Atom- och karnfysik med tillampningar-

Forelasning 8

Gillis Carlssongillis.carlsson@matfys.lth.se

19 Oktober, 2012

Forelasningarna i kvantmekanik

LP1

• V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84

• V2: Formalism. Sid 109-124, 128-131, 185-189

• V3: Approximativa berakningsmetoder. Sid. 135-146

• V3: Sfarisk symmetri. Sid 151-160

• V4 Vateatomen och storningsrakning i He. Sid. 163-173

• V4: Harmonisk oscillator och Atomkarnans struktur

• V8: Repetition och genomgang av ex-tenta

V9: Kvantmekanik tentamen

LP2

Dagens forelasning

Repetition, sid 109-184 i kvantvarldens fenomen

Repetition: Kap 5

Viktiga saker fran kapitel 5, Formalism

• Koordinatrepresentation for operatorer

• Schrodingerekvationen som ett egenvardesproblem

• Skalarprodukt och serieutveckling for vagfunktioner

• Kommutatorer

• Obestambarheter

• Postulat

Koordinatrepresentation for operatorer

I kvantmekaniken finns det till varje fysikalisk storhet en operator A. Dennaoperator anvands for att extrahera information ur en vagfunktion Ψ, t.ex.

< A >=< Ψ| AΨ >=

∫Ψ∗ AΨd~r .

Tva viktiga representationer i en dimension ar:

• Lage: x → x

• Rorelsemangd: px → −i~ ∂∂x

Vi kan nu bilda sammansatta operatorer fran dessa, t.ex. Hamiltonoperatorn

H =p2x

2m+ V (x) = − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

Observera att man ofta utelamnar ˆhattarna

Schrodingerekvationen som ett egenvardesproblem

Schrodingerekvationen kan skrivas som ett egenvardesproblem

Hφn = Enφn

dar En ar egenvarde (energi) och φn en egenfunktion (vagfunktionen) tilloperatorn H.

For en given potential kan man da berakna spektrum (mangd av energier) ochtillhorande vagfunktioner. T. ex. oandlig ladpotential (s.65-71)

• Energier: En = (~πn)22ma2

, n = 1, 2, 3, ..

• Vagfunktioner: φn =√

2asin(nπx/a), n = 1, 2, 3, ..

Skalarprodukt och serieutveckling for vagfunktioner

En skalarprodukt ar en operation som givet tva element (t.ex. vektorer ellervagfunktioner) ger ett tal och dessutom uppfyller vissa regler (s. 110-111). Vibetecknar skalarprodukten mellan u och v enligt < u|v >. I kvantmekaniken

kan vi berakna en skalarprodukt enligt:

< u|v >=

∫u∗ v d~r .

En vagfunktion Ψ kan utvecklas i en bas (t.ex. i egenfuntioner tillHamiltonoperatorn)

Ψ =∑

cnφn.

Utvecklingskoefficienterna beraknas som foljande skalarprodukt

cn =< φn|Ψ >=

∫φ∗nΨd~r .

Kommutatorer

En kommutator bildas av tva operatorer enligt

[A,B] = AB − BA.

Om ordningen mellan A och B inte spelar nagon roll ar kommutatorn noll, mansager da att A och B kommuterar. For att berakna kommutatorer anvands en

testfunktion f

[A,B]f = A(Bf )− B(Af ) = ... = Cf ⇒ [A,B] = C .

Kommutatorer kan aven forenklas med rakneregler (s. 116). En viktigkommutator ar den mellan lage och rorelsemangd (s. 116)

[x , px ] = .. = i~.

Kommutatorer anvands bl.a. for tidsderivatan av ett forvantningslage (s. 118)

d

dt< A >=

i

~< [H,A] >

Obestambarheter

Matningar av storheten A (representerat av operatorn A) pa flera identisktpreparerade system ger i allmanhet olika resultat. Vi kan dock givet

vagfunktionen Ψ berakna forvantningsvardet

< A >=< Ψ|AΨ > .

Som ett matt pa den forvantade avvikelsen fran vantevardet infor vi enobestambarhet (eller standardavvikelse) enligt

∆A =

√< A2 > − < A > 2.

Mellan lage och rorelsemang galler en obestambarhetsrelation (s.24-25)

∆x∆p ≥ ~/2.

vilket ar ett specialfall av den allmanna obestambarhetsrelationen (s. 122-123)

∆A∆B ≥ | < i [A,B] > |/2.

Postulat

Bl.a matning av observabel. s. 128-131 i boken.

Givet en vagfunktion Ψ och observabel A med tillhorande egenvarden ochegenfunktioner:

AφAn = λA

nφAn

kan vagfunktionen utvecklas i A’s bas:

Ψ =∑

cAn φAn

Sannolikheten P(λAn ) for att erhalla vardet λA

n vid matning ges av:

P(λAn ) = |cAn |2

Repetition: Kap 6

Viktiga saker fran kapitel 6, Approximativa berakningsmetoder

• Variationsmetoden

• Forsta ordningens storningsteori

• Andliga underrum

Variationsmetoden

Den vagfunktion ψ som minimerar ett systems energi

< ψ|Hψ >= Emin

svarar mot lagsta egentillstandet

Hψ = Eminψ

Det foljer da att alla andra vagfunktioner φ har hogre energi

< E >=⟨φ|Hφ

⟩> Emin.

Genom att minimera energin for en lamplig vagfuntion φα (beror av nagonparameter α) kan man finna en vagfunktion som ligger nara den exakta

losningen

Emin ≤ minα(Eα) = minα(< φα|Hφα >) = minα(

∫φ∗α H φαd~r)

I praktiken deriverar man Eα m.a.p. α for att hitta ett globalt minimum.

Forsta ordningens storningsrakning

Om man kanner de exakta vagfunktionerna till ett ostort problem (t.ex. denoandliga brunnen)

Hφn = Enφn,

ar det rimligt att en liten storning εVs(x) till Hamiltonoperatorn bara medforen liten andring av vagfunktionerna d.v.s.

Hs =(H + εVs(x)

)Hsφ

sn = E s

nφsn

och

φsn ≈ φn

En forsta approximation av de storda energierna E sn ges av

E sn =

⟨φsn|Hsφ

sn

⟩≈⟨φn|Hsφn

⟩.

Skillnaden orsakad av storningen ar alltsa

∆E sn = E s

n − En ≈⟨φn|(Hs − H

)φn

⟩= 〈φn|εVsφn〉

Andliga underrum

Man kan ofta fa battre approximationer genom att gora en andlig utveckling avdet storda tillstandet i en bas av ostorda tillstand.

Ψs ≈ c1φ1 + c2φ2 + ...+ cNφN

Den storda Hamiltonoperatorn Hs kan da approximativt representeras med enandlig N × N− matris Hs sa att HsΨs = ESΨs kan skrivas

⟨φ1|Hsφ1

⟩ ⟨φ1|Hsφ2

⟩ ⟨φ1|HsφN

⟩⟨φ2|Hsφ1

⟩ ⟨φ2|Hsφ2

⟩ ...

.... . .

...⟨φN |Hsφ1

⟩. . . . . .

⟨φN |HsφN

⟩

c1c2...cN

= Es

c1c2...cN

De N st lagsta egenvardena till matrisen Hs approximerar de N lagstaegenvardena till Hs och egenvektorerna ger motsvarande

utvecklingskoefficienter.

Repetition: Kap 7

Viktiga saker fran kapitel 7, Sfarisk symmetri

• Rorelsemangsmomentoperatorer

• Laplaceoperatorn och klotytefunktioner

• Den radiella Schrodingerekvationen

Rorelsemangdsmomentoperatorer

For sfariskt symmetriska problem spelar rorelsemangsmoment en viktigroll. I klassisk mekanik defineras rorelsemangsmomentvektorn avvektorprodukten ~L = ~r × ~p. Vi har i kap. 5 sett att vi kan skriva

rorelsemangdsoperatorer enligt

~p = (px , py , pz) = −i~(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z) = −i~∇.

Vi definerar nu den kvantmekaniska (vektor) operatorn forrorelsemangsmoment enligt

~L = (Lx , Ly , Lz) = (x , y , z)× (px , py , pz) = −i~~r ×∇.

Mellan rorelsemangsmomentets olika komponenter galler foljandekommutatorer

[Lx , Ly ] = i~Lz , [Lz , Lx ] = i~Ly , [Ly , Lz ] = i~Lx .

Storleken av rorelsemangsmomentet defineras av operatorn ~L2 somkommuterar med alla komponenter [~L2, Lj ] = 0, j = x , y , z

Laplaceoperatorn och klotytfunktioner

Laplaceoperatorn ∇2 ingar alltid i Hamiltonoperatorn. For sfariskakoordinater (r , θ, φ) tar den formen

∇2 =1

r

∂2

∂r2r +

1

r2(∂2

∂θ2+

1

tanθ

∂

∂θ+

1

sin2θ

∂2

∂φ2)

Detta kan omformuleras m.h.a definitionen avrorelsemangsmomentoperatorn till

∇2 =1

r

∂2

∂r2r − 1

r2~2~L2

Den vinkelberoende delen av en tredimensionell funktion kan beskrivas avs.k. klotytefunktioner Ym

l (θ, φ). Dessa ar egenfunktioner till bade ~L2 ochLz sa att

L2Yml = ~2l(l + 1)Ym

l , l = 0, 1, 2, ..

och

LzYml = ~mYm

l ,m = 0,±1,±2, ..,±l

Det finns 2l + 1 olika m for varje l

Den radiella Schrodingerekvationen

For sfariskt symmetriska system ( V (~r) = V (r) ) kan man separeravagfunktionen i en radiellt beroende del samt klotytefunktioner

φ(~r) = φ(r , θ, φ) = R(r)Yml (θ, φ).

Nar vi satter in vagfunktionen i den tredimensionellaSchrodingerekvationen Hφ = Eφ med sfarisk symmetri d.v.s med (s. 157)

H = − ~2

2M∇2 + V (r) = − ~2

2M

1

r

∂2

∂r2r +

1

2Mr2~L2 + V (r)

aterstar det att losa en endimensionell Schrodingerekvation i variabeln rfor funktionen u(r) = rR(r)

− ~2

2M

∂2un,l∂r2

+~2l(l + 1)

2Mr2un,l + V (r)un,l = En,lun,l

Observera att u(r) och E bara beror pa tva kvanttal n och l (men ej avkvanttalet m). Massan betecknar vi har med M.

Repetition: Kap 8

Viktiga saker fran kapitel 8, Vateatomen

• Hamilton operatorn for vate

• Egenskaper for losningarna

Hamilton operatorn for vate

Electron-atomkarna potential:

V (~r) = V (r) = −e201

r

Leder till endimensionell Schrodingerekvation:

− ~2

2me

∂2un,l∂r2

+~2l(l + 1)

2mer2un,l − e20

1

run,l = En,lun,l

dar u(r) = rR(r)

Energinivaer for vate

Vagfunktioner for vate

Repetition: Kap 9

Viktiga saker fran kapitel 9, Harmoniska-oscillatorn

• Harmoniska-oscillator potentialen

• Egenskaper for losningarna

Hamilton operatorn for oscillatorn

Potential:

V (~r) = V (r) =1

2mω2r2

Loses enklast i cartesiska koordinater:

− ~2

2m

∂2ψ

∂x2+

1

2mω2x2ψ = Eψ

Energinivaer for oscillatorn

Vagfunktioner for oscillatorn