxxx

++++=+=

= +====+==+

2213

222

2 2222 231211213

32

2

2

6.( )

{ }( )

+

=+

==+===

Cx

xdt

t

tdtdx,tx,xt

x

xdx233 2

1222

2

7. dxxx + 52

8.

dx

x

x

10

9. +

dxx

x3 1

10. ( ) + dxxx 1252

11. + dxe x 1

12. dxx3

62


63/80

13.( )

322 xcos

dx

63


64/80

Integravimas dalimis

Jeigu ( )xu ir ( )xv diferencijuojamos funkcijos, tai

= vduuvudvTai yra dalinio integravimo formul.

Daniausiai naudojami ymjimai:

1. Integraluose

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arcctgxdxxP,arctgxdxxP,xdxarccosxP,xdxarcsinxP,xdxlnxP ,

funkcija ( )xu laikomas arcctgx,arctgx,xarccos,xarcsin,xln .

2. Integraluose ( ) ( ) ( ) dxbxsinxP,bxdxcosxP,dxexP ax ( )xPu = , o dv

laikomas bxsinbxcos,eax arba .

Pavyzdiai:

1. +======= Cexedxexeev,dxedv,dxduxudxxe xxxxxxx ,

2.

Cxxlnx

dxx

xlnx

dxx

xxlnxx

v,dxxdv,x

dx

duxlnuxdxlnx

+=

===

=====

33

23333

22

6

1

3

3

1

3333,

3. Cxxlnxdxx

xln+= 42

4. ( ) xdxlnx 22

5. xdxarcsinx ???

6. xdxarccos

7. xarctgxdx

8. ( ) arcctgxdxx 3

9. ( ) + xdxsinx 531

10. ( ) + dxex x753

11. xdxlnx2

12. dxx

xln3

64


65/80

13. dxx x3

14. ( + xdxlnxx 43

15. xdxln

Racionalij trupmen integravimas

1. Jeigu trupmena netaisyklingoji (vardiklio laipsnis didesnis, nei skaitiklio arba

lygs), tai iskyr sveikj dal (padalin skaitikl i vardiklio) gauname

taisyklingj racionalij trupmen.

Pvz.: 1.

Cxlnxx

x

dxdxxdx

xx

x

xdx

x

x+++=

++=

++=

+=

+ 1

211

11

11

222

Pvz.: 2.

+

+=

+

=

+

2

432

2

32

2

3222

2

2

2

x

x

x

xxdx

x

xx

2. Jeigu racionali trupmena ireikta reikiniu( )

( ) kax

xP

, j ireikiame

paprasiausi racionali trupmen suma:

( )

( ) ( ) ( ) kk

k ax

A...

ax

A

ax

A

ax

xP

++

+

=

221

. Koeficientai kA,...,A,A 21 randami

i tapatybs: ( ) ( ) ( ) ( ) kkkk AaxA...axAaxAxP ++++=

1

22

11

deinje pusje atlikus veiksmus ir sulyginus abiej pusi koeficientus prie

vienodx laipsni.

Pvz.:3

( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

+

+

==

=+++=++=+

++

=+=

+

2

022

2

11

11

01111

1

x

dx

x

dx

BA:x

BA:xBAAxx,BxAx,x

B

x

A

x

x

x

xdx

65


66/80

3. Jeigu racionalioji trupmena ireiktaqpxx

nmx

++

+2 , kvadratin trinar

qpxx ++2 skaidome: ( ) ( )212 xxxxqpxx =++ ir racionalij trupmen

ireikiame:

( )( ) ( ) ( )21212 xxB

xx

A

xxxx

nmx

qpxx

nmx

+

=

+

=++

+

Pvz.:4 ( ) ( ){ } =+=+

122323

22

xxxxxx

dx

Udaviniai

1. dxxx

x

+

6512

2

2.( ) ( )

dxxx

x

32

4

3. dxxx

x

+

2

42

4.

( )

dx

x

x

3

4

1

2(!!!)

5.( )

dxxx

x

+

+

22

12

6. dxxx

x

+

+

4

122

7.( ) ( )

dxxxx

x

+

21

232

66


67/80

APIBRTINIS INTEGRALAS

1. Apibrtinio integralo svoka

Tarkime atkarpoje [ ]b;a apibrta teigiama ir tolydi funkcija ( )xfy = .Figra, apribota i apaios Ox aimi, i on tiesmis ax = ir bx = , i viraus

funkcijos ( )xfy = grafiku, vadinama kreivine trapecija

ios figros plotas yra lygus integralui

( )=b

adxxfS

Toks integralas vadinamas apibrtiniu integralu ir ymimas

( )=b

adxxfI

a apatinis integravimo ris;

b virutinis integravimo ris.

2. Apibrtinio integralo savybs ir skaiiavimas

1. Jeigu neapibrtinis integralas ( ) ( ) += CxFdxxf , tai apibrtinis integralas

skaiiuojamas pagalNiutono Leibnico formul:

( ) ( ) ( ) ( )aFbFxFdxxf ba

b

a==

Pvz. 1: ( )3

201

3

2

3

22

1

0

31

0

2 === xdxx

2. Jeigu apibrtinis integralas skaiiuojamas dalinio integravimo metodu , tai

=

b

a

b

a

b

a vdu|uvudv

67


68/80

Pvz. 2: =

==

===

2

1

21

2

1 dx|xlnx

xvx

dxdu

dxdvxlnu

xdxln

3. ( ) ( )( ) ( ) ( ) =b

a

b

a

b

adxxgldxxfkdxxglxfk

Pvz. 3: ( ) +2

113 dxx

4. ( ) ( ) ( ) +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf , kai bca


69/80

12. +

4

33

4

3 2169

4

x

dx

13. +

2

0 2214

x

dx

14.(

++4

1 2

23dx

x

xxx

15. ( )

2

1

32 1 xdxx

16.

+

2

1

434 dx

x

x

69


70/80

APIBRTINIO INTEGRALO TAIKYMAS

1. Kreivins trapecijos ploto skaiiavimas

Kreivins trapecijos, kuri riboja kreiv ( )xfy = (a) , aies Ox atkarpa [a;b] irtiess ax = ir bx = , plotas skaiiuojamas pagal formul:

( ) ==b

a

b

aydxdxxfS

a) b)

Norint rasti plot figros, apribotos kreivmis ( )xgy = ir ( )xfy = ir tiesmis

ax = ir bx = (b), reikia apskaiiuoti dviej kreivini trapecij plot skirtum,

t.y.:

( ) ( ) =b

a

b

adxxfdxxgS

Pvz 1.: Rasti parabols 12 += xy , apribotos tiesmis 1=x , 2=x ir 0=y , plot.

Pvz 2.: Rasti plot figros, apribotos parabole xxy = 2 ir tiese xy 2=

Pvz 3.: Rasti plot figros, apribotos hiperbole 32xy = ir tiese xy 4=

70


71/80

2. Kreivs ilgio skaiiavimas

Tegu kreiv ireikta funkcija ( )xfy = , apibrta intervale [a;b]. Kreivs ilgis

skaiiuojamas pagal formul:

dx'ylb

a += 21

Pvz 4.: Rasti kreivs 3xy = ilg, kai 40 x

x'y2

3=

07939

8

4

91 101

34

0.|

tdxxl =+=

3. Sukinio trio skaiiavimas

Tr kno, gauto sukantis apie a Ox plokiajai figrai, apribotai funkcijos

( )xfy = grafiku ir tiesmis 0=y , ax = , bx = skaiiuojame pagal formul:

=b

adxyV 2

Pvz. 4: Apie Ox a sukama figra, apribota kreive xy 22

= ir tiesmis 3=x ir0=y . Rasti sukinio tr

71


72/80

=3

0

24 dxxV .

Jei figra sukama apie Oy a, tai sukinio tr skaiiuojame pagal formul:

=b

adyxV 2

Pvz. 5: Apie Oy a sukama figra, apribota kreive xy 22 = ir tiesmis 3=x ir

0=y . Rasti sukinio tr

Netiesioginiai integralai

Apibrdami integral ( )= ba

dxxfI , sakme, kad funkcija yra apibrta intervale

[ ]b;a , o integravimo riai baigtiniai.

Kartais integravimo riai gali bti begaliniai.

Apibrtinio integralo ( )=b

adxxfI riba, kai b vadinama funkcijos ( )xf

netiesioginiu integralu intervale [ ]+;a ir ymima simboliu:

( ) ( )+

+ =b

abadxxflimdxxf

Jei i riba egzistuoja ir yra baigtin, sakome, kad integralas konverguoja.

Prieingu atveju, t.y. kai riba yra begalin arba neegzistuoja integralas diverguoja.

Geometrin netiesioginio integralo prasm: tai yra begalins figros, apribotos

kreive ( )xfy = , Ox aimi ir tiese ax = , plotas:

72


73/80

Pvz1.: 11 2

=+

x

dx

Pvz2.: +=+

1 x

dx

73


74/80

Udaviniai

1. Apskaiiuoti figr plotus, apribotus:

a) kreive 33

1xy = ir tiesmis 0=y , 1=x , 2=x

b) kreive 3xy = ir tiesmis 0=y , 2=x , 2=x

c) kreive 32xy = ir tiese xy 4=

d) kreivmis 62 ++= xxy ir 0=y

e) kreivmis 1882 += xxy ir 182 += xy

f) kreivmis xcosy = , 0=y , 0=x , 2=x

2. Apskaiiuoti kreivs lanko ilg

a) xlny = , 83 x

b)2

2xy = , 10 x

c) xxy3

2= , 80 x

3. Rasti sukinio tr, kai figra apribota:

a) parabole 2xy = ir tiese 2=+ xy

b) parabole 12 += xy ir tiesmis 0=y , 0=x , 3=x sukama

1. apie Ox a

2. apie Oy a

c) kreivmis xy = , 1=x , 4=x , 0=y

d) kreivmis xy 62 = , 0=x , 5=x , 0=y

e) parabole 22 xxy = irOx aimi

f) 22 xy = , xy = , 0=x ( 0x ) apie aOx ir apie aOy

g) xy 92 = , xy 3= ; apie aOx ir apie aOy

4. Apskaiiuoti netiesioginius integralus arba sitikinti, kad jie diverguoja

a) ( ) 4

1

622 2 =++

x

dx

74


75/80

b) 32

1

12 2ln

x

dx=

+

c) 10

=+ dxe x

d)211 2

=+

+

x

dx

e) =+

+

1 1x

dx

75


76/80

PIRMOS EILS DIFERENCIALINS LYGTYS

Pagrindins svokos

Ap. Lygtis ( 0=)n(y,...,'y,y,xF , susiejanti nepriklausom kintamj x , neinomfunkcij ( )xy ir jos ivestines )n(y,...,'y , vadinama diferencialine lygtimi, o

natralusis skaiius n dif. lygties eile.

Ap. Funkcija, kuri ra diferencialin lygt, gauname tapatyb, vadinama tos

lygties sprendiniu.

Pirmos eils dif. lygties pavidalas gali bti: ( ) 0='y,y,xF , ( )y,xf'y = arba

( ) ( ) 0=+ dyy,xNdxy,xMPirmos eils diferencialinei lygiaipradins slygos uraomos: ( ) 00 yxy =

Diferencialins lygties ( )yxfy ,'= sprendiniu vadiname toki funkcij, kuri

staius pradin lygt gaunama tapatyb. Bendrasis diferencialins lygties sprendinys

yra ( )Cxy ,= arba ( ) 0',, = yyx . Atskiras sprendinys yra gaunamas i bendrojo

sprendinio raius vietoj konstantos C konkrei skaitin reikm, nustatom pagal

pradines slygas.

Pvz.: patikrinsime kurios nurodytos funkcijos yra duotosios dif. lygties

sprendiniai:

1. 05' = yy

a) 015153 5551 ==xxx eeey yra

b) 025155 3332 =xxx eeey nra

2. xxyy 22' =+

a)2

1 sinxy =b) xy 21 sin=

3. ( ) yxxyx 22cos12sin' +=+

a) 21 cosxy =

b) xy 22 cos=

4. ( ) xyyxx sin'coscos =

a) xxy cos1 =

76


77/80

b) xy cos2 =

Diferencialins lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Paprasiausios 1 os eils dif. lygtys yra lygtys su atskiriamais kintamaisiais.

Bendras j pavidalas: ( ) ( ) 0=+ dyyQdxxP , t.y. y turi bti tik prie dy , o x tik prie

dx . Tada bendra lygties sprendinys randamas panariui integruojant.

Pvz.: a) ( ) 0cossin =++ ydydxxx

Daniausiai reikia tam pertvarkyti dif. lygtis, kad j kintamieji atsiskirt. Jei

lygties bendra pavidalas yra: ( ) ( ) ( ) ( ) 02121 =+ dyyQxQdxyPxP , tai abi puses padalijus

i ( ) ( )xQyP 12 gauname lygt su atskiriamai kintamaisiais. Jei kintamj atskirti

negalima, lygtis nra io tipo

Pvz.: a) ( ( 022 =+ dxyxydxxxy - galima

b) dxxyydxxdy 2= - negalima

Dif lygi su atskiriamais kintamaisiais sprendimas:

1.yxy =' ; ( ) 10 =y

2. ydxdxdyx 2cos2 =

3. xx eyey ='

4. 14 3 += xdx

dy

5. 2' xyy =

6. ydxxdy = ; ( ) 62 =y

7. ( 01 2 =+ dyxdxy ; ( ) 10 =y

8. xeyy ='2 ; ( ) 10 =y

9. ( )32 = ydx

dy; ( ) 40 =y

10. 231'2 xyy = ; ( ) 31 =y

77


78/80

Homogenins diferencialins lygtys

Homogenine diferencialine lygtimis vadinama lygtis, kurios negalima jokiais

pertvarkymais suvesti lygt su atskiriamais kintamaisiais ir kurioje yra iraikax

y.

ios lygtys yra suvedamos lygtis su atskiriamais kintamaisiais pakeitimo pagalba.

Pakeitimas: uxuyx

yuuxy +=== ''; .

Sprendimai:1. xyxy ='

2. ( ) 0=+ xdydxyx

3. ( dxyxyxdy 2=

4.xy

yx'y

2

22 +=

5. ydyydxxdy = ; ( ) 11 =y

78


79/80

Tiesins diferencialins lygtys

Pirmos eils tiesine diferencialine lygtimi yra vadinama lygtis, pavidalo

( ) ( ) ( ) 0=++ xCyxB'yxA .Tiesin dif. lygtis yra sprendiama keitinio 'uvv'u'yuvy +== pagalba.

Sprendimo eiga:

1. Padarome keitin 'uvv'u'yuvy +==

2. Funkcijas u irv randame sistemos:( )

( )

=+=+

0

0

xCv'u

vxB'v

3. Sprendinys yra uvy =

Udaviniai

1. 1' +=+ xyxy ; ( ) 32 =y

2. xexyxy 32' = ; ( ) 01 =y

3. 03 2 =++ xxy'y

4. 0

2 2= xcosxx

y

'y ; ( ) 20 =y

5. xcosxsinyxcos'y 2=+

6.xx

yy

1' =

Antros eils tiesins dif. lygtys su pastoviais koeficientais

Antros eils tiesins diferencialins lygties su pastoviais koeficientai bendras

pavidalas yra ( )xfcy'qy"py =++ . Jei ( ) 0=xf , lygtis yra vadinama homogenine,

prieingu atveju nehomogenine.

Homogenins lygtys yra sprendiamos sudarant charakteringj lygt 02 =++ cqkpk

. Dif. Lygties bendrasis sprendinys priklauso nuo charakteringosios lygties akn:

1. Jei 210 kkD > sprendinys yraxkxk eCeCy 21 21 +=

2. Jei 210 kkD == sprendinys yra ( )xCCexeCeCykxkxkx

2121 +=+=

3. Jei 0


80/80

Udaviniai

1. 054 =+ y'y"y

2. 0299 =+ y'y"y ; ( ) ( ) 1000 == 'y,y3. 0525 =++ y'y"y ; ( ) ( ) 2010 == 'y,y

4. 0912 =+ y'y"y

5. 09 = y"y ; ( ) ( ) 6000 == 'y,y

Aukštoji matematika

Documents

Transcript of Aukštoji matematika