Ask Kyklos2013 14

16ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΠΑΤΣΙΜΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ

Ηεξίσωσητουκύκλου

1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων με εξισώσεις:i) (x-3)2+(y-1)2 = 25ii) (x + 2)2 + y2 = 4iii) x2 + (y-3)2 = 5 0

iv) x2 + y2 = 2

2. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων καιεπιπλέον:

i) έχει ακτίνα ίση με 3 2 ,ii) διέρχεται από το σημείο Α(- 1,2) ,iii) εφάπτεται της ευθείας ε : y = - 3x+ 10.

3. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων καιεπιπλέον:

i) έχει ακτίνα ίση με 3 2 ,ii) διέρχεται από το σημείο Α(- 1,2) ,iii) εφάπτεται της ευθείας ε : y = - 3x+ 10.

4. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5, - 3) καιεπιπλέον:i) έχει ακτίνα ίση με 3,ii) διέρχεται από το σημείο Α(-6,8),

iii) εφάπτεται της ευθείας ε : 2x-y+5=0.

5. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(-4,1) καιεφάπτεται της ευθείας ε : 3x-4y+1=0.

6. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(-2, 3) καιδιέρχεται από το σημείο Α(1,7).

7. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις περιπτώσεις:

i) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 2.ii) έχει κέντρο το σημείο (3, - 1) και ακτίνα 5

iii) έχει κέντρο το σημείο (- 2, 1) και διέρχεται από το σημείο (- 2, 3)

iv) έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β (- 3, 5)


v) διέρχεται από τα σημεία (2, 1), (1, 2) και (15

,1

)2 2

vi) διέρχεται από τα σημεία (3, 1), (- 1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία y=3χ-2

vii) έχει κέντρο το σημείο (8, - 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων

viii)έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3χ +y=10

ix) έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα χ'χ και διέρχεται από το σημείο (5,4)

x) έχει κέντρο το σημείο (- 3, 2), εφάπτεται στον άξονα y'y και διέρχεται από τοσημείο (- 6, 2)

xi) έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων χ'χ και y'y

xii) έχει κέντρο το σημείο (- 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4x – 3y+5=0

8. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου στις παρακάτω περιπτώσεις:i) Έχει κέντρο το σημείο Κ(0,1) και διέρχεται από το σημείο Α( 3 ,0)

ii) Έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα Α(-1,2) και Β(7,8)

iii) Έχει ακτίνα ρ=5 και τέμνει τον άξονα χ΄χ στα σημεία Α(1,0) και Β(7,0)

iv) Διέρχεται από τα σημεία Α(4,0) και Β(8,0) και έχει κέντρο στην ευθεία y=x

v) Τέμνει τον άξονα χ΄χ στα σημεία Α(4,0) και Β(8,0) και τον y΄y στο Γ(0,2)

vi) Εφάπτεται του άξονα χ΄χ στο σημείο Α(3,0) και διέρχεται από το σημείο Β(1,2)

vii) Διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθεία 3x+4y=12 στο

Α(0,3)

9. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:i. έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β (-3, 5).

ii. διέρχεται από τα σημεία Α (1, -1), Β (3, 1) και Γ (-1, 3).iii. διέρχεται από τα σημεία (3, 1), (-1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία

y 3x – 2 .iv. έχει κέντρο το σημείο (8, -6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.v. έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3x y 10 .

vi. έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο (5, 4).vii. έχει κέντρο το σημείο (-3, 2), εφάπτεται στον άξονα y΄y και διέρχεται από

το σημείο (-6, 2).viii. έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων x΄x και y΄y.

10. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων ο οποίος:i) διέρχεται από το σημείο Α(-α,0)

ii) διέρχεται από το σημείο Α(2, 2 )

iii) εφάπτεται στην ευθεία x+y=3

iv) εφάπτεται στην ευθεία (ημθ)x+(συνθ)y=1


ος C κέντ

11. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο A(1,0) καιεφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

12. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο πουσχηματίζει η ευθεία x + y - 6 = 0 με τους άξονες χ'χ και y΄y.

13. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το κέντρο του κύκλουx2 – 2x + y2 – 6x = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία x + 2y - 7 = 0.

14. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία

(ε): 2x + y + 1 = 0 και διέρχεται από τα σημεία Α (- 1, 2) και Β (3, - 1).

15. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(- 1,2) καιδιέρχεται από την αρχή των αξόνων.

16. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ (2, -3) και ακτίνα ρ=4.

17. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μεΑ(-1,2) και Β(3,4).

18. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μεΑ(-2,-1) και Β(6,3).

19. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει διάμετρο ΑΒ, όπου Α(3, 2) καιΒ(- 1,4).

20. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-3, 0) καιεφάπτεται της ευθείας ε: x + 2y = 7 στο σημείο Β(3,2).

21. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = 4, εφάπτεται στον άξοναx'x και διέρχεται από το σημείο Α(5, 4).

22. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο Κ(5,-3) και εφάπτεται :i) στον άξονα x'x ii) στον άξονα y'y

23. Δίνεται κύκλ ρου Κ ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(-2,1) και Β(6,5),καιτο διάνυσμα που έχει συντελεστή διεύθυνσης 3.i) Να βρεθεί την εξίσωση του κύκλου C,ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Γ(2,5) ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε το

αντιδιαμετρικό σημείο

24. Θεωρούμε τον κύκλο C1 που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τοσημείο Α(4,-3) και τον κύκλο C2 που έχει διάμετρο ΒΓ με Β(3,2) και Γ(-1,4).Ναβρείτε:i) τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C2,ii) τα σημεία τομής των κύκλων C1 και C2.


25. Δίνεται κύκλος με εξίσωση : (x 3)2 (y 4)2 9 .i) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλουii) Να εξετάσετε ποια από τα σημεία Μ(3,0),Ν(0,-4),Ρ(3,-7) και Σ(1,1) είναι σημεία

του κύκλου.iii) Να εξετάσετε αν το σημείο Ο(0,0) είναι εσωτερικό ή εξωτερικό σημείο του

κύκλου

26. Δίνεται κύκλος C με κέντρο Κ(4α-5,α) , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(1,-2) καιΒ(5,6).Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου C,ii) τα σημεία τομής Γ και Δ του κύκλου C με τον άξονα χ΄χiii) την εξίσωση του κύκλου C1 που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ

27. Δίνεται κύκλος C1 με κέντρο Κ(-2,-2) , ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-5,-3) καιο κύκλος C2 με κέντρο Λ(1,4),ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία ε : 4x-3y-17=0 .Ναβρείτε :i) τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C2,ii) τα κοινά σημεία τομής Β και Γ των κύκλων C1 και C2iii) την εξίσωση του κύκλου C3 που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ

28. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = 10, διέρχεται από τοσημείο Α(2,1) και το κέντρο του είναι σημείο της ευθείας ε : x-y+1 =0

29. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = 5 και διέρχεται από τασημεία Α(4,1) και Β(1,0).

30. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ (3, -1) και αποκόπτειαπό την ευθεία 2x-5y+18=0, χορδή μήκους 6.

31. Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α (3, 3) και Β (0, 2) καιέχει ακτίνα 5.

32. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(2,- 5) ανήκει στον κύκλο C : (x-l)2 + (y + 2)2 = 10 καινα βρείτε το αντιδιαμετρικό σημείο Α' του Α.

33. Δίνονται τα σημεία Α(-1,3), Β(3, 5) και Γ(2,6).i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΓ είναι κάθετες.ii) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

34. Δίνονται τα σημεία Α (1, 2), Β (2, 4) και Γ (3, 1).

α) Να αποδειχθεί ότι: η γωνία = 90°

β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.

35. Θεωρούμε τον κύκλο C: x2 + y2 = 50 και το σημείο Μ(6, -2).i) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου C.


0 0

2

ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία ορίζει στον κύκλο C χορδή με μέσοΜ.

36. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου όταν :

α)Είναι περιγεγραμμένος σε τρίγωνο που έχει εξισώσεις πλευρών :

(ε1) : x + ψ - 2 = 0 , (ε2) : 2x - ψ - 1 = 0, (ε3) : x - 3ψ - 3 = 0.

β) Εφάπτεται στις ευθείες (ε1) : 2x + 3ψ - 2 = 0 , (ε2) : 4x +6 ψ + 8 = 0

στο σημείο Α(1,-2) που ανήκει σε μία από αυτές.

37. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο πουσχηματίζει η ευθεία x y – 6 0με τους άξονες x΄x και y΄y.

38. Δίνεται ο κύκλος x2+y2=10 και το σημείο Μ (-2. 2). Να βρείτε την εξίσωση τηςχορδής του κύκλου που έχει μέσον το σημείο Μ.

39. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C1 : x2+y2 = l και C2 : (x- l)2 + (y + 3)2 =4ii) Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις :

α) (x-1)2 + (y + 3)2-4 + λ(x2+y2-1)=0β) x2 +y2-1 +μ((x-1)2

+ (y + 3)2-4) = 040. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,4),Β(-2,3) και Γ(4,-5)

i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο , με ̂ 90ii) Να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,1),Β(3,7) και Γ(-1,-5).Να βρείτε :i) τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των πλευρών ΑΒ και ΑΓii) την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.

42. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α (3α, 0),

Β (0, 3 α) και Γ (0, - 3 α), α > 0.

43. Δίνεται ο κύκλος C: x2+y2 = ρ2 και σημείο M(xo, yo) εντός αυτού. Να αποδείξετε ότιη ευθεία ε, η οποία ορίζει στον κύκλο χορδή με μέσο Μ έχει εξίσωση xx0 + yyo =x2 y2 .

44. Έστω δύο διακεκριμένα (διαφορετικά) σημεία A(x1 ,y1 ) και B(x2,y2). Να αποδείξετεότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ έχει εξίσωση (x-x1)(x-x2) + (y-y1)(y-y2) = 0

45. Να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Α(x, y) του κύκλου με εξίσωση x2 + y2 = ρ2

ισχύουν:

i) |xy| 2

ii) 1 + 1

4x2 y2 ρ2


1 1

iii) |x + y| 2

iv) |x-y| ρ 2

v) |x2-y2| 2ρ2

46. Έστω λ, μ δύο μη μηδενικοί αριθμοί. Αν ισχύουν x2 y2 λx1 + μy1 και2 2 2 2 2 2x2 y2 λx2+μy2 σνα αποδείξετε ότι (x2 –x1) + (y2-y1) λ + μ

ί : x2 y2 Ax By 0

47. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Κ(1, 1),Λ(1, - 1) καιΜ(2,0).

48. Να βρείτε τι παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις:i) x2 + y2 + 4x - 2y + 5 = 0ii) x2 + y2+x = 0iii) x2 + y2 + 6x-4y+14 = 0

49. Να βρείτε τι παριστάνουν οι παρακάτω εξισώσεις:i) x2 + y2 + 8x - 2y +1 = 0ii) x2 + y2-6x+10y+34=0iii) x2 + y2 -4x+2y+10 = 0iv) 9x2 + 9y2 +12x-6y+4 = 0

50. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων:α) x2+y2-10x+2y+22=0, β) x2+y2+6x+8=0, γ) x(x-1)+(y+1)(y-3)=0,δ) (x+ y)2-2y=2x(α+y), ε) 2x2+2y2-4x+1=0, ζ) (2x-1)2+(2y+3)2=4.

51. Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο και βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα των κύκλων αυτών.Μετά να τους γράψετε και με άλλη μορφή .

α) x2+y2+4x-6y-3=0 β) x2+y2-4αx+10βy+4α2+16β2=0

52. Να γράψετε τους παρακάτω κύκλους στην γενική μορφή

α) (x+1)2+(y-3)2 =4 β) (x-2α)2+(y+β)2=1

53. Να αποδείξετε ότι καθένας από τους κύκλουςC1 : x2 + y2-6x-2y-15 = 0 καιC2 : x2 + y2 + 6y-16 = 0 διέρχεται από το κέντρο του άλλου.


54. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι ομόκεντρος του κύκλουC' : x2 + y2-2x + 4y-5 = 0 και :i) έχει διπλάσια ακτίνα από αυτόν,ii) εφάπτεται της ευθείας ε: y = -x + 1,iii) διέρχεται από το σημείο Α (3, 4).

55. Να βρείτε τη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν τα Α, Β, Γ, ώστε ο κύκλοςC: x2 + y2+Ax + By + Γ = 0i) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων,ii) να έχει κέντρο την αρχή των αξόνων,iii) να έχει το κέντρο του στον άξονα x'x,iv) να έχει το κέντρο του στην ευθεία ε: x-2y+l=0ν) να εφάπτεται του άξονα x'x,vi) να εφάπτεται και των δύο αξόνων,vii) να έχει ακτίνα ίση με 1,viii) έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα y'y.

56. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το κέντρο του κύκλουC: x2 + y2-10x+12y = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία ε: x + 2y = 6.

57. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου:x2+y2-3x+1=0 και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

58. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περιέχει μία διάμετρο του κύκλουC: x2+y2+4x-6y-17=0 και είναι κάθετη στην ευθεία (ε): 5x+2y=13.

59. Να δειχτεί ότι οι κύκλοι με εξισώσεις :

(C1) : x2 + y2 + 2x - 8y + 13 = 0 , (C2) : 4x2 + 4y2 -40x +8y +79 = 0

δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

60. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα κοινά σημεία τωνκύκλων : C1 :x2+y2-2αx = 0 και C2: x2 + y2 + 2βy = 0 και έχει το κέντρο του πάνω

στην ευθεία x + y 2 .

a β

61. Να αποδειχτεί ότι οι κύκλοι :

(C1) : χ2 + ψ2 -2χ -4ψ +1 =0

(C2) : χ2 + ψ2 -4χ -2ψ -5 =0

τέμνονται και ότι η κοινή χορδή τους είναι κάθετη στη διάκεντρο τους.


62. Ο κύκλος C: x2 + y2 - 2αxημθ - 2βyσυvθ - α2συν2θ = 0 τέμνει τους άξονες χ΄χ και y'yστα σημεία Α, Γ και Β, Δ αντίστοιχα. Να εκφραστούν οι συντεταγμένε; των κορυφών

του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ως συνάρτηση των α, β, θ. Δίνεται ότι α, β > 0 και 0 < θ < 2

63. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x2 + y2 + 10x - 6y + 3λ - 2 = 0 παριστάνεικύκλο.

64. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x2-1+λ(x2 + y2-2) = 0 παριστάνει κύκλο.

65. Να βρείτε τις τιμές του λ R για τις οποίες η εξίσωση x2 + y2 + λx-2y-2λ+1=0παριστάνει κύκλο, του οποίου το κέντρο ανήκει στην ευθεία ε: χ - 2y = 3.

66. Αν η εξίσωση 3λx2 + (8 - λ)y2 - 12λx + 18y - (5λ2 + 10) =0 παριστάνει κύκλο, ναβρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

67. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι συμμετρικός του κύκλουC : (x-2)2 + (y + 3)2 = 10 ως προς την ευθεία ε : x- y = 0.

68. Δίνονται οι εξισώσεις : x2 y2 2x 4y 1 0 (1) και x2 y2 6x 16 0 (2)i) Nα αποδείξετε ότι οι εξισώσεις (1) και (2) παριστάνουν κύκλους C1 και C2 , των

οποίων να βρείτε τα κέντρα Κ και Λ και τις ακτίνες ρ1 και ρ2 αντίστοιχα,ii) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του C1 και έχει διπλάσια

ακτίνα από αυτόνiii) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ

69. Δίνονται η εξίσωση : x2 y2 x ( 2) y 1 0 (1)i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ϵR,ii) Να βρείτε για ποια τιμή του λ ϵR ,το κέντρο του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση(1) ανήκει στην ευθεία ε: 2x-5y-8=0.iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ϵR ,η ακτίνα του κύκλου που παριστάνει ηεξίσωση (1) είναι ίση με 2 5

70. Δίνονται η εξίσωση : x2 y2 8x 4y 6 0 (1)i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C , του οποίου να βρείτε το

κέντρο Κ και την ακτίνα,ii) Να βρείτε το μήκος της χορδής του κύκλου C που έχει μέσο το σημείο Μ(2,-1)iii) Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ : y=3x+2011 καιορίζουν στον κύκλο C χορδές με μήκος 4

71. Δίνονται η εξίσωση : x2 y2 2x 4y 2 0 (1)i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματικό α ,ii) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού α έτσι , ώστε η ακτίνα του κύκλου αυτού να

είναι ίση με 2


στω Λ τ

iii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α έτσι , ώστε το κέντρο του κύκλου ναβρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση ε: 5x+3y+1=0.

iv) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α έτσι , ώστε ο κύκλος να διέρχεται από τηναρχή των αξόνων

72. Δίνονται η εξίσωση : x2 y2 ( 1) x (3 )y 2 1 0 (1)i) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λϵR ,ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις

διάφορες τιμές του λϵR ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωσηiii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λϵR ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (1) έχειακτίνα ίση με 4

73. Δίνονται οι εξισώσεις : x2 y2 4x 2y 20 0 (1) καιx2 y2 x ( 8) y 4 8 0 (2)α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C1 ,του οποίου να βρείτε το

κέντρο Κ και την ακτίνα,β) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο C2 για κάθε αϵRγ) Έ ο κέντρο του κύκλου C2 που παριστάνει η εξίσωση (2) .Αν το διάνυσμα έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 2,να βρείτε :i) τον αριθμό αii) τα σημεία τομής των κύκλων C1 και C2

74. Δίνονται οι εξισώσεις : x2 y2 6x 2y 10 0 (1) και x2 y2 6x 4y 0 (2)α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C1 ,του οποίου να βρείτε το

κέντρο Κ και την ακτίνα,β) Nα βρείτε για ποιες τιμές του λ ϵR η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο C2γ) Έστω ότι ο κύκλος C2 που παριστάνει η εξίσωση (2) εφάπτεται εξωτερικά με τον

κύκλο C1 Να βρείτε :i) το κέντρο Μ του κύκλου C2 ,καθώς και τον αριθμό λii) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στην

ευθεία ΚΜiii) τα σημεία τομής της ευθείας ε με τον κύκλο C2.

75. Δίνεται η εξίσωση : x2 y2 x (2 )y 7 0 (1)α) Nα βρείτε για ποιες τιμές του λ ϵR η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλοβ) Έστω ότι η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο C του οποίου το κέντρο Κ απέχει από

την ευθεία ε : 3x+4y+5=0 απόσταση ίση με 25

.Να βρείτε

i) τον αριθμό λii) την εξίσωση του κύκλου C1 που είναι ομόκεντρος με τον κύκλο C και

διέρχεται από το σημείο Α(-5,2)

76. Δίνεται η εξίσωση : (x 1)2 (y 3)2 20 (3x y 10) 0 (1)α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λϵRβ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιμές

του λϵR διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β τα οποία και να βρείτε.γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην

ευθεία ζ: 2x+y+8=0.Να βρείτε


i) τον αριθμό λii) τo εμβαδόν του τριγώνου AKB.

77. Αν ο κύκλος C :x2 + y2+Ax + By + Γ = 0 τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία Μ καιΝ, να αποδείξετε ότι η χορδή ΜΝ έχει μήκος ίσο με A2 - 4Γ .

78. Δίνονται οι διακεκριμένοι κύκλοι C1 : x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 καιC2 : x2 + y2 + Bx + Ay + Γ = 0 οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και Ν. Να απο

δείξετε ότι το μήκος της κοινής χορδής ΜΝ είναι 1(A+ B)2 - 4Γ

279. Αν A(x1 ,y1) και B(x2 ,y2) είναι δύο αντιδιαμετρικά σημεία ενός κύκλου, ο οποίος

εφάπτεται στον άξονα x'x, να αποδείξετε ότι (x1 –x2)2 = 4y1y2 .

80. Αν <0 να αποδείξετε ότι η εξίσωση : αx2 + αy2 + βy + γ =0 παριστάνει

κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

Εφαπτόμενεςκύκλου

81. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x2+y2=2 η οποία:

α) Διέρχεται από το σημείο Α( 2 , 6 )2 2

β) Διέρχεται από το σημείο Β( 2 ,0)

γ) Διέρχεται από το σημείο Γ(0,- 2 )

δ) Σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία 450

ε) Είναι κάθετη στην ευθεία 2x+y+2=0

στ) Διέρχεται από το σημείο Δ(2,0)

82. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης :α) του κύκλου (x-2)2+(y+1)2=4 στο σημείο του Α(4,-1)

β) του κύκλου x2+y2+2x-6y+5=0 που διέρχεται από το σημείο Β(-4,4)

γ) του κύκλου (x-2)2+(y+1)2=5 που είναι παράλληλη στην ευθεία y=2x+5

83. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C : x2 + y2 = 5 στο σημείο τουΑ(- 2,1) .

ii) Ομοίως αν C : x2 + y2 = 1 και Α(συνθ, -ημθ).iii) Ομοίως αν C : x2 + y2 = 9 και Α(-3, 0).

84. Να βρεθούν οι εφαπτομένες του κύκλου C: x2+y2=4, στα σημεία του με τετμημένη 1.


2

85. Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου C: x2+y2+2x-6y+1=0, στο σημείο τουA (2, 3).

86. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: x2+y2 + 2x- 10y+l = 0 στοσημείο του Α(3,2).

87. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου:(x-1)2+ y 1 =5, στο σημείο 2

3, 1 . 2

88. α) Να δείξετε ότι η ευθεία: ζ: 3x-y=10 είναι εφαπτομένη του κύκλου x2+y2=10

β) Να δείξετε ότι η ευθεία:η: 3x-4y-19=0 είναι εφαπτομένη του κύκλου x2+(y+1)2=9

γ) Να βρεθεί ο λ ώστε η ευθεία θ: y=λx-4 να είναι εφαπτομένη του κύκλου

(x-1)2+(y+2)2=1

89. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε : y = x - 4 εφάπτεται του κύκλου C : x2+y2- 4x + 2 = 0και να βρείτε το σημείο επαφής.

90. Δίνεται ο κύκλος (x-3)2+(y-2)2=25. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης τουκύκλου στο σημείο Α (-1, 5). Να δείξετε ότι η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου,x2+y2+2x-8=0.

91. Να βρείτε τις κατακόρυφες (παράλληλες στον άξονα y'y) εφαπτόμενες του κύκλου μεεξίσωση :i) x2 + y2 = 10ii) (x + 3)2 + (y-4)2 = 100

92. Δίνεται ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=5 .Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου Cii) τις εφαπτομένες του κύκλου C στα σημεία του Α(3,-4),Β(0,5) και Γ(-5,0)

93. Δίνεται ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ= 5 .Να βρείτε :i) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου Cii) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C διέρχεται από το Α(1,-2) και να βρείτε την

εφαπτομένη στο σημείο αυτόiii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ζ : x+2y-21=0

94. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στην ευθείαζ: 3x-4y-50=0.Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου Cii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ(-10,20)


α βρείτε

95. Δίνεται ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων ,ο οποίος διέρχεται από το σημείοΑ(4,-2).Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου Cii) την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Αiii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ : 2x+y-2011=0iv) τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ(-2,6)

96. Δίνεται η εξίσωση : x2 y2 6x 8y 24 .i) Nα αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το

κέντρο και την ακτίναii) Να βρείτε ποια από τα σημεία Α(10,-4),Β(3,3) και Γ(1,0) είναι σημεία του κύκλου

Ciii) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου σε όσα από τα παραπάνω σημεία ανήκουν

σε αυτόν.

97. Δίνεται η εξίσωση : x2 6x y2 8y 0 .i) Nα αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το

κέντρο και την ακτίναii) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β του παραπάνω κύκλου με τον άξονα y΄yiii) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β ,καθώς και το σημείοτομής των δύο αυτών εφαπτομένων.

98. Δίνεται ο κύκλος C ,ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(-1,3) που εφάπτεται στονάξονα χ΄χ .α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C ,β) Θεωρούμε το σημείο Α(-1,-3).Να βρείτε :

i) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Αii) την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι παραπάνω εφαπτόμενες.

99. Δίνεται ο κύκλος C με διάμετρο ΑΒ ,όπου Α(0,5) και Β(-2,-1).i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C ,ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Γ(2,3) ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε την

εφαπτομένη του κύκλου C στο Γiii) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι παράλληλες στην ευθεία ΑΒ

100.Δίνεται το σημείο Ρ(-6,-8) και η εξίσωση : x2 y2 2x 4y 20 0 (1)i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο

και την ακτίναii) Να αποδείξετε ότι το Ρ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλουiii) Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ

101.Δίνεται ο κύκλος C ,ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(2,4) και ορίζει στην ευθείαζ : 3x-4y+5=0 χορδή μήκους 4.i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C ,ii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(4,5) ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε την

εφαπτομένη του κύκλου C στο Αiii) Ν τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι παράλληλες στο διάνυσμα ,όπου Ο η αρχή των αξόνων.


1102.Δίνεται ο κύκλος C :x2 y2 20 .Από το σημείο Μ(4,8) φέρουμε τα εφαπτόμενατμήματα Μα και ΜΒ του κύκλου C.Να βρείτε :i) την εξίσωση της ευθείας ΑΒii) την απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία ΑΒiii) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ΑΒ

103.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Α(-2, 3) καιεφάπτεται του άξονα:i) x'x ii) y'y

104.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει ακτίνα ίση με 10 και εφάπτεται τουκύκλου C: x2 + y2 = 25 στο σημείο Α(3,4).

105.Να αποδείξετε ότι αν ένας κύκλος εφάπτεται στις ευθείες ει: y = xεφθ και ε2 : y = -xεφθ ,τότε η εξίσωση του θα έχει μία από τις μορφές x2+y2 - 2αx + α2συν2θ = 0 καιx2 + y2-2βy + β2ημ2θ = 0

106. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των ευθειών ε1 :2x +y+1=0και -2x + y+ 1 =0 και διέρχεται από το σημείο Α(-2,5).

107.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο A(1,0) καιεφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.

108. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες καιεπιπλέον εφάπτεται:i) εξωτερικά στον κύκλο C1 : (x-3)2 + (y+l)2 = 4ii) εσωτερικά στον κύκλο C2 : (x-l)2 + (y + 3)2=25

109. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των αξόνων x'x και y 'y,

καθώς και της ευθείας ε: y = 3 x + 5.4


110. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των ευθειών y = 3 και y = - 5,καθώς και του άξονα y'y.

111. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών ε1 :2x + y-5 = 0,ε2:2x + y+15=0 και το ένα σημείο επαφής είναι το Α(2,1).

112. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(1, 0) και εφάπτεταιτων ευθειών ε1 : 2x + y + 2 = 0 και ε2 : 2x + y - 18 = 0.

113. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του πάνω στην ευθείαε: 2x + y = 0 και εφάπτεται των ευθειών ε1 : 4x - 3y +10 = 0 και ε2: 4x - 3y - 30 = 0.

114. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος εφάπτεται των ευθειών ε1 :χ + y + 2 = 0και ε2 : 7x - y - 10 = 0 και έχει το κέντρο του στην ευθεία δ : 4x + 3y - 10 = 0.

115.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες 2x+3y-2=0 και4x+6y+8=0 στο σημείο Α (1, -2) που ανήκει σε μία από αυτές.

116.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία 3x-4y-13=0 στοσημείο της Α (7, 2) και έχει ακτίνα ρ=10.

117.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία y = χ και είναιομόκεντρος του κύκλου x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.

118.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (C1) που εφάπτεται της ευθείας (ε) : 3x - 4ψ + 17=0 και έχει το ίδιο κέντρο με τον κύκλο (C2) : x2 + ψ2 – 4x + 6ψ -11 =0.

119.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου : C : x2 y2 2 , η οποία :i) Είναι παράλληλη προς την ευθεία ε1: y x 3.ii) Είναι κάθετη προς την ευθεία ε2:iii) Διέρχεται από το σημείο Α (3, 0).

y 2x 1.

120.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου χ2 + y2 = 4 που είναιπαράλληλες στην ευθεία x + y = 0.

121.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου C: x2 + (y - 5)2 = 4, οι οποίεςδιέρχονται από το σημείο Α(2,1).

122.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x2 + y2 = 9 που γράφονται απότο σημείο (0, 6).

123.Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες που φέρνουμε στον κύκλο x2+y2=25, από το σημείοΑ(-1, 7) είναι κάθετες.

124.Δίνεται το σημείο Μ(-6,0) και οι εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ στον κύκλο

με εξίσωση : x2 + ψ2 = 9 .Να βρεθεί η γωνία .


125.Δίνεται ο κύκλος x2 + y2 - 2x - 1 = 0 και η ευθεία y = x - 3. Να αποδείξετε ότι ηευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο επαφής.

126.i) Να εξεταστεί αν η ευθεία ε: y = 3 x + 5 εφάπτεται στον κύκλο4

C : (x + 2)2 + (y- 1)2 =4.

ii) Ομοίως για την ευθεία ε: y = 4 x + 1 και τον κύκλο : (x-l)2 + (y + 2)2=4.3

127.Να βρεθεί η σχετική θέση της ευθείας ε : λx - 4y + 4 = 0 ως προς τον κύκλοC : x2 + y2-2x + 4y-4 = 0

128.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C : x2 +y2 = 16, η οποίασχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία ω = 120°.

129.Δίνεται η ευθεία y = λx και ο κύκλος x2 + y2 – 4x + 1 = 0. Να τιμή του λ ώστε ηευθεία:

α) να τέμνει τον κύκλο

β) να εφάπτεται του κύκλου

γ) να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο.

130. Για τις διάφορες τιμές του λ να βρεθούν οι σχετικές θέσεις της ευθείαςε: y=λx-2 και του κύκλου C: x2+y2=1

131.Δίνεται ο κύκλος: x2+y2-2x+4y=0, να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που έχουνσυντελεστής διεύθυνσης λ=-2.

132.Δίνεται ο κύκλος x2 y2 2 . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου,που σχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.

133.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C : x2 + y2 = 20, η οποία τέμνειτους θετικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β, ώστε (ΑΒ) = 5 5 .

134.Δίνεται ο κύκλος: x2+y2-2λx+λ2-5=0. Να βρείτε το λ ώστε ο κύκλος να εφάπτεταιστην ευθεία: y=2x-7. Για λ=1 να βρείτε την άλλη εφαπτομένη του κύκλου πουδιέρχεται από το σημείο τομής της ε με τον άξονα xx΄.

135.Δίνεται κύκλος C: x2+y2=9 (1) και το σημείο Ρ (2t, 3 t 9 ) t R . Από το Ρ2 2

φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ και ΡΒ του κύκλου. Αφού πρώτα αποδειχτεί ότι το Ρείναι εξωτερικό σημείο του κύκλου C t R , στην συνέχεια να αποδειχτεί ότι το

σημείο Σ (- 3 , 2) ανήκει στην ΑΒ.2

136.Δίνεται ο κύκλος x2+y2= 4 .5

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το Α (-1, 0).β) Αν Β και Γ είναι τα σημεία επαφής με τον κύκλο ποιο το εμβαδόν του τριγώνου

ΑΒΓ.


0 0 0 0

2 2

137.Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας ε : x + y= 16 τέτοιο, ώστε τα εφαπτόμενα τμήματαπου άγονται από το Μ προς τους κύκλους C1 :(x-l)2 + (y-4)2 = 9 καιC2: (x-5)2 + y2 = 1 να είναι ίσα.

138.Να βρεθεί σημείο του επιπέδου, ώστε τα εφαπτόμενα τμήματα από αυτό προς τουςκύκλουςC1 : x2 + y2-6x-4y + 4 = 0C2 : x2 + y2-8x+19 = 0 καιC3 : 2x2 + 2y2-llx + 5y + 23 = 0 να έχουν ίσα μήκη.

139.Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 : x2 + y2 + αx + γ = Ο και C2: χ2 + y2 + βy-γ = 0έχουν:i) δύο διακεκριμένα κοινά σημεία,ii) κάθετες εφαπτόμενες σε κάθε κοινό σημείο τους.

αβ2 α2β 140.Να αποδείξετε ότι το σημείο

2 2

α2 +β2 ,α2 +β2

ανήκει στον κύκλο C : x + y

= 2 2 και να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του C στο Μ.

141.Θεωρούμε κύκλο x2+y2 + Ax + By + Γ = 0 και σημείο M(xo, yo) εκτός αυτού. Αν εείναι μια εφαπτομένη του C, που διέρχεται από το Μ, και Ν είναι το σημείο επαφής,να αποδείξετε ότι το μήκος (ΜΝ) δίνεται από την ισότητα

(ΜΝ) = x2 + y2 + Ax + By + Γ

142.Δίνεται ο κύκλος (x-2)2+(y-1)2=1. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφήςΑ και Β, των εφαπτομένων που άγονται από το σημείο Ο (0, 0) στον παραπάνωκύκλο.

143.Να βρεθεί σημείο του άξονα yy΄ώστε οι εφαπτομένες που άγονται προς τον κύκλο C:x2+y2=ρ2 από το σημείο αυτό να σχηματίζουν με τον xx΄ ισόπλευρο τρίγωνο.

144.Να βρεθούν τα σημεία της ευθείας ε : x-3y+10 = 0 από τα οποία άγονται κάθετεςεφαπτόμενες προς τον κύκλο C: x2 +y2 = 5.

145.α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου: x2+y2=16, που είναιπαράλληλες στην ευθεία δ: 3x+4y=γ, γ R,

β) Αν μία από τις εφαπτομένες ε1, ε2 του (α) έστω η ε1 είναι μεσοπαράλληλη των ε2και δ, να βρείτε το γ.

146.Μια ευθεία ονομάζεται κάθετη σε μια κωνική τομή (και γενικά σε μια καμπύλη) C σ'ένα σημείο της Α, όταν είναι κάθετη στην εφαπτομένη της C στο Α. Να βρείτε τηνεξίσωση της ευθείας ζ που είναι κάθετη στον κύκλο C:(x+l)2 + (y-2)2 = 12 και στηνευθεία ε: x + 3y = 6.


2

147.Αν οι κύκλοι C1 : x2+y2 + αx+βy + γ = 0 και C2: x2 + y2 + βx + αy+γ = 0 εφάπτονταιεξωτερικά, να αποδείξετε ότι (α + β)2 = 8γ.

148. Δίνονται οι κύκλοι C1 : x2+y2 = 16 και C2 : (x + 2)2 + y2=4 .Να αποδείξετε ότι:i) οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο Α(-4,0) ,ii) κάθε χορδή ΑΒ του C1 διχοτομείται από τον C2 .

149.Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 : x2 + y2 - 2κx – 2λy - κ2 + λ2 =0 και C2 : x2 + y2 - 2λx + 2κy + κ2 - λ2 = 0 έχουν σε κάθε κοινό σημείο τους κάθετεςεφαπτόμενες.

150.Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C :κ(x2 + y2-10)+λ(x2+y2-2x-4) + + μ(x2 + y2-4y-6) = 0όπου κ + λ + μ 0, διέρχονται από σταθερό σημείο.

151.Να αποδείξετε ότι :i) η εφαπτομένη ε του κύκλου C:(x-xo)2 + (y-yo)2 = ρ2 στο σημείο του A(x1 , y1) έχει

εξίσωση (x-x0)(x1-x0)+ (y-yo)(y1 -yo) = ρ2

ii) η εφαπτομένη του κύκλου C: x2+y2 + Ax + By + Γ = 0 στο σημείο του Α(x1 , y1)

έχει εξίσωση : xx1+yy1+ A x x1 B y y1 +Γ = 02 2

152. Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων C1 : x2+y2-2αx + γ2 = 0 και

C2 :x2+y2-2βy +γ2=0 όπου 1 + 1a2 β2

1

γ2

153.Αν η ευθεία : x

y1 εφάπτεται στον κύκλο χ2 + ψ2 =R2 να αποδείξετε

a

ότι ισχύει :1

1 2 2

1R2 , όπου α,β R*.

154.Να αποδείξετε ότι ο συμμετρικός κύκλος Ο του κύκλου C: x2+y2 - 4x + 6y + 4 = 0 ωςπρος την ευθεία ε: x- y = 0 εφάπτεται στον άξονα y'y.

155.Οι κύκλοι : C1 :x2 y2 x y 10 0 και C :x2 y2 2 x (2 )y 10 0διέρχονται από το σημείο Α(3,-1) .Να βρείτε :i) τους αριθμούς α και βii) τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων C1 και C2 ,iii) τις εφαπτομένες ε και ζ των κύκλων C1 και C2 αντίστοιχα στο σημείο Αiv) την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ζ


156.Δίνεται η εξίσωση : x2+y2+λx+(4-λ)y-2λ-14=0 (1)α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ Rβ) Έστω ότι το κέντρο του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην

ευθεία ζ1:5x+3y+4=0 ,να βρείτε :i) τον αριθμό λ ,το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου εξίσωση του κύκλου C2ii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι παράλληλες στην ευθεία

ζ2: 4x+2y-2011=0.iii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Ρ(-1,3)

157.Δίνεται η εξίσωση : x2+y2+λx+(2λ-4)y-4λ-1=0 (1)α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ Rβ) Nα αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1)

για τις διάφορες τιμές του λ κινούνται σε ευθεία της οποίας να βρείτε τηνεξίσωση.

γ) Αν ο κύκλος C που παριστάνει η εξίσωση (1) διέρχεται από το σημείο Α(1,2),τότενα βρείτε:i) τον αριθμό λ,το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου εξίσωση του κύκλου C2ii) την εφαπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο Αiii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ε.

Κοινέςεφαπτόμενεςκύκλων

158.Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των κύκλων :

x2 + ψ2 =1 και (x-4)2 + ψ2 = 4.

159.Δίνονται οι κύκλοι : C1 : x2+y2-4x-10y-16=0 και C2: x2+y2-2x-6y-10=0.i) Nα βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των δύο κύκλων,

ii) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται εσωτερικάiii) Nα βρείτε την κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.

160.Δίνονται οι εξισώσεις: C1 : x2+y2+16x+12y-525=0 και C2: x2+y2=225.i) Δείξτε ότι οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν κύκλους και να βρείτε τα κέντρα και τις

ακτίνες τους,ii) Δείξτε ότι οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται εσωτερικά και να βρείτε την εξίσωση της

κοινής εφαπτομένης τους.

161.Δίνεται ο κύκλος : C1 : x2+y2+10x-2y+6=0.α) Nα βρείτε το κέντρα και την ακτίνα του κύκλου C,β) Έστω C2 ο κύκλος που έχει κέντρο Λ(1,4) και εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο

C1.Να βρείτεi) την εξίσωση του κύκλου C2ii) το σημείο επαφής των κύκλων C1 και C2iii) Nα βρείτε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων C1 και C2.

162.Δίνεται ο κύκλος : C1 : x2+y2+2x+16y+20=0 και ο κύκλος C2 που έχει διάμετρο τοευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, με Α(-1,2) και Β(1,-2)


α) Nα βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1,β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C2.γ) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 και C2 τέμνονταιδ) Nα βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων C1 και C2.

163.Δίνεται ο κύκλος : C1 με κέντρο Κ(-4,3),που εφάπτεται στον άξονα y΄y και ο κύκλοςC2 με κέντρο την αρχή των αξόνων που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο C2.Να βρείτεi) τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C2ii) τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C1 και C2

164.Δίνεται οι κύκλοι C1 και C2 με κέντρα Ο(0,0) και Κ(4,3) αντίστοιχα,οι οποίοι έχουνκοινή εφαπτομένη την ευθεία ε: 24x-7y-100=0i) Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων C1 και C2ii) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 και C2 εφάπτονται εξωτερικά και να βρείτε το

σημείο επαφής τους Αiii) Να βρείτε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων C1 και C2 στο Αiv) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C1 και C2 έχουν κοινή οριζόντια εφαπτομένη,την

οποία και να βρείτε.

165.Δίνεται ο κύκλος : C1 : x2+y2+10x-20y+120=0α) Nα βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1,β) Έστω C2 ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το

κέντρο του C1 .Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου C2ii) τις κοινές εφαπτομένες των κύκλων C1 και C2.

166.Δίνονται οι κύκλοι C : x2 y2 1 και C : (x 3)2 (y 4)2 16 .1 2

α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενών τους.

167.Δίνονται δύο κύκλοι C1 και C2 που διέρχονται από το σημείο Α(14, 2), έχουν τακέντρα τους στην ευθεία ε : y = -x και εφάπτονται του άξονα χ'χ. Να βρείτε :i) τις εξισώσεις τους,ii) την εξίσωση της άλλης κοινής εφαπτομένης τους.

168.Να βρεθούν οι εξισώσεις δύο κύκλων (C1), (C2) αν γνωρίζουμε ότι έχουν

κοινές εφαπτόμενες τις ευθείες (ε1) : χ - ψ =0 και (ε2) : χ + ψ - 1=0 και

ακόμη ότι έχουν κοινό σημείο το Α(3,4).

Γεωμετρικοίτόποι

169.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλωνC : x2 + y2 + (4λ + 8)x-(12λ + 28)y-15=0


5=0. ΝαMB 900

170.Δίνονται τα σημεία Μ(ημθ-4,συνθ+2),με θ .Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ

βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

171.Οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ(x,y) ικανοποιούν τις σχέσεις: x=1+2συνθ και

y=3-2ημθ, θ . Να δειχθεί ότι τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο.

172.Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των σημείων Μ (x, y) του επιπέδου που ικανοποιούν τιςεξισώσεις xσυνθ - yημθ = συν2θ και xημθ + yσυνθ = ημ2θ, θ R, βρίσκονται σεκύκλο.

173. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C: x2 +y2 - xημθ + yσυνθ - 10 = 0ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

174.Δίνονται τα σημεία Α (3, -4), και Β (-5, 8) και η ευθεία ε: 3x+5y- βρεθείσημείο Μ με θετική τετμημένη, πάνω στην ευθεία ε τέτοιο ώστε: A και ναυπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ.

175.Αν η εξίσωση 4x2-8αx+8α-4β2+3=0, έχει πραγματικές ρίζες να βρείτε τον γεωμετρικότόπο των σημείων Μ (α, β).

176.Να βρείτε τον γ. τ. των μέσων των χορδών του κύκλου x2+y2=169, που διέρχονταιαπό το σημείο Α (-4, 2).

177.Να βρείτε τον γ. τ. των μέσων των χορδών του κύκλου x2+y2-2x=0, που διέρχονταιαπό την αρχή των αξόνων.

178.Να βρείτε τον, γ. τ. των μέσων των χορδών του κύκλου: x2+y2-4y+3=0, πουδιέρχονται από το σημείο Α (-2, 4).

179.Δίνεται κύκλος C: x2+y2=12 (1) και το κινητό του σημείο Ρ (x1, y1). Ενώνουμε το Ρμε το σημείο Σ (7, 0). Να αποδειχτεί ότι το μέσον Μ του τμήματος ΣΡ διαγράφεικύκλο και να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του όταν το Ρ κινείται στον κύκλο C.

180.Δίνεται κύκλος C: x2-8x+y2-4y=0.i) Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων Ρ από τα οποία φέρνουμε κάθετες εφαπτόμενες στον

κύκλο C.ii) Να βρεθεί ο γ.τ. των μέσων Μ των χορδών του C που διέρχονται από την αρχή των

αξόνων.

181.Δίνεται κύκλος C: x2+y2-2x+ 4y-3=0.i) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα του κύκλου,ii) Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων Μ από τα οποία οι εφαπτόμενες στον κύκλο C είναι

κάθετες

182.Δίνεται κύκλος C: x2+y2-4y +3=0.i) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα του κύκλου


Έστω Α(α,β) ένα

εία Ο κα Α με (ΟΑ =

ii) σημείο του κύκλου C και Μ σημείο για το οποίο ισχύει 4 .Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ κινούνται σε κύκλο του οποίου να

βρείτε το κέντρο και την ακτίνα

183.Δίνεται η γραμμή: Cμ: x2+y2+μx-μy-2=0, μ R .i)Δείξτε ότι μ R η Cμ είναι κύκλος,ii) Να βρείτε το μ ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία (ε): y=x+1 στον κύκλο Cμ να

φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία,iii) Ποιος ο γ .τ. των κέντρων των κύκλων.

184.Θεωρούμε τα σταθερά σημ ι ) 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόποςτων σημείων Μ για τα οποία 2 7 .

185.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι έχουν ακτίνα ρ =3 και εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C1 : (x-2)2 + (y + 3)2 = 25

186.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι έχουν ακτίνα ρ =5 και εφάπτονται εξωτερικά του κύκλου C1 : x2 + y2 = 9.

187.Να αποδείξετε ότι :i) ο κύκλος Co: x2 + y2 = 3 και η ευθεία ε : 2x-y-5=0 δεν έχουν κοινά σημεία,

ii) η εξίσωση x2 + y2 - 3 + λ(2x - y - 5) = 0 παριστάνει κύκλο . Ποιος είναι ογεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών;

188.Έστω μεταβλητό σημείο Α(x, y), που κινείται στον κύκλο C: (x- x0)2 + (y –y0)2 = ρ2,και σταθερό σημείο Β(α, β). Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΑΒ κινείταισε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση.

189.Δίνεται κύκλος C : x2 +y2 = ρ2 και χορδή ΑΒ αυτού με Α σταθερό και Β μεταβλητόσημείο. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ για το οποίο ΑΒ = ΒΜ ανήκει σε κύκλο τουοποίου να βρεθεί η εξίσωση.

2t 1 t 2 190.Να αποδείξετε ότι τα σημεία M 5 3

1 t 2 ,4 31 t 2

κινείται (ανήκει) σε

σταθερό κύκλο (ανεξάρτητο του t) του οποίου να βρεθεί η εξίσωση.

2 4 4 191.Να αποδείξετε ότι τα σημεία M 2

,2 2

κινούνται σε ημικύκλιο με2

κέντρο την αρχή των αξόνων.

192. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος φαίνεται από τοσημείο Ο(0, 0) υπό ορθή γωνία και από το σημείο Α(2, 0) υπόγωνία 45°. Δίνεται ότι το κέντρο του κύκλου είναι σημείο του


πρώτου τεταρτημορίου.


25 .Να βρ

ρείτε τον γεωμετρικ2 2

2 2

193.Θεωρούμε το σημείο Α(κ,λ),το οποίο κινείται στον κύκλο C: x2 y2 είτετον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει (2, 3) .

194.Δίνονται τα σημεία Α(-2,6) και Β(0,4). Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος τωνσημείων Μ του επιπέδου για τα οποία (ΜΑ)2 + (MB)2 = 36 είναι κύκλος με κέντροτο μέσο του τμήματος ΑΒ.

195.Δίνονται τα σημεία Α(4,-3) και Β(-2,-5). Να β ό τόπο τωνσημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει | | | | 70

196.Δίνονται τα σημεία Α και Β τα οποία κινούνται στους άξονες χ΄χ και y΄y αντίστοιχα,ώστε ΑΒ=8. Να αποδείξετε ότι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ κινείται σεκύκλο.

197.Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ , για τα οποία ο λόγος των

αποστάσεών τους από τα σημεία Α(-3,0) και Β(3,0) είναι σταθερός και ίσος με 2.(Απολλώνιος κύκλος)

198.Δίνονται τα σημεία Α(1, - 1), Β(- 1,2) και Γ(0, 2). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόποςτων σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία το άθροισμα (ΜΑ)2 + (MB)2 + (ΜΓ)2 είναισταθερό και ίσο με c.

199.Δίνονται τα σημεία Α(2,-1) και Β(3,1).Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ όταν,

α) 3 2 6 β) ΜΑ ΜΒ=5

200.Δίνονται τα σημεία Α(4,-1) και Β(-2,7).Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

Μ του επιπέδου ,για τα οποία το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο στο Μ.

201.Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειώνε1 : λx-y-1=0 και ε2 : x+λy-λ=0

Μέγιστεςκαιελάχιστεςαποστάσεις

202.Δίνεται ο κύκλος C: x2 + y2 = 5 και το εξωτερικό σημείο Ρ(-4, 8) αυτού. Να βρείτε τοσημείο Μ του κύκλου C για το οποίο η απόσταση (ΡΜ) γίνεται:i) ελάχιστη, ii) μέγιστη.


203.Δίνεται ο κύκλος: x2+y2-4x-4y-10=0. Να βρείτε τα σημεία του κύκλου που απέχουντην μεγαλύτερη και την μικρότερη απόσταση από το Ο.

204.Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A1, 0 από τον

κύκλο C : x2 y2 6x 6y 2 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που δίνουν αυτέςτις αποστάσεις.

205.Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση του σημείου A 4,6από τον

κύκλο C : x2 y2 2x 4y 4 0 καθώς και τα σημεία του κύκλου που δίνουν αυτέςτις αποστάσεις.

206.Να βρείτε τα σημεία του κύκλου C : x2 y2 4x 5 0 που έχουν τη μέγιστη καιτην ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων.

207.Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των κύκλωνC1 : x2 y2 4x 2y 4 0 και C2 : x2 y2 8x 14 y 40 0 καθώς και τα σημείατους που δίνουν αυτές τις αποστάσεις.

208.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 1 και η ευθεία : 3 4y 25.α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο.γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστηαπόσταση.

209.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 6x 8 0 και η ευθεία : y x .α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.β) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση της ευθείας από τον κύκλο.γ) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας και του κύκλου που έχουν την ελάχιστη

απόσταση.

210.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 6x 2y 6 0 .Να βρείτε :α) το κέντρο και τη ακτίνα του κύκλου C,

β) τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλουγ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει το σημείο Α(1,2) από ένα σημείοτου κύκλου C.

211.Δίνεται ο κύκλος C :Β(9,-3).Να βρείτε :

x2 y2 2x 4y 4 0 καθώς και τα σημεία Α(-7,9) και

α) το κέντρο και τη ακτίνα του κύκλου C,β) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Βγ) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που μπορεί να απέχει ένα σημείο του

κύκλου C από την ευθεία ε

212.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 4x 3 0 και ο κύκλος C2 με κέντρο Λ(-2,3),o οποόςεφάπτεται στον άξονα y΄y.α) Να βρείτε το κέντρο και τη ακτίνα του κύκλου C1,β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ,


2

γ) Να αποδείξετε ότι ο καθένας από τους κύκλους C1 και C2 είναι εξωτερικός τουάλλου

δ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C1 στο σημείο του Α(2,1) εφάπτεταικαι στον κύκλο C2,

ε) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση ενός σημείου του C1 από ένασημείο του κύκλου C2.

213.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 2x 4y 15 0 και το σημείο Σ(6,-8).α) Να βρείτε το κέντρο και τη ακτίνα του κύκλου C,β) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλουγ) Να βρείτε τα σημεία του κύκλου C που απέχουν τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη

απόσταση από το σημείο Σδ) Έστω ζ η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Σ και τέμνει τον άξονα χ΄χ στο

σημείο με τετμημένη 10.Να βρείτε :i) την εξίσωση της ευθείας ζii) τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που μπορεί να απέχει ένα σημείο του

κύκλου C από την ευθεία ζiii) τις εφαπτόμενες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ζ

Συνδυαστικάθέματα

214.Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τοσημείο Α(-3,4).Να βρείτε :i) εξίσωση του κύκλουii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,iii) την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το σημείο Β(1,-2)iv) τη σχετική θέση της ευθείας ε: y=x-10 ως προς τον κύκλο και μετά ,τη μέγιστη καιελάχιστη απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από την ευθεία ε,v) το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτομένες προς τον κύκλο

είναι κάθετες.

215.Δίνεται ο κύκλος C που έχει το κέντρο του στην ευθεία ε: y=x-1 και διέρχεται από τα

σημεία 1 3 ,

3 3 και , . 2 2 2 2

i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλουii) Να δείξετε ότι το σημείο Ρ(4,0) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου και μετά να

βρείτε την εφαπτομένη ζ του κύκλου που διέρχεται από το Ρ,iii) Να δείξετε ότι η ευθεία ζ του ii) ερωτήματος εφάπτεται στον κύκλο

C : x 5

y2 1 και ότι ο κύκλος C εφάπτεται του C11 2 4


iv) να δείξετε ότι τα σημεία Μ του επιπέδου που ικανοποιούν τη σχέση : 3,όπου Γ είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του κύκλου C ,ανήκουν σε κύκλο του οποίουνα βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

216.Οι ευθείες ε1 :λx+(1-λ)y-13=0 και ε2 : (λ+2)x+(λ+4)y-22=0 είναι κάθετες και τοσημείο Κ(μ,μ+1) ανήκει στην ευθεία ε2.α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ.β) Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ και αποκόπτει από την ευθείαε1

χορδή με μήκος 8.Να βρείτε :i) την εξίσωση του κύκλου Cii) τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο

Α(6,17)

217.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 ( 3)x y 0 (1)

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C για οποιεσδήποτε τιμές τωνλ ,μ ϵR .

β) Έστω ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο Α(6,-1) και το κέντρο του ανήκειστην ευθεία ε : 3x+y-7=0.Να βρείτε :i) τις τιμές των λ και μii) την εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α

iii) τα σημεία τομής Β και Γ του κύκλου C και της ευθείας ε, καθώς και τοεμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

218.Στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy θεωρούμε τη γραμμή με εξίσωση : x2 y2 6x 8y 0

α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C ,του οποίου να βρείτε τοκέντρο και την ακτίνα.

β) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C διέρχεται από την αρχή των αξόνων .γ) Έστω Α το αντιδιαμετρικό σημείο του Ο(0,0) στον κύκλο C.

i) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Αii) Να βρείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο Α.iii) Αν το σημείο Β(2,α) ανήκει στον κύκλο C να βρείτε τον αριθμό α,καθώς και την

απόσταση του σημείου Β από την εφαπτομένη ε

219.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 x 4y 15 0 (1) .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε α ϵRβ) Έστω C ο κύκλος που παριστάνει η εξίσωση (1) .Κ το κέντρο του και ρ η ακτίνα

του. Αν ισχύει ότι | | ,όπου Ο η αρχή των αξόνων και το Κ ανήκει στο 1ο2


να βρείτ

τεταρτημόριο ,να βρείτε :i)τον αριθμό α

ii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι παράλληλες στο διάνυσμα 220.Δίνονται τα σημεία Α(1,3),Β(-1,0) και Γ(3,-1).

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στηνευθεία ΒΓ.

β) Έστω C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ρ = | | .Να βρείτε :

i) τις συντεταγμένες των σημείων τομής του κύκλου C με την ευθεία ΒΓii) τις εφαπτομένες του κύκλου C που διέρχονται από το σημείο Δ(6,4)

221.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 (x y 2) 2 (1) , λ ϵR.

α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλοβ) Για λ≠2,να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση (1):

i) έχουν τα κέντρα τους σε μία ευθείαii) διέρχονται από σταθερό σημείοiii) εφάπτονται στην ευθεία η : x-y+2=0,iii) Εφάπτονται μεταξύ τους .

x2 y2 x y 2( 1)γ) Να δείξετε ότι για κάθε λ≠2,το σύστημα : .

x y 2

έχει μοναδική λύση.

222.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 x ( 2) y 4 3 0 (1) .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ϵRβ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου C, που ορίζεται από την εξίσωση (1),ανήκει

στην ευθεία : ε : 3x+y-9=0iv) Να βρείτε τον αριθμό λ ,καθώς και το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C.v) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(1,5) ανήκει στον κύκλο C και ε τις

εφαπτομένες του κύκλου C που είναι παράλληλες στο διάνυσμα iii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Β(4,2) ανήκει στον κύκλο C και να βρείτε την

οξεία γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη ζ του κύκλου C στο Β με τηνευθεία ε.

223.Δίνεται ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(3,3) και ακτίνα R

8 ,το σημείο Γ(1,5)και τα σημεία τομής Α και Β της ευθείας ε: y=x με τον κύκλο.i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλουii)Να αποδείξετε ότι το σημείο Γ είναι σημείο του κύκλου και να βρείτε την


εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο αυτόiii) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.

iv) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθεταv) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Δ(7,3)

224.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 4x 2 y 0 (1) .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ϵ R η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο ,του οποίου ναεκφράσετε το κέντρο και την ακτίνα συναρτήσει του λ.

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ ϵ Rο κύκλος διέρχεταιαπό την αρχή των αξόνων.

γ) Αν ο κύκλος C που παριστάνει η εξίσωση (1) εφάπτεται στην ευθεία : x y 4 0,τότε

i) να βρείτε τον αριθμό λii) να αποδείξετε ότι ο κύκλος C τέμνει τους άξονες χ΄χ και y΄y σε σημεία Α και

Β αντίστοιχα ,διαφορετικά από την αρχή Ο τέτοια, ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ ναείναι ισοσκελές

iii) να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C που είναι κάθετες στην ευθεία ζ

225.Δίνεται η εξίσωση : x2 y2 x ( 2) y 13 0 (1) ,όπου λ ϵR.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ϵRβ) Έστω ότι ο κύκλος C, που ορίζεται από την εξίσωση (1) διέρχεται από το σημείο

Α(-3,2)i) Να βρείτε τον αριθμό λ , καθώς και το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου Cii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου C,οι

οποίες έχουν ως ένα άκρο τους το σημείο Α(-3,2)

226.Σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy στο επίπεδο ,δίνεται η εξίσωση :

x2 y2 2x 2 5 (1) ,όπου λ ϵR.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ ϵRβ) Έστω ότι το κέντρο του κύκλου C, που ορίζεται από την εξίσωση (1),ανήκει

στην ευθεία : ζ : x+y-1=0i) Να βρείτε τον αριθμό λ , καθώς και.

ii) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου Ciii) Να βρείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο του Α(2,2)iv) Αν η εφαπτομένη ε τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β και την ευθεία ζ στο

σημείο Γ,να βρείτε τη γωνία ,


2

227.Δίνεται ο κύκλος C : x2 y2 4 και το σημείο Μ(4ημθ,4συνθ).

α)Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι εξωτερικό του κύκλου Cβ) Έστω ΜΑ και ΜΒ τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το Μ προς τον κύκλο

C.i) Να βρείτε του σημείου Μ από την ευθεία ΑΒii) Να βρείτε το μήκος της χορδής ΑΒ.

iii) Να αποδείξετε ότι : det , 6 3

228.Δίνονται οι κύκλοι C1 : x2 y2 4x 2y 1 0 και C : (x 2 )2 (y ) 25

α) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C1

β) Αν οι κύκλοι C1 και C2 είναι ομόκεντροι ,τότε :i)να βρείτε τους αριθμούς λ και κii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α(-1,5) ανήκει στον κύκλο C2 και να βρείτε τoαντιδιαμετρικό σημείο του Β του Α στον κύκλο C2

iii) να βρείτε την εφαπτομένη ε του κύκλου C2 στο σημείο του Βiv) να αποδείξετε ότι το σημείο Γ(6,4) ανήκει στον κύκλο C2 και να βρείτε την

απόσταση του από την ευθεία ε

229.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ,με Γ(1,-3),του οποίου η πλευρά βρίσκεται στην ευθείαx-7y+38=0 και το ύψος ΑΔ βρίσκεται στην ευθεία x+3y-12=0..Να βρείτε :i) τις συντεταγμένες της κορυφής Α,ii) την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ και τις συντεταγμένες

της κορυφής Β,iii) τις μεσοκαθέτους των πλευρών ΑΒ και ΑΓ,iv) την εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου C του τριγώνου ΑΒΓv) την εφαπτομένη ε του κύκλου C στο σημείο Α και την απόσταση του σημείου Γ

από την ευθεία ε.

230.Σε μια τετράγωνη πλατεία πλευράς 70m υπάρχει μια μικρή τεχνητή λίμνη κυκλικούσχήματος . Προκειμένου να βρεθεί η ακτίνα της λίμνης , τρεις μαθητές επέλεξαν τρία


σημεία Α, Β, Γ της περιφερειας της και μέτρησαν τις αποστάσεις απο τις πλευρές τηςπλατείας, όπως δείχνει το σχήμα. Αν η απόσταση 1 στους άξονες αντιστοιχεί σε 1 m,να βρεθεί η ακτίνα της λίμνης.

231.Έστω κύκλος C: x2+y2-2x-4y=0 και έστω Κ το κέντρο του. Μίαμεταβλητή ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τέμνει τονκύκλο C στα σημεία Α και Β.i) Να βρεθεί η ευθεία αν (ΑΒ)=2,ii) Να βρεθεί η ευθεία αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ είναι ίσο με

3 τ.μ.2

232.Δίνονται τα σημεία Α (1, 2), Β (2, 4) και Γ (3, 1).Να αποδειχθεί ότι: γωνία ΒΑΓ = 900.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.

233.Ο χώρος που χρειάζεται για να κατασκευαστεί μία πισίνα περικλείεται από τηνγραμμή C: x2+y2-12x=0. Στην θέση Τ (0, 3) είναι τοποθετημένος ένας προβολέας γιανα φωτίζει τις βραδινές ώρες.i) Να δείξετε ότι η πισίνα είναι κυκλική και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα της,ii) Βρείτε τις εξισώσεις των δύο φωτεινών ακτίνων που εφάπτονται στην κυκλική

πισίνα (Δεχτείτε ότι προβολέας και επιφάνεια πισίνας βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο).

234.Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α και οκύκλος: C: x2+y2=ρ2 και η ευθεία ε: βx+γy+α=0. Αν η ε είναι εφαπτόμενη του κύκλουC να υπολογιστεί η ακτίνα ρ του κύκλου.

235.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ=45ο και Α (2, κ), Β (1, -1), Γ (3, κ) κ>0.i) Βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ,ii) Βρείτε τις συντεταγμένες του ίχνους Δ του ύψους ΑΔ,iii) Βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Δ΄, του Δ ως προς την πλευρά

ΑΓ,iv) Δείξτε ότι τα σημεία Α, Δ, Γ, Δ΄ είναι ομοκυκλικά και να βρείτε την εξίσωση του

κύκλου.

236.Έστω κύκλος C: x2+y2-4x-2y=0 και το σημείο Μ ( 1,3 ),

2 2i) Να δείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου,ii) Nα βρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ του κύκλου που έχει μέσον το σημείο Μ,iii) Να βρεθεί το συμμετρικό του κέντρου Κ του κύκλου, ως προς ΑΒ,iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ.

237.Δίνεται ο κύκλος C: x2+y2=4, και το σημείο Α (2, 4),i) Να δείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου C,ii) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που άγονται από το Α,iii) Αν Β, Γ τα σημεία επαφής των προηγούμενων εφαπτομένων να βρείτε την

προβολή του Α στην ΒΓ,


iv) Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς την ΒΓ,v) Να βρείτε την γωνία των εφαπτομένων,vi) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

238.i) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου Co : x2 + y2 = 5 στο σημείο τουΑ(2, - 1).

ii) Δίνεται η εξίσωση x2 + y2-5 + λ(2x-y-5)=0 (1) Να αποδείξετε ότι:α) η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ, με λ—2 και να βρεθεί τι

παριστάνει η (1) για λ= -2 ,β) τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε μια σταθερή (ανεξάρτητη του λ)

ευθεία,της οποίας να βρεθεί η εξίσωση,γ) οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό (ανεξάρτητο του λ) σημείο, το οποίο

και να βρεθεί,δ) όλοι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους και να βρεθεί η εξίσωση της

κοινής εφαπτομένης τους.

239.i) Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C1 : (x+l)2 + y2 = 20 καιC2 : x2+y2-8x+10y + 31=0

ii) Να αποδείξετε ότι:α) για κάθε λ R, με λ - 1, η εξίσωση (x+l)2 + y2 - 20 + λ(x2 + y2-8χ + 10y + 31)=0

παριστάνει κύκλο, ο οποίος διέρχεται από δύο σταθερά (ανεξάρτητα του λ) σημεία,β) για κάθε κ, μ R, με κ + μ 0, η εξίσωση

κ[(x+l)2 + y2-20] +μ[x2 +y2-8x+10y+ 31] = 0 παριστάνει κύκλο, ο οποίος διέρχεταιαπό δύο σταθερά (ανεξάρτητα των κ, μ) σημεία.

240.i) Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C1 :x2 + y2-4x-2y + 4 = 0 καιC2 : 4x2+4y2-20x-8y + 28 = 0

ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ, με λ - 4 και λ - 2, η εξίσωση4x2+4y2-20x-8y + 28 +λ(x2 + y2 – 4x - 2y + 4) = 0 παριστάνει κύκλο, ο οποίοςδιέρχεται από σταθερό σημείο.

241.Α) Να δείξετε ότι από τις εξισώσεις: η C1: x2-3xy+2y2=0, παριστάνει ευθεία, ενώ ηC2: x2+y2-4y=0, παριστάνει κύκλο.Β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία τομής τωνγραμμών C1 και C2.

242.Δίνεται η εξίσωση x2 y2 – 2x – 2y –1 0 , 0 2 .Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να

προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα.


Β. Αν , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο2

Μ (1, 2).Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων

βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο (0, 0) και ακτίνα 1 .

243.Δίνεται η εξίσωση του κύκλου :

x2 + y2 -2(1+εφθ)x - 2(εφθ-1)y + Γ =0,θ κπ + π/2 ,κπ και κ Ζ,Γ R.

i)Αν είναι ρ2 = Γ ,όπου ρ η ακτίνα του κύκλου ,να βρεθεί ο αριθμός Γ.

ii)Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται απο το

σημείο Ο(0,0) είναι κάθετες μεταξύ τους και να βρείτε τις εξισώσεις τους.

244.i) Δείξτε ότι ο κύκλος (C) x2 + y2 -2αx -2αy + α2 =0 , α R εφάπτεται

στους δύο άξονες χχ και ψψ

ii) Να βρείτε τους κύκλους που εφάπτονται στους θετικούς ημιάξονες Οχ ,Οψ

και στην ευθεία : 3 x y 4 0 .

245.Δίνεται η εξίσωση (Ε) : x2 + y2 -5 + λ(x + y -1 ) = 0.

i)Για κάθε λ R να αποδείξετε ότι η (Ε) παριστάνει κύκλο

ii)Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της ευθείας : x + y -1 = 0 και του κύκλου (C) :

x2 + y2 = 5 και να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η (Ε)

βρίσκονται σε σταθερή ευθεία ,η οποία να προσδιοριστεί.

iii)Αν κ -1 ,να βρείτε το λ συναρτήσει του κ ώστε ο κύκλος της (Ε) να εφάπτεται

της ευθείας (η) : x + y +κ =0 .

iv) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ που βλέπουν υπο ορθή γωνία το

ΑΒ ,όπου Α,Β τα κοινά σημεία όλων των κύκλων που παριστάνει η (Ε) και να

εξετάσετε αν ο γεωμετρικός τόπος ανήκει στους κύκλους της (Ε).

246.Σε κυκλικό ρολόι όταν ο ωροδείκτης δείχνει το 12, η προέκταση του τέμνει τονκύκλο του ρολογιού στο σημείο Α(3,4) (σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων).Το κέντρο του ρολογιού αντιστοιχεί στο σημείο Κ(1,2).i) Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου του ρολογιού.

ii) Να βρείτε τα σημεία που θα τέμνει η προέκταση του ωροδείκτη τον κύκλο τουρολογιού, όταν δείχνει το 3 και όταν δείχνει το 9.


247.Θεωρούμε τις ευθείες με εξισώσειςx + y

1 , όπου τα α, β μεταβάλλονται έτσι,a β

ώστε1 + 1 = 1 όπου κ θετική σταθερά. Να αποδείξετε ότι η προβολή της αρχής Ο τωνa2 β2 κ2

αξόνων πάνω στις παραπάνω ευθείες κινείται (ανήκει) σε σταθερό (ανεξάρτητο τωνα, β) κύκλο του οποίου να βρεθεί η εξίσωση.

248.Δίνονται οι κύκλοι C1 :x2 + y2+Ax + By + Γ = 0 και C2: x2 + y2 + αx + βy + γ = 0 πουεφάπτονται (εσωτερικά ή εξωτερικά) στο Μ. Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τιςεξισώσεις των C1 και C2 προκύπτει η εξίσωση (Α-α)x + (Β-β)y + Γ-γ = 0 (1)Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία, η οποία :i) διέρχεται από το Μ,ii) είναι κάθετη στη διάκεντρο (δηλαδή στην ευθεία που διέρχεται από τα κέντρα των

δύο κύκλων),iii) είναι η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων στο Μ.

249.i ) Έστω κύκλος C και σημείο Ρ εκτός αυτού, το οποίο κινείται πάνω σε ευθεία ζ, ηοποία δεν διέρχεται από το κέντρο του C. Να αποδείξετε ότι η πολική ε του Ρ ως προςτον κύκλο C διέρχεται από σταθερό σημείο.ii) Αντιστρόφως, έστω σημείο Σ εντός κύκλου C και ε1 , ε2 οι εφαπτόμενες του C στα

άκρα Α, Β χορδής, η οποία διέρχεται από το Σ και δεν είναι διάμετρος. Νααποδείξετε ότι το σημείο τομής των ε1 , ε2 κινείται σε σταθερή ευθεία.

250. i) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση x2+y2 + (2-4λ)x + 2λy + 5λ2-4λ-3 = 0παριστάνει κύκλο με σταθερή (ανεξάρτητη του λ) ακτίνα.

ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων.iii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι εφάπτονται σε δύο σταθερές ευθείες

των οποίων οι εξισώσεις να βρεθούν.

251.Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxψ με Μ (x, ψ) παριστάνουμε τα σημεία μιαςπεριοχής. Στο Κ (12, 6) είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας. Ηλήψη σε ένα σημείο της περιοχής θεωρείται ''πολύ καλή'', αν αυτό βρίσκεται στον


κυκλικό δίσκο που ορίζεται από τον κύκλο C1, ο οποίος έχει κέντρο Κ και ακτίναρ1= 10 , ενώ η λήψη θεωρείται ''καλή'', να το σημείο είναι εξωτερικό του C1 καιεσωτερικό του C2, που γράφεται με κέντρο Κ και ακτίναΑ. Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κύκλων.

2 4 .

Β. Να εξετάσετε αν στα σημεία Α (10, 7) και Β (9, 4) η λήψη είναι ''καλή' ή ''πολύκαλή''.

Γ. Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (θεωρούμενος ως ευθεία) έχει εξίσωσηε: x-ψ-1=0. Να εξετάσετε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητοδρόμου στο οποίο ηλήψη είναι ''καλή'' ή ''πολύ καλή''.

252.Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1.999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται απόέναν αριθμό n = 1,2,3 …, 1.999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Oxyδιαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση: (x – 1)2 + y2 = 2n (x + y – 1). Να δείξετε ότι:Α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του

κέντρου του.Β) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α

(που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;Γ) Οι τροχιές των μυρμηγκιών εφάπτονται στην ευθεία x y 1 0 στο σημείο Α.

Ask Kyklos2013 14

Documents

Transcript of Ask Kyklos2013 14