Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...
Transcript of Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...
![Page 1: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/1.jpg)
Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de
geometrie elementară pentru gimnaziu
Constantin Chirila Colegiul Naţional “Garabet Ibrãileanu”, Iaşi
![Page 2: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/2.jpg)
Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu
Parcurgerea unității de învățare ,,Asemănarea triunghiurilor”-la clasa a VII-a are ca finalități înzestrarea elevului cu competențe care să-i permită:
Exprimarea ideilor privind asemănarea în vocabularul proporțiilor
Aplicarea rezultatelor-teorema fundamentală a asemănării, criterii de asemănare-în rezolvarea de probleme practice
Programa școlară cuprinde următoarele competențe specifice, relativ la tema menționată:
CG1-6. Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date
CG2-6. Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite
CG5-6. Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelaţie cu proprietăţi calitative şi/sau metrice
CG6-6. Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice
![Page 3: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/3.jpg)
Conținuturi necesare pentru înțelegerea relației de asemănare
Este esențial să se conștientizeze la nivelul înțelegerii elevilor, faptul că prin asemănare se măresc/ micșorează distanțele dintre puncte, dar se păstrează forma figurilor geometrice.
Punerea în evidență a mărimilor proporționale este realizată printr-o gamă variată de probleme rezolvate de elevi în clasa a VI-a. În vederea predării relației de asemănare a figurilor geometrice un rol fundamental îl joacă teorema lui Thales și reciproca acesteia. Aplicații directe ale teoremei lui Thales, a căror demonstrație este instructivă sunt teorema bisectoarei interioare și teorema bisectoarei exterioare.
Teorema lui Thales
O paralelă la una din laturile unui triunghi, determină pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor, segmente
proporționale. Teorema reciprocă(Thales)
Dacă o dreaptă determină segmente direct proporționale pe două laturi (prelungirile lor) ale unui triunghi, atunci dreapta este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului ( dreapta nu conține nici un vârf a triunghiului)
![Page 4: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/4.jpg)
Asemănarea triunghiurilor
Definiție
Fie triunghiurile ABC și A’B’C’. Dacă
(1) Unghiurile A,B,C sunt respectiv congruente cu unghiurile A’, B’, C’ si
(2)
spunem că există o asemănare între triunghiurile ABC și A’B’C’ și se notează cu ∆ABC ~∆A’B’C’.
Definiție
Două triunghiuri ABC și A’B’C’ se numesc asemenea, dacă între ele există cel puțin o asemănare.
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
![Page 5: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/5.jpg)
Teorema fundamentală a asemănării
Fie triunghiul ABC și DE||BC, A≠D, DϵAB, EϵAC.
Atunci ∆ADE~∆ABC.
Observația 1
Noțiunea de asemănare se poate extinde și pentru poligoane.
Observația 2
Pe baza teoremei fundamentale a asemănării se stabilesc condiții necesare și suficiente de asemănare a triunghiurilor, numite cazuri sau criterii de asemănare.
Observația 3
Relația de asemănare este o relație de echivalență pe mulțimea triunghiurilor din plan.
![Page 6: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/6.jpg)
Clase de probleme relativ la asemănare
Proprietăți ale unor configurații geometrice
Relații între lungimi, arii sau volume ale unor figuri/corpuri geometrice
Probleme de coliniaritate- teorema lui Menelaos
Probleme de concurență- teorema lui Ceva
Relații metrice- teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora
![Page 7: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/7.jpg)
Probleme de fixare a cunoștințelor
Problema 1
Se consideră ortocentrele H și H’ ale triunghiurilor ABC și A’B’C’ .
Dacă ∆BHC~∆B’H’C’ atunci
∆ABC~∆A’B’C’
![Page 8: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/8.jpg)
Problema 2
Fie ∆ABC~∆DEF, MϵBC și NϵEF. Demonstrați că triunghiurile ∆ABM~∆DEN în următoarele ipoteze suplimentare:
a) AM și DN sunt mediane;
b) AM și DN bisectoarele interioare/ exterioare ale unghiurilor cu varful în A, respectiv în D;
c) AM și DN înălțimi;
d) MA:MB=NE:NF
![Page 9: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/9.jpg)
Teorema lui Menelaos
Fie ∆ABC și punctele A’ϵBC, B’ϵAC și C’ϵAB.
Punctele A’, B’ și C’ sunt coliniare dacă și numai dacă are loc relația:
' ' '1
'C 'A 'B
A B B C C A
A B C
![Page 10: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema lui Ceva
Fie ∆ABC și punctele A’ϵBC, B’ϵAC și C’ϵAB.
Dreptele AA’, BB’ și CC’ sunt concurente într-un punct P dacă și numai dacă are loc relația:
' ' '1
'C 'A 'B
BA CB AC
A B C
![Page 11: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema lui van Aubel
Fie ∆ABC și punctele A’ϵ(BC), B’ϵAC și C’ϵAB.
Dacă dreptele AA’, BB’ și CC’ sunt concurente într-un punct P are loc relația:
Ind. Se aplică teorema lui Menelaos pentru ∆AA’C și punctele coliniare B,P,B’; se aplică th. Menelaos pt ∆AA’B și punctele coliniare C,P, C’. Se sumeaz[ rela’iile ob’inute etc.
' '
' ' '
B A C A PA
B C C B PA
![Page 12: Asemănarea triunghiurilor-O selecție de probleme de geometrie ...](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050712/5894622c1a28ab46038bde95/html5/thumbnails/12.jpg)
Problema 3
Se consideră un triunghi neisoscel ABC. Bisectoarele exterioare corespunzătoare unghiurilor cu vârfurile în A, B și C, intersectează dreptele BC, AC, respectiv AB în punctele A’, B’, respectiv C’.
Să se arate că Punctele A’, B’ și C’ sunt coliniare ( dreapta antiortică a triunghiului ABC).
Ind. Se aplică teorema bisectoarei unghiului exterior și rezultă A’B/A’C=AB/AC etc. Se înmultesc rapoartele si se obține reciproca teoremei lui Menelaos.