ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres.
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ASI 3
Méthodes numériquespour l’ingénieur
Calcul des valeurs propres
Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté
)(221222
2
2
2212121
2
1
tfukukdt
udm
ukukkdt
udm
222
111
Ltxtu
Ltxtu
masse seconde lasur uniquementagissant force :)(ressortdu raideur de constante :
ressortdu bout au masse : reposau ressort du position :
ressortdu position :étatd' variable:
1
1
1
1
1
tfkmL
txtu
22
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2
2
1
2
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21
2
1
2
2
)(
0
, , )(
)( ,
mtfb
mk
mk
mk
mkk
Ktu
tuubuK
dt
ud
m1 m2 f(t)k1 k2
x1(t)x2(t)
Seconde loide Newton
Écriture matricielle
Fréquences de résonance
, poseon
,0
0 : que telle matrice une on trouve si
,
2
2 2
11
2
2
bPDvdt
vdPuv
DPKPP
buKdt
ud
)(
)(
22222
2
11121
2
tgvdt
vd
tgvdt
vd
Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admetque les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système
Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963)
• 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas
• les avions qui vibrent et s’écrasent
• immeubles et tremblements de terre
• Ariane : moteur et structure
• pont de Tacoma– 1,6 km, pointe de la technologie
– 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège
0 0.5 1 1.5 2 2.50
2
4
6
8
10
fré quence excitatrice
Mod
ule
de l'
ampl
itude
de
la r
épo
nse
Amplitude de la réponse d ’un système oscillant
22222
22
2
1
1 avec
)( :solution
k
ik
ketx
exxxti
ti
-2 -1 0 1 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 0 2 4-2
-1
0
1
2
-10 -5 0 5 10-4
-2
0
2
4
-20 -10 0 10 20-10
-5
0
5
10
Définition illustrationDéfinition : i est une valeur propre de A,
vi est un vecteur propre de A. iii vvA
xAx
et ,
xAxAAxAx 2et ,
xAxAxAx 32 et , ,
xAxAxAxAx 432 et , , ,
Directionpropre
121
123
A
n ...21
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
partie ré elle
imag
inai
re
Cercles de Gerschogrin
Théorème (cercle de Gerschogorin): Soit A une matrice carrée, soit R le cercle du plan complexe :
Alors toutes les valeurs propres de A sont dans un des cercles R
n
ijjijiii aazCzR
,1
902
120
114
A
Démonstration
n
ijjijii
ji
n
ijj i
jijii
n
ijjjijiii
iiiiiii
n
ijjjij
i
n
jjij
aa
njnjxxi
x
xaaxaax
xaxaxxa
nixxaxAx
,1
,1,1
,1
1
,:1pour que telt choisissanen
doncet
,1
Toute valeur propre appartient à un cercle, donc à l’intersection de tous les cercles
Supposons que l’on connaisseune valeur propre
LU méthode 0
vIA
vAv
Idée : approximation successives sur la valeur propre Méthode de la séquence.
vvvv
vvvvxA
vvvvxA
vvvvxA
vAvAvAvAxA
vvvvx
Rx
k
kn
nk
k
k
kk
knn
kkkk
nn
nnn
nn
nn
niin
13
1
332
1
22111
333222111
23
2332
2221
211
2
333222111
332211
332211
,1
...
........... ...
...
...
...
que tels,
intuition
la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse
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la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse
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que tels,
Puissance itérée
old
oldnew
init
Ax
Axx
x equelquonqu:
Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière)
1)(
1
1)(
32
init
)(lim
lim
suivantes propriétés les possède dessus-ci algorithmel'par générée suite la Alors,
de propres vecteur les,...,par engendré vectorielespace sousau pas appartientn' si
vxsign
Ax
x
Avvvx
kk
k
k
k
Nkk
n
Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
old
oldnew
init
xA
xAx
x
1
1
quelconque:
uu
x
xAux
new
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init
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Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
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1
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quelconque:
uu
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new
old
init
quelconque:
Et si on remplace A par B=A-I ou est un réel ?
Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation
TT1111
*1 doncet
eorthogonal base uneforment propres vecteursles
vvABvv
ouver comment tr
de place la à 0et que propres set vecteur valeursmêmes lesadmet alors
ou
*1
*111
*111
1
1*1
*111
v
vvvvvAvvvAvB
AB
vvvvAB
iiiiii
ii
Cas simple : A est symétrique
?
Cas général : A est quelconque, la méthode de Duncan et Collard
Théorème (Shur) : Soit A une matrice carrée, Alors il existe une matrice U non singulière telle que :
avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est composée des valeurs propres de A. Démonstration : voir Théodore et Lascaux
Propriétés des valeurs propresDéfinition : deux matrices A et B sont similaires s’il existe une matrice Q non singulière telle que :
BQQA 1
Théorème : Si A et B sont des matrices similaires et est une valeur propre de A associée au vecteur propre x (non nul), Alors est aussi une valeur propre de B avec le vecteur Qx Démonstration
vv
QxQxBxBQxQxAx
1
AUUT 1
Théorème : Soit A une matrice carrée symétrique, Alors il existe une matrice Q orthogonale telle que :
avec D une matrice diagonale composée des valeurs propres de A; et Q composée des vecteurs propres de A qui sont orthogonaux. Démonstration :
Matrices équivalentes
DQQAQQD T 1
)()(
1
: colonnes les spour toute iii
i qdAq
QDAQAQQD
Principe de la méthode QR
• les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont sur sa diagonale
• il existe un transformation orthogonale telle que T=Q’AQ alors T et A sont équivalentes (elles ont les même valeurs propres) et T est une matrice triangulaire
Comment construire Q ?
La méthode QRIl est si facile le résoudre un système « triangulaire » !
1bQRxbAxQRA
Q « facilement » inversible et R triangulaire
Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante
2 TuuIH
Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I
xHx Les transformations orthogonales « conservent » la norme
QR et valeurs propres
)()()1(
)()()(
)1()1()2(
)1()1()1(
)1(
itération kkk
kkk
QRA
ARQk
QRA
ARQAA
Théorème : si A est une matrice inversible, de valeurs propres réelles différentes la suite converge vers une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A
Démonstration :toutes les matrices de la suite ont les mêmes vp
NkkA
)(
initialisation
Une fois qu’on a les valeurs propres, les vecteurs propres se trouvent facilement.
NkkA
)(
Méthode de Householder ,, matrice la de propres valeursles rechercheon nnLA
1. On utilise l’algorithme de Householder pour construire une matrice T tris diagonale ayant les mêmes valeur propres que A
2. On pose T(0) = T On décompose T(0) = QR et on construit T(1) = RQ
et on itère : (Q,R) = decomposeQR(T(k)) T(k+1) = R*Q
Alors la suite diag(T(k)) converge vers les valeurs propres de A.
Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)
w
k
w
kk
kkTkk
kkTk
kkkTk
kkk
kkk
vQvQA
vvQAQvvA
QAQ
QRQQ
QRA
ARQ
)()()(
)()()()1(
)()()(
)()()()(
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)()()(
n
i
d
d
d
00
00
001
SVD : décomposition en valeurs singulières
Matlab : deux programmes équivalents : svd(A).^2 eig(A'*A)
A'Ad
DIVVUU
VUDVUA
ii de propres valeursdes carrée racine
diagonale marice avec ''
esorthogonal marices et avec '
A U V=
Conclusion
• on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre
• on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre
• calculer un vecteur et la valeur propre associé– la plus grande : puissance itérée– la plus petite : puissance inverse– la plus proche de k : puissance modifiée
• calculer toutes les valeurs propres d’un coup– A est symétrique : méthode de Jacobi– cas général : méthode QR