Astronomia Galáctica Semestre: 2016 -...
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Os Braços Espirais em Nossa Galáxia Agrupando as regiões de formação de aglomerados abertos pelos diferentes momentos de formação nota-se que a estrutura espiral de nossa galáxia se desloca como corpo rígido.
Ωp = 24 km/s/kpc
0 5 -5
Y [kpc]
0
5
10
15
X [
k p
c ]
Age < 7 Myr 12 Myr < Age < 25 Myr
Ωp
Ωp
Ωp
Segundo Dias & Lépine (2005):
κ = freqüência epicíclica
Órbita Circular
+ Centro da
galáxia
Órbitas Não Circulares - Epicíclos Uma primeira alternativa para uma descrição mais completa do movimento no plano de uma galáxia é feita pela introdução da teoria de pequenas perturbações.
Órbita Circular + Epicíclica
No referencial que acompanha a órbita circular:
No referencial da galáxia:
Ω = vc/r0
+=
0r
022
drd
2r14 ΩΩ
Ωκ
Potencial Efetivo Respeitando as leis de conservação de energia e momento angular em um potencial central, o potencial resultante efetivo radial seria algo com:
Resultados Gráficos Exemplos de órbitas fechadas compostas por um movimento orbital circular e uma órbita epicíclica. Em (a) a frequência epicíclica é o dobro da freqüência orbital e em (b) há um fator 4 entre essas grandezas. Adaptado de Lépine (2008).
Movimento Circular em Termos Vetoriais Escrevendo em termos dos versores:
jcosisenu
θθθ +−= versores de direção perpendicular e radial ao raio vetor e sentido igual ao da rotação e para fora respectivamente
rudt
)t(dv)t(a
= r2
0 u)r(r)t(a
⋅Ω⋅−=⇒
Aceleração:
θu)r(r)t(v 0
Ω=⇒θ
θ udtdr)t(v 0
=
Velocidades:
Assim, para um raio de referência r0 em módulo:
0r)r()r(v Ω=
r0
20 u
r)r(v)t(a
⋅−= então,
jsenicosur
θθ +=
Órbitas Perturbadas Força por unidade de massa:
2r rFr θ +=
Considerando os efeitos de pequenas perturbações, uma componente extra de força se conjugaria com a força do potencial central, promovendo um deslocamento em torno do raio de equilíbrio orbital caracterizado pelas seguintes equações:
)t(r)t(r 0 ξ+= ξ =r ξ =r
Sendo: r
vv 2r
2c +−
=ξ
Assumindo a conservação do momento angular: vr(r)·r = vc(r0)·r0
Então: r
r)r(vv 00cr =
Órbitas Perturbadas Expandindo em série os termos r -1, r -2 e vc(r):
0
01
r)r1(r ξ−
≅−
20
02
rr21
r)( ξ−
≅−
0rr
c0c0cc dr
dvrvrvrv
=
+≅+= ξξ )()()(
Substituindo essas expansões nas expressões correspondentes e ignorando termos menores que ξ2 :
ξκξ 2−=
onde κ, conhecido como frequência epicíclica, é definido como:
+=
0r
c
0
02
0
202
drdv
vr
1rv
2κ
que escrita em termos angulares:
+=
0r
022
drd
2r
14 ΩΩ
Ωκ
Componente Radial e Angular do Movimento A equação anterior corresponde a uma equação diferencial que é resolvida assumindo um movimento harmônico simples, com frequência 2πκ em torno de r0.
Substituindo os resultados nas equações originais, assumindo as condições iniciais:
)tsen()t( 0 κκ
ξΠ
=
Para componente radial:
Para componente angular, assumindo o momento angular por unidade de massa:
00r2 vrrv
dtdr ==
θ
Utilizando as expansões apresentadas:
ξθ 20
0
0
02
00
rv2
rv
rvr
−≅=
𝑳𝑳 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎𝒓𝒓𝟐𝟐
Componente Radial e Angular do Movimento Como a mudança da velocidade angular está relacionada ao segundo termo da expressão anterior, escrevemos.
)tsen(rv2
rv2
20
002
0
0 κκ
ξθΠ
=−=∆
A velocidade tangencial 𝜼 é obtida multiplicando a variação da velocidade angular anterior por r (= r0)
)tsen(rv2r
0
000 κ
κθη
Π=∆=
Derivando essa expressão em relação ao tempo obtemos o termo de força por unidade de massa dessa componente, e por integração simples da mesma obtemos como solução a amplitude do deslocamento tangencial:
)tcos(rv2
20
00 κκ
ηΠ
=
Órbitas Epicíclicas e Braços Espirais Braços espirais estáveis surgem do adensamento de órbitas ao se combinar os movimento circulares e epicíclicos, considerando que a orientação da órbita resultante se defasa em função do raio.
Quando:
Ω κ
= inteiro
⇓
padrão espiral estático
Ω κ
= não inteiro
⇓
padrão espiral dinâmico
⇒ Ωp
Por outro lado:
Equação de Bernoulli Equação fundamental da mecânica dos fluidos ideais, consequência do princípio da conservação de energia.
Considerando um elemento de massa ∆m da posição 1 a 2 no tempo ∆t, teremos que o fluido muda de altura de h1 para h2. Assim:
Variação da Energia Potencial:
( ) ( ) ( )1212 hhVgghmghmU −∆=∆−∆=∆ ρ
Como em seções transversais diferentes a massa de fluido muda de velocidade da v1 para v2:
Variação da Energia Cinética: ( ) ( ) ( )21
22
21
22 2
121
21 vvVvmvmK −∆=∆−∆=∆ ρ
Trabalho realizado pela Pressão: 221121 xFxFWWWtotal ⋅−⋅=+=
( ) VPPxAPxAPWtotal ∆⋅−=⋅⋅−⋅⋅= 21222111
Equação de Bernoulli Aplicando o princípio de conservação de energia, considerando os termos da energia cinética devida ao movimento, o trabalho devido à pressão e a energia potencial gravitacional:
212
P v g h cteρ ρ+ ⋅ + ⋅ ⋅ =
P = pressão do fluido. ρ = densidade do fluido. v = velocidade do fluido. g = aceleração da gravidade. h = altura do fluido
Daniel Bernoulli (1700-1782)
KUWtotal ∆+∆=
( ) ( ) ( )21
221221 2
1 vvVhhgVVPP −⋅∆⋅+−⋅∆⋅=∆− ρρ
Reorganizando a equação: 2222
2111 2
121 vghPvghP ρρρρ ++=++
Assim:
Equação de Movimento de uma Onda Espiral
Fazendo uma analogia do material que compõem a galáxia com um fluído, escreve-se a equação de movimento como:
TPDt
vD ϕρρ ∇⋅−∇=⋅
, onde: ϕΩϕ ∇+⋅⋅=∇ r2
T urr
)(
2ª Lei de Newton
Local
Global Potencial Central
Perturbação Espiral do Potencial
( )tr10 ,,θσσσ +=
( )trVvv c ,,θθθ +=
( )trV0v rr ,,θ+=
Considerando a galáxia espiral descrita por coordenadas polares, as grandezas alteradas por termos de pequenas perturbações serão:
supondo: ( )( )rtn p θΩΨϕ −⋅⋅= cos
Solução da Equação de Movimento de uma Onda Espiral Utilizando as equações da continuidade, de Poisson, a pressão em termos da velocidade do som a para um fluído adiabático, e linearizando os termos de perturbação, as soluções reais obtidas são:
( )( )( ) 222
p22
p02
1 akn
rtnk
+−−
−−=
ΩΩκ
θΩσΨσ
cos
( )( )( )( )222
p22
p2
aknn
rtnkV
+−−
−=
ΩΩκΩ
θΩκΨθ
sen
( ) ( )( )( ) 222
p22
ppr akn
rtnnkV
+−−
−−=
ΩΩκ
θΩΩΩΨ cos
Para um gás de estrelas os termos com a desaparecem e é introduzido um fator de correção dado pela relação de dispersão da onda espiral.
As Ressonâncias de Lindblad e a Corrotação As soluções encontradas são delimitadas entre a ressonância interna (RILR) e externa (ROLR) de Lindblad, segundo:
ΩOLR: Frequência da Ressonância Externa
Ω + κ/n Ω =
V(R)/R RILR
ROLR
RCR
Ωp
Ωp: Velocidade Angu-lar do Padrão Espiral
Ω [k
m/s/
kpc]
r [kpc] [kpc]
[kpc
]
Ωp κ n
Ω - ≤ κ n
Ω + ≤
ΩILR: Frequência da Ressonância Interna
Ω − κ/n
κ n
Ω - Ωp κ n
Ω +
RC ROLR RILR
Diagrama de Frequências para Nossa Galáxia Considerando apenas as frequência angulares em nossa galáxia:
O Raio de Corrotação Considerando que entre as ressonâncias de Lindblad o padrão espiral é estável, então, a velocidade de tal padrão é constante em todas extensão da galáxia (curva de rotação de corpo rígido). Assim, onde:
Raio de Corrotação (RC)
=
Curva de rotação diferencial do disco galáctico
Curva de rotação de corpo rígido do padrão espiral
RCR
Ωp
Auto-Consistência dos Braços Espirais Considerando que a densidade de massa local dos braços. Se o resultado dessa perturbação nas velocidades das estrelas fornece orbitas fechadas no referencial que gira com a velocidade angular dos braços iguais às anteriores, mesmo que defasadas:
Amaral & Lépine (1997)
Radial Enrichment and Stellar Population Different stellar populations (old or young objects) have different radial contribuitions to the galactic abundances distribution.
Enriched material released in a different radial orbit where the
star was formed
Enriched material released near radial orbit where the star
was formed
A Chemical Evolution Model for our Galaxy A simple model which assumes the star formation rate (SFR) is proportional to Σ|Ω - Ωp|, is able to reproduce the observed metallicity distribution of cepheids in our Galaxy.
0
50
100
150
200
250
Velo
city
[km
/s]
Corotation Radius (RCR)
Metallicity Break (RdZ)
Mishurov et al. (2002)
0 2 4 6 8 10 12 14 Radius [kpc]
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
log
( Z/Z
sol )
Cepheids (Andrievsky et al. 2002a, b)
1-) Precise distances;
2-) Bright objects;
3-) Reliable abundances (at least in the context of the disk of our galaxy)
Cepheids Metallicity Gradients
1-) Clemens (1985);
2-) Distances recalibrated to dsun = 7.5 kpc;
3-) Spiral pattern speed by Dias & Lépine (also recalibrated).
Rotation Curve and Corotation