Asservissement des systèmes d'ordres 1 et 2
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1
Chapitre 4
Asservissement des systèmes d’ordre 1 et 2
Aymeric Histace 1
Plan
n 1. Contexte
n 2. Ordre 1
n 3. Ordre 2
Aymeric Histace 2
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2
Plan
n 1. Contexte
n 2. Ordre 1
n 3. Ordre 2
Aymeric Histace 3
1. Contexte
n Rappels : Système en boucle fermée
Aymeric Histace 4
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3
1. Contexte
n Rappels : Système en boucle fermée (Laplace)
Aymeric Histace 5
1. Contexte
n Cas particulier à cette étude
Aymeric Histace 6
C(p) = KG(p) = H (p) (ordre 1 ou 2)K(p) =1
!
"#
$#
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4
1. Contexte
n Cas particulier à cette étude
Aymeric Histace 7
C(p) = KG(p) = H (p) (ordre 1 ou 2)K(p) =1
!
"#
$#
Valeur réelle >0
Boucle fermée à retour unitaire
1. Contexte
n Rappels (bis) :
q Fonction de transfert d’un système en BF
Aymeric Histace 8
Rq: ici donc
)().().(1)().(
)(1)(
)()()(
pKpGpCpGpC
pTpCD
pEpSpT
BOBF +
=+
==
TBF (p) =K.H (p)1+K.H (p)
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5
1. Contexte
n Etudions maintenant l’influence concrète de cet asservissement sur les systèmes d’ordre 1 et 2
Aymeric Histace 9
Plan
n 1. Contexte
n 2. Ordre 1
n 3. Ordre 2
Aymeric Histace 10
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6
2. Ordre 1
n Rappel :
q Fonction de transfert canonique
Aymeric Histace 11
H (p) = S(p)E(p)
=G
1+! p
τ est la constante de temps du système (en seconde) G est le gain statique du système (unité à définir en fonction des entrée/sortie)
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Etape 1 :
Aymeric Histace 12
donc
TBF (p) =K.H (p)1+K.H (p)
TBF (p) =K. G1+! p
1+K. G1+! p
=KG
1+! p+KG
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7
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 13
Donc il existe GBF et τBF tels que :
TBF (p) =KG
1+! p+KG=
KG1+KG +! p
Ordre 1
TBF (p) =KG
1+KG +! p=
GBF
1+! BF p
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 14
TBF (p) =KG
1+KG +! p=
GBF
1+! BF p
TBF (p) =KG
(1+KG)(1+ !1+KG
p)=
KG1+KG
1+ !1+KG
p
1.
2.
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8
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 15
TBF (p) =GBF
1+! BF p=
KG1+KG
1+ !1+KG
p
3. Identification
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 16
3. Identification
Et donc : GBF =KG1+KG
! BF =!
1+KG
!
"##
$##
TBF (p) =GBF
1+! BF pet
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9
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°1:
n Le système est asservi et l’erreur statique est donnée par (en considérant un échelon unitaire en entrée) :
Aymeric Histace 17
!(%) = e(!)" s(!)e(!)
.100 = 1"GBF( ).100
!(%) = 1" KG1+KG
#
$%
&
'(.100
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°2 :
n Sachant que K et G sont > 0 :
Aymeric Histace 18
! BF =!
1+KG< !
Le système est donc plus rapide
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2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°3 :
n Si Kè+∞
Aymeric Histace 19
limK!+"
! BF = limK!+"
!1+KG
= 0
limK!+"
GBF = limK!+"
KG1+KG
=1 et donc limK!+"
"(%) = 0%
Le système est parfaitement asservi (à un échelon en entrée correspond un
échelon unitaire en sortie)
2. Ordre 1
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°3 :
n Si Kè+∞
Aymeric Histace 20
limK!+"
! BF = limK!+"
!1+KG
= 0
limK!+"
GBF = limK!+"
KG1+KG
=1 et donc limK!+"
"(%) = 0%
UN TEL SYSTEME EST IRREALISABLE EN PRATIQUE (limites
techniques)
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2. Ordre 1 n Fonction de transfert en BF
q Illustration
Aymeric Histace 21
K croissant
2. Ordre 1 n Fonction de transfert en BF
q Illustration
Aymeric Histace 22
K croissant • Maîtrise de
l’erreur statique
• Augmentation de la rapidité du système
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Plan
n 1. Contexte
n 2. Ordre 1
n 3. Ordre 2
Aymeric Histace 23
3. Ordre 2
n Rappel :
q Fonction de transfert canonique
Aymeric Histace 24
H (p) = G
1+ 2m!0
p+ p2
!02
ω0 pulsation propre du système (rad.s-1) m facteur d’amortissement (sans unité) G gain statique du système (unité à définir)
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3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Etape 1 :
Aymeric Histace 25
donc
TBF (p) =K.H (p)1+K.H (p)
TBF (p) =
K. G
1+ 2m!0
p+ p2
!02
1+K. G
1+ 2m!0
p+ p2
!02
=KG
1+ 2m!0
p+ p2
!02 +KG
3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 26
Donc il existe GBF, ωBF et mBF tels que :
TBF (p) =KG
1+ 2m!0
p+ p2
!02 +KG
=KG
1+KG + 2m!0
p+ p2
!02
Ordre 2
TBF (p) =KG
1+KG + 2m!0
p+ p2
!02
=GBF
1+ 2mBF
!BF
p+ p2
!BF2
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3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 27
TBF (p) =KG
(1+KG) 1+ 2m!0 (1+KG)
p+ p2
!02 (1+KG)
!
"#
$
%&
TBF (p) =
KG1+KG
1+ 2m!0 (1+KG)
p+ p2
!02 (1+KG)
soit
3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Etape 2 (mise sous forme canonique) :
Aymeric Histace 28
Identification
GBF =KG1+KG
2mBF
!BF
=2m
!0 (1+KG)1!BF2 =
1!02 (1+KG)
!
"
####
$
####
GBF =KG1+KG
mBF =m
1+KG!BF =!0 1+KG
!
"
###
$
###
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3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°1:
n Le système est asservi et l’erreur statique est donnée par (en considérant un échelon unitaire en entrée) :
Aymeric Histace 29
!(%) = e(!)" s(!)e(!)
.100 = 1"GBF( ).100
!(%) = 1" KG1+KG
#
$%
&
'(.100 Idem Système
Ordre 1
3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°2 :
n Sachant que K et G sont > 0 :
Aymeric Histace 30
mBF =m
1+KG<m
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3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°2 :
n Sachant que K et G sont > 0 :
Aymeric Histace 31
mBF =m
1+KG<m
Le système perd donc en stabilité avec le risque d’apparition d’oscillations
(résonance)
3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°3 :
n Sachant que K et G sont > 0 :
Aymeric Histace 32
!BF =!0 1+KG >!0
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3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°3 :
n Sachant que K et G sont > 0 :
Aymeric Histace 33
!BF =!0 1+KG >!0
La bande passante du système augmente ; il devient plus réactif (voir
illustration)
3. Ordre 2
n Fonction de transfert en BF
q Commentaire n°4 :
n Si Kè+∞
Aymeric Histace 34
limK!+"
GBF = limK!+"
KG1+KG
=1 et donc limK!+"
!(%) = 0%
limK!+"
mBF = limK!+"
m1+KG
= 0 (Oscillateur)
limK!+"
"BF = limK!+"
"0 1+KG = +" (Bande passante infinie)
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3. Ordre 2 n Fonction de transfert en BF
q Illustration
Aymeric Histace 35