ASINTOTI
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ASINTOTI CONCETTO DI ASINTOTO La retta r si dice ASINTOTO per la curva C del piano cartesiano se la distanza tra un punto P(x,y) della retta e la curva C tende a zero al tendere all’infinito di una delle due coordinate di P COS’E’ LA DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA?
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ASINTOTI. CONCETTO DI ASINTOTO. La retta r si dice ASINTOTO per la curva C del piano cartesiano se la distanza tra un punto P(x,y) della retta e la curva C tende a zero al tendere all’infinito di una delle due coordinate di P. COS’E’ LA DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA?. ASINTOTI. - PowerPoint PPT Presentation
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ASINTOTI
CONCETTO DI ASINTOTO
La retta r si dice ASINTOTO per la curva C del piano cartesiano se la distanza tra un punto P(x,y) della retta e la curva C tende a zero al tendere all’infinito di una
delle due coordinate di P
COS’E’ LA DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA?
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE
Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta r di equazione y=L è ASINTOTO ORIZZONTALE per la
curva C se:
LxfLimx
)(
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE
Infatti, se f(x) tende ad L, allora la distanza tra la curva e la retta, pari a |f(x)-L|, tende a zero, secondo la
definizione di asintoto
L
f(x)
y=L
y=f(x)
|f(x)-L|
ASINTOTI
OSSERVAZIONE
Si potrebbe obiettare che quella presa non è la distanza tra la curva e la retta, che infatti risulta essere
PH e non PA.
L
f(x)
|f(x)-L|
P
HA
ASINTOTI
OSSERVAZIONE
Risulta però evidente che:PA>PH>0
E se PA tende a zero anche PH vi deve tendere per il teorema del confronto
L
f(x)
|f(x)-L|
P
HA
ASINTOTI
ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO E SINISTRO
Più in particolare, se x tende a più infinito si parla di asintoto orizzontale destro, mentre se x tende a meno
infinito si parla di asintoto orizzontale sinistro
ASINTOTI
ASINTOTO VERTICALE
Data la curva C di equazione y=f(x) si dice che la retta r di equazione x=Xo è ASINTOTO VERTICALE per la
curva C se:
)(xfLimoXx
ASINTOTIASINTOTO VERTICALE
Infatti, in questo caso la distanza tra la curva e la
retta è |x-Xo|; e se al tendere di x a Xo la y
tende all’infinito, è anche vero che al tendere
all’infinito di y x tende a Xo, cioè la distanza |x-
Xo| tende a zero, secondo la definizione di
asintoto xXo
f(x)
ASINTOTIASINTOTO VERTICALE
Infatti, in questo caso la distanza tra la curva e la
retta è |x-Xo|; e se al tendere di x a Xo la y
tende all’infinito, è anche vero che al tendere
all’infinito di y x tende a Xo, cioè la distanza |x-
Xo| tende a zero, secondo la definizione di
asintoto xXo
f(x)
ASINTOTIASINTOTO obliquo
Un asintoto che non sia né orizzontale né verticale si dice OBLIQUO
y=mx+q
y=f(x)
P
A
x
f(x)
mx+q
ASINTOTIASINTOTO obliquo
Posto che l’equazione dell’asintoto siay=mx+q
allora la distanza AP sarà:
|)()(||| qmxxfyyAP AP
P
A
x
f(x)
mx+q
ASINTOTIASINTOTO obliquo
Poiché AP tende a zero al tendere di x all’infinito, per definizione di asintoto, allora
ovvero:
0))((
qmxxfLimx
)()( qmxLimxfLimxx
ASINTOTIASINTOTO obliquo
Dividendo entrambi i membri per x
e poiché q/∞=0 si ottiene il risultato finale:
)()(
x
qmLim
x
xfLim
xx
mx
xfLimx
)(
ASINTOTIASINTOTO obliquo
Per determinare q basta considerare ancora l’equazione:
e portare q a sinistra (siccome q è costante non serve scrivere limite)
0))((
qmxxfLimx
qmxxfLimx
))((
ASINTOTIASINTOTO obliquo
In conclusione: se esistono e sono finiti i due limiti:
allora la retta y=mx+q è asintoto obliquo per la funzione f(x)
))(( mxxfLimqx
x
xfLimmx
)(
ASINTOTI
DISTANZA TRA UN PUNTO E UNA CURVA
La distanza d tra un punto P e una curva C è la lunghezza del minore di tutti i segmenti tracciati dal
punto alla curva
TORNA
P
Hd = PH
