ASI 3

Méthodes numériquespour l’ingénieur

Introduction : vecteurs, matrices

et applications linéaires

Opérations sur les vecteurs

Vecteur x

base (canonique) bi , i=1,n

espace vectoriel Vsur le corps des réels

combinaison linéaire

sous espace vectoriel

base, dimension

0)ker(: denoyau

de s.e.v. ,

,1soient

, , ,

0

1

0

1

1

1

1

1

k

iii

k

iiii

i

k

iiii

ni

n

iii

n

i

xWyWW

VxyRVyW

RxkiVx

VyxRVyx

Rxbbx

x

x

x

x

Opérations sur les vecteurs

Somme

multiplication ?

Vecteur transposé

Norme

produit scalaire,

vecteurs orthogonaux

0),(

'),( ; '),(

'

'

2

1

1

22

1

yxRy

xxxxxyxyxyx

xxxx

xxxx

yxzyxz

n

n

iii

n

ii

ni

iii

Normes et produit scalaire

22

1

222

1

,111

11

222

, : Schwartz de inégalité:propriété

eeuclidienn ),( ;),(),(

; exemple)(),(

),(),(),(

),(),(

),(),(

vérifiant ),( ,

:

scalaire

produit

sup ; ; )1( ;

; exemples

)()()(

)()(

00)(

positivité 0)(

iant vérif)(

::norme

yxyx

xxxxyxyxyxp

RExnxxp

zypzxpzyxp

yxpyxp

xypyxp

yxpyx

REEp

xxxxpxxxx

REynxnyxn

xnxn

xxn

xn

xnx

REn

n

ii

n

iii

n

ini

n

ii

n

i

pi

pp

n

ii

n

Matrices

nknjn

ikiji

kj

aaa

aaa

aaa

A

1

1

1111

Tableau de n lignes et k colonnes

Remarque fondamentale : on ne peut rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente

AyAxyxA

AxyxRRA nk

)(:linéaire

:

Applications linéaires

de base une ,1et , de base une ,1soit FniFfEkiEe ii

Noyau : image : Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei)rang = dim(Im(u))

u injective (ker(u) = 0)u surjective Im(u) = F

Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice

yxuExFyu

xuExu

)( que tel)Im(

0)()ker(

Définition :

Propriétés :

Soient E et F deux espaces vectoriels

)()()(:ssi linéaireest

)( :

yuxuyxuu

xuyxFEu

)( alors )( que tels sdéfinisson1

xufaeuan

jjjiiji

Applications linéaires et matrices

nk

ik

k

k

nj

ij

j

j

n

i

i

i

i

k

jjijij

k

jj

n

iiij

k

jj

n

iiij

k

jj

j

k

jj

k

jjj

n

iiijjij

a

a

a

x

a

a

a

x

a

a

a

x

y

y

y

xayaxAxy

faxfax

euxexuxuy

faeua

11

1

1

11

1

11

1 111

11

1

......

et

)(

alors )( que tels sdéfinisson

Propriétés des matrices

injectiveest associée linéairen applicatiol' ,0)(ker si

de s.e.v.un est c' 0 ker(A)

surjectiveest associée linéairen applicatiol' ,)(Rg si tesindépendannt linéaireme de colonnes de nombre leest c'

)Im(dim)(Rg

)Im( ssisolution uneadmet

de colonnes lespar engendré s.e.v. leest c' que tel)Im(

AR

AxRx

nAA

AA

AbbAx

AyAxRxRyA

k

k

kn

RkRn

•0Ker(A)

Img(A)u, A

Propriété des matrices

NoyauRang (nombre de colonnes linéairement indépendantes)variables équivalenteséquations équivalentessystèmes liés - systèmes libres (matrices blocs)vecteurs propres

0)ker(dim )(Rget ssi uniquesolution uneadmet équation l'

donné, pour Corolaire

)ker(dim)(Rg

AnAnkbAxbA

kAAThéorème

– Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F– soit k = dim(E) et n=dim(F)

Opérations sur les matricesSomme :

somme des applications linéaires

produit :

composition des applications linéaires

BAC

bacABC

nBABA

bacBAC

BA

n

kkjikij

ijijij

que colonnes deautent et que lignes deautant a

;

de lignes de nombre de colonnes de nombre avec matricesdeux et soient

e.v.un est taillemême de matrices des ensemblel':remarque

;

taillemême de matricesdeux et soient

1

A

Bn

n

p

qpABCvuw

q

pAu

nBv

q

RGRE

RGRFRE

,

,,

AB n’est pas BA (non commutatif)

Complexité algorithmiqueQuel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ?

Définitions – grand O– petit o– équivalence asymptotique

1)()(

lim lorsque)()(

0)()(

lim lorsque )()(

infinil' à bornéétant )( ),()()( lorsque )()(

xgxf

xxgxf

xgxf

xxgoxf

xHxHxgxfxxgxf

x

x

O

O(n2) < Algorithme < O(n3)

2221

2111

2221

2111

2221

2111

cc

cc

bb

bb

aa

aa

A, B et C sont des matrices carrées de taille n

Exemple, n=2

23 = 8 multiplicationsComme Strassen, 1969sauriez vous faire mieux ?

2222122122

2122112121

2212121112

2112111111

babac

babac

babac

babac

Complexité algorithmiqueQuel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ?

2221

2111

2221

2111

2221

2111

cc

cc

bb

bb

aa

aaExemple, n=2

o(n2) < Algorithme < O(nlog27)

log10(n) n3/n(log2(7))

1 1.5 2 2.4 3 3.7 4 5.8 5 9.1 6 14.3 7 22.3 8 34.7 9 54.1 10 84.4

Strassen, 1969

222122127

121111216

2212115

2111224

2212113

1122212

221122111

bbaaQ

bbaaQ

baaQ

bbaQ

bbaQ

baaQ

bbaaQ

623122

5321

4212

754111

QQQQc

QQc

QQc

QQQQc

2,807

Opérations sur les matricesInverse (a.l. bijective <=> matrice carrée)matrice identité I

Transposée (adjointe pour les complexes)

A est symétrique ssi A’=A

Permutation p associé à la matrice P (changement de base de ei à ep(i))

IAAAA 11

100

01

10

001

nI

1'1 ' : carréeest si

;')'(;'')'(;'')'(;'' Propriétés

':' Définition

AAA

kAkAABABBABAAA

aaA jiij

APPAPPPip

i 11 ' ; '

0100

0001

0010

1000

; 1423)(

4321

Opérations sur les matricesChangement de base

déterminant d’une matrice carrée

1

~,~

1,

~ :

~,~ ~,~

, ,-

iAui

iAui

PAPA

eEeE

PP

eEeE

passage de matrice : ~ PPee ii

sinon) (-1tion transposidepair nombreun en décomposerpeut on si 1

possibles nspermutatio des ensemblel' désigne

......)()det(

taillede carrée matrice

)()(2)2(1)1(

psign(p)P

aaaapsignA

nA

Ppnnpiippp

Quelques matrices particulièresMatrices carrées

Matrices diagonales

Matrices triangulaires (inférieure et supérieure)

Matrices par bandes

Matrice diagonale (strictement) dominante

Matrice symétrique

Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction)

Matrice de Toeplitz

Matrice de Hankel

iiij aani )( ,1,carrée matrice unepour n

ij1,j

n

iijji niyxa

1,1 ,

4 principes fondamentaux

On ne change pas la solution lorsque l’on :

1. permute 2 lignes interprétation physique

2. permute 2 colonnes

3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne

4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre de fois une autre ligne

bxA

Question fondamentaleA quelles conditions l’équation Ax = b admet-elle une solution unique ?

Théorème

Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F)

corollaire