arXiv:1609.08979v2 [math.AG] 3 Jan 2017arXiv:1609.08979v2 [math.AG] 3 Jan 2017 CONTRÔLE DES PLACES...

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ath.

AG

] 1

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ay 2

020

CONTRÔLE DES PLACES NON-RÉDUITES

Chunhui Liu

Résumé. — Pour un schéma réduit projectif sur l’anneau des entiers d’un corps

de nombres, l’ensemble des places au dessus desquelles la fibre du schéma n’est pas

réduite est un ensemble fini. On donne une borne explicite pour le produit des normes

de ces places. On introduit, dans ce but, une généralisation de la notion de hauteur

sur l’anneau adélique. En utilisant la théorie des formes de Chow, on ramène le cas

général d’un schéma de dimension pure à celui d’une hypersurface et on traite ce

dernier à l’aide du résultant de l’équation de l’hypersurface et d’une dérivée partielle

de cette équation.

Abstract (Control of non-reduced places). — For a reduced projective scheme

over the ring of integers of a number field, the set of places over which the fibre of the

scheme is not reduced is a finite set. We give an explicit upper bound for the product

of the norms of places in this set. To that effect, we introduce a generalization of the

notion of height over the adelic ring. We reduce the general case of a scheme with

pure dimension to the case of a hypersurface by using the theory of Chow forms. The

case of a hypersurface is then treated with the help of the resultant of the equation

of the hypersurface with some partial derivative of the equation.

Table des matières

1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. La forme de Chow et la forme de Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Hauteurs d’un schéma projectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Passage aux réductions modulo les places finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Une estimation de l’annulation de résultant par réductions . . . . . . 176. Contrôle des places non-réduites d’une hypersurface projective . . 227. Contrôle des places non-réduites d’un schéma de dimension pure 26Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

http://arxiv.org/abs/1609.08979v4

2 CHUNHUI LIU

1. Introduction

Soit X → SpecOK un schéma réduit, où K est un corps de nombres et OK estl’anneau des entiers de K. On désigne par SpmOK l’ensemble des idéaux maximauxde l’anneau OK . Une place p ∈ SpmOK est appelée place non-réduite du schémaX → SpecOK si la fibre spéciale XFp

= X ×SpecOKSpecFp → SpecFp n’est pas

réduite, où Fp est le corps résiduel de OK par rapport à p. D’après [12, Théorème(9.7.7)], il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux maximaux p ∈ SpmOK tels que la fibreXp → SpecFp ne soit pas réduite.

Il est naturel de considérer une description numérique des places non-réduites ausens ci-dessus. Par exemple, on considère la majoration du nombre de ces idéauxmaximaux ou la majoration du produit des normes de ces idéaux maximaux.

R. Erné a considéré un sujet similaire. Dans [5], étante donnée une hypersurfaceprojective géométriquement intègre d’un degré fixé, par le théorème arithmétique deBézout introduit dans [1, Theorem 5.4.4, Theomre 5.5.1], elle étudie la majoration duproduit des normes de idéaux maximaux tels que les fibres contiennent une hypersur-face d’un autre degré plus petit fixé. Dans [6], elle étudie le cas de schéma projectifgéométriquement intègre de dimension pure en utilisant la théorie de la forme deChow.

1.1. Résultat principal. — Dans cet article, pour un schéma projectif réduit surun corps de nombres arbitraire, on donnera une majoration du produit des idéauxmaximaux non-réduits.

Théorème 1.1 (Théorème 7.1). — Soit X un sous-schéma fermé réduit de di-mension pure d et de degré δ de Pn

K , dont l’adhérence de Zariski dans PnOK

est X .On désigne par Q(X ) l’ensemble des places telles que la réduction de X au dessuslaquelle ne soit pas réduite. Alors on a

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) 6 (2δ − 2)hOX(1)(X) + C0(d, n, δ),

où N(p) = #(OK/p), et hOX(1)(X) est la hauteur de X définie dans la définition 3.1.

De plus, on explicitera la constant C0(d, n, δ) dans le théorème 7.1.

1.2. La méthode. — D’abord on résout ce problème pour le cas où X est unehypersurface projective (voir le théorème 6.4). Dans ce but, on considère le polynômehomogène qui définit X comme un polynôme à coefficients dans l’anneau adéliqueAK (voir la remarque 3.14). Dans ce cas-là, on considère son polynôme primitif ausens adélique. De plus, on considère un résultant de ce polynôme primitif, qui estnon-nul lorsque l’hypersurface X est réduite. On donnera une majoration des idéauxmaximaux tels que la réductions modulo lequels la réduction s’annule, qui donne unecôntrole des places non-réduites.

Dans la suite, on résout le cas où X est un schéma projectif de dimension pure enutilisant la théorie de la forme de Chow et la forme de Cayley (voir le théorème 7.1).Si un schéma de dimension pure est réduit, toute composante irréductible de sa forme

CONTRÔLE DES PLACES NON-RÉDUITES 3

de Chow ou sa forme de Cayley est de multiplicité géométrique 1 (voir la définition2.1 pour la définition de la multiplicité géométrique).

La méthode dans cet article est différente de celle dans [5, 6]. La méthode danscet article est un calcul explicite et la méthode dans [5] est implicite. Comparéavec appliquant les estimations dans [5, 6] directement, notre majoration donne unemeilleure dépendance en la hauteur de X et, globalement, de meilleures constantes.Comme on utilise une méthode explicite, il faut utiliser la hauteur classique (ouappelée la hauteur naïve, voir la définition 3.2) directement. Alors pour le cas généralde dimension pure, on a besoin de comparer certaines hauteurs de X .

1.3. Organisation de l’article. — Cet article est organisé comme ci-dessous. Dansla section 2, on rappelera la théorie de la forme de Chow et la forme de Cayley,où l’approche est purement géométrique. Dans la section 3, on comparera quelqueshauteurs qui seront utilisées dans ce travail d’un schéma arithmétique de dimensionpure. Dans la section 4, on donnera une démonstration détaillée de la finité desplaces non-tésuites via [12, Théorème (9.7.7)]. Dans la section 5, on construira unrésultant particulier, et donnera une majoration des idéaux maximaux de OK telsque la réduction sur laquelles ce résultant s’annule. Dans la section 6, on donnera lamajoration mentionnée ci-dessus pour le cas d’une hypersurface au théorème 6.4, oùl’on considère le résultant de l’équation qui définit l’hypersurface. Dans la section 7,on traitera le cas d’un schéma de dimension pure général par la théorie de la formede Chow et la forme de Cayley au théorème 7.1.

Remerciments. — Ce travail fait partie de la thèse de l’auteur préparée à l’Univer-sité Paris Diderot - Paris 7. L’auteur voudrait remercier profondément ses directeursde thèse Huayi Chen et Marc Hindry pour ses suggèstions autour de ce travail. Chun-hui Liu a été subvenu par JSPS KAKENHI Grant Number JP17F17730, et il estsubvenu par JSPS grant (S) 16H06335 maintenant.

2. La forme de Chow et la forme de Cayley

Dans cette section, on rappelera les notions de la forme de Chow et de la forme deCayley d’un schéma projectif de dimension pure, où l’on utilise l’approche dans [3,§3.1]. On revoie [10] pour une introduction systématique de cette théorie. L’approcheest purement géométrique.

Dans tout l’article, tout l’anneau est un anneau commutatif unitaire sans mentionspéciale.

Soient A un anneau, et M un A-module. On désigne par ℓA(M) la longueur de Mcomme un A-module. On revoie les lecteurs à [4, §2.4] pour plus de détails sur cettenotion.

Soient A un anneau, M un A-module, et m un entier positif. On désigne parSymm

A (M) le m-ième produit symétrique de M , ou par Symm(M) s’il n’y a pas deambiguïté. De plus, on désigne

SymA(M) =⊕

i>0

SymiA(M).

4 CHUNHUI LIU

Soient k un corps, V un espace k-vectoriel de rang n + 1, et V ∨ l’espace dualde V . Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure de l’espace projectif P(V ).On considère certains invariants du schéma X . Ils peuvent classifier les sous-schémaslinéaires fermés de dimension n − d − 1 de P(V ) dont l’intersection avec X est nonvide.

La notion introduite au-dessous est de [9, §1.5].

Définition 2.1. — Soient X un schéma de dimension pure, et C(X) l’ensembledes composantes irréductibles de X . On définit le cycle fondamental de X comme lasomme formelle

[X ] =∑

X′∈C(X)

ℓOX,X′(OX,X′)X ′.

De plus, l’entier ℓOX,X′(OX,X′) est appelé la multiplicité géométrique de la composante

irréductible X ′ ∈ C(X) dans X .

Soient P(V )×k P(V∨)×k(d+1) le produit sur Spec k et Γ la sous-variété d’incidence

de P(V )×k P(V ∨)×k(d+1) qui classifie tous les points (ξ, u0, . . . , ud) tels que ξ(u0) =· · · = ξ(ud) = 0. On désigne par p : P(V ) ×k P(V ∨)×k(d+1) → P(V ) et q : P(V ) ×k

P(V ∨)×k(d+1) → P(V ∨)×k(d+1) les deux projections canoniques.On a le résultat suivant sur la structure de Γ introduit ci-dessus.

Proposition 2.2 ([1], §4.3). — Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure deP(V ), qui est de dimension d et de degré δ. On suppose que [X ] =

∑i∈I

miXi est le cycle

fondamental (voir la définition 2.1) de X. Alors q(Γ∩p−1(X)) est une hypersurface deP(V ∨)×k(d+1) de multi-degré (δ, . . . , δ). De plus, le cycle fondamental de l’hypersurfaceq(Γ ∩ p−1(X)) admet la forme de

∑i∈I

miX′i, où X ′

i est une hypersurface intègre de

multi-degré (deg(Xi), . . . , deg(Xi)) de P(V ∨)×k(d+1).

Définition 2.3. — L’hypersurface définie dans la proposition 2.2 correspond à unsous-k-espace vectoriel de rang 1 de l’espace Symδ(V ∨)⊗k(d+1), noté comme ΦX . Ondit que ΦX est la multi-forme de Chow du schéma X .

Remarque 2.4. — Soit φX un élément dans Symδ(V ∨)⊗k(d+1) qui représente ΦX ,alors on a

φX =∏

i∈I

φmi

Xi,

où tous les φXi∈ Symdeg(Xi)(V ∨)⊗k(d+1) sont des polynômes irréductibles distincts

de multi-degré (deg(Xi), . . . , deg(Xi)) sur V . Si le schéma X est intègre, alors φX estun polynôme irréductible.

Dans la suite, on va introduire la forme de Chow classique, où l’on utilise l’approchedans [10, §3.2.B]. Soit G = Gr(d + 1, V ∨) la grassmannienne qui classifie tous lesquotients de rang d + 1 de V ∨ (ou encore tous les sous-espaces de rang d + 1 deV ). On désigne par Γ′ la sous-variété d’incidence de P(V ) ×k G qui classifie tous lespoints (ξ, U) tels que ξ(U) = 0 (on considère U comme un sous-espace de V ). Soientp′ : P(V )×k G→ P(V ) et q′ : P(V )×k G→ G les deux projections canoniques.


La proposition suivante est une généralisation de [10, §3.2.B]. Le cas où l’onconsidère un schéma intègre est déjà considéré dans [3, Proposition 3.3]. Ici, ongénéralise ce résultat au cas général où le schéma X est de dimension pure.

Proposition 2.5. — Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure de P(V ),qui est de dimension d et de degré δ. On suppose que [X ] =

∑i∈I

miXi est le cycle

fondamental de X. Alors q′(Γ′ ∩ p′−1(X)) est une hypersurface de degré δ dans G.De plus, le cycle fondamental de l’hypersurface q′(Γ′ ∩ p′−1(X)) admet la forme de∑i∈I

miXi, où Xi est une hypersurface intègre de degré deg(Xi) sur G.

Démonstration. — La sous-variété d’incidence Γ′ est une fibration sur P(V ) dans lagrassmannienne G. D’abord, on suppose que X est intègre, alors on peut considérerla topologie de X seulement. Dans ce cas-là, il est déjà démontré dans [3, Proposition3.3].

SiX est un sous-schéma fermé de dimension pure de P(V ), par l’argument ci-dessus,on obtient que

[q′(Γ′ ∩ p′−1(X))] =∑

i∈I

mi(q′|Γ′)∗(p

′|Γ′)∗[Xi],

où [X ] est le cycle fondamental du schéma X .SoientXi et Xj deux composantes irréductibles distinctes de X , qui sont considérés

comme deux schémas intègres. Donc il existe un k-point P dans P(V ), tel que P ∈Xi(k) mais P 6∈ Xj(k). De plus, on obtient qu’il existe un sous-schéma k-linéairefermé qui intersecte Xi en un sous-schéma non vide mais n’intersecte pas Xj . Onen déduit (q′|Γ′)∗(p

′|Γ′)∗[Xi] 6= (q′|Γ′)∗(p′|Γ′)∗[Xj ] considérés comme cycles premiers.

Alors on a l’assertion.

On va introduire la forme de Cayley au-dessous. L’avantage de la forme de Cayleyest qu’on peut la construire à partir d’un système de générateurs de X qui sont dedegré δ. On rapelle que dans la construction de la multi-forme de Chow, on a vraimentutilisé la coordonnée de Stiefel de la grassmannienne. Si on utilise la coordonnée dePlücker, la même opération construit la forme de Cayley.

Par le plongement de Plücker G → P(∧d+1

V ∨), l’algèbre de coordonnéesB(G) =

⊕D>0

BD(G) de G est une algèbre quotient homogène de l’algèbre

⊕D>0

SymD(∧d+1

V ∨). Pour expliquer le rôle de la coordonnée de Plücker, on

considère la construction suivante : on désigne par

θ : V ∨ ⊗k

(∧d+1V

)→∧d

V

l’homomorphisme qui envoie ξ ⊗ (x0 ∧ · · · ∧ xd) sur

d∑

i=0

(−1)iξ(xi)x0 ∧ · · · ∧ xi−1 ∧ xi+1 ∧ · · · ∧ xd.

6 CHUNHUI LIU

Soit Γ la sous-variété de P(V )×kP(∧d+1 V ∨) qui classifie tous les point (ξ, α) tels que

θ(ξ ⊗ α) = 0. Soient p : P(V ) ×k P(∧d+1 V ∨) → P(V ) et q : P(V ) ×k P(

∧d+1 V ∨) →

P(∧d+1

V ∨) les deux projections canoniques. Alors on obtient la proposition suivanted’après la proposition 2.5, qui est une généralisation de [3, Proposition 3.4].

Proposition 2.6. — Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure de P(V ), quiest de dimension d et de degré δ. On suppose que [X ] =

∑i∈I

miXi est le cycle fonda-

mental de X. Alors q(Γ ∩ p−1(X)) est une hypersurface de degré δ de P(∧d+1 V ∨).

De plus, le cycle fondamental de l’hypersurface q(Γ ∩ p−1(X)) admet la forme de∑i∈I

miX′i, où X ′

i est une hypersurface intègre de degré deg(Xi) de P(∧d+1 V ∨).

Définition 2.7. — On désigne par ΨX le sous-k-espace vectoriel de dimension 1 deSymδ(

∧d+1 V ∨) qui définit l’hypersurface dans la proposition 2.6. On dit qu’elle estla forme de Cayley de X . La variété d’incidence Γ′ de P(V )×k G est l’intersection deΓ et P(V )×k G (plongée dans P(V )×k P(

∧d+1V ∨)).

Remarque 2.8. — On a l’observation suivante à partir de la relation entre lacoordonnée de Stiefel et la coordonnée de Plücker (voir la page 101 de [10]). Soit ψX

un élément dans Symδ(∧d+1 V ∨) qui représente ΨX considéré comme un polynôme

homogène de degré δ sur∧d+1

V . Alors le polynôme homogène φX de multi-degré(δ, . . . , δ) est défini comme

φX(x0, . . . , xd) = ψX(x0 ∧ · · · ∧ xd),

où φX est défini dans la définition 2.3. Par définition, si le schéma X est intègre, lepolynôme ψX est irréductible.

3. Hauteurs d’un schéma projectif

Dans cette section, on introduira certaines fonctions de hauteur, et comparera ceshauteurs.

3.1. Préliminaires. — Afin d’introduire des fonctions de hauteur, d’abord on in-troduit certaines notions de base dans la théorie algébrique des nombres. On utiliseraces notions dans tout l’article jusqu’à ce que mentionné spécialement.

Valeurs absolues sur un corps de nombres. — Soient K un corps de nombres, et OK

l’anneau des entiers de K. Dans la suite, on désigne par MK,f l’ensemble des placesfinies de K, par MK,∞ l’ensemble des places infinies de K et par MK l’ensemble desplaces deK. Pour tout v ∈MK,∞, on désigne par |.|v la valeur absolue à la place v, quisatisfait |a|v = |NKv/Qv

(a)|1/[Kv :Qv ], où |.| désigne la valeur absolue usuelle sur R ou C.

Pour tout v ∈MK,f , si Qv est le corps p-adique, on définit |a|v = |NKv/Qv(a)|

1/[Kv :Qv ]p ,

où |.|p est la valeur p-adique. Pour un p ∈ SpmOK qui est correspondant à v ∈MK,f ,


on désigne par |.|p la valeur absolue ci-dessus. De plus, on a la formule de produit∏

v∈MK

|a|[Kv:Qv]v = 1

pour tout a ∈ K× (cf. [16, Chap. III, (1.3)Proposition]).

Fibré vectoriel normé. — On appelle fibré vectoriel normé sur SpecOK toute donnéeE = (E , h), où :

1. E est un OK-module projectif de rang fini ;2. h = (‖.‖v)v∈MK,∞

est une famille de norme, où ‖.‖v est une norme sur E⊗OK,vC

qui est invariante sous l’action du groupe Gal(C/Kv).

Le rang de E est défini comme celui de E , noté comme rgOK(E) ou rg(E) s’il n’y a

pas d’ambiguïté.Si toutes les normes dans h sont hermitiennes, on dit que E est un fibré vectoriel

hermitien sur SpecOK . Si rg(E) = 1, on dit que E est un fibré en driotes hermitiensur SpecOK .

Soient L = (L, (‖.‖v)v∈MK,∞) un fibré en droites hermitien sur SpecOK , s ∈

L⊗OKK un élément non-nul. On définit le degré d’Arakelov normalisé de L comme

(1) degn(L) = −∑

v∈MK

[Kv : Qv]

[K : Q]‖s‖v,

où pour une place v ∈MK,f , on définit ‖s‖v = inf{|a|v|a ∈ K×

v , a−1s ∈ L⊗OK

OK,v

}.

Fonction de hauteur. — Soient E un fibré vectoriel hermitien de rang n + 1 surSpecOK , et EK = E ⊗OK

K. On désigne par Chownd,δ(K) l’ensemble des sous-schémas

fermés de P(EK), qui sont de dimension pure d et de degré δ plongés dans P(EK).Soit L =

(L, (‖.‖v)v∈MK,∞

)un fibré en droites ample hermitien sur P(E). Alors une

hauteur d’un schéma projectif par rapport au fibré en droites hermitien L est unefonction

hL : Chownd,δ(K) → R,

qui mesure la complexité arithmétique de ce K-schéma projectif.Plusieurs fonctions de hauteur de schémas projectifs arithmétiques seront utilisées

dans cet article. Soient X un sous-schéma fermé de P(EK) de dimension pure, et X

l’adhérence de Zariski de X dans P(E). D’abord on introduira une hauteur de X pourle cas général. Au cas où X est une hypersurface, on a quelques propriétés spéciales.

3.2. Hauteurs d’un schéma projectif de dimension pure. — D’abord, ondéfinit une fonction de hauteur introduite par G. Faltings dans [7, Definition 2.5] parla théorie de l’intersection arithmétrique. La théorie de l’intersection arithmétiqueest développée par H. Gillet et C. Soulé dans [11], voir [19] pour une introductionsystématique de cette théorie.

Définition 3.1 (Hauteur arakelovienne). — Soient K un corps de nombres,OK l’anneau des entiers de K, E un fibré vectoriel hermitien de rang n + 1 surSpecOK , et L un fibré en droites hermitien sur P(E). Soient X un sous-schéma fermé

8 CHUNHUI LIU

de dimension pure d de P(EK), et X l’adhérence de Zariski deX dans P(E). La hauteurarakelovienne de X est définie comme le nombre de l’intersection arithmétique

1

[K : Q]deg

(c1(L)

d+1 · [X ]),

où c1(L) est la première classe de Chern arithmétique de L. Cette hauteur est notéecomme hL(X) ou hL(X ).

3.3. Hauteur d’une hypersurface projective. — Soit E un fibré vectoriel her-mitien de rang n+1 sur SpecOK . Dans cette partie, on discutera des hauteurs d’unehypersurface dans P(EK).

Soit f(T0, T1, . . . , Tn) un polynôme homogène à coefficients dans K de degré δ,alors

X = Proj (K[T0, . . . , Tn]/ (f(T0, T1, . . . , Tn)))

est un sous-schéma fermé de P(EK) de dimension n−1. En effet il est une hypersurfacede P(EK) de degré δ (cf. [13, Proposition 7.6, Chap. I]).

Définition 3.2 (Hauteur classique). — Soit

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

un polynôme non-nul à coefficients dans K. La hauteur classique h(f) du polynômehomogène f est définie comme

h(f) =∑

v∈MK

[Kv : Qv]

[K : Q]log max

(i0,...,in)∈Nn+1

{|ai0,...,in |v}.

De plus, si f est homogène et X est l’hypersurface de PnK définie par f , on définit

h(X) = h(f) comme la hauteur classique de l’hypersurface X .

Par définition, la hauteur introduite dans la définition 3.2 est invariante sous touteextension finie de corps de nombres.

Afin d’introduire une autre fonction de hauteur, on introduit la mesure de Mahlerci-dessous.

Définition 3.3 (Mesure de Mahler). — Soit f(T1, . . . , Tn) ∈ C[T1, . . . , Tn] unpolynôme. On définit la mesure de Mahler du polynôme f(T1, . . . , Tn) comme

M(f) = exp

(∫

[0,1]nlog |f(e2πit1 , . . . , e2πitn)|dt1 · · · dtn

),

où |.| est la valeur absolue usuelle sur C.

Pour un corps de nombres K, soient f(T1, . . . , Tn) ∈ K[T1, . . . , Tn] et v : K → C

un plongement. On définit

(2) Mv(f) = exp

(∫

[0,1]nlog |v(f)(e2πit1 , . . . , e2πitn)|dt1 · · · dtn

)


comme la mesure de Mahler du polynôme f par rapport au plongement v, où |.| estla valeur absolue usuelle sur C.

On va introduire la fonction de hauteur ci-dessous, qui est originaire de [17,Définition 1.10].

Définition 3.4 (Hauteur de Philippon). — Soit X une hypersurface de P(EK)définie par le polynôme homogène

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n ,

la hauteur de Philippon de X est définie comme

hPh(X) :=∑

v∈MK,f

[Kv : Qv]

[K : Q]log ‖f‖v +

1

[K : Q]

∑

v∈MK,∞

logMv(f),

où l’on définit

(3) ‖f‖v = max(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

{|ai0,i1,...,in |v}

pour tout v ∈ MK,f , et Mv(f) est la mesure de Mahler de f par rapport à la placev ∈MK,∞ définie par (2) dans la définition 3.3.

Soient E un fibré vectoriel hermitien sur SpecOK , et s ∈ H0(P(EK),OP(EK)(δ))une section globale non-nulle. Pour toute place infinie v ∈MK,∞ fixée, on définit

(4) ‖s‖v,∞ = supx∈P(EK,v)(C)

‖s(x)‖v,FS = sup‖x‖v=1

‖s(x)‖v,FS.

Soient U(EK,v, ‖.‖v) le groupe unitaire qui s’agit sur EK,v, et dv(x) la mesureU(EK,v, ‖.‖v)-invariante unique probabiliste sur P(EK,v)(C), ce qui signifie

∫

P(EK,v)(C)

dv(x) = 1.

Soit ‖.‖v,FS la métrique de Fubini-Study sur P(EK,v)(C) par rapport à la place infiniev. On définit

(5) ‖s‖v,0 = exp

(∫

P(EK,v)(C)

log ‖s(x)‖v,FSdv(x)

).

Pour tout nombre réel strictement positif p, on définit

(6) ‖s‖v,p =

(∫

P(EK,v)(C)

‖s(x)‖pv,FSdv(x)

)1/p

.

Avec les norme (4), (5) et (6) sur l’espace ∈ H0(P(EK),OP(EK)(δ)), on définit lafonction de hauteur suivante.

10 CHUNHUI LIU

Définition 3.5 (p-hauteur). — Soit s ∈ H0(P(EK),OP(EK)(δ)) une section globalenon-nulle. On définit la p-hauteur de l’hypersurface X de P(EK) définie par la sectionglobale s comme

hp(X) =∑

v∈MK,f

[Kv : Qv]

[K : Q]log ‖s‖v +

∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log ‖s‖v,p,

où ‖s‖v est le même que (3) pour v ∈MK,f considéré comme un polynôme homogène,et la norme ‖.‖v,p est définie dans les égalités (4), (5) et (6) pour les p ∈ [0,+∞].

Sur la comparaison des hauteurs. — Dans la suite, on comparera certaines hau-teurs de X utiles dans cette partie. On considère le fibré vectoriel hermitien E =(O

⊕(n+1)K , (‖.‖v)v∈MK,∞

)sur SpecOK , qui est muni des ℓ2-normes définies suivantes :

pour tout plongement v : K → C, la norme ‖.‖v envoie le point (x0, . . . , xn) sur√|v(x0)|2 + · · ·+ |v(xn)|2, où |.| est la valeur absolue usuelle sur R ou C.Soit s ∈ H0(P(EK),OP(EK)(δ)) une section globale non-nulle. On considère une

telle section comme un polynôme homogène de degré δ dans K[T0, . . . , Tn]. D’après[18, Théorème 1], on a

0 6 logMv(s)− log ‖s‖v,0 6 4δ log(n+ 1)

pour toute place v ∈ MK,∞, où Mv(s) est la mesure de Mahler de la section sconsidérée comme un polynôme homogène de degré δ par rapport à cette place v,voir la définition 3.3 et (2) pour la définition de la mesure de Mahler par rapport àla place v ∈MK,∞.

Soit X l’hypersurface définie par la section globale s ∈ H0(P(EK),OP(EK)(δ)), alorson en déduit

(7) 0 6 hPh(X)− h0(X) 6 4δ log(n+ 1),

voir la définition 3.4 et la définition 3.5 pour les définitions des deux hauteurs dansl’inégalité (7).

Pour comparer la hauteur classique et la hauteur de Philippon d’une hypersurface,il faut comparer la mesure de Mahler et la valeur absolue maximale des coefficientsdu polynôme qui définit l’hypersurface, où une place infinie v ∈ MK,∞ est fixée. Onutilise la méthode dans [14, §B.7].

Soitf(T1, . . . , Tn) =

∑

(i1,...,in)∈Nn

ai1,...,inTi11 · · ·T in

n

un polynôme à coefficients dans C. On définit la L2-norme de f comme

L2(f) =

(∫

[0,1]n

∣∣f(e2πit1 , . . . , e2πitn)∣∣2 dt1 · · · dtn

)1/2

(8)

=

∑

(i1,...,in)∈Nn

|ai1,...,in |2

1/2

,

où |.| est la valeur absolue usuelle sur C.


Avec les notations ci-dessus, on cite deux lemmes suivants.

Lemme 3.6 ([14], Lemma B.7.3.1). — Soient f, g ∈ C[T1, . . . , Tn] deux polynômesnon-nuls. On suppose degTj

(f) 6 dj . Soient M(f) la mesure de Mahler définie dans

la définition 3.3, et L2(.) défini dans l’équalité (8). Alors on a :

1. L2(f) 6 [(d1 + 1) · · · (dn + 1)]1/2 max(i1,...,in)∈Nn

|ai1,...,in | ;

2. M(fg) =M(f)M(g) ;3. M(f) 6 L2(f).

Lemme 3.7 ([14], Lemma B.7.3.2). — Avec toutes les notations dans le lemme3.6. Soit

f(T1, . . . , Tn) =∑

(i1,...,in)∈Nn

ai1,...,inTi11 · · ·T in

n

un polynôme non-nul à coefficients dans C. On définit degTj(f) comme le degré de

f considéré comme un polynôme de la variable Tj, où 1 6 j 6 n. On suppose quedegTj

(f) 6 dj. Alors

|ai1,...,in | 6

(d1i1

)· · ·

(dnin

)M(f) 6 2d1+···+dnM(f).

Avec les lemmes 3.6 et 3.7, on peut comparer la hauteur classique et la hauteur dePhilippon d’une hypersurface projective.

Proposition 3.8. — Soit X → P(EK) une hypersurface projective de degré δ définiepar le polynôme homogène

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n .

Alors on a

−1

2log((n+ 1)(δ + 1)) 6 h(X)− hPh(X) 6 (n+ 1)δ log 2,

où la hauteur de Philippon hPh(X) de X est définie dans la définition 3.4, et lahauteur classique h(X) de X est définie dans la définition 3.2.

Démonstration. — D’après les lemmes 3.6 et 3.7, soit v ∈MK,∞, on a

∏

v∈MK,∞

Mσ(f)√(d0 + 1) · · · (dn + 1)

6∏

v∈MK,∞

max(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

{|v(ai0,i1,...,in)|}

6∏

v∈MK,∞

2(n+1)δMv(f),

où di = degTi(f) est défini dans le lemme 3.7. Si v ∈MK,f , alors


i0+···+in=δ

{|ai0,i1,...,in |v} = ‖f‖v.

12 CHUNHUI LIU

Donc par la définition 3.4 et la définition 3.2, on obtient le résultat, car di 6 δ pourtout i ∈ {0, 1, . . . , n}.

Hauteur de la forme de Cayley. — On a déjà défini la forme de Chow et la formede Cayley dans §2. Afin d’étudier la hauteur de la forme de Cayley sur un corps denombres, on introduit une notion suivante.

Définition 3.9 (Sous-module saturé). — Soient K un corps de nombres, et OK

l’anneau des entiers de K. Soient E un OK-module projectif de rang fini, et F unsous-OK-module de E. On dit que F est un sous-OK-module saturé de E si E/F estun OK-module quotient sans-torsion.

Définition 3.10 (Saturation d’un espace vectoriel)Soient K un corps de nombres, et OK l’anneau des entiers de K. Soient E

un OK -module projectif de rang fini, et V est sous-espace K-vectoriel de EK . Lasaturation de V dans E est le plus grand sous-OK-module saturé F de E tel queFK = V .

On fixe E =(O

⊕(n+1)K , (‖.‖v)v∈MK,∞

)le fibré vectoriel hermitien sur SpecOK ,

qui est muni des ℓ2-normes définies suivantes : pour tout plongement v : K → C,la norme ‖.‖v envoie le point (x0, . . . , xn) sur

√|v(x0)|2 + · · ·+ |v(xn)|2, où |.| est la

valeur absolue usuelle sur R ou C.Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure de P(EK), qui est de dimension

d et de degré δ. La forme de Cayley ΨX,K s’identifie un sous-K-espace vectoriel de

dimension 1 de SymδK

(∧d+1 E∨K

), dont la saturation ΨX dans Symδ

OK

(∧d+1 E∨)

s’identifie le sous-fibré en droites hermitien ΨX =(ΨX , (‖.‖v,0)v∈MK,∞

)sur SpecOK ,

où la norme ‖.‖v,0 est défnie dans (5). On prend un ψX,K ∈ SymδK

(∧d+1 E∨K

)qui

engendre ΨX,K .

Par la définition 3.5, le degré d’Arakelov normalisé −degn(ΨX) est égal à la 0-hauteur de l’hypersurface dans P(

∧d+1 EK) définie par ψX,K , où degn(.) est définidans (1). On désinge par h0(X) cette hauteur.

D’après [1, Theorem 4.3.8], on a

(9) h0(X) = hO(1)(X)−1

2δHN ,

où N = rg(∧d+1 EK) − 1 =

(n+1d+1

)− 1, HN = 1 + 1

2 + · · · + 1N , et O(1) est muni des

métriques de Fubini-Study à partir de E au-dessus.

3.4. Hauteur adélique. — Dans cette partie, on introduira une fonction de hau-teurs de la version adélique d’une hypersurface.


Rappel de l’anneau adélique. — D’abord, on rappelle la définition de l’anneau adé-lique (ou appelé l’anneau des adèles). Étant donnés un corps de nombre K et sonanneau des entiers OK , on désgine par

AK =

{(av)v ∈

∏

v∈MK

Kv | av ∈ OK,v sauf pour un nombre fini de v ∈MK,f

}

l’anneau adélique de K, et par

AOK= {(av)v ∈ AK | av ∈ OK,v pour tout v ∈MK,f}

l’anneau adélique des entiers de K, voir [16, Chap. VI, §1] pour une introductionautonome de ces notions.

Soit c ∈ K, on désigne par ∆(c) son image dans AK par rapport au plongementdiagonal ∆ : K → AK . De plus, soit a = (av)v∈MK

∈ AK , on définit

(10) |a|AK=

∏

v∈MK

|av|[Kv :Qv]v .

Par la formule de produit (cf. [16, Chap III, (1.3)Proposition]), si a est l’image d’unélément dans K× par rapport à ∆ : K → AK , on a |a|AK

= 1.On a le lemme suivant sur l’existance d’un élément particulier dans AK .

Lemme 3.11. — Soit a un idéal fractionnaire de OK avec la décompositionpn1

1 · · · pnk

k , où p1, . . . , pk sont des idéaux primiers de OK et n1, . . . , nk ∈ Z. Alors ilexiste un élément a = (av)v∈MK

∈ AK , tel que |a|AK= 1 et à la place v ∈ MK,f par

rapport à pi, av engendre le même idéal fractionnaire que pni

i OK,pidans Kpi

.

Démonstration. — Pour chaque pi ∈ SpmOK , soit ωi une uniformisante de OK,pi,

dont l’existance est d’après le fait que OK,piest un anneau principal. Afin de construire

un tel a = (av)v∈MK, pour une place v ∈ MK,f par rapport à pi, on pose av = ωni

i .Pour les autre places finies v, on pose av = 1.

Pour toute place v ∈MK,∞, on a Kv∼= R ou C. Alors on pose

av =

∣∣∣∣∣k∏

i=1

#(OK/pi)ni/[Kpi

:Qpi]

∣∣∣∣∣

pour toutes les places v ∈ MK,∞. Par un calcul élémentaire, cet élément (av)v∈MK

satisfait l’assertion.

Hauteur sur un anneau adélique. — Dans la suite, on considère un polynôme surl’anneau adélique. Pour introduire une fonction de hauteur, on va définir ses partieslocales comme suite.

Définition 3.12 (Partie locale). — Soient {ai0,...,in} = {(avi0,...,in)v∈MK} une

famille finie des éléments dans AK avec les indices (i0, . . . , in) ∈ Nn+1, et

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

14 CHUNHUI LIU

un polynôme non-nul dans AK [T0, . . . , Tn]. Pour toute place v ∈MK , on désigne par

f (v)(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

avi0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

le polynôme de la v-partie de f(T0, T1, . . . , Tn), ou par f (p)(T0, T1, . . . , Tn) pour lep ∈ SpmOK correspondant à une place v ∈MK,f qui est appelé la p-partie.

Soient f et f (v) les mêmes que dans la définition 3.12. Pour une place v ∈MK , ondésigne

‖f‖v = ‖f (v)‖v = max(i0,...,in)∈Nn

{∣∣avi0,i1,...,in∣∣v

},

ou par ‖f‖p et ‖f (p)‖p pour le p ∈ SpmOK correspondant à la place finie v ∈MK,f .De plus, pour une place infinie v ∈MK,∞, on désigne

‖f‖2,v = ‖f (v)‖2,v =

∑

(i0,...,in)∈Nn

∣∣avi0,i1,...,in∣∣2v

12

.

Avec les notations au-dessus, on introduit une fonction de hauteur comme ci-dessous.

Définition 3.13 (Hauteur adélique). — Soit f(T0, . . . , Tn) le même que dans ladéfinition 3.12. Les deux hauteurs adéliques de f(T0, . . . , Tn) sont définies comme

HAK(f) =

∏

v∈MK

‖f‖[Kv:Qv]v ,

etHAK ,2(f) =

∏

v∈MK,f

‖f‖[Kv:Qv ]v ·

∏

v∈MK,∞

‖f‖[Kv:Qv]2,v .

De plus, on définit les hauteurs logarithmiquement adéliques comme

h(f) =1

[K : Q]logHAK

(f)

et

h2(f) =1

[K : Q]logHAK ,2(f)

respectivement.

Remarque 3.14. — Par un calcul élémentaire, la hauteur adélique est invariantesous la multiplication d’un élément a ∈ AK avec |a|AK

= 1, et est bien sûr invariantesous la multiplication d’un élément d’un élément dans K× considéré comme unélément dans AK par le plongement diagonal.

Soientf(T0, T1, . . . , Tn) =

∑

(i0,...,in)∈Nn+1

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

un polynôme non-nul dans K[T0, . . . , Tn], et

g(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

∆(ai0,i1,...,in)Ti00 T

i11 · · ·T in

n


un polynôme à coefficients dans AK , où ∆ : K → AK est le plongement diagonal.Alors on a

HK(f) = HAK(g) et HK,2(f) = HAK ,2(g),

où HK(f) est défini dans la définition 3.2.

On a le résultat suivant pour la comparaison des deux hauteurs adéliques intro-duites dans la définition 3.13.

Lemme 3.15. — Avec toutes les notations dans la définition 3.13. Soit

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

un polynôme homogène de degré δ. On a

0 6 h2(f)− h(f) 61

2log

(n+ δ

n

).

Démonstration. — Pour les place finies, h(f) et h2(f) sont les mêmes. Pour une placev ∈MK,∞ fixée, on a


i0+···+in=δ

{|avi0,...,in |v} 6

∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

|avi0,...,in |2v

12

(11)

6

(n+ δ

n

) 12


i0+···+in=δ

{|avi0,...,in |v}.

Alors on obtient l’assertion par un calcul élémentaire.

4. Passage aux réductions modulo les places finies

Dans cette partie, on rappelera la théorie de passage aux réductions modulo lesplaces finies. On donnera une démonstration détaillée de la finité des réductions non-réduites.

4.1. Ensembles constructibles. — D’abord, on rappelle la notion de l’ensembleconstructible. On revoie les lecteurs à [8, §1.4] pour une introduction autonome à lanotion d’ensemble constructible.

Un espace topologique X est appelé un espace topologique noethérien si toute suitedécroissante de fermés de X est stationnaire : pour toute suite

Y1 ⊇ Y2 ⊇ · · ·

de sous-ensembles fermés Yi de X , il existe un entier positif m tel que Ym = Ym+1 =Ym+2 = · · · .

16 CHUNHUI LIU

Soit X un espace topologique noethérien. Un sous-espace topologique de X estappelé localement fermé s’il est l’intersection d’un sous-ensemble ouvert et un sous-ensemble fermé de X . On suppose que X est un espace topologique noethérien. On ditqu’un sous-ensemble de X est constructible s’il est l’union d’un nombre fini de sous-ensembles localement fermés. Par définition, si X1 et X2 sont des sous-ensemblesconstructibles, alors X1 ∩X2, X1 ∪X2 et X1 rX2 sont constructibles aussi.

Soit Y un sous-espace topologique de X . On dit que Y est localement construc-tible dans X s’il existe un recouvrement ouvert {Ui}i∈I de X , tel que Y ∩ Ui soitconstructible dans Ui pour tout i ∈ I.

Proposition 4.1 ([8], Proposition 1.4.1). — Soit X un espace topologique noe-thérien. Un sous-ensemble Y de X est constructible si et seulement si, pour toutsous-ensemble fermé F de X tel que Y ∩ F soit dense dans F , l’ensemble Y ∩ Fcontient un sous-ensemble ouvert non vide de F .

Remarque 4.2. — Soit X = SpecA, où A est un anneau de Dedekind. Tout sous-ensemble localement constructible E de X est constructible. S’il contient le pointgénérique de X , il contient un sous-ensemble ouvert. Alors le complément de E estun ensemble fini. On démontera l’assertion dans le corollaire 4.4.

4.2. Passage aux réductions d’un schéma arithmétrique. — D’abord, onréférence le résultat ci-dessous, qui sera utile dans ce travail.

Théorème 4.3 ([12], Théorème (9.7.7)). — Soit X → S un morphisme deprésentation finie de schémas, et soit E l’ensemble des s ∈ S pour lequel Xs =X ×S Specκ(s) a l’une des propriétés suivantes : être :

1. géométriquement irréductible ;2. géométriquement connexe ;3. géométriquement réduit ;4. géométriquement intègre.

Alors E est localement constructible dans S.

On applique le théorème 4.3 au cas d’un schéma réduit sur l’anneau des entiersd’un corps de nombres, alors on obtient le résultat suivant.

Corollaire 4.4. — Soient K un corps de nombre, et OK l’anneau des entiers deK. On suppose que X → SpecOK est un schéma réduit, alors il n’a y qu’un nombrefini de places p ∈ SpecOK telles que la fibre XFp

= X ×SpecOKSpecFp ne soit pas

réduite, où Fp le corps résiduel de OK en p. C’est-à-dire que le cardinal de l’ensembledes places non-réduites du schéma X → SpecOK est fini.

Démonstration. — La fibre générique XK de X → SpecOK est réduit, comme XK =X ×SpecOK

SpecK est une localisation de X . Comme K est un corps parfait, d’après[15, Corollary 3.2.14], le schéma XK est géométriquement réduit. Par le théorème4.3, l’ensemble E des p ∈ SpecOK tels que le schéma XFp

soit réduit est un ensemblelocalement constructible, donc E est un ensemble constructible par définition. D’aprèsla proposition 4.1, l’ensemble E contient un sous-ensemble ouvert de SpecOK , donc


le complément de E est contenu dans un sous-ensemble fermé de SpecOK , qui doitêtre un ensemble fini.

5. Une estimation de l’annulation de résultant par réductions

Dans cette section, pour un polynôme sur un corps de nombres K, on donnera unemajoration de l’annulation d’un de ses résultants par réductions. Cette majorationdépend la hauteur, le degré et le nombre des variables de ce polynôme.

5.1. Résultant sur un anneau. — Étant donné un anneau A. Soit

f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

un polynôme homogène de degré δ à coefficients dans A. On désigne par di = degTi(f)

pour i = 0, . . . , n, et on suppose dn = max{d0, . . . , dn} sans perte de généralité. Onécrit f(T0, T1, . . . , Tn) comme la forme de

(12) f(T0, . . . , Tn) = sdn(T0, . . . , Tn−1)T

dnn + · · ·+ s0(T0, . . . , Tn−1),

où l’on a sdn(T0, . . . , Tn−1) 6= 0.

Par (12), on considère f(T0, . . . , Tn) comme un polynôme de degré dn à coefficientsdans l’anneau A[T0, . . . , Tn−1] de degré dn, alors ∂f

∂Tnest de degré dn−1 à coefficients

dans A[T0, . . . , Tn−1]. Par le sens ci-dessus, le résultant de f(T0, . . . , Tn) et ∂f∂Tn

est

Resdn

(f,

∂f

∂Tn

)(13)

= sdndet

1 sdn−1 · · · s0sdn

sdn−1 · · · s0. . .

. . .. . .

. . .sdn

sdn−1 · · · s0dn (dn − 1)sdn−1 · · · s1

dnsd (d− 1)sd−1 · · · s1. . .

. . .. . .

. . .dnsdn

(dn − 1)sdn−1 · · · s1

.

18 CHUNHUI LIU

On désigne

Res′dn

(f,

∂f

∂Tn

)(14)

= det

1 sdn−1 · · · s0sdn

sdn−1 · · · s0. . .

. . .. . .

. . .sdn

sdn−1 · · · s0dn (dn − 1)sdn−1 · · · s1

dnsdn(dn − 1)sdn−1 · · · s1

. . .. . .

. . .. . .

dnsdn(dn − 1)sdn−1 · · · s1

pour simplicifier. Par la construction au-dessus, on a Res′dn

(f, ∂f

∂Tn

)∈ A[T0, . . . , Tn−1].

5.2. Polynôme adéliquement primitif. — Maintenant on travaille sur un corpde nombre K et son anneau des entiers OK . Soit

(15) f(T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

un polynôme homogène non-nul de degré δ à coefficients dans K. On désigne pardi = degTi

(f) pour i = 0, . . . , n, et on suppose dn = max{d0, . . . , dn}. On écritf(T0, T1, . . . , Tn) comme la forme de

f(T0, . . . , Tn) = sdn(T0, . . . , Tn−1)T

dnn + · · ·+ s0(T0, . . . , Tn−1),

où l’on a sdn(T0, . . . , Tn−1) 6= 0.

On considère f(T0, T1, . . . , Tn) comme un polynôme à coefficients dans AK parrapport au plongement diagonal ∆ : K → AK . Par le lemme 3.11, il existe un élémentc = (cv)v∈MK

∈ AK avec |c|AK= 1 (voir (10) pour la définition de |.|AK

), tel que pourtoute place v ∈MK,f , on ait


i0+···+in=δ

{|c∆(ai0,...,in)|v} = 1.

On désigne par bi0,...,in = (bvi0,...,in)v = c∆(ai0,...,in) pour simplifier, et on dit que

F (T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

bi0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

est le polynôme adéliquement primitif de f(T0, T1, . . . , Tn). En effet, on aF (T0, T1, . . . , Tn) ∈ AOK

[T0, . . . , Tn].Par définition, le polynôme F (T0, . . . , Tn) adéliquement primitif de f(T0, . . . , Tn)

admet la forme de

(16) F (T0, . . . , Tn) = s′dn(T0, . . . , Tn−1)T

dnn + · · ·+ s′0(T0, . . . , Tn−1),


où tous les s′i ∈ AOK[T0, . . . , Tn−1] sont obtenus par la multiplication de c ∈ AK

au-dessus au si pour les i = 0, . . . , dn. Par définition, on a s′dn(T0, . . . , Tn−1) 6= 0.

5.3. L’estimation d’une hauteur du résultant. — Soit

F (T0, T1, . . . , Tn−1) =∑

(i0,...,in−1)∈Nn

bi0,i1,...,in−1T i00 T

i11 · · ·T

in−1

n−1

un polynôme non-nul à coefficients dans AK , où l’on désigne bi0,...,in−1=

(bvi0,...,in−1)v∈MK

. Pour tout p ∈ SpmOK qui est correspondant à la place v ∈ MK,f ,on définit son norme donnée par le modèle comme

‖F‖p= ‖F (p)‖p = max

(i0,...,in−1)∈Nn

{|bvi0,...,in |v

},

où la p-partie F (p) est défini dans la définition 3.12. Si F ∈ AOK[T0, . . . , Tn−1], on

désigne

(17) P(F ) = {p ∈ SpmOK | F (p) mod p[T0, . . . , Tn−1] = 0}.

Pour une place infinie v ∈MK,∞, on désigne par

‖F‖v = max(i0,...,in−1)∈Nn

{∣∣∣bvi0,i1,...,in−1

∣∣∣v

}

et

‖F‖2,v =

∑

(i0,...,in−1)∈Nn

∣∣∣bvi0,i1,...,in−1

∣∣∣2

v

12

,

qui sont les mêmes que ceux dans §3.4.Soient F1, . . . , Fm ∈ AK [Tn, . . . , Tn−1]. Pour toute place v ∈MK,∞, on définit

(18) ‖(F1, . . . , Fm)‖2,v =√‖F1‖22,v + · · ·+ ‖Fm‖22,v.

Pour le polynôme F (T0, . . . , Tn) défini dans (16), on définit Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)∈

AOK[T0, . . . , Tn−1] comme (14). Afin d’estimer la taille de l’ensemble P

(Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

))

défini dans (17), on a le résultat suivant.

Proposition 5.1. — Avec toutes les notations et constructions au-dessus. SoitF (T0, . . . , Tn) déterminé dans (16) sur AOK

à partir de f(T0, . . . , Tn) à (15). Pourun p ∈ SpmOK , on désigne N(p) = #(OK/p). Alors on a

1

[K : Q]

∑

p∈P(Res′dn(F, ∂F

∂Tn))

logN(p)

6 (2dn − 2)h(f) + (dn − 1) log

(n+ δ

n

)+ log(2ddn

n − ddn−1n ).

où h(f) est défini dans la définition 3.2.

20 CHUNHUI LIU

Démonstration. — Si dn = max{d0, . . . , dn} = 1, on a Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)= 1 par

définition directement. Donc l’ensemble P(Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

))est vide, qui satisfait

l’inégalité dans l’énoncé.

Dans le reste de la démonstration, on suppose dn > 2. Comme Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)∈

AOK[T0, . . . , Tn−1], alors pour tout p ∈ SpmOK , on a

∥∥∥∥∥Res′dn

(F,

∂F

∂Tn

)(p)∥∥∥∥∥p

6 1.

Donc on a1

[K : Q]

∑


∂Tn))

logN(p)

6 −∑


∂Tn))

[Kp : Qp]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(p)∥∥∥∥∥p

.

De plus, l’inégalité ∥∥∥∥∥Res′dn

(F,

∂F

∂Tn

)(p)∥∥∥∥∥p

< 1

est vérifiée si et seulement si p ∈ P(Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)). D’où l’on obtient

−∑


∂Tn))

[Kp : Qp]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(p)∥∥∥∥∥p

= −∑

p∈SpmOK

[Kp : Qp]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(p)∥∥∥∥∥p

= −h

(Res′dn

(F,

∂F

∂Tn

))+

∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(v)∥∥∥∥∥v

6∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(v)∥∥∥∥∥2,v

.

Pour l’inégalité dernière ci-dessus, le polynôme Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)∈ AK [T0, . . . , Tn−1]

est obtenu par la multiplication d’un élément c ∈ AK à un polynôme dansK[T0, . . . , Tn−1], où l’on a avec |c|AK

= 1. Alors d’après la remarque 3.14 et la

définition 3.2, h(Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

))est toujours plus grande que ou égale à 0. On le

combine avec (11) dans le lemme 3.15, on a l’assertion.

Afin d’estimer

∥∥∥∥Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)(v)∥∥∥∥2,v

pour une place v ∈ MK,∞, on revoie que

c’est la v-partie de Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)définie dans (14) sur l’anneau AOK

. Soit wvi le


i-ième vecteur de ligne dans la v-partie de la matrice supprimant la première colonnedans (14), où i = 1, . . . , 2dn − 1. Alors on écrit la matrice comme la forme de

Res′dn

(F,

∂F

∂Tn

)(v)

= det

1 wv1...

wvdn−1

dn wvdn

...wv

2dn−1

.

D’abord on développe la matrice ci-dessus par rapport à la permière colonne,qui a deux éléments non-nuls seulement. Soient Mv et Nv les cofacteurs de 1 et dnrespectivement dans cette matrice. En effet, on a

Mv =

wv2...

wv2dn−1

et Mv =

wv1...

wvdn−1

wvdn+1...

wv2dn−1

.

Par définition, on a∥∥∥∥∥Res

′dn

(F,

∂F

∂Tn

)(v)∥∥∥∥∥2,v

6 ‖ det(Mv)‖2,v + dn‖ det(Nv)‖2,v.

En raison du fait que la norme ‖.‖2,v est hermitienne sur Kv[T0, . . . , Tn], d’après[2, Corollaire 1, §3.5 Chap. V], on a

‖ det(Mv)‖2,v 6

2dn−1∏

i=2

‖wvi ‖2,v et ‖ det(Nv)‖2,v 6

1

‖wvdn‖2,v

2dn−1∏

i=1

‖wvi ‖2,v,

où chaque ‖wvi ‖2,v est défini dans (18) pour i = 1, . . . , 2dn − 1.

Par définition, on a ‖wvi ‖2,v 6 ‖F‖2,v pour les i = 1, . . . , dn − 1, ‖wv

dn‖2,v 6

(dn − 1)‖F‖2,v, et ‖wvi ‖2,v 6 dn‖F‖2,v pour les i = dn + 1, . . . , 2dn − 1. Alors on

obtient

‖ det(Mv)‖2,v 6 (dn − 1)ddn−1n ‖F‖2dn−2

2,v et dn‖ det(Nv)‖2,v 6 ddnn ‖F‖2dn−2

2,v .

On combine les estimations au-dessus, et on obtient

∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log


(F,

∂F

∂Tn

)(v)∥∥∥∥∥2,v

6 (2dn − 2)∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log ‖F‖2,v + log(2ddn

n − ddn−1n ).

22 CHUNHUI LIU

Comme F est le polynôme adéliquement primitif de f , on a∑

v∈MK,∞

[Kv : Qv]

[K : Q]log ‖F‖2,v = h2(F ).

D’après la remarque 3.14 et la proposition 3.15, on a

h2(F ) 6 h(F ) +1

2log

(n+ δ

n

)= h(f) +

1

2log

(n+ δ

n

),

où et h(f) est défini dans la définition 3.2. Donc on obtient le résultat.

6. Contrôle des places non-réduites d’une hypersurface projective

Étant donné un fibré vectoriel hermitien E sur SpecOK de rang n + 1. Soient Xune hypersurface projective de P(EK), et X l’adhérence de Zariski de X dans P(E).Dans cette section, lorsque X est réduite, on donnera une majoration du produit desnormes des idéaux maximaux p ∈ SpmOK tels que XFp

= X ×SpecOKSpecFp ne

soit pas réduit, où Fp est le corps résiduel de OK en p.

6.1. Résultats préliminaires. — Pour le critère du résuissant d’hypersurface etl’estimation numérique, il faut des résultats auxiliaires suivants.

Critère du réduisant d’une hypersurface. — Pour introduire une méthode de critèrede réduissant d’une hypersurface, d’abord on référence le résultat suivant, qui est unecritère du réduisant de l’hypersurface affine.

Lemme 6.1 ([15], Exercise 2.4.1). — Soient k un corps, et P ∈ k[T1, . . . , Tn]un polynôme non-nul. Alors le schéma Spec (k[T1, . . . , Tn]/(P )) est réduit (resp. ir-réductible ; resp. intègre) si et seulement si P n’a pas de facteur carré (resp. est unepuissance d’un polynôme irréductible, resp. est irréductible).

Le résultat suivant est une conséquence directe du lemme 6.1.

Corollaire 6.2. — Soient k un corps, et P ∈ k[T0, . . . , Tn] un polynôme homogènenon-nul. Alors X = Proj (k[T0, . . . , Tn]/(P )) est réduit si et seulement si P n’a pasde facteur carré.

Certaines inégalités auxiliaires. — On a un lemme sur certaines inégalités de nombresréels ci-dessous.

Lemme 6.3. — Soient a, b > 1 et n > 2 trois entiers. Alors les inégalités

(2aa − aa−1)(2bb − bb−1) 6 2(a+ b)a+b − (a+ b)a+b−1

et

(a− 1) log

(a+ b+ n

n

)+ (b− 1) log

(b+ n− 1

n− 1

)6 (a+ b− 1) log

(a+ b+ n

n

)

sont vérifiées.


Démonstration. — Pour la première inégalité, le côté droit égal à (a+ b)a+b−1(2(a+b)− 1), et on a (a+ b)a+b−1(2(a+ b)− 1) > aa−1bb−1(a+ b)(2(a+ b)− 1).

De plus, on a (a+ b)(2(a+ b)− 1)− (2a− 1)(2b− 1) = 2a2 + a+ 2b2 + b − 1 > 0par a, b > 1.

Pour démontrer la deuxième inégalité, on a b log(a+b+n

n

)> (b − 1) log

(b+n−1n−1

), et

on a l’assertion en ajoutant (a− 1) log(a+b+n

n

)sur les deux côtés.

6.2. Description numérique des places non-réduites. — Soit X un OK-schéma réduit, on définit l’ensemble

(19) Q(X ) = {p ∈ SpmOK | X ×SpecOKSpecFp ne soit pas réduite}.

Soit F ∈ AOK[T0, . . . , Tn], on désigne

(20) Q(F ) = {p ∈ SpmOK | F (p) mod p[T0, . . . , Tn] ait un facteur carré sur Fp},

où F (p) est défini dans la définition 3.12.Soit E =

(O

⊕(n+1)K , (‖.‖v)v∈MK,∞

)le fibré vectoriel hermitien sur SpecOK muni

des ℓ2-normes pour toute place dans MK,∞, qui signifient que pour tout plongementv : K → C, la norme ‖.‖v envoie le point (x0, . . . , xn) sur

√|v(x0)|2 + · · ·+ |v(xn)|2,

où |.| est la valeur absolue usuelle sur R ou C.On maintient le fibré vecotiel hermitien E ci-dessus. Dans la suite, on désigne par

PnK = P(EK) et Pn

OK= P(E) pour simplicifier. Soit X → Pn

K l’hypersurface définiepar l’polynôme homogène non-nul de degré δ

f(T0, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

ai0,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

à coefficients dans K, et X l’adhérence de Zariski de X dans PnOK

. Par le lemma3.11, il existe un c ∈ AK avec |c|AK

= 1, tel que

max(i0,...,in)∈N

n+1

i0+···+in=δ

{|c∆(ai0,...,in)|v} = 1

pour toute place v ∈MK,f , où ∆ : K → AK est le plongement diagonal. On désignebi0,...,in = (bvi0,...,in)v∈MK

= c∆(ai0,...,in) ∈ AK , alors

(21) F (T0, T1, . . . , Tn) =∑

(i0,...,in)∈Nn+1

i0+···+in=δ

bi0,i1,...,inTi00 T

i11 · · ·T in

n

est le polynôme adéliquement primitif de f(T0, . . . , T0).

24 CHUNHUI LIU

Pour chaque idéal maximal p ∈ SpmOK , on se factorise la réduction de X modulop par la localisation de OK vers OK,p. En effet, on a le diagramme cartésien

XFp

//� _

��

✷

XOK,p//

� _

��

✷

X� _

��

PnFp

//

��

✷

PnOK,p

//

��

✷

PnOK

��

SpecFp// SpecOK,p

// SpecOK .

Par définition, XOK,p→ Pn

OK,pest défini par la p-partie F (p)(T0, T1, . . . , Tn) (voir la

définition 3.12) de F (T0, T1, . . . , Tn) au-dessus, qui est primitif sur OK,p.Avec les résultats ci-dessus, on va démontrer le résultat suivant.

Théorème 6.4. — Soient X → PnK une hypersurface réduite définie par l’équation

homogène f , et X l’adhérence de Zariski de X dans PnOK

. Soit N(p) = #(OK/p),où p ∈ SpmOK . Avec les notations au-dessus, on a l’inégalité

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) 6 (2δ − 2)h(X) + C1(n, δ),

où la constante

C1(n, δ) = log(2δδ − δδ−1) + (δ − 1) log

(n+ δ

n

),

la notation Q(X ) est en (19), et h(X) est définie dans la définition 3.2. De plus,lorsque Q(X ) = ∅, on définit

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) = 0.

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur le degré δ de X . Si δ = 1, alors Xest un hyperplan dans Pn

K , dans ce cas-là on a

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) = 0

par la définition directement.Si l’assertion est démontrée au cas de degré plus petit que ou égal à δ − 1. Par le

corollaire 6.2, X ×SpecOKSpecFp n’est par réduit si et seulement si F (p)[T0, . . . , Tn]

modulo p[T0, . . . , Tn] admet un facteur carré, d’où l’on a Q(X ) = Q(F ).Soit di = degTi

(f) pour les i = 0, . . . , n, et on suppose dn = max{d0, . . . , dn} sansperte de généralité. On écrit f(T0, . . . , Tn) comme la forme de

(22) f(T0, . . . , Tn) = tdn(T0, . . . , Tn−1) · T

dnn + · · ·+ t0(T0, . . . , Tn−1),

où l’on a td(T0, . . . , Tn−1) 6= 0 et 1 6 dn 6 δ.


D’après la forme (22), on écrit le polynôme adéliquement primitif F (T0, . . . , Tn) ∈AOK

[T0, . . . , T0] de f obtenu dans (21) comme la forme de

F (T0, . . . , Tn) = t′dn(T0, . . . , Tn−1) · T

dnn + · · ·+ t′0(T0, . . . , Tn−1),

où tous les t′i sont obtenus par la multiplication de c ∈ AK à ti dans (22) pour lesi = 0, . . . , dn.

On considère F (T0, . . . , Tn) comme un polynôme sur l’anneau AOK[T0, . . . , Tn−1] de

degré dn. Comme X est résuit, alors F (T0, . . . , Tn) n’a pas de facteur carré d’après le

corollaire 6.2. D’où pour tout p ∈ SpmOK , on a Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)(p)6= 0 (voir (14) pour

la définition de ce résultant). Alors si F (p)(T0, . . . , Tn) modulo p[T0, . . . , Tn] admet un

facteur carré à la variable Tn, le polynôme Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)(p)modulo p[T0, . . . , Tn−1]

s’annule. Donc on a

Q(F ) ⊆ Q(t′dn) ∪ P

(Res′dn

(F,

∂F

∂Tn

)),

voir (17) pour la définition de P(Res′dn

(F, ∂F

∂Tn

)).

Par la relation ci-dessus, on a

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p)

61

[K : Q]

∑

p∈Q(t′dn

)

logN(p) +1

[K : Q]

∑


∂Tn))

logN(p)

61

[K : Q]

∑

p∈Q(t′dn

)

logN(p) + (2dn − 2)h(X) + log(2ddnn − ddn−1

n )

+(dn − 1) log

(δ + n

n

),

où la dernière inégalité ci-dessus est déduite à partir de la proposition 5.1.Par la construction au-dessus, le polynôme homogène t′dn

∈ AOK[T0, . . . , Tn−1] est

obtenu à partir du polynôme tdn∈ K[T0, . . . , Tn−1] à (22) par la multiplication de

c ∈ AK au-dessus, et on a deg(t′dn) = δ − dn par définition. Donc d’après l’hypothèse

de récurrence, on a

1

[K : Q]

∑

p∈Q(t′dn

)

logN(p)

6 (2(δ − dn)− 2)h(tdn) + log(2(δ − dn)

δ−dn − (δ − dn)δ−dn−1)

+(δ − dn − 1) log

(δ − dn + n− 1

n− 1

).

26 CHUNHUI LIU

Avec les deux estimations au-dessus, on obtient

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p)

6 (2(δ − dn)− 2)h(tdn) + log(2(δ − dn)

δ−dn − (δ − dn)δ−dn−1)

+(δ − dn − 1) log

(δ − dn + n− 1

n− 1

)+ (2dn − 2)h(X) + log(2ddn

n − ddn−1n )

+(dn − 1) log

(dn + n

n

).

De plus, on a h(t′dn) = h(tdn

) 6 h(X) par un calcul élémentaire. Donc par appliquerle lemme 6.3 à l’estimation ci-dessus, on obtient l’assertion.

7. Contrôle des places non-réduites d’un schéma de dimension pure

Soient K un corps de nombres, et OK son anneau des entiers. Soit E =(O

⊕(n+1)K , (‖.‖v)v∈MK,∞

)le fibré vectoriel hermitien de rang n+1 sur SpecOK muni

des ℓ2-normes pour toute place dans MK,∞. Il signifie que pour tout plongementv : K → C, la norme ‖.‖v envoie le vecteur (x0, . . . , xn) sur

√|v(x0)|2 + · · ·+ |v(xn)|2,

où |.| est la valeur absolue usuelle sur R ou C.On désigne par Pn

K = P(EK) et PnOK

= P(E) pour simplicifier. Soit X un sous-schéma fermé de dimension pure de Pn

K , qui est de dimension d et degré δ. On désignepar X l’adhérence de Zariski de X dans Pn

OKsous la composition des morphismes

X → PnK → Pn

OK.

D’après [1, §4.3.2 (i), (iv)], la formation de la forme de Cayley commute à l’exten-sion de X → Pn

K dans X → PnOK

, et commute au changement de base de OK versun corps résiduel, voir [1, §4.3.1] pour plus de détails de cette formation sur SpecOK .Donc pour côntroler les places non-réduites de X , on a besoin de considérer les placesnon-réduites de la forme de Cayley de X d’après la proposition 2.5 et la proposition2.6.

Par l’argument au-dessus, on a le côntrole des places non-réduites de X suivant.

Théorème 7.1. — Soient X un sous-schéma fermé réduit de dimension pure de PnK,

qui est de dimension d et de degré δ, et X l’adhérence de Zariski X dans PnOK

. Deplus, soient

Q(X ) = {p ∈ SpmOK | X ×SpecOKSpecFp ne soit pas réduit},

N =(n+1d+1

)− 1, HN = 1 + 1

2 + · · · + 1N , et O(1) muni des métriques de Fubini-

Study induites par le fibré vectoriel E définies ci-dessus, et hO(1)(X ) est la hauteur

arakelovienne de X définie dans la définition 3.1. Alors on a

1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) 6 (2δ − 2)hO(1)(X ) + C2(n, d, δ),


où la constante

C2(n, d, δ) = (δ − 1) log

(N + δ

N

)+ log(2δδ − δδ−1) +

(2δ − 2)

(4δ log(N + 1) + (N + 1)δ log 2−

1

2δHN

).

Démonstration. — Soient ΨX,K la forme de Cayley de X (voir la définition 2.7 pour

la définition), et ΨX la saturation de ΨX,K dans l’espace SymδOK

(∧d+1 E)

(voir la

définition 3.10 pour la définition de la saturation).On désigne par Q(ΨX) l’ensemble

{p ∈ SpmOK | ΨX ⊗OKFp engendré par un polynôme avec facteur carré }.

Pour X → SpecOK au-dessus, la formation de la forme de Cayley commute àla réduction modulo un idéal maximal de OK . Alors d’après la proposition 2.6 et lecorollaire 6.2, p ∈ Q(ΨX) si et seulement si le schéma X ×SpecOK

SpecFp n’est pasréduit. Donc on obtient

(23)1

[K : Q]

∑

p∈Q(X )

logN(p) =1

[K : Q]

∑

p∈Q(ΨX )

logN(p),

voir les notations ci-dessus dans (19) et (20).

On prend un élément ψX,K ∈ SymδK

(∧d+1 EK)

qui engendre ΨX,K . Par le théo-

rème 6.4, on obtient

(24)1

[K : Q]

∑

p∈Q(ΨX)

N(p) 6 log(2δδ−δδ−1)+(δ−1) log

(N + δ

N

)+(2δ−2)h(ψX,K),

où h(ψX,K) est la hauteur classique définie dans la définition 3.2.Soit X ′ l’hypersurface projective définie par ψX,K dans P(

∧d+1 EK). On comparela hauteur de Philippon (voir la définition 3.4) de X ′ et la hauteur classique de X ′.D’après la proposition 3.8, on obtient

(25) h(ψX,K) = h(X ′) 6 hPh(X′) + (N + 1)δ log 2.

On compare la 0-hauteur (voir la définition 3.5) de X ′ et la hauteur de Philippon deX ′. D’après l’inégalité (7), on obtient

(26) hPh(X′) 6 h0(X

′) + 4δ log(N + 1).

On compare la hauteur arakelovienne (voir la définition 3.1) de X et la 0-hauteur deX ′. Par l’égalité (9), on a

(27) h0(X′) = hO(1)(X )−

1

2δHN .

On combine les inégalités (23), (24), (25), (26) et l’égalité (27), on obtient lerésultat.

28 CHUNHUI LIU

Remarque 7.2. — On considère la constante C2(n, d, δ) définie dans le théorème7.1. On a

C2(n, d, δ) ≪d,n δ2.

Références

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[14] M. Hindry & J. H. Silverman – Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathe-matics, vol. 201, Springer-Verlag, New York, 2000, An introduction.

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[19] C. Soulé – Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Studies in Advanced Mathema-tics, vol. 33, Cambridge University Press, Cambridge, 1992, With the collaboration ofD. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer.

14 mai 2020

Chunhui Liu, Department of Mathematics, Faculty of Science, Kyoto University, 606-8502 Kyoto,

Japan • E-mail : [email protected]

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