Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas
14
Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas ) , ( x t f dt dx x=colon(x 1 ,x 2 ,…x n ), f: GR n+1 R n
description
Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas. x = colon ( x 1 , x 2 ,… x n ), f: G R n +1 R n. f nepārtraukti diferencējama -> Košī problēmai ir viens vienīgs atrisinājums. n=2. Integrāllīnijas var krustoties. n=3, integrāllīnijas var arī pieskarties savā starpā. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas
Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas
),( xtfdt
dx
x=colon(x1,x2,…xn), f: GRn+1Rn
)dt
xd,...,
dt
dxf(t,x,
dt
xdn
n
n
n
1
1
10)1(
10
00
)1()(
)(
...
)(
)(
),...,,,(
nn
nn
xtx
xtx
xtx
xxxtfx
f nepārtraukti diferencējama -> Košī problēmai ir viens vienīgs atrisinājums
n=2
Integrāllīnijas var krustoties
n=3, integrāllīnijas var arī pieskarties savā starpā
Kārtas pazemināšanas metodes
),...,( )1()()( nkn xxtfx
)(: kxy
),...',( )1()( nn xxxfx
)(' xux
A)
B)
udx
du
dt
dx
dx
du
dt
du
dt
xd
2
2
1 ),,...,( )1()()( kxxfx nkn
)(kxy
)(' yuy
C)
( 1) ( 1)1 2
( 1) ( 1)1 2
( , , ',..., ) ( , , ",... )
( , , ",... ) ( , , ",... )
n n
n n
dF dFt x x x t x x x
dt dt
F t x x x F t x x x C
D)
2.kārtas vienādojumi
0)()(
)()()(
0)(
)()()()(
0
210
tqxtpx
tftqxtpx
ta
tfxtaxtaxta
Teorēma: Ja x1 un x2 ir lineārā homogēnā vienādojuma (2)
atrisinājumi t maiņas intervālā I un c1, c2 ir patvaļīgas reālas konstantes, tad lineārā kombinācija
x=c1x1+c2x2
arī ir šī vienādojuma atrisinājums tai pašā intervālā I.
(1)
(2)
Lineāri augstāku kārtu vienādojumi
Teorēma: Ja funkcijas p, q un f ir nepārtrauktas kopīgā t maiņas intervālā I, Košī problēmai
RxxItxtx
xtx
tfxtqxtpx
10010
00
, , ,)(
)(
)()()(
eksistē viens pats atrisinājums, kurš ir turpināms uz visu t maiņas intervālu I
Definīcija: Funkcijas sauc par lineāri atkarīgām t maiņas intervālā I, ja eksistē tādas reālas konstantes , ka
21 un
0 ,, 2121 cccc
0)()( 2211 tctc
It
Definīcija: Par funkciju Vronska determinantu sauc determinantu
21 un
21
21
21
:),(
W
Teorēma: Funkcijas ir lineāri atkarīgas intervālā I tad un tikai tad, ja visiem
21 un It 0)( tW
IttCt
Cttt
t
t
ttW
)()(
ln)(ln)(ln)(
)(
)(
)(0)(
21
212
2
1
1
Pierādījums.
0)()()( 21 tWtCt
Teorēma: Ja ir vienādojuma (2) atrisinājumi un
21 un 0)()(:0,,, 02201121210 tctcccRccIt
tad atrisinājumi ir intervālā I lineāri atkarīgi. 21 un
0)()( 022011 tctc
Teorēma: Vienādojumam (2) eksistē (vismaz 2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi.
Pieņemsim
1)(,0)( :
0)(,1)( :
002
001
txtx
txtx
Teorēma: Ja ir lineāri neatkarīgi vienādojuma (2) atrisinājumi, tad šī vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir
kur ir patvaļīgas reālas konstantes.
1) ir vienādojuma atrisinājums.
21 un
2211 ccx
21,cc
Rcc 21, 2211 ccx
2) Katras Košī problēmas
atrisinājumu var izteikt formā , piemēroti izvēloties
2211 ccx 10
00
)(
)(
0)()(
xtx
xtx
xtqxtpx
., 21 cc
Atrodam konstantes. Šai nolūkā jāatrisina lineāra nehomogēna vienādojumu sistēma
1022011
0022011
)()(
)()(
xtctc
xtctc
Tā kā sistēmas determinants ir atrisinājumu Vronska determinants, kurš visos punktos ir atšķirīgs no 0, sistēmai eksistē viens pats atrisinājums.
Teorēma: Ja ir vienādojuma (2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi, bet z ir vienādojuma (1) partikulārs atrisinājums, tad vienādojuma (1) vispārīgais atrisinājums ir
21 un
Rcczccx 212211 , ,
Teorēmas pierādījums līdzīgs iepriekšējās teorēmas pierādījumam.
Piezīme: partikulāro atrisinājumu var atrast ar konstanšu variācijas metodi, t.i., izmantojot substitūciju
2211 uux
kur ir divas jaunas meklējamās funkcijas.21,uu
Vispārinājums
Lineāri n-tās kārtas vienādojumi
0
)(
0)(
)(...)()(:
0
)1(1
)(0
Lx
tfLx
Itta
xtaxtaxtaLx nnn
(3)
(4)
(3) - lineārs nehomogēns vienādojums
(4) - lineārs homogēns vienādojums
Teorēma: Vienādojuma (4) vispārīgais atrisinājums ir n lineāri neatkarīgu atrisinājumu lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem.
nncccx ...2211
n ...,, ,21
zcccx nn ...2211
Šeit ir n lineāri neatkarīgi atrisinājumi.
Teorēma: Ja z ir vienādojuma (3) partikulārs atrisinājums, šī vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir
