Astra Geometria

Geodetická astronómia 1

1 ZÁKLADY SFÉRICKEJ TRIGONOMETRIE ......................................................................... 3 1.1 ZÁKLADNÉ POJMY ....................................................................................................................... 3 1.2 PRAVOUHLÝ SFÉRICKÝ TROJUHOLNÍK ......................................................................................... 4 1.3 KOSOUHLÝ SFÉRICKÝ TROJUHOLNÍK ........................................................................................... 4

2 POLOHA BODU NA ZEMI......................................................................................................... 6 2.1 ZEMEPISNÉ SÚRADNICE A AZIMUT................................................................................... 6

Zemepisná šírka ϕ ........................................................................................................................... 7 Zemepisná d�žka λ ........................................................................................................................... 7 Azimut A .......................................................................................................................................... 8

3 ZÁKLADNÉ GRAVIMETRICKÉ POJMY............................................................................. 8 Geoid ............................................................................................................................................... 9 Sféroid ............................................................................................................................................. 9 Elipsoid.......................................................................................................................................... 10

4 POLOHA BODU NA OBLOHE ................................................................................................ 12 4.1 HORIZONTÁLNE SÚRADNICE............................................................................................ 12

Azimut............................................................................................................................................ 12 Výška a zenitová vzdialenos� ......................................................................................................... 13

4.2 ROVNÍKOVÉ SÚRADNICE.................................................................................................... 13 Deklinácia δ .................................................................................................................................. 13 Rektascenzia .................................................................................................................................. 14 Hodinový uhol ............................................................................................................................... 14

4.3 VZ�AH MEDZI ROVNÍKOVÝMI A HORIZONTÁLNYMI SÚRADNICAMI ................................... 14 Nautický trojuholník ...................................................................................................................... 14 Prevod horizontálnych súradníc na rovníkové .............................................................................. 15

4.4 DENNÝ POHYB NEBESKÝCH TELIES ........................................................................................... 16 5 KEPLEROVE ZÁKONY ........................................................................................................... 17

Prvý Keplerov zákon...................................................................................................................... 17 Druhý Keplerov zákon................................................................................................................... 18 Tretí Keplerov zákon ..................................................................................................................... 18

6 NEBESKÉ TELESÁ .................................................................................................................. 20 Hviezdy .......................................................................................................................................... 20 Slnko .............................................................................................................................................. 20 Mesiac ........................................................................................................................................... 21 Planéty........................................................................................................................................... 22

7 ASTRONOMICKÁ REFRAKCIA............................................................................................ 23 8 PARALAXA ................................................................................................................................ 23

8.1 DENNÁ PARALAXA..................................................................................................................... 24 Denná paralaxa telies slne�nej sústavy ......................................................................................... 25

8.2 RO�NÁ PARALAXA.................................................................................................................... 27 9 ZDANLIVÝ POLOMER............................................................................................................ 27

9.1 GEOCENTRICKÝ ZDANLIVÝ POLOMER ....................................................................................... 27 9.2 TOPOCENTRICKÝ ZDÁNLIVÝ POLOMER ..................................................................................... 28

Oprava azimutu o zdanlivý polomer.............................................................................................. 30 9.3 ABERÁCIA.............................................................................................................................. 30

Denná aberácia ............................................................................................................................. 32 9.4 RO�NÁ ABERÁCIA ................................................................................................................... 32 9.5 PRECESIA A NUTÁCIA.......................................................................................................... 32

Precesia ......................................................................................................................................... 32 Nutácia .......................................................................................................................................... 33

9.6 VLASTNÝ POHYB HVIEZD................................................................................................... 34 9.7 STREDNÁ, PRAVÁ A ZDANLIVÁ POLOHA NEBESKÝCH TELIES ................................ 34


Stredná poloha .............................................................................................................................. 34 Pravá poloha ................................................................................................................................. 34 Zdanlivá poloha............................................................................................................................. 34

10 �AS A �ASOVÉ SYSTÉMY ..................................................................................................... 35 10.1 PRIESTOR A �AS .............................................................................................................. 35 10.2 HVIEZDNY �AS ................................................................................................................ 36 10.3 SLNE�NÝ CAS................................................................................................................. 38

Pravý slne�ný �as .......................................................................................................................... 38 Stredný slne�ný �as. �asová rovnica............................................................................................. 38

10.4 VZ�AH HVIEZDNEHO A STREDNÉHO �ASU. PREVODY �ASOV........................... 39 Prevody hviezdneho a slne�ného �asu........................................................................................... 41

10.5 ZLEPŠENÝ SVETOVÝ CAS, EFEMERIDOVÝ CAS, ATÓMOVÝ CAS..................... 42 10.6 MIESTNY, SVETOVÝ A PÁSMOVÝ �AS ..................................................................... 44 10.7 VYŠŠIE �ASOVÉ JEDNOTKY ......................................................................................... 45 10.8 PO�ÍTANIE ROKOV A KALENDÁR............................................................................... 45

11 UR�OVANIE AZIMUTU A ZEMEPISNÝCH SÚRADNÍC.................................................. 47 11.1 UR�OVANIE AZIMUTU Z MERANIA �ASU............................................................................... 47 11.2 UR�OVANIE AZIMUTU Z MERANIA ZENITOVÉHO UHLA ......................................................... 48 11.3 UR�OVANIE ZEMEPISNEJ ŠÍRKY ............................................................................................ 48

Približné ur�enie ϕ z merania na nebeské teleso v kulminácii. ..................................................... 48 Ur�enie ϕ zo zenitovej vzdialenosti a meraného �asu. .................................................................. 49

11.4 UR�ENIE ZEMEPISNEJ D�ŽKY................................................................................................ 50 Ur�enie λ z merania �asu prechodu hviezdy miestnym poludníkom ............................................. 50 Ur�enie λ z merania zenitovej vzdialenosti a �asu........................................................................ 50

11.5 SÚ�ASNÉ UR�ENIE ZEMEPISNEJ ŠÍRKY A D�ŽKY ................................................................... 51


1 Základy sférickej trigonometrie

1.1 ZÁKLADNÉ POJMY

Obr.1.1.: Sférický trojuho�ník

Hlavná kružnica: je kružnica, ktorá vznikne prienikom gu�ovej plochy s rovinou

ktorá prechádza jej stredom. Ved�ajšia kružnica: je to kružnica ktorá vznikne prienikom gu�ovej plochy

s rovinou ktorá neprechádza jej stredom. Sférická vzdialenos� dvoch bodov: je d�žka menšieho z oblúkov hlavnej

kružnice, ktorá prechádza oboma bodmi. Sférický dvojuholník: je taká �as� gu�ovej plochy, ktorá vznikne ohrani�ením

oblúkmi dvoch hlavných kružníc. Sférický trojuholník: je taká �as� gu�ovej plochy, ktorej hranice tvoria tri rôzne

hlavné kružnice. Podmienky pre ve�kosti strán a uhlov vo sférickom trojuholníku.

oo

oo cba

540180

3600

<++<

<++<

γβα

Sú�et uhlov vo sférickom trojuholníku teda môže nadobúda� rôzne ve�kosti z uvedeného intervalu. Odchýlka od hodnoty 180o sa nazýva sférický exces ε a jeho hodnota sa vypo�íta

o180−++= γβαε

a

c

b

B

C

A α

β

γ


1.2 PRAVOUHLÝ SFÉRICKÝ TROJUHOLNÍK Je to taký trojuholník (obr. 1.2), kde pri jednom z vrcholov je pravý uhol (90o).

Obr.1.2.: Pravouhlý sférický trojuholník

V pravouhlom trojuholníku platia nasledovné vzorce:

( ) ( ) ( )csinsinasin α= ( ) ( ) ( )βα sinacoscos =

( ) ( )( )βtgbtg

asin = ( ) ( )( )ctgbtg

cos =α

( ) ( ) ( )βsincsinbsin = ( ) ( ) ( )bcossincos αβ =

( ) ( )( )αtgatg

bsin = ( ) ( )( )ctgatg

cos =β

( ) ( ) ( )bcosacosccos =

( ) ( ) ( )βα tgtgccos

1= ��

��

��

��

�=��

��

�

222b

tga

tgtgε

1.3 KOSOUHLÝ SFÉRICKÝ TROJUHOLNÍK

Obr.1.2.: Všeobecný sférický trojuholník

A

B

C

a

b

c

α

β

γ

A

B

C

a

b

c

α

β


Sínusová veta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )γβα sin:sin:sincsin:bsin:asin =

Kosínusová veta pre strany

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )γ

βα

cosbsinasinbcosacosccos

cosasincsinacosccosbcos

coscsinbsinccosbcosacos

+=+=+=

Kosínusová veta pre uhly

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ccossinsincoscoscos

bcossinsincoscoscos

acossinsincoscoscos

βαβαγαγαγβγβγβα

+−=+−=+−=

Sínus - kosínusové vety

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )γβ

βααγγαβγαβ

cosccosbsinasinbcoscoscsin

cosccosasincsinacoscosbsin

cosbcoscsinbsinccoscosasin

cosbcosasinbsinacoscoscsin

cosacoscsinasinccoscosbsincosccosbsincsinbcoscosasin

−=−=−=−=−=−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ccoscossinsincosbcossin

bcoscossinsincosacossin

acoscossinsincosccossin

ccoscossinsincosacossin

bcoscossinsincosccossinacoscossinsincosbcossin

αβαβγγαγαββγβγαβαβαγ

αγαγβγβγβα

+=+=+=+=+=+=

Pre sférický exces platí vzorec

( )cbas ++= 21

22224cs

tgbs

tgas

tgs

tgtg−−−=�

�

��

� ε


2 POLOHA BODU NA ZEMI

2.1 ZEMEPISNÉ SÚRADNICE A AZIMUT Skuto�ný tvar zemského telesa je ve�mi zložitý. Pre jednoduchos� budeme

Zem najskôr považova� za gu�u. Hlavnými bodmi na zemeguli, otá�ajúcej sa proti smeru pohybu hodinových ru�i�iek, sú póly, a to severný PS a južný pól PJ. V póloch pretína rota�ná os Zeme povrch zemegule.

Obr.2.1.: Zemepisná sie�

Roviny vedené touto osou pretínajú povrch zemegule v hlavných kružniciach

nazývaných poludníky alebo meridiány. Rovina prechádzajúca stredom Zeme O kolmo k ose zemskej rotácie pretína povrch Zeme v rovníku. Je to hlavná kružnica. Roviny rovnobežné s rovinou rovníka pretínajú povrch zemegule v rovnobežkách. Sú to ved�ajšie kružnice a ich polomery sa od rovníka k pólom stále zmenšujú. Rovnobežky a poludníky tvoria zemepisnou sie� (obr. 2.1).

Polohu bodu na povrchu zemegule vztiahnutou k tejto sieti nazývame

zemepisná poloha. Vyjadrujeme ju zemepisnými súradnicami, a to zemepisnou šírkou ϕ a zemepisnou d�žkou λ. Smer spojnice dvoch bodov (N, M) nazývame azimutom A.

0

PS

PJ

rovník

poludník

rovnobežka


Obr.2.2.: Zemepisné súradnice

Zemepisná šírka ϕϕϕϕ Zemepisná šírka ϕ bodu je uhol zovretý zvislicou, t. j. normálou (kolmicou) k

idealizovanému zemskému povrchu v tomto bode, a rovinou rovníka. Za predpokladu, že Zem je homogénna gu�a, smeruje táto zvislica do stredu Zeme.

Pod�a obr. 2.2 je zemepisná šírka bodu M rovná uhlu M1OM (a sú�asne príslušnému kruhovému oblúku M1M), ktorý zvy�ajne ozna�ujeme gréckym písmenom ϕ. Zemepisná šírka môže nadobúda� hodnoty od 0° do 90° a pod�a toho na ktorej je pologuli, rozoznávame zemepisnú šírku severnú (kladná hodnota) a južnú (záporná hodnota). Namiesto znamienok sa môže použi� aj medzinárodné ozna�enie N (North) pre severnú zemepisnú šírku a S (South) pre južnú zemepisnú šírku. Napríklad Žilina má zemepisnú šírku ϕ = +49°12'55"(N). Všetky body, ktoré majú rovnakú zemepisnou šírku, ležia na jednej rovnobežke.

Zemepisná d�žka λλλλ Zemepisná d�žka bodu je uhol zovretý rovinou poludníka pozorovaného bodu

s rovinou základného poludníka. Základným poludníkom je poludník prechádzajúci greenwichskou hvezdár�ou. Zemepisná d�žka bodu M (obr. 2.2) je teda daná uhlom G1OM1 alebo oblúkom G1M1. Pretože miesta ležiace na rovnakom poludníku majú rovnakú zemepisnou d�žku, vyjadruje ju aj príslušný oblúk na ktorejko�vek rovnobežke. Napríklad oblúk G'M na rovnobežke bodu M. Zemepisnú d�žku ozna�ujeme gréckym písmenom λ a po�ítame ju od základného poludníku, a to od 0° do 180° na západ a od 0° do -180° na východ. Poznáme preto zemepisnú d�žku západnú (kladnú), ktorá je medzinárodne ozna�ovaná W (West), a východnú (zápornou), medzinárodne ozna�ovanú E (East). Z uvedeného je zrejmé, že na Slovensku sú zemepisné d�žky záporné. V praxi sa u nás však zaviedlo považova�

0

PS

λ ϕ

PJ

G1

M

G

M1

N A

G´


zemepisnú d�žku za kladnú. Zemepisná d�žka sa �asto vyjadruje v jednotkách �asu pod�a vz�ahu

360° = 24 hod. Vzh�adom ku Greenwichu je zemepisná d�žka Žiliny λ = 18°44'15" = 1h14m57s

(E). �asto sa ešte môžeme stretnú� so zemepisnými d�žkami vztiahnutými k základnému poludníku prechádzajúcemu ostrovom Ferro v Kanárskom súostroví. Tento poludník je od greenwichského o 17° 39' 46" na západ.

Azimut A Azimutom smeru vychádzajúceho z daného bodu na pozorovaný bod,

nazývame uhol, o ktorý sa odchy�uje tento smer v zmysle pohybu hodinových ru�i�iek od severnej �asti poludníku prechádzajúceho daným bodom. Budeme ho ozna�ova� písmenom A. Na obr. 2.2 je to napríklad uhol smeru MN.

Pretože uhol zovretý dvoma oblúkmi hlavných kružníc na guli je uhlom príslušných hlavných rovín, môžeme azimut daného smeru definova� aj ako uhol zovretý rovinou miestneho poludníku a hlavnou (zvislou) rovinou vedenou daným smerom.

Pretože, ako bude �alej uvedené, zavádzame pojem azimut aj ako jednu z hviezdnych súradníc, je treba oba pojmy odlíši�. Preto budeme azimut pozemského bodu nazýva� zemepisný azimutom.

Z práve definovaných zemepisných súradníc a azimutu je zrejmé, že ich nemôžeme ur�i� len meraním na body zemského povrchu. K ich ur�eniu musíme mera� na nebeské telesa.

3 ZÁKLADNÉ GRAVIMETRICKÉ POJMY Pri definícii zemepisnej šírky sme použili slovo zvislica. Vysvetlime si bližšie

tento pojem, ktorý splýva s pojmom smeru zemskej tiaže. Zemská tiaž G (obr. 3.1) je výslednicu dvoch síl: prí�ažlivej sily P, ktorá smeruje do stredu Zeme a odstredivej sily H, ktorá vzniká otá�aním Zeme okolo jej rota�nej osi. Priestor, v ktorom zemská tiaž pôsobí, sa nazýva tiažové pole Zeme a to má v každom bode ur�itý tiažový potenciál. Geometrické miesta bodov s rovnakým potenciálom tvoria hladinové plochy, ktoré sú vo všetkých bodoch kolmé ku smeru tiaže (obr. 3.2).


Obr. 3.1. Smer tiaže Obr. 3.2: Tiažnice

Geoid Pretože hmoty sú v zemskom telese rozložené nepravidelne, má každá

hladinová plocha len približný tvar sféroidu. Inak je však nepravidelná a rôzne poprehýbaná pod�a prí�ažlivosti hmôt uložených pod zemským povrchom. Príslušná základná hladinová plocha, kolmá ku smeru tiaže vo všetkých bodoch, už nie je rota�nou plochou a nazýva sa geoid (obr.4).

V bode M fyzického zemského povrchu F si objasníme ku ktorým základným prvkom sa vz�ahujú astronomické merania. Predovšetkým je to zvislica s, ktorá je doty�nicou k zakrivenej �iažnici a sú�asne normálou príslušnej hladinovej plochy H' v tomto bode. Zvislica je tvorená napríklad ni�ou vo�ne zavesenej olovnice. �alej je to vodorovná rovina H, prechádzajúca daným bodom kolmo k zvislici, nazývaná obzor alebo horizont. Vytvárajú ju napríklad vodorovné priamky, definované osou urovnanej libely. Vidíme, že sú to rovnaké základné prvky, pod�a ktorých urovnávame mera�ské prístroje aj pri geodetických meraniach.

Obr. 3.3. Priebeh hladinových plôch

Sféroid Ak považujeme Zem za teleso s rovnomerne rozloženou hustotou, je

hladinovou plochou rota�ná plocha, ktorá je na póloch sploštená a nazývame ju

tiažnice

H

P G

F

M

H s H’

t

geoid

sféroid


sféroid. Rovinný rez, vedený rota�ní osou sféroidu, t. j. poludníkový rez, je ve�mi podobný elipse.

Hladinovú plochu môžeme vies� každým bodom zemského tiažového po�a. Uvedené plochy sa pri tom k pólom zbiehajú, pretože intenzita zemskej tiaže smerom k pólom narastá, avšak potenciálový rozdiel medzi nimi je konštantní (obr. 3). K nim prislúchajúce tiažnice, t.j. �iary, ktoré pretínajú hladinové plochy kolmo, nie sú potom priamkami, ale krivkami - ortogonálnymi trajektóriami. (Podrobné o tom píše u�ebnica akademika Ryšavého: Vyšší geodesie [1]). Za základný (zemský) sféroid volíme hladinovú plochu, ktorá sa �o najlepšie pri�ne k strednej hladine oceánov a morí pred�ženou aj pod pevniny.

Elipsoid

Obr. 3.4.: Elipsoid Zavedením geoidu sa na definíciách zemepisných súradníc a azimutov,

vytvorených pôvodne pre gu�ový tvar Zeme ni� nezmení. Len si pod�a obr. 5 musíme uvedomi�, že zvislica v bode M nesmeruje do stredu Zeme O, ale pretína rovinu rovníka v bode M1. Pri tomto bode sa tak javí zemepisná šírka ϕ tak, ako je ur�ená z astronomického merania v bode M. Uhol ϕ´, zovretý spojnicou MO a rovinou rovníka, je geocentrická šírka. Najjednoduchšie ju vypo�ítame ak nahradíme geoid geometrickou plochou, a to matematicky �ahko definovate�nou napr. rota�ným elipsoidom. Potom poludníkovým rezom je elipsa s rovnicou

12

2

2

2

=+by

ax

Z tejto rovnice môžeme vypo�íta� geocentrickou šírku ρ´ pre danú zemepisnú šírku ϕ. Tangenta uhlu ϕ je totiž v elipse smernicou normály (na obr. 5 je to zvislica s) o ktorej platí

xbya

ytg 2

21 =′

−=ϕ

Pretože však

ϕ′= tgxy

dostaneme, že

ϕϕ tgab

tg 2

2

=′

M1

M

x

ρ

ϕ a

b

ϕ’ y

0

s


Pri neskorších výpo�toch, napr. pri výpo�te paralaxy, potrebujeme pozna� rozdiel ϕ- ϕ´ ,ktorý ozna�ujeme písmenom ρ. Polohu bodu na povrchu elipsoidu vyjadrujeme okrem geocentrickej šírky ϕ' jeho vzdialenos�ou ϕ od stredu O, ktorú nazývame geocentrická vzdialenos�. Zavedením �lenov

ϕ22

2

1

1

sine

eS

−−=

ϕ221

1

sineC

−=

Kde

aba

e22 −=

môžeme ϕ' a ρ vyjadri� vzorcami

CtgS

tgϕϕ =′

ϕϕρ′

=sinsinS


4 POLOHA BODU NA OBLOHE Na konci 3. kapitoly sme uviedli, že zemepisné súradnice a azimut môžeme

ur�ova� len meraním na nebeské telesá. Skôr ako sa tým budeme zaobera�, preberieme si základné pojmy sférickej astronómie a základné súradnicové systémy používané v geodetickej astronómii.

Zenit = nadhlavník Nadir = podnožník

4.1 HORIZONTÁLNE SÚRADNICE Základnými rovinami horizontálnej sústavy je vodorovná rovina horizontu

vedená miestom pozorovania (bod M na obr. 4.1) a rovinou miestneho poludníku prechádzajúceho zenitom Z.

Obr. 4.1.: Horizontálny súradnicový systém

Poludník je nad horizontom rozdelený zenitom na severnú a južnú polovicu;

severná ide od severného bodu horizontu S cez pól P k zenitu Z a južnú od zenitu k južnému bodu horizontu J. Zvislé roviny vedené zvislicou MN pretínajú nebeskú sféru v hlavných kružniciach nazvaných výškové kružnice - vertikály. Miestny poludník preto tiež nazývame hlavný vertikál. Zvislá rovina, idúca zenitom kolmo k rovine poludníku, pretína nebeskú sféru v prvom vertikále. Priese�níky prvého vertikálu s horizontom sú východný bod V a západný bod Z. Poloha nebeského telesa na nebeskej sfére je ur�ená v horizontálnej sústave azimutom a a výškou h alebo azimutom a a zenitovou vzdialenos�ou z.

Azimut Azimut nebeského telesa je vodorovný uhol zovretý rovinou miestneho

poludníku a rovinou vertikálu vedeného nebeským telesom. Po�ítame ho kladne od južnej �asti poludníku v zmysle pohybu hodinových ru�i�iek, teda rovnako ako zemepisný azimut, ktorý sa však po�íta od severnej �asti poludníku. Pod�a obr. 4.1 je

Z PS

S

h ϕ

M J

a

z h

almukantarát

a

vertikál

poludník

horizont

H

H1


napr. azimutom a hviezdy H uhol JMH1 alebo rovnako ozna�ený oblúk JH1 na horizonte.

Výška a zenitová vzdialenos� Výškou nebeského telesa nazývame uhol zovretý spojnicou miesta

pozorovania a daného telesa s rovinou horizontu alebo oblúk výškovej kružnice od horizontu k nebeskému telesu. Výšku po�ítame od horizontu k zenitu kladne a ozna�ujeme ju písmenom h.

Na obr. 4.1 je to uhol H1MH alebo oblúk H1H. Význa�nou výškou nad horizontom je výška nebeského pólu, t. j. uhol SMPS, ktorý sa rovná zemepisnej šírke ϕϕϕϕ miesta M. �asto miesto výšky h používame doplnok do 90°, tzv. zenitovú vzdialenos� z. Tú potom po�ítame kladne od zenitu k horizontu. Medzi výškou h a zenitovou vzdialenos�ou z teda platí vz�ah

ozh 90=+ Body, ktoré ležia na nebeskej sfére a ktoré majú rovnakú výšku (a teda aj

rovnakú zenitovou vzdialenos�), ležia na vodorovných kružniciach nazývaných almukantaráty.

Každé miesto pozorovania má svoju horizontálnu sústavu súradníc, pretože sa azimut aj výška nebeského telesa s miestom mení. Obidve horizontálne súradnice sa �alej menia aj s denným pohybom nebeského telesa.

4.2 ROVNÍKOVÉ SÚRADNICE

Deklinácia δδδδ V sústave rovníkových (ekvatoriálnych) súradníc je základnou rovinou rovník.

Nebeské teleso k nej vz�ahujeme uhlom, ktorý s �ou zviera spojnice stredu Zeme a nebeského telesa. Túto prvú rovníkovou súradnicu nazývame deklinácia, ozna�ujeme ju gréckym písmenom δδδδ a po�ítame ju od rovníka k severnému pólu kladne od 0° do 90°, južné deklinácie sú záporné.

Obr. 4.2.: Rovníkový súradnicový systém

Z PS

δ

��

t

p

poludník

rovník

H

H1 α

α δ Z1

Θ

deklina�ná kružnica

Ο


Na obr. 4.2 je napr. deklinácia d nebeského telesa H uhol H1OH alebo oblúk H1H, meraný po hlavnej kružnici prechádzajúcej telesom a pólmi sa nazýva deklina�ná kružnica. Hviezdy s rovnakou deklináciou ležia na ved�ajšej kružnici - rovnobežke. Doplnkovým uhlom deklinácie je pólová vzdialenos� p, o ktoré platí

op 90=+ δ

Rektascenzia Tak ako deklinácia je obdobou zemepisnej šírky, odpovedá druhá rovníková

súradnica rektascenzia αααα zemepisnej d�žke. Za základnú kružnicu sa pri tom volí deklina�ná kružnica jarného bodu �, takže rektascenziu definujeme ako uhol zovretý rovinou deklina�nej kružnice nebeského telesa a rovinou deklina�nej kružnice jarného bodu �. Na obr. 4.2 je to teda uhol �OH1 alebo oblúk��H1. Rektascenziu vyjadrujeme tak ako zemepisnú d�žku spravidla v hodinovej miere od 0h do 24h a po�ítame ju od jarného bodu na východ kladne.

Obe uvedené rovníkové súradnice δδδδ, a majú proti horizontálnym súradniciam

tu dôležitú vlastnos�, že sa nemenia so zmenou miesta pozorovania (pokia� neprihliadame k tomu, že nebeské telesá majú kone�nú vzdialenos�) a s �asom sa menia len pomaly. Preto sú polohy nebeských telies uvádzané v astronomických ro�enkách v rovníkových súradniciach. U hviezd sa pritom po�iatok súradnicovej sústavy rovníkových súradníc kladie do stredu Slnka a potom hovoríme o heliocentrických súradniciach.

Približnú polohu hviezdy možno ur�i� z hviezdnych máp. Hviezdne mapy mávajú �íslovanú sie� nebeských rovnobežiek a deklina�ných kružníc, takže pre každú hviezdu je možno z takejto mapy zhruba nájs� jej rektascenziu a deklináciu.

Hodinový uhol Miesto rektascenzie používame niekedy ako druhé rovníkové súradnice

hodinový uhol t zovretého rovinou deklina�nej kružnice nebeského telesa s rovinou miestneho poludníka. Na obr. 4.2 je to uhol N1OH1 alebo oblúk N1H1. Vyjadruje sa spravidla tiež v hodinovej miere a po�íta sa kladne od južnej �asti miestneho poludníku na západ od 0h do 24h. Vidíme teda, že hodinový uhol nebeského telesa sa s �asom mení vplyvom denného pohybu.

Hodinový uhol je dôležitým pojmem pre �asomieru. Napr. hviezdny �as definujeme ako hodinový uhol jarného bodu. Pod�a toho je miestnym hviezdnym �asom Θ na obr. 4.2 uhol �ON1 alebo oblúk �N1 a platí vz�ah

t+= αΘ ku ktorému sa ešte vrátime v kapitole o �ase.

4.3 VZ�AH MEDZI ROVNÍKOVÝMI A HORIZONTÁLNYMI SÚRADNICAMI

Nautický trojuholník Vychádzalo sa z neho pri ur�ovaní zemepisnej polohy lodí na mori.


Obr. 4.3.: Nautický trojuholník

Ak vedieme na obr.4.3 hviezdou H deklina�nú kružnicu a zárove� výškovú

kružnicu, vytvoria oblúky týchto kružníc medzi hviezdou H, pólom P a zenitom Z, spolu s oblúkom PSZ miestneho poludníku trojuholník HPSZ. Z tohto sférického trojuholníka nazývaného tiež nautický trojuholník, plynú nasledujúce vz�ahy medzi obidvoma súradnicovými sústavami.

Pri póle PS je hodinový uhol t, pri zenite Z uhol (180°-a) a pri hviezde H tzv. paralaktický uhol q.

Vidíme, že sa v nautickom trojuholníku nevyskytuje rektascenzia αααα. Pokia� s �ou potrebujeme po�íta�, musíme k tomu použi� hodinový uhol t a miestny hviezdny �as ΘΘΘΘ pod�a vz�ahu

t+= αΘ K riešeniu nautického trojuholníku a k vzájomnému prevodu horizontálnych a

rovníkových súradníc používame základné rovnice sférickej trigonometrie, v ktorých musíme pozna� vždy aspo� tri veli�iny. Pre prevod horizontálnych súradníc na rovníkové platia vzorce

acossinzsincoszcostcossinasinzsintsincos

acoscoszsinsinzcossin

ϕϕδδ

ϕϕδ

+==

−=

a pre prevod rovníkových súradníc na horizontálne

tcossincoscossinacoszsintsincosasinzsin

tcoscoscossinsinzcos

ϕδϕδδ

δϕδϕ

+−==

+=

Z týchto vzorcov sa potom odvodia všetky �alšie vzorce pre vzájomný prevod

horizontálnych a rovníkových súradníc a vzorce pre výpo�et zemepisných súradníc a azimutov.

Prevod horizontálnych súradníc na rovníkové O prevod horizontálnych súradníc na rovníkové ide prakticky vtedy, ke�

meriame na hviezdu, ktorú nepoznáme a ktorú sa nám nepodarí presne pozna� ani pod�a vhodnej hviezdnej mapy. Vypo�ítame však jej rovníkové súradnice αααα, δδδδ, a môžeme ju pod�a nich vyh�ada� vo vhodnej astronomickej ro�enke. Spravidla k tomu

H

Ps

Z

90-δ

90-ϕ

180-a

z deklina�ná kružnica výšková

kružnica

miestny poludník

t

q


máme zmerané jej horizontálne súradnice, t. j. zenitovú vzdialenos� z a azimut a. To však k riešeniu astronomického trojuholníka nesta�í. Musíme pozna� ešte zemepisnú šírku ϕϕϕϕ miesta pozorovania, a pretože výpo�et je možný len zo vz�ahu t+= αΘ , musíme pozna� aj miestny hviezdny �as ΘΘΘΘ pozorovania.

4.4 DENNÝ POHYB NEBESKÝCH TELIES Vplyvom zdanlivého otá�ania sféry sa nebeské telesá pohybujú od východu k

západu (obr. 4.4). Ke� sa objavia na východnej strane horizontu, hovoríme, že vychádzajú. Ich výška sa teda rovná nule, azimut môže by� rovný 180° až 360° a hodinový uhol 12h až 24h. Teleso, ktoré vychádza presne vo východnom bode horizontu V, má a = 270° a t = 18h. S postupujúcim �asom výška nebeského telesa h nad horizontom rastie a dosahuje svojho maxima v miestnom poludníku. Hovoríme, že teleso vrcholí �iže kulminuje. V tejto dobe je jeho hodinový uhol t = 0. Po kulminácii sa výška telesa h opä� zmenšuje, a pri západe je nulová. Ak teleso zapadá v západnom bode Z horizontu, tak je jeho a = 90° a t = 6h. Nebeské teleso, ktoré vychádza v bode V a zapadá v bode Z, sa pohybuje po rovníku.

Obr.4.4.: Denný pohyb hviezd Obr.4.6.: Vychádzajúce a zapadajúce hviezdy

Azimut po kulminácii rastie bu� od 0°, alebo od 180° pod�a toho, �i nastala horná kulminácia telesa v južnej alebo v severnej polovici poludníku. Nad severnou polovicou obzoru sú aj také hviezdy, ktoré ani nevychádzajú, ani nezapadajú, ale krúžia stále okolo pólu. Hovoríme im cirkumpolárne hviezdy. U takých hviezd nastáva horná aj dolná kulminácia nad horizontom. Aby hviezda bola v mieste o zemepisnej šírke ϕϕϕϕ cirkumpolárna, musí plati� pre jej deklináciu δδδδ

ϕδ −≥ o90

Zenit

horizont

rovník

Ps

ϕ

Zenit PS

ϕ

rovník D1

d J S

D

V

Ζ

O

M

1. vertikál


Obr.4.5.: Cirkumpolárne hviezdy

U tých severných hviezd, ktoré kulminujú na sever od zenitu, tiež hovoríme o digresii, t. j. takej polohe, pri ktorej sa ich azimut mení len nepatrne, �iže hviezda sa pohybuje len vo výške. Najvä�šiu digresiu, ktorá môže by� východná alebo západná, je uhol zovretý rovinou poludníku a rovinou vertikálu, dotýkajúceho sa rovnobežky hviezdy. Na obr. 10 je to uhol d, t. j. uhol SMD1 alebo oblúk SD1. Podmienkou pre to, aby hviezda vôbec dosiahla v mieste pozorovania najvä�šiu digresiu, je splnenie nerovnosti

ϕδ ≥

5 Keplerove zákony Johannes Kepler bol jedným z prvých, kto svojimi objavmi pripravil prvý krok

�udstva do kozmu. V období stredoveku empiricky odhalil po dlhoro�ných pokusoch, že pohyb planét okolo Slnka sa riadi pod�a troch zákonov. Prvé dva popísal v práci Astronomia nova (1609) a tretí zákon pridal v diele De Harmonice Mundi (1618).

Prvý Keplerov zákon Planéty sa pohybujú po elipsách, ktorých spolo�nom ohnisku leží v Slnku

(obr.: 5.1).

Obr. 5.1: Prvý Keplerov zákon

Slnko

Zenit

horizont

rovník

Ps

ϕ


Druhý Keplerov zákon

Druhým Keplerovým poznatkom bolo zistenie, že ke� sú planéty bližšie k Slnku, pohybujú sa rýchlejšie, a ke� sú od neho �alej, pohybujú sa pomalšie. Ak chceme presnejšie opísa� o ko�ko pomalšie alebo rýchlejšie, musíme zavies� nový pojem sprievodi�. Je to myslená spojnica medzi ohniskom (Slnkom) a bodom na elipse (planétou). No a platí, že plocha ktorú vymedzí sprievodi� za daný �as je vždy rovnaká. Ak napríklad pozorujeme polohu planéty v januári a v auguste a vždy zaznamenáme úseky dráhy, ktoré planéta urobí za desa� dní, budú plochy vymedzené sprievodi�om za tieto tri desa�d�ové úseky navzájom rovnaké (obr. 5.2). V súlade s týmto zákonom sa pohybujú všetky telesá, takže aj družice na eliptických dráhach alebo kométy v blízkosti centrálneho telesa iba rýchlo preletia a vä�šinu �asu sa pomaly pohybujú vo vzdialenejších �astiach dráhy.

Obr. 5.2: Druhý Keplerov zákon

2

2

1

1

TP

TP =

Tretí Keplerov zákon

Tretí zákon Kepler odvodil až o mnoho rokov neskôr (15. mája 1618) a odlišuje sa od prvých dvoch, pretože nehovorí len o jednej planéte, ale dáva do súvislosti obežné doby jednotlivých planét navzájom. Tento zákon porovnáva obežné doby (periódy) a rozmery dráh (ve�ké poloosi) jednotlivých planét a hovorí, že druhé mocniny periódy sú úmerné tretím mocninám ich ve�kých polo osí (resp. že periódy sú úmerné 3/2 mocninám rozmerov dráh). Periódou rozumieme �as, ktorý planéta potrebuje k obehu celej dráhy a rozmer sa ur�uje d�žkou najvä�šieho priemeru eliptickej dráhy, známeho ako hlavná os. Ak pre akéko�vek teleso poznáme jeho vzdialenos� od Slnka, môžeme vypo�íta� jeho obežnú dobu a naopak. V skuto�nosti platí tento Keplerov zákon iba približne a to v�aka tomu, že hmotnos� Slnka je omnoho vä�šia než hmotnos� planét. Presný vz�ah pre dobu obehu telesa s hmotnos�ou m1 okolo telesa s hmotnos�ou m2 má tvar

( )21

2

3

2 4mmGa

T+

= π

S P2 P1 T1 T2


Ke� je napríklad hmotnos� m2 zanedbate�ná, pomer T2 / a3 závisí iba od gravita�nej konštanty G a hmotnosti centrálneho telesa m1. Preto ke� okolo neho obieha viacero telies s malou hmotnos�ou, podiel T2 / a3 je pre všetky telesá rovnaký.

Príklad: vieme, že Mars je vzdialený od Slnka aMars = 1,523 64 AU (t. j. je 1,5

krát �alej od Slnka ako Zem) a chceme vedie�, ako dlho trvá rok na Marse. Tiež vieme, že Zem je vo vzdialenosti aZem = 1 AU a pozemský rok trvá TZem = 1 rok.

Potom:

32MarsMars aT = 8811.TMars = pozemského roka, t.j. 365.1,881=686,565 dní


6 NEBESKÉ TELESÁ Nebeské telesá, na ktoré meriame pri astronomickom ur�ovaní zemepisnej

polohy a azimutu, rozde�ujeme na hviezdy a telesá slne�nej sústavy. Z telies slne�nej sústavy je na meranie najvhodnejšie Slnko, niektoré planéty a Mesiac.

Hviezdy Hviezdami nazývame nebeské telesá žiariace vlastným svetlom. Ich

vzdialenos� od Zeme je taká ve�ká, že ich vzdialenos� od Zeme pokladáme za nekone�nú a hovoríme, že ležia na nebeskej sfére.

Hviezdy rozde�ujeme pod�a toho ako jasné sa nám zdajú. Pod�a jasu ich rozde�ujeme do tried hviezdnych ve�kostí m – magnitudo. Hviezdy s najvä�ším jasom majú m=0 (Vega, Capella), menej jasné m=1 , hviezdy so slabým jasom m=2 at�. Na meranie sa používajú hviezdy až do m=6, ktoré je ešte vidie� na oblohe vo�ným okom. Magnitudo môže nadobúda� aj záporné hodnoty napr. Slnko má m=-26,8.

Hviezdy sú zoskupené do súhvezdí a svoje mená dostali už v staroveku. Znalos� tvaru súhvezdí nám pomáha k nájdeniu meranej hviezdy na oblohe. Jednotlivé hviezdy v súhvezdí sa pod�a jasu ozna�ujú gréckymi písmenami a názvom súhvezdia. Najvä�šia hviezda súhvezdia Lyrae ma ozna�enie α-Lyrae. Okrem tohto názvu majú niektoré ve�ké hviezdy aj druhý názov, zvy�ajne mytologického pôvodu (α-Lyrae = Vega). Menej jasné hviezdy sú ozna�ované namiesto gréckych písmen len �íslom a názvom katalógu v ktorom sa nachádzajú údaje o danej hviezde (napr. 43 H Cephei – 43. hviezda v Heveliovom spise).

Hviezdy sa zdanlivo otá�ajú s celou nebeskou sférou a ich vzájomná poloha sa zdá by� nemenná. Preto bývali nazývané tiež stálicami až dovtedy, kým sa nezistil ich tzv. vlastný pohyb. Pod�a toho, kde sa nachádzajú hviezdy na nebeskej sfére, rozoznávame hviezdy pólové, t. j. blízke pólu, alebo hviezdy rovníkové. Pólové hviezdy sú vidite�né na no�nej oblohe po celý rok, niektoré rovníkové hviezdy vidie� len v niektorom ro�nom období.

Slnko Slnko je nebeské teleso s ve�kos�ou m=-26.8 presne gu�ového tvaru s

polomerom 695000 km. Od Zeme je vzdialené 159,5.106 km. Zem obieha okolo Slnka v protismere hodinových ru�i�iek po ekliptickej dráhe - ekliptike. Slnko je v jednom z ohnísk ekliptiky a preto sa jeho vzdialenos� od Zeme po�as roku mení od 147106 do 152106 km.

Skuto�ný obeh Zeme sa prejavuje zdanlivým ro�ným pohybom Slnka tak, že

Slnko sa behom roku premieta zo Zeme do rôznych súhvezdí volaných súhvezdia Zverokruhu. Tých je 12. Sú to: Baran, Býk, Blíženci, Rak, Lev, Panna, Váhy, Škorpión, Strelec, Kozorožec, Vodnár a Ryby. Zverokruh, ako sa tiež ekliptika volá, sa na sfére javí ako hlavná kružnica odchýlená od roviny rovníku o tzv. sklon ekliptiky, t. j. o uhol e = 23°27'.


Priese�níkom ekliptiky s rovníkom je jarný bod, ktorý ozna�ujeme znamením ? zvieratníkového súhvezdia barana, a bod jesenný, ozna�ený znamením ? súhvezdia Váh. Jarný bod má v sférickej astronómii ve�kú dôležitos�, ako poznáme z �lánku o hviezdnych súradniciach.

Slnko sa zdanlivo pohybuje na svojej dráhe po oblohe tak, že okrem denného otá�avého pohybu sa sférou, s ktorou sa pohybuje ako hviezdy, vykonáva ešte svoj ro�ný pohyb po ekliptike. Zložením oboch pohybov má zdanlivá denná dráha Slnka tvar závitu, a to vzostupného (vzh�adom ku smeru zdanlivého denného pohybu) alebo zostupného, pod�a ro�ného obdobia. Vyjdeme napr. od doby jarnej rovnodennosti, t. j. od 21. marca. Slnko sa pohybuje behom d�a po vzostupnej dráhe nad rovník a jeho zdanlivá denná dráha je najviac odchýlená od rovnobežky. Behom �alších mesiacov sa sklon denného oblúku slne�nej dráhy k rovnobežkám stále zmenšuje, až v dobe letného slnovratu, okolo 21. júna, sa Slnko pohybuje takmer po rovnobežke -- po obratníku Raka. Od tejto doby sa za�ne Slnko opä� vraca�, pohybuje sa po zostupnej dráhe so stále vä�ším sklonom, ktorý je v dobe jesennej rovnodennosti najvä�ší. Slnko potom 23. augusta prejde cez rovník a zostupuje postupne až do zimného slnovratu okolo 22. decembra. Vtedy sa Slnko pohybuje opä� takmer ako hviezdy po rovnobežkách — obratníku Kozorožca. Vplyv popísanej dráhy Slnka na jeho súradnice a na jeho meraní si preberieme neskôr.

Mesiac Mesiac je teleso temer presne gu�ové s polomerom 1736 km, obiehajúci Zem

od západu k východu, t. j. v zmysle proti pohybu hodinových ru�i�iek, v strednej vzdialenosti 384 400 km. Od presnej gule sa tvar Mesiaca líši nepatrným pretiahnutím asi o 0,1 % svojho polomeru smerom k Zemi, �o je menej ako výška najvyšších mesa�ných hôr. Jeho obežná dráha je eliptická, takže v mieste Zemi najbližším, t. zv. perigeu, klesne jeho vzdialenos� od Zeme na 356 400 km a v apogeu vzrastie na 406 700 km.

Rovina jeho dráhy je pritom odklonená od roviny ekliptiky v priemere o 5°09'. Malý sklon jeho dráhy k ekliptike spôsobuje, že v dobe, kedy je Slnko nad rovníkom najvyššie, t. j. v letnom období, sa Mesiac za úplnku (v opozícii so Slnkom) pohybuje nízko nad obzorom, ale v zimnom období je za splnu vysoko nad horizontom.

Obežná doba, za ktorú sa Mesiac vráti do toho istého miesta svojej dráhy vzh�adom ku hviezdam, je len 27,3 d�a a nazýva sa siderický mesiac; doba, ktorá uplynie medzi dvoma rovnakými fázami, t. j. synodický mesiac, je 29,5 d�a. Vplyvom svojej krátkej obežnej doby okolo Zeme sa Mesiac pohybuje medzi hviezdami ve�mi rýchlo. zložením jeho obežného pohybu so zdanlivým pohybom sféry sa tiež rýchlo mení jeho poloha i vzh�adom k základným rovinám na sfére.

Pod�a vzájomnej polohy Slnko, Zem a Mesiac vznikajú rôzne mesa�né fázy. Ak sú všetky tri telesá približne v priamke tak, že Mesiac je medzi Slnkom a Zemí, nie je Mesiac vidie�, hovoríme, že je v nove . Ak je Zem medzi Slnkom a Mesiacom, nastáva spln ?, v ktorom má Mesiac hviezdnou ve�kos� m= -12,6. Ak zvierajú spojnice Mesiac - Zem a Zem - Slnko pravý uhol, dochádza po nove k fáze volanej prvá štvr� a po splne k poslednej štvrti . Obe fázy �ahko rozoznáme pod�a známej podobnosti prvej štvrte s písmenom D (dorastá) a poslednej štvrte s písmenom C (cúva).


Planéty Okolo Slnka obieha okrem Zeme ešte 8 planét, z ktorých sú pre približné

ur�ovanie zemepisnej polohy vhodné len Venuša, Mars, Jupiter a Saturn. Dráhy, po ktorých uvedené planéty obiehajú okolo Slnka v rovnakom smere

ako Zem, sú elipsy. V jednom ich spolo�nom ohnisku je Slnko. Roviny ich dráh zovierajú s ekliptikou pomerne malé uhly, takže príslušné zdanlivé dráhy na nebi ležia vo vnútri pásu širokého len 7° s ekliptikou uprostred.

Preto nájdeme planéty vždy v blízkosti Zverokruhu. Venušu, ktorá je vnútornou planétou, nájdeme ako Zornicu nebo Ve�ernicu len v blízkosti Slnka. Planéty svietia len odrazeným slne�ným svetlom.

Obeh planét okolo Slnka sa prejavuje na sfére neustálou zmenou ich polohy medzi hviezdami, a to zdanlivým tvorením rôznych k�u�iek. Zložením ich obežného pohybu so zdanlivým denným pohybom vznikajú zna�né zmeny v ich polohe; preto je treba opatrnosti jak pri meraní, tak pri výpo�toch. Teraz si jednotlivo preberieme uvedené štyri planéty, vhodné k meraniu.

Venuša je presne gu�ová planéta s polomerom 6096 km. Pri svojej najvä�šej

vzdialenosti (elongácii) 47°47' od Slnka môže vychádza� asi 4h pred východom Slnka alebo o rovnaký �as za ním zapada�. Svieti vždy bielym svetlom a je po Slnku a Mesiaci najjasnejším nebeským telesom našej oblohy. Jas Venuše je závislý na jej fázach, podobne ako je to aj u Mesiaca. Svojej najvä�šej ve�kosti m = -4,3 nedosahuje pritom v splne, ale asi 30 dní po svojom „nove", ke� je pomer osvetlenej �asti jej kotú�a k celkovej ploche kotú�a je len 0,22. Preto je v nove jej zdanlivý priemer až 63", ale v splne len 10". Siderická doba jej obehu okolo Slnka je 224,7 dne.

Mars má polomer 3420 km. Nie je už presnou gu�ou ako Venuša, ale má sploštenie asi 1/200. Pri svojej najvä�šej ve�kosti m = -2,3 je najjasnejšou planétou po Venuši. Jeho zdanlivý priemer je vtedy 22". Pokia� je pozorovate�ný, poznáme ho �ahko pod�a �ervenej farby. Pretože je vonkajšou planétou, t. j. jeho dráha okolo Slnka je vä�šia ako ro�ná dráha Zeme, nevidíme všetky jeho fázy. Pomer medzi osvetlenou a celkovou �as�ou jeho kotú�a je minimálne 0,85. Siderická doba jeho obehu je 1 rok a 321,7 d�a.

Jupiter je obrovská planéta s polomerom 69 600 km. Má zna�né sploštenie 1/15, vidite�né v silnom �alekoh�ade na prví poh�ad. So svojou hviezdnou ve�kos�ou m = -2,5 je v dobe svojho najvä�šieho jasu asi tak rovnako jasný ako Mars. Vtedy sa javí pod uhlom asi 46". Svieti žltavým svetlom a je možné ho pozna� v �alekoh�ade teodolitu pod�a jeho štyroch najvä�ších mesiacov. Siderická doba obehu Jupitera okolo Slnka je 11 rokov a 314 dní. Na Jupitere nie sú nikdy vidie� žiadne fázy. Jeho vzdialenos� od Slnka je totiž proti vzdialenosti Zem - Slnko tak ve�ká, že sa nám Jupiter javí rovnako, ako keby sme sa na� pozerali priamo od Slnka. Z rovnakého dôvodu nemá zo Zeme vidite�né fázy ani planéta Saturn.

Saturn. Tato planéta so skuto�ným stredným polomerom 57 400 km a so zdanlivým stredným priemerom asi 18" sa javí ako kotú�ik so zna�ným sploštením, a to 1/10. Svojou bledožltou farbou a priemernou hviezdnou ve�kos�ou (m = -1,4 až 0,2) sa príliš nelíši od hviezd prvej triedy. V priaznivom prípade je ho možno spozna� pod�a jeho prstenca s priemerom asi 40". Tenkos� prstenca Saturnu a sklon 27° jeho roviny k rovine ekliptiky totiž spôsobuje, že prstenec nie je vždy zrete�ne vidie�. Saturn preto použijeme napr. k meraniu azimutov len v mimoriadnom prípade. Jeho doba obehu okolo Slnka je 29 rokov a 167 dní.


7 ASTRONOMICKÁ REFRAKCIA Svetelný lú� od nebeského telesa prechádza ovzduším, ktoré má smerom k

zemskému povrchu stále vä�šiu hustotu. Ovzdušie si teda môžeme predstavi� zložené z tenkých vrstiev, na ich hraniciach sa svetelný lú� láme ku kolmici (prechádza z prostredia opticky redšieho do opticky hustejšieho). Tým dostáva svetelný lú� tvar oblúka, dutého smerom k Zemi. Jeho doty�nica v pozorovanom bode je zdanlivým smerom k nebeskému telesu. Teleso teda vidíme vplyvom refrakcie vždy vyššie. Miesto správnej zenitovej vzdialenosti z potom nameriame zenitovú vzdialenos� zo, ktorá je menší o uhol r, ktorému hovoríme refrakcia.

Obr. 7.1: Astronomická refrakcia

Ve�kos� refrakcie závisí na nieko�kých okolnostiach a vypo�ítame ju pod�a

vzorca 0ztg.kr =

kde

oo TB

.k+

′′=273

7216

Tento vzorec platí pre z < 60° a je z neho vidno, že refrakcia závisí na teplote

T (oC) a tlaku vzduchu B (hPa). Opravíme zmerané zenitové vzdialenosti tak, že

rzz +′= Vplyv refrakcie je dos� zna�ný a musíme preto k nemu prihliada� vždy pri

presnejších výškových meraniach. Pretože najvä�šia refrakcia je pri horizonte a jej hodnota v nízkych prízemných vrstvách vzduchu je neistá, odporú�a sa mera� nebeské telesá vždy aspo� 25° nad horizontom.

8 PARALAXA K ur�eniu zemepisných súradníc a niekedy aj azimutu potrebujeme spravidla

pozna� zenitovú vzdialenos� pozorovaného nebeského telesa a jeho rovníkové súradnice. Zenitovú vzdialenos� meriame na povrchu Zeme, teda ako topocentrickú (horizontálnu) súradnicu nebeského telesa. Jeho rovníkové súradnice vypo�ítané

z zo

r

H’

H

Z

M


interpoláciou z astronomickej ro�enky sa však vz�ahujú na stred Zeme, sú to teda hodnoty geocentrické. Pre výpo�et musíme teda topocentrickú zenitovú vzdialenos� previes� tiež na geocentrickú. Rozdiel medzi topocentrickou a geocentrickou zenitovou vzdialenos�ou potom nazývame paralaxa v zenitovej vzdialenosti. Rovnako rozoznávame aj paralaxu v druhej horizontálnej súradnici, t. j. paralaxu v azimute, ktorá je však vzh�adom k paralaxe v zenitovej vzdialenosti nepatrná. Preto pokia� to nebude zvláš� vyzna�ené — budeme pod paralaxou myslie� vždy paralaxu v zenitovej vzdialenosti.

Ak je merané na hviezdu, potom vzdialenos� stanoviš�a od stredu Zeme je vzh�adom k jej vzdialenosti tak nepatrná, že nemusíme paralaxu vôbec uvažova�. Ak sa meria na teleso slne�nej sústavy, potom musíme brat v úvahu vzdialenos� stanoviš�a od stredu Zeme. Postupujeme potom tak, že topocentrickú zenitovú vzdialenos� opravíme o paralaxu na geocentrickú a tú použijeme k výpo�tu.

8.1 DENNÁ PARALAXA Ak zmeriame napr. v bode M (obr. 8.1) zdanlivú zenitovú vzdialenos� z' stredu

nebeského telesa S, prevedieme ju na geocentrickú zenitovú vzdialenos� Z od�ítaním uhlu n', ktorý nazývame denná paralaxa. Je to vlastne zorný uhol, pod ktorým by sme z blízkeho nebeského telesa videli vzdialenos� MO, t. j. základ�u denní paralaxy.

Pri meraní na Slnko a planéty sta�í Zem považova� za gu�u. Potom jej polomer je základ�ou dennej paralaxy, ktorá tak bude pre všetky zemepisné šírky rovnaká.

Obr. 8.1: Denná paralaxa

Ak ur�ujeme zemepisný azimut z merania na telesá slne�nej sústavy, mali by sme azimut nebeského telesa vypo�ítaný pomocou geocentrických rovníkových súradníc, teda geocentrický azimut, previes� na topocentrickú opravou o dennú paralaxu v azimute. Ak považujeme však Zem pri meraní na Slnko a planéty za gu�u, potom zvislica mieri v každému bode do jej stredu a vypo�ítaný azimut môžeme považova� za topocentrický. Zenitovú vzdialenos� opravujeme o paralaxu π‘ pod�a rovnice

π ′−′= zz

M

Z

π’

M’

z z‘

π’ π

0

z r

r

d

S


Ak pokladáme z' už za opravené o refrakciu. Pod�a obr. 8.1 môžeme paralaxu π vypo�íta� z trojuholníku OSM sínusovou

vetou

zsindr

sin ′=′π

kde r je polomer zemegule a d vzdialenos� nebeského telesa od jej stredu.

Paralaxa π‘ bude mat najvä�šiu hodnotu pri z' = 90°; potom sin z' = 1 a

dr

sin =′π

Tento výraz nám však udáva tzv. rovníkovú horizontálnu paralaxu π, ktorú vidíme na obr. 13 v pravouhlom trojuholníku O M'S s pravým uhlom pri bode M'. Ak dosadíme za r/d vo vzorci sin π, dostaneme

zsin.sinsin ′=′ ππ a pretože hodnoty π sú malé, môžeme písa�

zsin.sin ′=′ ππ

Denná paralaxa telies slne�nej sústavy Paralaxa Slnka. Výraz (10) môžeme vzh�adom k malej hodnote π vyjadri�

pomocou radiánov v sekundách tak, že

dr

520626 ′′=π

Ak dosadíme za r=6370 km a d=149,5.106 km, t. j. strednú vzdialenos� Zeme od Slnka, dostaneme hodnotu rovníkovej paralaxy Slnka

π�=8,8’� ktorú môžeme vzh�adom k pomerne malej premenlivosti vzdialenosti d

považova� za stálu. Paralaxa planét. Hodnoty π pre jednotlivé planéty môžeme vypo�íta� tiež

pomocou vzorca (12), kde za vzdialenos� d dosadíme sú�in d�∆. V tomto sú�ine predstavuje d� = 149,5.106 km vzdialenos� Zeme od Slnka, zvolenou za tzv. astronomickú jednotku, a ∆ predstavuje pomer d/d� (heliocentrickú vzdialenos� telesa) vyjadrený v astronomických jednotkách, ktorý je uvedený pre každú planétu a každý de� v roku v astronomických ro�enkách. Po dosadení dostaneme

∆

π�dr

520626 ′′=

Výraz

�d

r520626 ′′=π

však udáva rovníkovú horizontálnu paralaxu Slnka π�, takže pre paralaxu planét môžeme písa�


∆∆ππ 88 ′′

== ,�

Paralaxy planét bývajú udávané priamo v astronomických ro�enkách. Pre preh�ad uvádzame najvä�šiu a najmenšiu vzdialenos� ∆ aj s príslušnými paralaxami na niektoré planéty v tabu�ke:

Planéta Venuša Mars Jupiter Saturn max ∆ 1,73 2,67 6,45 11,03 π 5,1" 3,3" 1,4" 0,8" min ∆ 0,27 0,43 3,97 8,31 π 32,6" 20,5" 2,2" 1,1"

Paralaxa Mesiaca. Ak dosadíme do výrazu (12) hodnotu radiantu v minútach,

t. j. 3437,75' miesto 206 265", a �alej dosadíme r = 6370 km a d = = 384 400 km, dostaneme strednú rovníkovou horizontálnu paralaxu Mesiaca π�� Teda hodnotu už ve�mi zna�nú. Vplyvom premenlivej vzdialenosti kolíše táto hodnota v intervale <53’57”, 61’21”>.

Presné hodnoty π Mesiaca pre jednotlivé dni sú uvádzané v astronomických ro�enkách.

Pretože paralaxa Mesiaca je zna�ná, nesta�í ju pri presnejších meraniach po�íta� pomocou vzorcov platných pre gu�ový tvar Zeme, ale je nutné používa� vzorce, v ktorých je prihliadnuté k polohe bodu na elipsoide. Tak pre paralaxu π platí vzorec odvodený napr. v knihe [3] na str. 99

( )

( )czccos

sincos

czsinccos

sincos

tg−−

−=′

πνρ

πνρπ

1

kde π je rovníková horizontálna paralaxa Mesiaca, vyh�adaná pre dátum

pozorovania napr. z AJ, a z je geocentrická zenitová vzdialenos�. V uvedenom vzorci �alej znamená: ρ geocentrickú vzdialenos� bodu na

povrchu zemského elipsoidu od jeho stredu a ν = ϕ - ϕ'; s týmito veli�inami sme sa už zoznámili v �lánku o elipsoide. K nim pristupuje ešte pomocný uhol c, pre ktorý platí vzorec

acosc υ= uvedený v knihe [3] pod �íslom (43') na str. 100. Presným vzorcom (14) by

sme vypo�ítali paralaxu len vtedy, keby sme o �u opravené zdanlivé vzdialenosti z' použili k výpo�tu napr. geocentrický azimut Mesiaca. Inak sta�í používa� vzorce (11).

Ak uvažujeme Zem pri presnejších meraniach na Mesiac za elipsoid, prejaví sa aj paralaxa v azimute. Pre paralaxu v azimute platí vzorec

acos

zsinsin

sin

asinzcos

sinsin

tg a πνρ

πνρπ

−=′

1

odvodený v knihe [3] na str. 98.


Algebrickým pripo�ítaním πa ku geocentrickému azimutu a dostaneme topocentrický azimut a'.

8.2 RO�NÁ PARALAXA Denná paralaxa hviezd sa vzh�adom k ich ohromným vzdialenostnom od

Zeme prakticky vôbec neprejavuje. U hviezd má význam až vplyv ro�nej paralaxy, pri ktorej je základnicou stredná vzdialenos� Zem - Slnko.

Hodnoty ro�nej paralaxy sú u ve�kej vä�šiny hviezd nepatrné. Najvä�šia vôbec zatia� zistená ro�ná paralaxa je 0,763" a má ju hviezda Proxima Centauri. Zo známejších hviezd s najvä�šou ro�nou paralaxou uvádzame napr. hviezdy zostavené v tejto tabu�ke:

Hviezda Ro�ná paralaxa Sirius (a Canis Má) 0,376" Procyon (« Canis Mi) .... 0,291" Atair (a Aquillae) 0,204" Vega (a Lyraé) 0,140"

Vplyv ro�nej paralaxy sa prejavuje len na heliocentrické rovníkové súradnice hviezd a je už zahrnutá v ich zdanlivých hodnotách, uvedených v astronomických ro�enkách.

9 ZDANLIVÝ POLOMER Pri meraní na nebeská telesa cielime spravidla na ich stred. To je presne

možné len u telies, ktorá majú malý zdanlivý polomer. Topocentrický zdanlivý polomer pri tom nazývame zorný uhol, pod ktorým vidíme skuto�ný polomer nebeského telesa s povrchu Zeme.

Slnko a Mesiac majú tak ve�ký zdanlivý polomer, že ich stred len �ažko presne odhadujeme. Musíme preto mera� bu� postupne na ich okraje a z oboch meraní vypo�íta� priemer, alebo len na jeden okraj a azimut alebo zenitovú vzdialenos� opravi� o vplyv zdanlivého polomeru. Pretože je kotú� Mesiaca málokedy vidie� celý, musíme mera� spravidla len na jeho jeden okraj.

9.1 GEOCENTRICKÝ ZDANLIVÝ POLOMER Pod�a obr. 9.1 je topocentrickým zdanlivým polomerom telesa, pozorovaného

z bodu M na povrchu Zeme, uhol δ'. Okrem topocentrického zdanlivého polomeru δ' zavádzame geocentrický zdanlivý polomer δ, t. j. uhol, pod ktorým vidíme skuto�ný polomer nebeského telesa zo stredu Zeme. Geocentrický polomer δ vypo�ítame z pravouhlého trojuholníku OTS pod�a vzorca


Obr. 9.1: Geocentrický zdanlivý polomer

ds

sin =δ

Ak dosadíme do tohto vzorca za skuto�ný polomer Slnka s = 695 000 km a

za geocentrickou vzdialenos� d = 149 500 000 km, dostaneme približne δ=16‘. Vzh�adom k pomerne malej zmene vzdialenosti Slnka od Zeme sa mení aj táto približná hodnota málo. Presné hodnoty zdanlivého polomeru Slnko sú uvádzane pre každý de� v astronomických ro�enkách.

Pre Mesiac nám po dosadení za s = 1736 km a za d = 384 400 km vyjde že δ=15‘32“. Presná hodnota δ Mesiaca je ve�mi premenlivá, a je tiež uvádzaná pre jednotlivé dni v astronomických ro�enkách. Rovnako tak sú tam uvádzane aj hodnoty geocentrického polomeru planét.

9.2 TOPOCENTRICKÝ ZDÁNLIVÝ POLOMER O hodnotu geocentrického polomeru sta�í opravi� meranú (topocentrickú)

zenitovou vzdialenos� na geocentrickou len vtedy, ke� ju používame k pomocným výpo�tom. Ak sa po�íta však zemepisná súradnica a azimut zo zenitovej vzdialenosti Slnka alebo Mesiaca, je nutné topocentrickú zenitovú vzdialenos� opravi� o topocentrický zdanlivý polomer.

Topocentrický zdanlivý polomer σ' je vždy vä�ší než σ, pretože miesto pozorovania je telesu vždy bližšie než stred Zeme. Pri presnejších výpo�toch pozorovania Mesiaca musíme vždy po�íta� len s topocentrickým zdanlivým polomerom σ'.

Približný vzorec pre α'. Hodnotu zdanlivého polomeru α' pre dané miesto a dobu pozorovania si vypo�ítame pomocou geocentrického polomeru α zo vzorca, ktorý si odvodíme. Použijeme k tomu obr. 9.2.

O

M

Z

T

T’

δ d

S

δ’

T

s

r


Obr. 9.2: Topocentrický zdanlivý polomer Pretože skuto�né polomery Slnka a Mesiaca sú vzh�adom k ich

vzdialenostiam od Zeme nepatrné, môžeme na obr. 9.2 predpoklada�, že bod T‘ je totožný s bodom T. Potom zo štvoruholníka OTSM vyplýva, že

πσπσ ′′+=′+′ odtia�

ππσσ ′−′′+=′ Ak vyjadríme paralaxu π“ pomocou rovníkovej horizontálnej paralaxy π

vzorcom odvodeným v �lánku o paralaxe, dostaneme ( )σππ ′−′=′ zsin Topocentrickú paralaxu π” môžeme vypo�íta� z trojuholníka OTM, v

ktorom OM = r a OT = �, sínusovou vetou tak dostaneme:

zsindr

sin ′′

=′′π

Položíme � ~ d, pri�om d = SO, je

πsindr =

a �alej zsin ′=′′ ππ

Dosadíme výrazy pre π' a π" do rovnice (18), dostaneme ( )[ ] ( )σσπσσπσσ ′′+′′−′+=′−′−′+=′ sinzcoscoszsinzsinzsinzsin Pretože uhol σ' je malý, môžeme položi� 11 ′′′=′=′ sinsin,cos σσσ Potom

1′′′′+=′ sin..zcos σπσσ A pretože

1′′sinπ Potom

zcossin ′+=′ πσσσ

0

z

σ’

S

M z‘

σ

π’

π”

s

T T’


O topocentrický polomer σ', vypo�ítaný pod�a tohto vzorca, ktorý platí �i sa

meralo na dolný nebo horný okraj nebeského telesa, sa plne opraví topocentrická zenitová vzdialenos� z' tak, že pri meraní na horný okraj

σ ′+′= zz A pre dolný okraj

σ ′−′= zz kde z' je už opravené o refrakciu. Prihliadneme teda ku všetkým doterajším

opravám, dostaneme geocentrickú zenitovú vzdialenos� zo stredu telesa z meranej zdanlivej zenitovej vzdialenosti z0 na jeho okraj z rovnice

σπ ′±′−−= rzz 0 Presný vzorec pre σσσσ'. Vzorec (18) pre výpo�et topocentrického polomeru σ'

bol odvodený za predpokladu, že Zem má tvar gule. Ak považujeme Zem za rota�ný sploštený elipsoid, vypo�ítame topocentrický polomer z geocentrického polomeru pod�a vzorca

( )( )czsin

czsin−−′

=′ σσ

kde z' je topocentrická zenitová vzdialenos�, z = z’- σ - π, t.j. geocentrická vzdialenos� z, c je už známy pomocný uhol, vyjadrený rovnicou (15). Vzorec (20) je uvedený v knihe [5] na Str. 129 pod �íslom (76), kde je tam z neho tiež odvodený náš vzorec (19) pre gu�ový tvar Zeme.

Vzorec (19) alebo výnimo�ne vzorec (20) použijeme len pri presnejších meraniach na okraj Mesiaca.

Oprava azimutu o zdanlivý polomer

Ke� do zenitovej vzdialenosti vstupuje polomer telesa σ plnou hodnotou, je jeho vplyv σa na azimut závislý na zenitovej vzdialenosti. Odvodíme si ho pod�a obr. 16 z pravouhlého sférického trojuholníka NDS, kde pravý uhol je pri bodu dotyku D. Pod�a Neperovho pravidla dostaneme, že

asinzsinsin σσ = a z toho, vzh�adom k malej hodnote polomeru.

zsina

σσ =

Takto vypo�ítanú opravu potom ku geocentrickému azimutu pripo�ítame, ak

bolo merané na �avý okraj, alebo odpo�ítame pri meraní na pravý okraj nebeského telesa.

9.3 ABERÁCIA V predchádzajúcich výkladoch o polohe nebeských telies sme zatia�

neuvažovali dve okolnosti. Predovšetkým okolnos�, že svetelný lú� vyslaný nebeským telesom sa šíri kone�nou rýchlos�ou a potrebuje ur�itý �as k prekonaniu vzdialenosti od nebeského telesa do bodu pozorovania na Zemi. �alej okolnos�, že bod pozorovania nie je nehybný, ale behom tejto doby zmení svoje miesto, pretože sa pohybuje zárove� so Zemou.


Vplyvom oboch týchto okolností sa svetelný lú� odchýli od smeru, v ktorom by prichádzal, keby sa svetlo šírilo nekone�nou rýchlos�ou a keby sa Zem nepohybovala. Vzniknutej odchýlke hovoríme aberácia.

Obr. 9.3. Aberácia

Vznik aberácie si najlepšie vysvetlíme pomocou obr. 9.3. Do stredu objektívu

01 prichádza od nebeského telesa H svetelný lú�, ktorý by pokra�oval stále v rovnakom smere do stredu okul áru 02 a odtia� �alej do oka pozorovate�a 03', keby rýchlos� svetla bola nekone�ná a Zem sa nepohybovala.

Svetelný lú� však letí rýchlos�ou c a Zem, a s �ou i pozorovate�, sa pohybuje rýchlos�ou v v smere napr. A, zovierajúcom so svetelným lú�om uhol ϑ'. Za dobu t, ktorú lú� potrebuje k prekonaniu dráhy

O1O2=c.t sa os �alekoh�adu dostane s pohybujúcou sa Zemou do polohy 0’1,0‘2. Lú� sa

teda už nedopadne do stredu okuláru 02, ktorý zatia� prešiel dráhu O2O’2=v.t

Aby lú� prešiel stredom okuláru 02, a teda aj stredom nitkového kríža, musíme �alekoh�ad nakloni� o uhol ω. Svetelný lú� potom prichádza do oka v mieste 03 a teleso H vidíme zdanlivo v polohe H'. Smer od H' zoviera so smerom A uhol ϑ, líšiaci sa od pôvodného uhla ϑ' o uhol ω.

Abera�ný uhol ω vypo�ítame z trojuholníka 0’10'202 sínusovou vetou:

ϑω sinOOOO

sin21

22

′′′

=

Ak dosadíme za 020’2=v.t, za 0102=c.t a vydelíme zlomok veli�inou t, dostaneme

ϑω sincv

sin =

Pretože uhol ω je ve�mi malý, vyjadríme ho v sekundách. Potom

ϑω sincv

520626 ′′= (23)

Abera�ný uhol bude najvä�ší, ak bude ϑ =90o. Rovnica (23) potom dostane

tvar

0’3 03

01 0’1

02 0’2

ϑ’ ϑ

ω

ω

A

H’ H


cv

520626 ′′=ω (24)

ktorý udáva výraz pre abera�nú konštantu a do ktorého dosadzujeme za c= 300 000 km/s a za v hodnoty pod�a druhu pohybu Zeme a nebeského telesa.

Denná aberácia Denná aberácia vzniká otá�aním Zeme kolem jej osy. Pre miesto na rovníku,

ktoré za jeden de� (t. j. za 86 164 s) vykoná celou oto�ku 2πR, kde R = 6378 km, dostaneme jeho rýchlos�

14650

8616463781415932 −=⋅⋅= s.km.

.v

Po dosadení vypo�ítanej rýchlosti v do rovnice (24) nám najvä�ší abera�ný

uhol na rovníku vyjde v hodnote ω=0,32“. Pre miesto pozorovania so zemepisnou šírkou ϕ, ktorého rovnobežka má polomer R.cos ϕ, je vplyv dennej aberácie

ϕω cos. 230 ′′= V praxi sa o vplyv dennej aberácie opravuje azimut, meraný pomocou Polárky,

pod�a vzorca

zsin

cos.a

ϕω 230 ′′= (25)

uvedeného v knihe [4] na str. 28.

9.4 RO�NÁ ABERÁCIA Táto aberácia vzniká ro�ným pohybom Zeme okolo Slnka rýchlos�ou v=30

km/s. Ak dosadíme túto rýchlos� do vzorca (24), dostaneme príslušný najvä�ší abera�ný uhol ω=20,47“.

O hodnotu ro�nej aberácie, ktorej vplyv je pomerne zna�ný, sú už opravené zdanlivé rovníkové súradnice hviezd uvedené v astronomických ro�enkách pre každý desiaty de� roku.

�alej poznáme ešte planetárnu aberáciu, vznikajúcu pohybom telies slne�nej sústavy, ktorý nemusel by� uvažovaný u hviezd, a kone�ne i sekulárnu aberáciu, pochádzajúcu od pohybu slne�nej sústavy ako celku vzh�adom ku hviezdam.

9.5 PRECESIA A NUTÁCIA Až doteraz sme vo výkladoch pokladali rovinu rovníku ako základnú rovinu

rovníkových súradníc za stálu a za pevný sme pokladali aj ich základní bod, t. j. jarný bod �. V skuto�nosti však tomu tak nie je.

Precesia Zemská os vykonáva okolo spojnice pólov ekliptiky ve�mi pomalý krúživý

pohyb tak, že tvorí pláš� dvojkuže�a (obr. 19) s vrcholovým uhlom 2e = 2 . 23°27' = 46°54'. Preto sa tiež pohybuje rovina rovníka a s �ou aj jej priese�ník s ekliptikou t.j. jarný bod �. Nebeské póly PS, PN pri tom opisujú okolo pólu ekliptiky PE, kružnice s polomerom s, �iže menia neustále svoju polohu medzi hviezdami. Jeden úplný obeh


zemské osy okolo osy ekliptiky trvá 25 765 rokov a nazýva sa platónsky rok. Jarný bod sa preto posúva každoro�ne proti zdanlivému ro�nému pohybu o

0576525

000296176525

360 ′′=′′

=o

Smerom k Slnku, t.j. vykonáva tzv. precesný pohyb. Precesný pohyb zemskej osy vzniká preto, že Zem nie je gu�a, ale približne

sféroid, ktorého os je sklonená k rovine ekliptiky. Mesiac a Slnko potom pôsobia svojou prí�ažlivos�ou na prebytok hmoty pri rovníku (na obr. 19 je vyšrafovaný), ktorým sa sféroid líši od gule, snaží sa vzniknutú dvojicu síl privies� zemskou osu kolmo k rovine ekliptiky a vyvolávajú tak jej krúživý pohyb.

Nutácia Zemská os vykonáva následkom premenlivej vzdialenosti Mesiaca a tým aj

jeho premenlivej prí�ažlivosti �alšie zložité krúživé pohyby, ktoré nazývame nutácia. Perióda nutácie je však kratšia a robí necelých 19 rokov; menší je aj vrcholový uhol príslušného dvojkuže�a (eliptického). Vplyvom nutácie opisujú pravé póly rovníku elipsu s osami 18" a 14" okolo svojej strednej polohy na precesnej kružnici.

Obr. 9.4: Precesia a nutácia

Zložením precesného a nuta�ného pohybu sa pohybujú pravé póly rovníku

okolo pólu ekliptiky po vlnitých �iarach. Tieto �iary sa však neuzatvárajú, ale vytvárajú akési špirály, pretože je premenná aj poloha pólu ekliptiky. Vplyvom gravita�ného pôsobenia planét na obiehajúcu Zem podlieha totiž ekliptika ešte tzv. planetárnej precesii. Jej vplyv je nepatrný a prejavuje sa ro�nou zmenou polohy jarného bodu len asi o 0,12". Vplyv precesie a nutácie na rovníkové súradnice nebeských telies je za krátku dobu celkom malý. Významnejšie sa prejavuje len u hviezd blízkych pólu. Príslušné údaje pre výpo�et opravy rektascenzie a deklinácie sú uvedené v astronomických ro�enkách.

PS PE

PN

precesia nutácia

P’E

��

�

ekliptika

rovník


9.6 VLASTNÝ POHYB HVIEZD Bolo zistené, že niektoré hviezdy vykazujú behom roku vlastný pohyb. Je to

vlastne uhol µ, udávaný v sekundách, o ktorý sa zmení poloha hviezdy za 1 rok. Ve�kou vä�šinou sú vlastné pohyby hviezd len ve�mi nepatrné. Z hviezd na severnom nebi, ktorých používame k pozorovaniu, má vä�ší vlastný pohyb µ = 2" hviezda Arcturus (α Bootis) a µ=1,3" Sirius (α Canis Maioris.) O vplyv vlastného pohybu hviezd opravujeme ich rovníkové súradnice napr. pri výpo�te zdanlivých polôh zo stredných. Zdanlivé súradnice v astronomických ro�enkách sú už opravené o vplyv vlastného pohybu.

9.7 STREDNÁ, PRAVÁ A ZDANLIVÁ POLOHA NEBESKÝCH TELIES Ke� sme sa ve�mi stru�ne zoznámili so všetkými hlavnými vplyvmi na polohy

nebeských telies, zoznámime sa �alej so spôsobmi, akými sú ich polohy uvádzane v astronomických ro�enkách.

Predovšetkým si musíme uvedomi�, aké druhy polôh rozoznávame. Povedali sme si už, že polohy nebeských telies v ro�enkách sú udávane rovníkovými súradnicami, t. j. rektascenziou α a deklináciou δ, pri�om základnými prvkami, ku ktorým obe súradnice vz�ahujeme, sú rovina rovníku a jarní bod �. Poloha týchto základných prvkov sa však neustále mení. Pod�a toho, k akej polohe týchto základných prvkov vztiahneme rektascenziu a deklináciu, rozoznávame strednú a pravú polohu nebeských telies.

Stredná poloha Pod strednou polohou nebeského telesa rozumieme rovníkové súradnice

vztiahnuté na strednú polohu rovníka a strednú polohu jarného bodu. Stredné súradnice sú uvedené pre za�iatok každého roku v rôznych astronomických katalógoch a ro�enkách. Stredné súradnice platné pre za�iatok jedného roku sa prevádzajú na za�iatok iného roku pomocou ro�ných precesných veli�ín a tiež pomocou veli�ín vlastného pohybu.

Pravá poloha Opravou stredných súradníc o vplyv nutácie, t. j. ich prevodom na pravý rovník

a pravý jarní bod dostávame pravú polohu nebeského telesa.

Zdanlivá poloha Ak opravíme pravé súradnice o aberáciu a ro�nú paralaxu, dostaneme

zdanlivú heliocentrickú polohu hviezdy, t. j. vztiahnutú na stred Slnka. U telies, prislúchajúcich k slne�nej sústave, musíme prihliadnu� ešte k dennej paralaxe. Pre Mesiac, Slnko a planéty sú vo hvezdárskych ro�enkách uvádzané zdanlivé geocentrické súradnice. Zdanlivé súradnice, vyh�adané z ro�enky pre okamžik pozorovania a opravené o vplyv refrakcie, nám teda udávajú polohu nebeského bodu, v ktorom ho uvidíme napr. v �alekoh�ade urovnaného mera�ského prístroja.


10 �as a �asové systémy

10.1 PRIESTOR A �AS Priestor a �as sú objektívne reálne formy existencie pohybujúcej sa hmoty.

Pojem priestoru vyjadruje koexistenciu a vzájomnú oddelenos� vecí, ich roz�ahlos�, systém ich vzájomného usporiadania. �as charakterizuje postupnos� rozvíjania hmotných procesov, vzájomnú oddelenos� rôznych štádií týchto procesov, ich vývin a ich trvanie.

Hmotné procesy prebiehajú v priestore v ur�itej postupnosti, líšia sa svojím trvaním, majú vzájomne sa od seba odlišujúce fázy a štádiá. Podstatnou podmienkou existencie procesov je to, že ich rozli�né štádiá sú �asovo rôzne lokalizované, a že sú od seba oddelené �asovým intervalom. Pod�a materialistickej filozofie "Vo svete existuje len pohybujúca sa hmota a pohybujúca sa hmota môže sa pohybova� len v priestore a �ase" (V. I. Lenin). Ani jeden hmotný objekt nemôže existova� len v priestore a nenachádza� sa v �ase, alebo existova� v �ase, ale nenachádza� sa v priestore. Každé teleso vždy a všade existuje tak v priestore, ako aj v �ase. Zárove� �as plynie tak, že sa k sebe nevracia, že sa neopakuje, ale prechádza vždy cez nové a nové okamihy.

Pou�ka, že priestor a �as sú formou existencie hmoty, charakterizuje nielen ich objektívnos� a reálnos�, ale ozna�uje aj ich neoddelite�nú spätos� s pohybujúcou sa hmotou. To umož�uje definova� �as pre ú�ely merania, ako funkciu pohybu hmoty. Je zrejmé, že akýko�vek pohyb hmoty definuje �as. Porovnávaním rôznych druhov pohybu porovnávame vlastne relatívne rôzne �asy závislé od týchto pohybov a v tom je princíp merania �asu.

Vyjadri� funk�nú závislos� �asu od �ubovo�ného pohybu by bolo ve�mi zložité, a preto nie každý pohyb je vhodný na definovanie a meranie �asu. Pre praktické ú�ely merania �asu majú základný význam iba tie druhy pohybov v prírode, ktoré sa vyzna�ujú maximálnou pravidelnos�ou opakovania sa javu, t.j. pohyby periodické a ktoré majú vz�ah k nášmu životu a možno ich spo�ahlivo mera�. Sú to najmä: rotácia Zeme, pohyby telies slne�nej sústavy, pohyb kyvadla, oscilácie kremenného krištá�u, pohyb elementárnych �astíc hmoty vyžarovaných rádioaktívnou látkou. Pomocou týchto periodických javov formulujeme �asové jednotky, ktoré môžeme použi� na porovnávanie priebehu iných javov, t.j. na meranie �asu.

Život �udskej spolo�nosti a príroda našej planéty má ur�itý rytmus, ktorý závisí jednak od rotácie Zeme a jednak od pohybu Zeme okolo Slnka. Znamená to, že rotácia Zeme nám poskytuje možnos� vytvori� �asovú jednotku, ktorou možno mera� �as, ktorý má vz�ah k nášmu životu. V analógii k hodinám predstavme si priese�ník ur�itej meridiánovej roviny s rovinou zemského rovníka ako index (ru�i�ka na hodinách) a svetový rovník ako �asovú stupnicu (ciferník) (obr. 10.1).


Obr. 10.1: Smer rotácie Zeme

Ak si zvolíme ur�itý bod ležiaci na rovníku za nulovú zna�ku, potom uhol t od

indexu M‘ po nulovú zna�ku N, ktorý sa mení s rotáciou Zeme, môžeme považova� za �as bodu M. Pozorovate�ovi v bode M v dôsledku skuto�nej rotácie Zeme v kladnom smere sa zdá, že nie index, ale nulová zna�ka sa pohybuje v zápornom smere (smer pohybu hodinových ru�i�iek). V tomto zmysle je však definovaný hodinový uhol t bodu N, a preto môžeme všeobecne poveda�: �as bodu M (resp. všetkých bodov ležiacich na meridiáne bodu M) sa rovná hodinovému uhlu t, zvoleného nulového bodu N. Ak za nulový bod zvolíme hviezdu, dostávame hviezdny �as, ak Slnko, dostávame slne�ný �as.

10.2 HVIEZDNY �AS �as odvodený zo zdanlivého pohybu hviezd nazývame hviezdnym �asom. V

okamihu ke� je hviezda v hornej kulminácii je hviezdny �as nula, pretože t=0 hod. �asový interval, ktorý uplynie medzi dvoma po sebe idúcimi prechodmi hviezdy tým istým miestnym meridiánom, je jednotka hviezdneho �asu, ktorú nazývame hviezdny de�. Zlomok �asovej jednotky je vyjadrený hodinovým uhlom deklina�nej kružnice nulového bodu.

Za nulový bod volíme polohu jarného bodu �, pretože ten spojuje hviezdny �as so slne�ným. S oh�adom na to môžeme definova� hviezdny �as Θ ako hodinový uhol jarného bodu

Θ = t� Jarný bod však v dôsledku precesie a nutácie mení svoju polohu. Polohu

rovnomerne sa meniaceho jarného bodu nazývame stredný jarný bod � a �as vyjadrený jeho hodinovým uhlom (obr. 4.2) sa nazýva stredný hviezdny �as � .

�t=Θ

Ak by stredný jarný bod� mal v priestore pevnú polohu, potom by sa stredný hviezdny de� rovnal rota�nej perióde Zeme. V dôsledku precesie sa posunie � v priestore asi o 0,13" proti rotácii Zeme. Stredný hviezdny de� je preto asi o 0,009 s kratší ako rota�ná perióda Zeme.

PS

0

N

zdanlivý pohyb oblohy

t

M

smer rotácie

M‘


Okrem precesného rovnomerného pohybu vykonáva jarný bod aj malé periodické pohyby okolo polohy stredného jarného bodu spôsobené nutáciou. Túto skuto�nú polohu jarného bodu nazývame pravý jarný bod � a �as vyjadrený jeho hodinovým uhlom sa nazýva pravý hviezdny �as Θ.

Θ = t� Rozdiel n = Θ -� je vplyv nutácie; n dosahuje maximálne ±1,2 s. Slovami

povedané: Pravý hviezdny �as = stredný hviezdny �as - nutácia jarného bodu. Pretože nemožno pozorova� jarný bod, volíme na pozorovanie hviezdy, ktoré

sú s pravým jarným bodom presne spojené s rektascenziou. Potom pre pravý hviezdny �as môžeme napísa� (obr. 10.2)

t+= αΘ Znamená to, že na oblohe pozorujeme pravý hviezdny �as. Pravý hviezdny

�as je potrebný aj na riešenie úloh ur�enia zemepisných súradníc miesta na povrchu Zeme. Astronomické hodiny však ukazujú stredný hviezdny �as, pretože zostroji� hodiny, ktoré by išli v súhlase s pravým hviezdnym �asom, je prakticky nemožné.

Pravý hviezdny �as sa uvádza v astronomických ro�enkách spolu s nutáciou pre okamih 0 hod. slne�ného �asu každého d�a na meridiáne v Greenwichi (svetová polnoc). Ozna�ujeme ho 0

GΘ . Môžeme ho vypo�íta� zo vz�ahu ([2], str. 71)

nutáciahG +−= 120

�αΘ ��

kde α� je rektascenzia rovníkového Slnka Od�ítaním nutácie od pravého hviezdneho �asu dostávame stredný hviezdny

�as. Ten môžeme porovnáva� s �asom, ktorý ukazujú hodiny.

Obr. 10.2: Po�ítanie �asu

PS

0

��

t

M

M‘

H

H‘

α

ΘΜ


10.3 SLNE�NÝ CAS

Pravý slne�ný �as �as odvodený zo zdanlivého pohybu Slnka nazývame slne�ným �asom. Ak na

obr. 4. 1 zvolíme za nulovú zna�ku N Slnko, bude v okamihu prechodu Slnka meridiánom bodu M slne�ný �as nula, pretože hodinový uhol Slnka t� = 0. �asový interval, ktorý uplynie medzi dvoma po sebe idúcimi prechodmi Slnka tým istým miestnym meridiánom, je jednotka slne�ného �asu, ktorú nazývame slne�ný de�. Zlomok �asovej jednotky je vyjadrený hodinovým uhlom deklina�nej kružnice prechádzajúcej Slnkom. Všeobecne môžeme slne�ný �as T definova� ako hodinový uhol Slnka.

Slne�ný �as používame v ob�ianskom živote. Okamih prechodu Slnka južnou vetvou meridiánu miesta ležiaceho na severnej pologuli nazýva sa pravé poludnie. Okamih prechodu severnou vetvou toho istého miesta je pravá polnoc. Po�iatok d�a kladieme do okamihu, ke� Slnko prechádza dolnou kulmináciou. Ak berieme do úvahy pohyb skuto�ného Slnka, ktoré nazývame aj pravým Slnkom, dostávame tak pravý slne�ný �as.

htT 12+= ��

Skuto�né Slnko nie je pre svoj nepravidelný zdanlivý pohyb vhodné ako nulová zna�ka, pomocou ktorej meriame �as. Zdanlivý pohyb Slnka môžeme rozloži� na dve zložky:

1. Zdanlivý denný pohyb spôsobený rotáciou Zeme, 2. Zdanlivý ro�ný pohyb po ekliptike spôsobený obehom Zeme okolo

Slnka. Obeh Zeme okolo Slnka sa deje pod�a zákonov, ktoré formuloval Johannes Kepler a sú známe ako Keplerove zákony.

Stredný slne�ný �as. �asová rovnica. Z druhého Keplerovho zákona vyplýva, že zdanlivý pohyb pravého Slnka po

ekliptike ako odraz skuto�ného pohybu Zeme okolo Slnka nie je rovnomerný pretože rýchlos� obehu Zeme okolo Slnka na po�as roku mení. V dôsledku toho ekliptikálna d�žka pravého Slnka vzrastá nerovnomerne. Tým sa aj d�žka pravých slne�ných dní v priebehu roka mení. Táto skuto�nos� je v rozpore s podmienkou, aby pohyb zvolený na ur�ovanie �asu mal stálu periódu. Z toho vyplýva, že mera� a po�íta� �as pod�a pohybu pravého Slnka je nevýhodné. Z mnohých pozorovaní bolo možné odvodi� strednú zmenu ekliptikálnej d�žky Slnka n. Pomocou strednej zmeny n môžeme na ekliptike definova� fiktívny bod, ktorého pohyb po ekliptike bude rovnomerný a ktorý prechádza perihéliom sú�asne s pravým Slnkom. Tento bod nazývame prvé stredné Slnko. Jeho pohyb definuje lineárny vz�ah

L = L0+ n (t - to) kde L, resp. L0 je d�žka stredného Slnka v �ase t, resp. t0. Toto ekliptikálne stredné Slnko nemôžeme ešte použi� na meranie �asu,

pretože jeho hodinový uhol (rektaseenzia) nevzrastá rovnomerne s �asom. Zavádzame preto �alšie stredné Slnko, tzv. druhé stredné Slnko, ktoré sa po�as roka pohybuje rovnomerne po rovníku a prechádza jarným bodom sú�asne s prvým stredným Slnkom. Druhé stredné (rovníkové) Slnko nazývame skrátene stredné


Slnko. Pomocou neho môžeme definova� stredný slne�ný �as T ako hodinový uhol stredného Slnka zvä�šený o 12 hod.

T=t+12h �asový interval, ktorý uplynie medzi dvoma po sebe nasledujúcimi prechodmi

stredného Slnka tým istým meridiánom, je stredný slne�ný de�. Okamih, ke� stredné Slnko prechádza hornou kulmináciou, nazývame stredné poludnie; okamih prechodu dolnou kulmináciou, nazývame stredná polnoc.

Do za�iatku r. 1925 sa stredné slne�né dni v astronómii po�ítali od stredného poludnia. Odvtedy sa aj v astronómii, tak ako v ob�ianskom po�ítaní �asu, po�ítajú stredné slne�né dni od strednej polnoci.

Ako z predchádzajúceho vyplýva, pravý a stredný �as sa od seba líšia a ich rozdiel sa po�as roka neustále mení. Tento rozdiel sa nazýva �asová rovnica a ozna�uje sa E. Definujeme ju v zmysle: pravý slne�ný �as mínus stredný slne�ný �as, t. j.

E=T�-T (4.17) �asovú rovnicu môžeme vyjadri� aj pomocou hodinových uhlov. Ak do

rovnice (4.17) dosadíme rovnice (4.6) a (4.16) dostávame E=t�-t�� (4.18) Priebeh �asovej rovnice po�as roka je znázornený na obr. 10.3. Štyrikrát

do roka nadobúda �asová rovnica nulovú hodnotu a štyrikrát dosahuje extrémne hodnoty. Maximálna hodnota je 16 minút.

Obr. 10.3: �asová rovnica

10.4 VZ�AH HVIEZDNEHO A STREDNÉHO �ASU. PREVODY �ASOV Ako sme už uviedli, stredný slne�ný de� je �asový interval medzi dvoma

prechodmi stredného Slnka tým istým meridiánom. Po�et stredných slne�ných dní za jeden tropický rok dostaneme zo zdanlivého pohybu stredného Slnka � a stredného jarného bodu � po ekliptike (obr. 10.4).


Obr. 10.4

Predpokladajme, že v ur�itom okamihu t0 koincidovalo stredné Slnko � s

jarným bodom � . Stredné Slnko vykoná po ekliptike za jeden stredný slne�ný de� v kladnom smere dráhu 59‘ 8,1928“. Jarný bod vykoná v dôsledku precesie v smere zápornom za ten istý �asový interval dráhu 0,13757“, takže za jeden stredný slne�ný de� sa od seba vzdialia o ∆=59‘ 8,33037“. Po n stredných slne�ných d�och jarný bod � a stredné Slnko � budú od seba vzdialené o hodnotu n.∆. Za jeden tropický rok vykonajú spolu dráhu 360o. Po�et stredných slne�ných dní za jeden tropický rok, ke� zase bude stredné Slnko � koincidova� s � , bude

Tropický rok 2422365733033548

6060360360.

...o

=′′

==∆

stredných slne�ných dní

Po�et hviezdnych dní za jeden

tropický rok dostaneme z nasledujúcej úvahy. Majme Zem v polohe Z1 pri ktorej je jarný bod vrcholí v poludníku m sú�asne so Slnkom. Tento okamih nastáva len raz za rok, v okamihu jesennej rovnodennosti. Za jeden hviezdny de� sa Zem presunie do polohy Z2. Na obrázku vidíme, že Zem sa musí ešte trochu pooto�i�, aby slnko kulminovalo v danom poludníku. Hodnota tohto pooto�enia sa rovná rozdielu medzi slne�ným a hviezdnym d�om. Za štvr� roku prejde Zem do polohy Z3 a rozdiel nadobudne ve�kos� ¼ hviezdneho d�a. Po polroku sa presunie do polohy Z4 a rozdiel bude ½ hviezdneho d�a. Na konci roku, ke� sa Zem dostane do bodu Z1 bude ma� rozdiel hodnotu presne jedného hviezdneho d�a. To znamená, že tropický rok má 366,2422 hviezdnych dní.

O Obr.10.5 Po�et dní v roku

Môžeme písa�: tropický rok = 365,2422 stredných slne�ných dní = 366,2422 hviezdnych dní

�t1�

�t0��t0

��

�t1

Z1 Z2

Z3

Z4

S

��


Prevody hviezdneho a slne�ného �asu Ak ozna�íme po�et stredných slne�ných dní písmenom p, potom môžeme

napísa� p stredných slne�ných dní = p+1 hviezdnych dní z toho potom

1 stredný slne�ný de� = p

p 1+hviezdneho d�a

Ak dosadíme za p=365,2422 dostaneme 1 stredný slne�ný de� = 1,0027379 hviezdneho d�a A naopak 1 hviezdny de� = 0,9972696 slne�ného d�a Ak tieto hodnoty vyjadríme v hodinách, dostaneme nasledujúce rovnosti: 24h stredného slne�ného �asu = 24h03m56,555s hviezdneho �asu 24h hviezdneho �asu = 23h56 m04,091s stredného slne�ného �asu A �alej 1h stredného slne�ného �asu = 1h00m09,856s hviezdneho �asu 1h hviezdneho �asu = 0h59 m50,170s stredného slne�ného �asu Uvedené rovnice môžeme použi� k prevodom �asov z jedného systému do

druhého. Po�as bežného života sa stretávame so stredným slne�ným �asom (máme ho na hodinkách), pri výpo�toch v geodetickej astronómii je však výhodnejšie používa� hviezdny �as. V praxi sa naj�astejšie preto stretávame s prevodom stredoeurópskeho �asu T na miestny hviezdny �as Θ. Postup prevodu je nasledovný:

1, stredoeurópsky �as T prevedieme na �as svetový TG odpo�ítaním 1h. V prípade že platí letný �as, odpo�ítame 2h.

hG TT 1−=

2, svetový �as TG prevedieme na hviezdny �as vynásobením prevodovým koeficientom k a pripo�ítame k nemu hviezdny �as 0

GΘ , ktorý sme vyh�adali v astronomickej ro�enke.

0027379091242236524223661

...

pp

k ==+=

0GGG kT ΘΘ +⋅=

3, pripo�ítame zemepisnú d�žku miesta pozorovania λ λΘΘ += G

Celý postup môžeme vyjadri� jednou rovnicou

( ) λΘΘ ++−= 01 Gh kT

Pri prevode z miestneho hviezdneho �asu na stredoeurópsky �as použijeme

opa�ný postup.


hG

kT 1

0

+−−= ΘλΘ

10.5 ZLEPŠENÝ SVETOVÝ CAS, EFEMERIDOVÝ CAS, ATÓMOVÝ CAS Ako vyplynulo z predchádzajúcej podkapitoly, rotácia Zeme a poloha

miestneho meridiánu podliehajú zmenám, ktoré majú približne periodický charakter, ako aj nepravidelným zmenám. Znamená to, že �as odvodený z rotácie Zeme nie je rovnomerný. Ur�ité zlepšenie �asu získaného z priamych pozorovaní možno dosiahnu�, ak k tomuto �asu pripojíme opravy zo zmien, ktoré majú periodický charakter. Rozoznávame preto tri druhy svetového �asu UT:

UTO - je svetový �as odvodený z priamych pozorovaní. UT1 = UTO + ∆TP - je svetový �as opravený o vplyv pohybu zemského pólu.

Je to �as, ktorý zodpovedá skuto�nej uhlovej rýchlosti rotácie Zeme. UT2 = UT1 + ∆TS - je tzv. zlepšený alebo kvázi rovnomerný svetový �as.

Kde ∆TS je oprava zo sezónnej variácie rotácie Zeme. �as UT2 bol do roku 1960 základnou �asovou mierou. Od roku 1967 je základnou �asovou mierou tzv. atómový �as, ktorý má široké využitie najmä pri fyzikálnych �asových meraniach. Význam svetového �asu v geodetickej astronómii a vo vedných disciplínach, riešiacich úlohy v spojitosti so Zemou ako rota�ným telesom, sa ani zavedením atómového �asu nezmenil.

Po tom, �o sa jednozna�ne dokázalo, že �asové systémy založené na zemskej rotácii nie sú absolútne rovnomerné, vyvinula sa snaha definova� pre ú�ely astronómie taký �as, ktorý lepšie vyhovuje podmienke rovnomernosti a ktorý sa dokonale približuje newtonovskému �asu. Od roku 1960 sa preto zaviedol efemeridový �as (medzinárodný symbol ET), ktorý je odvodený z planetárneho pohybu a zodpovedá nezávislým �asovým premenným v teórii nebeskej mechaniky. Jeho používanie schválili na X. generálnom zhromaždení Medzinárodnej astronomickej únie (IAU), ktoré sa konalo v roku 1958 v Moskve. Na tomto zhromaždení bol po�iatok efemeridového �asu definovaný nasledovne:

Efemeridový �as sa po�íta od okamihu blízkeho za�iatku kalendárneho roka 1900, ke� geometrická stredná d�žka Slnka bola 279o41’48,04“. V tomto okamihu bolo presne 0. januára 12 h 1900. Efemeridová sekunda ako základná �asová jednotka bola prijatá už skôr Medzinárodnou komisiou pre miery a váhy. Je definovaná ako zlomok 1/31556925,9747 tropického roka v okamihu efemeridového �asu 0. januára 12 h r. 1900.

Medzi svetovým a efemeridovým �asom platí vz�ah ET = UT2 + ∆T,

B.T.T..T sss ′′⋅+++= 821441950293187234924 2∆ Kde T je �as v juliánskych storo�iach od 0. januára 12h 1900 svetového �asu

a B je fluktuácia v d�žke Mesiaca vyjadrená v stup�ových sekundách. V geodetickej astronómii prichádzame do styku s efemeridovým �asom

predovšetkým pri spracovaní pozorovaní zo Slnka, Mesiaca a planét, pretože ich súradnice sú udávané v ro�enkách pre 0h efemeridového �asu.

Nevýhoda efemeridového �asu je v tom, že na ur�enie ∆T je potrebná pomerne dlhá perióda pozorovania, �o spôsobuje, že presný efemeridový �as je k dispozícii s nieko�koro�ným oneskorením. Preto sa h�adali cesty, ako vytvori� taký �asový systém, ktorého charakteristikou by bola vysoká stálos� a pohotová distribúcia. Takýto �as predstavuje tzv. atómový �as. Základnou jednotkou


atómového �asu je atómová sekunda, ktorá sa pokladá za konštantu prírody. Za základnú jednotku Medzinárodnej sústavy mier SI ju prijala XIII. generálna konferencia Medzinárodného komitétu pre váhy a miery v Paríži v októbri 1967. Jej definícia znie: Sekunda je �as trvania 9192631770 periód žiarenia, ktoré zodpovedá prechodu medzi dvoma hladinami ve�mi jemnej štruktúry základného stavu atómu cézia Cs133.

Táto definícia umož�uje realizova� meranie �asu s vysokou presnos�ou, distribúcia atómovej sekundy je ve�mi pohotová, �o o astronomickom �ase nemožno celkom poveda�.

Za�iatok súvislého medzinárodného atómového �asu TAI (International Atomic Time) bol položený zhodne s kvázi rovnomerným astronomickým �asom UT2 na 0h 1.1.1958. Stupnicu atómového �asu realizuje sie� laboratórií, ktoré disponujú atómovým etalónom - atómovými hodinami. Tieto laboratóriá sa spájajú rôznymi progresívnymi metódami. Atómová sekunda je svojou d�žkou takmer zhodná s efemeridovou sekundou. V sú�asnosti atómová sekunda zodpovedá efemeridovej sekunde s presnos�ou 10-9.To znamená, že efemeridové �asové intervaly môžeme pre prevažnú �as� praktických cie�ov nahradi� systémom atómového �asu.

Atómová sekunda je svojou d�žkou kratšia ako astronomická sekunda, ktorá je odvodená z rotácie Zeme. Z toho vyplýva aj divergencia atómového �asu od astronomického �asu UT, v �om je pre vedné disciplíny, riešiace úlohy v spojitosti so zemským telesom, nevýhoda atómového �asu. Rozdiel medzi atómovým �asom TAI a astronomickým �asom narastá ro�ne takmer o 1s. Za ú�elom odstránenia tohto rozdielu sa zaviedol tzv. skokový atómový �as SAT (Step Atomic Time), ktorý má raz, prípadne dvakrát do roka minútu so 61 sekundárni. �asový systém, v ktorom je uvedený atómový �as realizovaný, sa nazýva koordinovaná �asová sústava UTC (Universal Time Coordina-ted). Pri realizovaní koordinovanej �asovej sústavy musí plati�

s,UTCUTDUT 7011 <−= �as koordinovanej �asovej sústavy UTC sa šíri pomocou rádiových �asových

signálov. Z uvedeného vyplýva, že �as koordinovanej �asovej sústavy UTC je

odvodený z atómového etalónu a zárove� sa udržuje v približnej zhode s astronomickým �asom UT. Na dokreslenie uvedieme rozdiely medzi uvedenými �asovými systémami: Rozdiel TAI-UTC bol od 1.januára 1978 presne 17s a každým rokom sa o 1 sekundu zvä�šuje. Rozdiel UT1-TAI bol v tomto okamihu 16,3507s a UT1-UTC=0,6493s.

Rozdiel medzi astronomickým �asom a �asom koordinovanej �asovej sústavy ur�uje astronomickými metódami sie� observatórií organizovaných v Medzinárodnej �asovej službe s centrom v Paríži. Medzinárodné �asové ústredie v Paríži uverej�uje obežníkom (cirkulár D) presnú hodnotu (na 4 desatinné miesta) rozdielov UT2-UTC, UT1-UTC, UT1-AT po spracovaní hodnôt zaslaných zú�astnenými observatóriami. Pre viaceré ú�ely sta�í pozna� rozdiel medzi astronomickým �asom a �asom koordinovanej �asovej sústavy s presnos�ou 0,1s. Z tohto dôvodu rozdiel DUT1=UT1-UTC s uvedenou presnos�ou a v niektorých prípadoch i s presnos�ou (0,02s) sa vysiela rádiom v kódovanej forme spolu s �asovými signálmi.


10.6 MIESTNY, SVETOVÝ A PÁSMOVÝ �AS Hviezdny a slne�ný �as je definovaný pomocou hodinového uhla jarného

bodu, resp. Slnka. Ke�že hodinový uhol je definovaný od miestneho meridiánu, sú aj uvedené �asy miestne. Miesta ležiace na jednom meridiáne majú rovnaký hviezdny alebo slne�ný �as. Miestny �as závisí od polohy meridiánu, teda aj od zemepisnej d�žky. Zemepisnú d�žku tu po�ítame kladne na západ a záporne na východ od Greenwicha. Z rovníc (4.23) a (4.25) vyplýva dôležitý poznatok, že miestne �asy dvoch miest neležiacich na tom istom meridiáne sa od seba líšia o rozdiel zemepisných d�žok týchto bodov.

Miestny stredný slne�ný �as základného ( greenwichského) meridiánu volíme za základný. Nazývame ho svetový �as a ozna�ujeme ho skratkou S� alebo UT (Universal Time).

Po�ítanie �asu v ob�ianskom živote pod�a miestneho meridiánu by bolo ve�mi nepohodlné. Z dôvodov dopravných, ekonomických a správnych zaviedol sa jednotný �as pre celé regionálne celky, prípadne štáty. Na základe medzinárodných dohôd bol v r. 1884 prijatý systém tzv. pásmového �asu.

Obr. 10.6: Pásmové �asy

Základom systému sú dvojuholníky, tzv. pásma so šírkou 150 t.j. 1h . Pásmový

�as je daný vždy miestnym �asom poludníka, ktorý prechádza stredom zodpovedajúceho pásma. Pásmový �as, ktorého λp=1h, sa nazýva stredoeurópsky �as. Ozna�uje sa skratkou SEC. Uvedené rozdelenie �asov pod�a poludníkov je však iba teoretické. Skuto�né hranice sú prispôsobené štátnym, resp. iným prirodzeným hraniciam.

V 12. pásme, vzdialenom od základného poludníka o 180°, je �as o 12 h vä�ší ako svetový �as, za predpokladu, že k nemu prídeme po�ítaním �asu od základného pásma smerom na východ. Ak k tomuto pásmu prídeme smerom opa�ným, bude �as pásma o 12 h menší.

Rozdiel je 24 h, �iže 1 de�. Na odstránenie tejto nezrovnalosti sa zaviedla dátumová �iara, na ktorej sa dátum upravuje. Pri prechode dátumovou �iarou z východnej pologule na západnú znížime dátum o 1 de�.


Pri prechode dátumovou �iarou zo západnej pologule na východnú, dátum zase zvä�šíme o 1 de�. Dátumová �iara sa z praktických dôvodov nestotož�uje presne s poludníkom, ktorého λp=12 h. Dátumová �iara ide od severného pólu Behringovým prielivom, �alej západnou �as�ou Tichého oceánu smerom k južnému pólu.

10.7 VYŠŠIE �ASOVÉ JEDNOTKY Rozdelením stredného slne�ného alebo hviezdneho d�a na 86 400 �asových

intervalov dostaneme slne�nú alebo hviezdnu astronomickú sekundu. Tá je odvodená z rotácie Zeme. Z praktických dôvodov po�ítame �as za dlhšie obdobie pomocou vyšších �asových jednotiek - rokov, ktorých d�žku odvodzujeme z astronomických pozorovaní.

Tropický rok (slne�ný) definujeme ako �asový interval, ktorý uplynie medzi dvoma po sebe nasledujúcimi prechodmi Slnka jarným bodom. Vplyvom precesie sa posunie jarný bod po ekliptike proti smeru pohybu Slnka o uhol 50,3“. Slnko preto po�as tropického roka vykoná po ekliptike dráhu 360°-50,3“=359° 59' 9,7”.

Besselov rok. Po�íta� tropické roky od okamihu, ke� stredné Slnko prejde jarným bodom, by bolo v súhlase s dianím v prírode, avšak bolo by nepohodlné. Bessel preto položil za�iatok tropického roka do okamihu, ke� rektascenzia stredného Slnka dosiahne hodnotu

a=18h40min=280o Tento okamih padne blízko 1. januára. Takýmto spôsobom definovaný rok sa

nazýva Besselov rok alebo „annus fictus“. Používa sa pri redukcii súradníc hviezd. Siderický rok (hviezdny) definujeme ako �asový interval, ktorý uplynie medzi

dvoma po sebe idúcimi prechodmi Slnka �ubovo�ným, ale tým istým bodom ekliptiky. Slnko vykoná dráhu rovnajúcu sa 360o.

10.8 PO�ÍTANIE ROKOV A KALENDÁR Pri po�ítaní dlhších �asových období je výhodné použi� dlhšie �asové jednotky

ako je de�. Takouto prirodzenou jednotkou je tropický rok, ktorý je v súhlase so striedaním ro�ných období. Po�ítanie �asu pod�a tropických rokov nie je v ob�ianskom živote vhodné, pretože jeho hodnota nie je prirodzené �íslo, ale sa rovná 365,2422 stredných slne�ných dní. V histórii sú známe viaceré úpravy kalendára, t.j. po�ítania rokov. Základom niektorých kalendárov bol pohyb Mesiaca tzv. lunárne kalendáre. My sa obmedzíme na systémy založené na d�žke tropického roka.

Pred za�iatkom nášho letopo�tu bol zavedený (Júliom Caesarom) juliánsky kalendár, v ktorom tri roky mali po 365 d�och a štvrtý za nimi nasledujúci mal 366 dní. Tento rok sa nazýval priestupným rokom. Za priestupný rok sa považoval rok delite�ný 4. Vsunutý de� bol pripojený k mesiacu február.

Toto usporiadanie znamená, že priemerná d�žka juliánskeho roka je 365,25 dní, �o je o 0,0078 viac ako je d�žka tropického roka. Tento rozdiel narastie za 400 rokov na 3,12 d�a a s plynúcim �asom neustále rastie, �o znamenalo, že juliánsky kalendár postupne stále viac zaostával za prírodným kalendárom, vyplývajúcim z pohybu Slnka. Po zistení tohto rozdielu bol v roku 1582 zavedený tzv. gregoriánsky kalendár. V tomto modernejšom kalendári, ktorý platí i v sú�asnosti, nie sú priestupné roky storo�í s výnimkou delite�ného 400. Napr. roky 1900, 2100, 2200 nie sú priestupné. Rok 2000 je priestupný. Rozdiel medzi gregoriánskym a


juliánskym kalendárom narástol v roku 1582 na 10 dní a bol opravený tak, že namiesto 5 októbra 1582 sa po�ítal 15 október 1582.

Priemerná d�žka roka v tomto kalendári je

( ) dní.rok 24253654001

2512433654001 =⋅+⋅+⋅=

�o znamená, že gregoriánsky rok je dlhší o 0,0003 d�a ako rok tropický. V dôsledku tohto rozdielu gregoriánsky kalendár zaostane za prírodným kalendárom o 1 de� približne až za 3 300 rokov. Oneskorenie sa má vyrieši� tak, že rok 4840 nebude priestupným. Možno však o�akáva�, že dovtedy sa kalendár zmení tak, aby sa splnili niektoré praktické požiadavky ob�ianskeho života. Hlavné z nich sú, aby ur�itý dátum prislúchal vždy rovnakému d�u v týždni a aby mesiace mali rovnaký po�et dní.

V astronómii používame na výpo�et �asových rozdielov medzi pozorovaniami tzv. juliánsky dátum (JD), ktorý má za základ juliánsku periódu dlhú 7980 rokov. Za�iatok epochy bol položený na 1. január 4714 pred n. 1. Tento letopo�et zaviedol v 16. storo�í Scalinger a pomenoval ho pod�a svojho otca Júlia. Za základ juliánskej periódy vzal tri periódy, používané v jeho dobe: cyklus 28 rokov, po ktorom sa zopakuje rozdelenie dní týžd�a na dni roka, cyklus 19 rokov, po ktorom sa zopakuje rozdelenie fáz Mesiaca na dni roka a cyklus 15 rokov používaný v rímskom da�ovom systéme. Vypo�ítal, že v minulosti najbližší 1. január, na ktorý pripadli prvé roky všetkých troch periód, bol 1. január 4714 pred n.l.

Juliánske dni sa po�ítajú od Greenwichského stredného poludnia. Juliánsky dátum sa uvádza v ro�enkách jednak pre za�iatok každého d�a roka, jednak pre 12h svetového �asu nultého d�a každého mesiaca.


11 Ur�ovanie azimutu a zemepisných súradníc

11.1 UR�OVANIE AZIMUTU Z MERANIA �ASU Merané: �as merania T prevedieme na hodinový uhol t Známe: α a δ pozorovanej hviezdy a ϕ miesta pozorovania Ur�ované: a - azimut

( )( )asin

sintsinzsin

o

o

−−=

18090 δ

asincos

tsinzsin δ=

zsintsincos

asinδ= (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tcoscossinsincosacoszsin oooo ϕδϕδ −−−−−=− 90909090180 tcossincoscossinacoszsin ϕδϕδ +−=

zsincossintcossincos

acosϕδϕδ −= (2)

( )( ) ( )

ϕδϕϕδδϕδ

δϕδϕδ

δ

ϕδϕδδ

ϕδϕδ

δ

costantcossintsin

coscossin

tcossincos

tsincoscossintcossincos

tsincos

cossintcossincoszsintsincoszsin

zsincossintcossincos

zsintsincos

atanacosasin

−=

��

��

� −=

−=

=−

=−===21

ϕδϕ costantcossintsin

atan−

=

90-ϕ 90-δ

180-a

H

Ps

t

Z

Ps

ω

N

M

H

180-a

rovník

z

t


11.2 UR�OVANIE AZIMUTU Z MERANIA ZENITOVÉHO UHLA Merané: zenitový uhol z Známe: α a δ pozorovanej hviezdy a ϕ miesta pozorovania Ur�ované: a - azimut

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( )δϕ

δϕ

−−−=

−−−−−=−

ssinscosssinzscos

ssinssinssinzssina

tg o

oo

9090

2180

2δϕ ++= z

s

11.3 UR�OVANIE ZEMEPISNEJ ŠÍRKY

Približné ur�enie ϕϕϕϕ z merania na nebeské teleso v kulminácii. Je to najjednoduchší spôsob ur�enia zemepisnej šírky. Ak poznáme deklináciu

pozorovanej hviezdy môžeme mera� len v jednej kulminácii, ak deklináciu nepoznáme, meriame zenitové uhly v oboch kulmináciách.

Obr. 11.3: Približné ur�enie ϕ

90-ϕ 90-δ

180-a

H

Ps

z

Z

horizont

rovník

H2 PS H3

H1

h1

δ1

ϕ1

Z


Meranie v jednej kulminácii. Pri tomto meraní môžu nasta� tri prípady (vi� obr. 11.3) H1, H2, H3 pre ktoré potom platí:

( ) ( )1111 18090 zh oo −−=−−= δδϕ

2222 90 zh o −=−+= δδϕ

3333 90 zho +=−+= δδϕ K príslušnému meraniu potrebujeme pozna� smer poludníku v mieste

pozorovania. Potom nasmerujeme �alekoh�ad do jeho smeru a pevne utiahneme horizontálnu svorku. Potom už len �akáme na prechod pozorovanej hviezdy vertikálnym vláknom teodolitu. V tomto okamžiku zmeriame zenitový uhol. Ten musíme pred vlastným výpo�tom opravi� o vplyv refrakcie. Ak nepoznáme priebeh miestneho poludníka, ur�íme ho približne pomocou buzoly, a potom zacielime na pozorované teleso a sledujeme ako sa mení jeho zenitový uhol. Jeho najvä�šiu hodnotu pokladáme za hornú kulmináciu pozorovaného telesa.

Meranie v oboch kulmináciách. Túto metódu použijeme, ak nepoznáme deklináciu pozorovaného objektu. Meranie vykonávame na cirkumpolárne hviezdy v hornej a dolnej kulminácii. Namerané zenitové vzdialenosti musíme opravi� o vplyv refrakcie. Zemepisnú šírku potom vypo�ítame nasledovne:

2290 2121 hhzzo +=+−=ϕ

Nevýhodou tejto metódy je okolnos�, že na zvolené teleso nemôžeme mera� kedyko�vek, ale len v ur�itý �as.

Ur�enie ϕϕϕϕ zo zenitovej vzdialenosti a meraného �asu. Táto metóda merania odstra�uje nevýhody predošlej metódy. Pri meraní je

nutné pozna� presný �as a zemepisnú d�žku miesta pozorovania. Tá je nutná na prevod �asu merania T na hodinový uhol t.

Obr. 10.4: Ur�enie ϕϕϕϕ z merania z a t

( ) ( ) ( ) ( ) tcossinsincoscoszcos oooo δϕδϕ −−+−−= 90909090

tcoscoscossinsinzcos δϕδϕ +=

tcossinsin

coscossinsinzcosδδδϕδϕ +=

δδϕδϕ

tantcos

sincossinsinzcos +=

Ps

H

Z

90o-ϕ

90o-δ

z t


Zavedieme substitúciu

δtantcos

tgN =

Potom Ntansincossinsinzcos δϕδϕ +=

( )Ntancossinsinzcos ϕϕδ +=

Ntancossinsin

zcos ϕϕδ

+=

Ak rovnicu vynásobíme cos N potom

( )NsinNsincosNcossinsin

Ncoszcos +=+= ϕϕϕδ

( )δ

ϕsin

NcoszcosNsin =+

11.4 UR�ENIE ZEMEPISNEJ D�ŽKY

Ur�enie λλλλ z merania �asu prechodu hviezdy miestnym poludníkom Zemepisná d�žka sa rovná rozdielu miestneho hviezdneho �asu

a greenwichského hviezdneho �asu. GΘΘλ −=

Tento rozdiel sa najlepšie zistí v okamžiku, ke� teleso prechádza miestnym poludníkom. Vtedy sa miestny hviezdny �as Θ rovná rektascenzii α pozorovanej hviezdy.

GΘαλ −= Presné hodnoty α a ΘG ur�íme na základe meraného �asu merania z údajov

v astronomickej ro�enke. Meranie môžeme vykona� na viacero hviezd a výslednú zemepisnú d�žku ur�íme ako aritmetický priemer všetkých meraní.

Ur�enie λλλλ z merania zenitovej vzdialenosti a �asu K výpo�tu použijeme nasledovné rovnice:

( )

( ) 0

0

1

1

Gh

Gh

G

G

kTt

t

kT

ΘαλαΘ

ΘΘΘΘλ

−−−+=

+=+−=

−=

( ) ( )( ) ( )zscosscos

ssinssinttan

−−−= δϕ

2

2δϕ ++= z

s


11.5 SÚ�ASNÉ UR�ENIE ZEMEPISNEJ ŠÍRKY A D�ŽKY Meranie sa uskuto��uje na dve hviezdy, ktorých rozdiel rektaszenzií je

približne 90o. Meriame zenitové uhly z1 a z2 .

Obr. 10.5: Sú�asné ur�enie ϕ a λ Postup je nasledovný:

1. Ζ ∆(Ps,H1,H2) vypo�ítame D ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )122112

121212 90909090

ααδδδδααδδδδ

−+=−−−+−−=

coscoscossinsinDcos

cossinsincoscosDcos oooo

2. Ζ ∆( Ps, H1,H2) vypo�ítame Q

( ) ( ) ( )

2

12

221

221 909090

δδδ

δδδδδδ

cosDsinsinsinDcos

Qcos

QcoscosDsinsinDcossin

QcossinDsincosDcoscos

−=

+−=−−+−=−

3. Ζ ∆(Z, H1,H2) vypo�ítame k

2

21

221

zsinDsinzcosDcoszcos

kcos

kcoszsinDsinzcosDcoszcos

−=

+=

4. Vypo�ítame q

kQq −=

Ps

Z

90-ϕ

α2-α1

90o-δ1

H1

H2

α1 α2

k q

D

t2

Q

δ1 δ1

90o-δ2

t1

h1

z1

z2

h2


5. Ζ ∆(Z, Ps,H2) vypo�ítame ϕϕϕϕ ( ) ( ) ( )

qcoscoszsinsinzcossin

qcossinzsincoszcoscos ooo

2222

2222 909090

δδϕδδϕ

−=−+−=−

6. Ζ ∆(Z, Ps,H2) vypo�ítame t2

( ) ( ) ( ) ( )

ϕδϕδ

ϕδϕδϕδϕδ

coscossinsinzcos

tcos

tcoscoscossinsinzcos

tcossinsincoscoszcos oooo

2

222

2222

2222 90909090

−=

+=−−+−−=

7. vypo�ítame λλλλ

( )( ) 0

2

0

2

1

1

Gh

Gh

G

G

kTt

kT

t

ΘαλΘΘ

αΘΘΘλ

−−−+=

+−=

+=−=

Astra Geometria

Documents

Transcript of Astra Geometria