arXiv:1509.02203v5 [math.AG] 4 Oct 2017arXiv:1509.02203v5 [math.AG] 4 Oct 2017 FAISCEAUX PERVERS SUR...

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iv:1

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020

COHOMOLOGIE ÉTALE DES ESPACES D’ARCS

ALEXIS BOUTHIER

Résumé :

Dans un premier temps, on établit un théorème de structure sur les espaces d’arcs LX oùX est un k-schéma de type fini, k un corps. Plus précisément, on montre que localementpour la topologie pro-lisse, l’espace d’arcs est un produit de la forme T ˆ AN, où T estun schéma non-noethérien qui recolle les complétés formels en les différents arcs, stratifiépar des k-schémas de type fini. Cet énoncé globalise le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan et montre une conjecture de Kollàr et Nemethi. On utilise ensuite ce théorème destructure pour construire une catégorie dérivée de faisceaux constructibles, stable par lessix opérations et on montre un énoncé de finitude pour la cohomologie.

Abstract :

We establish a structure theorem on the arc space LX of a k-scheme of finite type. Moreprecisely, we show that the arc space is locally for the pro-smooth toplogy of the formT ˆ AN where T is a non-noetherian scheme that glues the different completions, stratifiedby k-schemes of finite type. This statement globalizes Drinfeld-Grinberg-Kazhdan’s theoremand proves a conjecture of Kollàr and Nemethi. Then, we use this theorem to construct aderived category of constructible sheaves, stable by six operations and we show a finitenessresult for the cohomology.

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1. Énoncés principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2. Lien avec la théorie géométrique des représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Division de Weierstrass et morphismes pro-lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1. Le théorème de préparation de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Rappels sur les espaces d’arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Morphismes pro-lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Morphismes réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Morphismes de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Briques non-noethériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

http://arxiv.org/abs/1509.02203v6

2.1. Schémas décents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Les schémas Sd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Schémas de type pSq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Théorie de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Construction d’un atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1. Énoncés principaux et dévissages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Le cas d’intersection complète spécial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Décomposition en morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Cohomologie étale des espaces d’arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1. Constructibilité pour les S-schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Constructibilité sur les L-schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3. Remarques s’agissant des t-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Introduction

0.1. Énoncés principaux. Soit k algébriquement clos. Soit f : S1 Ñ S, un morphisme dek-schémas, il est dit pro-lisse, s’il s’écrit comme une limite projective filtrante de S-schémaslisses avec des morphismes de transition affines, arbitraires. Soit X un k-schéma de type fini,LX son espace d’arcs, on dispose d’une suite croissante d’ouverts LXďn où l’on borne lavaluation de la singularité par n. Avant d’énoncer les principaux théorèmes, on commencepar rappeler l’énoncé de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan [14], [22]. Supposons dimX ě 1, sanscomposante isolée, soit γptq P pLXďdqpkq, alors le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan(DGK) montre qu’il existe un k-schéma de type fini Y et un k-point y de Y tel que l’on aun isomorphisme de voisinages formels :

LX^γptq » pY ˆ ANq^

py,0q.

où AN :“ Specpkrx1, x2, . . . sq. Le but est d’obtenir cet énoncé dans un voisinage, pour unetopologie appropriée, de l’arc γptq. On renvoie au théorème 3.1.1 pour un énoncé plus précis.

Théorème 0.1.1. Soit d P N, il existe un k-schéma Z et un morphisme :

z : Z Ñ LXďd

sujet aux propriétés suivantes :

1. z est pro-lisse, affine, surjectif et induit un isomorphisme sur les voisinages formelsen tout k-point de Z.

2. Le schéma Z admet une immersion fermée nilpotente Z ãÑ T ˆ AN, qui induit unisomorphisme sur les voisinages formels de tout k-point et où T est un schéma detype pSq (cf. section 2.3).

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Dans le cas analytique, l’existence de tels atlas avait été conjecturée par Kollàr-Nemethi[30, Conj.73]. La principale surprise est que l’on ne peut pas étendre la décompositionformelle de DGK en restant dans le monde des k-schémas de type fini, cela nécessite l’in-troduction d’une nouvelle classe de schémas, les schémas de type pSq. Ce sont des schémasnon-noethériens, de dimension de Krull finie, qui admettent une stratification finie construc-tible par des k-schémas de type fini et dont tous les complétés des anneaux locaux aux pointsfermés sont noethériens. L’exemple de base est le schéma S1 dont l’espace topologique s’iden-tifie au constructible A2 ´ A1 Y t0u. L’autre ingrédient clé de cet énoncé de globalisationest l’utilisation de morphismes de type « Weierstrass » qui sont pro-lisses et permettentaprès changement de base d’utiliser les théorèmes de division et de factorisation de typeWeierstrass qui sont la clé de voûte de la décomposition formelle.

Une fois que l’on a établi un énoncé géométrique, on s’intéresse à la théorie des faisceauxdessus, plus précisément, la partie affine AN étant facile à contrôler, le point clé est doncde montrer des énoncés de finitue pour les schémas de type pSq. Cet énoncé géométriquepermet de définir une théorie des six foncteurs. On appelle L-schémas, tout k-schéma deprésentation finie sur LXďd pour d P N et X un k-schéma de type fini. Notre deuxièmeénoncé est alors le suivant :

Théorème 0.1.2. Soit n P N premier à la caractéristique de k, soit f : S1 Ñ S un mor-phisme séparé de présentation finie entre L-schémas, alors les foncteurs pf˚, f

˚, f!, f!,RHomq

préservent la catégorie des constructibles DbcpS,Znq.

On commence d’abord par obtenir la finitude pour des schémas de type pSq, cela s’obtientd’une part à l’aide d’un énoncé de dévissage des schémas de type pSq (2.3.4) et d’autre partà l’aide d’énoncés de changement de base pro-lisse et comparaison entre la cohomologiesur l’hensélisé et son complété dû à Gabber. On utilise ensuite les théorèmes de finitudede Gabber pour les schémas noethériens excellents, une fois que l’on s’est ramené à lacomplétion. Une fois ceci fait, ajouter la partie AN est aisé. Le dernier énoncé est un énoncéde finitude que l’on peut voir comme une géométrisation de l’intégration motivique, ainsique le considère Drinfeld dans [14, sect. 6.8] :

Théorème 0.1.3. Soit n ‰ carpkq, d P N, alors le complexe RΓpLXďd,Znq est construc-tible.

En vertu des triangles distingués relativement à une stratification et du théorèmes de fi-nitude 0.1.2, il est suffisant d’établir cet énoncé le long d’une stratification constructiblede LXďd. On utilise alors le théorème 3.1.6 pour obtenir une stratification de LXďd pardes schémas de la forme H ˆ AN où H est un k-schéma de type fini et là on est ramené àl’énoncé de Drinfeld.

0.2. Lien avec la théorie géométrique des représentations. Ce travail tire sa sourcedu souhait d’obtenir une bonne catégorie des faisceaux pervers sur les espaces d’arcs. Cettehypothétique catégorie de faisceaux pervers n’a cessé de faire son apparition comme fil

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directeur de nombreux travaux, d’abord en théorie de la représentation et en Langlandsgéométrique ([18], [11], [20]) puis plus récemment dans l’étude des fonctions L ([41], [35]).

En l’absence d’une telle catégorie, la méthode dont on disposait jusqu’alors était de rem-placer ces objets de nature locale de dimension infinie, par des espaces de modules globauxsur lesquels on pouvait par exemple calculer des complexes d’intersections. On retrouve cetype de techniques, entre autres, dans les travaux de Finkelberg-Mirkovic [18], Braverman-Gaitsgory-Finkelberg-Mirkovic [11] et Bouthier-Ngô-Sakellaridis [10]. Pour s’assurer que cesespaces de modules globaux soient compatibles aux modèles locaux, on dispose du théorèmeDGK. La nature de la singularité en un arc γptq est alors contenue dans la partie de dimen-sion finie ; si de plus on se place sur un corps fini, il est possible, à partir de ces morceauxde dimension finie de définir une « fonction locale » et Bouthier-Ngô-Sakellaridis montrentque la fonction locale est compatible à la « fonction globale » [10, 1.21-2.5]. De plus, on s’at-tend à ce que cette « fonction locale » provienne d’un certain faisceau pervers sur l’espaced’arcs.

Cela a été notre motivation originale, mais à la lumière de l’énoncé de globalisation, une tellethéorie ne semble pas exister (voir 4.3 pour une discussion plus spécifique). La principaleraison pour cela est que bien que les voisinages formels soient les mêmes, lorsque l’onregarde les schémas affines correspondants, le voisinage formel épointé n’a pas les mêmessingularités que l’ouvert correspondant sur LXďd. On peut donc espérer un énoncé dutype « le pullback du IC sur LXďd donne le IC (à décalage près) d’un voisinage formel dedimension finie. ».

Passons en revue l’organisation de l’article ; dans la première section, on fait des rappelssur la décomposition de Weierstrass et on étudie la classe des morphismes pro-lisses etWeierstrass qui interviennent dans la preuve de 0.1.1. Dans la deuxième section, on introduitles schémas de type (S) et on fait une étude géométrique de leur propriété. La troisièmesection montre ensuite l’énoncé de globalisation 0.1.1 et enfin la dernière section établit lesénoncés cohomologiques de finitude 0.1.2 et 0.1.3.

A la suite d’une série d’exposés au séminaire Drinfeld sur notre travail, B.C. Ngô a écritdes notes [36] sur le théorème 0.1.1, en même temps qu’il nous a signalé une erreur dans lapreuve de l’énoncé. Cette nouvelle version a grandement bénéficié des clarifications qu’il afaites à cette occasion, nous lui en sommes très reconnaissants.

Ce travail a débuté en collaboration avec David Kazhdan, avec qui nous avons eu de nom-breuses discussions, mais le projet initial a eu des modifications substantielles et pour lerésultat final, Kazhdan a décliné d’être auteur. Toutefois, notre dette à son égard restesignificative.

Nous tenons à exprimer nos plus vifs remerciements à Peter Scholze pour sa relectureattentive du manuscrit ainsi que pour ses nombreux commentaires éclairés. Nous remercionségalement Thomas Bitoun, Ofer Gabber, Gérard Laumon pour les multiples discussions et

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questions que nous avons eu au sujet de ce travail. Enfin, nous remercions Bhargav Bhatt,Julien Sebag, David Bourqui ainsi que Kęstutis Česnavičius pour l’amélioration de la forme.Nous tenons également à remercier l’Université Hébraïque de Jerusalem pour les très bonnesconditions de travail.

1. Division de Weierstrass et morphismes pro-lisses

1.1. Le théorème de préparation de Weierstrass. Soit A local complet, m son idéalmaximal, de corps résiduel k. On considère f P Arrtss tel qu’en réduction f “ tnuptq avecuptq P krrtssˆ. Par le théorème de factorisation de Weierstrass ([8, §3, n˝9, Prop.6]), il existeun unique polynôme unitaire q P Arts de degré n tel que :

f “ qv,

avec v P Arrtssˆ. De plus, d’après loc.cit., on a un énoncé de division de Weierstrass, pourf P Arrtss comme ci-dessus et pour tout g P Arrtss, il existe un unique couple pb, rq PArrtss ˆArts avec degprq ăn, tel que :

g “ bf ` r.

Soit Infk la catégorie des k-algèbres locales A, d’idéal maximal m, de corps résiduel k, tellesque mm “ 0 pour un certain m P N. Les morphismes sont ceux de k-algèbres. Dans lasuite, on appelle les objets de Infk des anneaux quasi-artiniens. En particulier, ces anneauxsont locaux complets, donc satisfont la division de Weierstrass. Si A est dans Infk et estnoethérien, il est artinien.

1.2. Rappels sur les espaces d’arcs. Soit un corps k algébriquement clos et un k-schémade type fini X. Pour tout entier j P N, on considère le foncteur Lj X des arcs tronquésd’ordre j, dont les R-points, pour une k-algèbre R, sont les Lj XpRq “ XpRrtsptj`1q. Ilest représentable par un k-schéma de type fini et pour j ě i les flèches Lj X Ñ LiX sontaffines. On considère alors l’espace d’arcs formels :

LX :“ limÐÝjPN

Lj X.

En général, c’est un k-schéma non noethérien (à part si dimX “ 0, cf. [37, Thm.2.5.5]pour un énoncé relatif plus général). D’après un théorème de Bhatt [4, Thm.1.1], il vérifiela propriété universelle pour toute k-algèbre R :

HompSpecpRq,LXq “ HompSpecpRrrtssq,Xq.

Si X “ A1, on a LA1 “ AN “ SpecpkrxisiPNq. Pour tout j P N, on dispose de flèches deprojection :

fj : LX Ñ Lj X.

Si X est lisse, ces flèches sont formellement lisses et surjectives. Dans le cas singulier, lesflèches ne sont ni formellement lisses, ni plates, ni même surjectives et l’étude des singularitésde l’espace d’arcs s’avère délicate. De plus, si on a un morphisme f : X Ñ Y , on a par

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fonctorialité un morphisme L f : LX Ñ LY. Si f est étale alors L f l’est également et ona un carré cartésien ([34, sect.3]) :

LX //

LY

X // Y

.

En particulier si on a un recouvrement de X par des ouverts Ui, les ouverts LUi formentun recouvrement ouvert de LX. Dans le cas lisse, la structure de l’espace d’arcs est aiséeà étudier :

Lemme 1.2.1. Soit X un k-schéma lisse connexe de type fini avec dimX ě 1, alors loca-lement pour la topologie Zariski, LX est un produit U ˆ AN avec U un k-schéma lisse detype fini.

Démonstration. On commence par écrire X “ŤUi avec des ouverts affines Ui étales sur

An avec n ě 1. D’après ci-dessus, on a :

LUi – Ui ˆAn L` An – Ui ˆ AN

et les LUi forment un recouvrement ouvert de LX.

Tout le but est de maintenant comprendre la situation singulière, bien plus complexe. Oncommence par un théorème sur la structure formelle de l’espace d’arcs. Dans la suite, onconsidère un corps k parfait. Soit un k-schéma de type fini X géométriquement réduit etpur. On considère le sous-schéma jacobien JacX , défini par l’idéal de Fitting FittdimXpΩXq.On renvoie à [16] pour des rappels sur les idéaux de Fitting. Le support du schéma jacobienest précisément le lieu singulier Xsing de X et c’est un fermé strict d’après [43, Tag. 056V].Si X est affine, en le plongeant dans un espace affine AN défini par des équations f1 “¨ ¨ ¨ “ fm “ 0 dans AN , alors JacX est engendré par les mineurs d’ordre l de la matricejacobienne pBfiBxjqi,j avec l “ N ´m. on considère l’ouvert des arcs non-dégénérés :

L‚X :“ LX ´ LXsing.

C’est un ouvert qui n’est pas quasi-compact non-vide comme Xsing est un fermé strict. Onrappelle le théorème de Drinfeld [14] et Grinberg-Kazhdan [22] :

Théorème 1.2.2. Soit un corps k parfait, un k-schéma type fini X géométriquement réduit.Soit γptq P L‚Xpkq, tel que γp0q ne soit pas dans une composante isolée, alors il existe unk-schéma de type fini Y et y P Y pkq tel que l’on a un isomorphisme de voisinages formels :

LX^γptq » pY ˆ ANq^

py,0q.

Remarques.

1.2.3. Si γp0q est dans une composante isolée de X, alors γptq est un point isolé de L‚X

et le voisinage formel s’identifie à Specpkq.6

1.2.4. A la suite de [10], on appelle la paire pY, yq un modèle formel de dimension finie enγptq. Il s’agit maintenant de voir comment l’on peut globaliser ce théorème.

1.2.5. Un modèle formel de type fini n’est en général ni irréductible, ni même réduit. D’aprèsBourqui-Sebag [9], le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan ne s’étend pas auxarcs dégénérés γ P LXsing Ă LX.

Ce modèle formel de type fini peut se calculer de manière très explicite, l’ingrédient clé estle théorème de préparation de Weierstrass. Voyons comment on utilise ce théorème dans unexemple précis tiré de [14].

Exemple 1.2.6. Soit X l’hypersurface yxn`1`fpx1, . . . , xnq “ 0 et l’arc γ0ptq et x0n`1ptq “

t, y “ x01ptq “ ¨ ¨ ¨ “ x0nptq “ 0. Alors, le modèle formel Y est donné par l’hypersurfacefpx1, . . . , xnq “ 0 et y “ 0. En effet, par le théorème de division de Weierstrass, pour toutanneau A P Infk, une A-déformation de x0n`1ptq “ t est de la forme xn`1ptq “ pt ´ αquptqavec α P m et u P Arrtss inversible. Si l’on se fixe α, u, x1ptq, . . . , xnptq P mrrtss, il y a au plusun yptq P mrrtss tel que yptqxn`1ptq ` fpx1ptq, . . . , xnptqq “ 0 et yptq existe si et seulementsi fpx1pαq, . . . , xnpαqq “ 0.

On veut obtenir un énoncé global, qui ne fait pas intervenir les complétions formelles.L’inconvénient est que l’on ne dispose pas de théorème de division de Weierstrass pourdes anneaux locaux henséliens, cela nous amène donc à étudier une nouvelle classe demorphismes.

1.3. Morphismes pro-lisses. Soit f : Z Ñ S un morphisme de schémas. On dit que :(i) f est pro-lisse (resp. pro-étale) s’il s’écrit comme une limite projective filtrante de

morphismes lisses (resp. étales) avec des morphismes de transition affines.(ii) f est placide s’il s’écrit comme une limite projective filtrante Z » limÐÝZi où les Zi

sont de présentation finie sur S et où les morphismes de transition sont affines, lisses.

Remarques.

1.3.1. Il est crucial de remarquer que pour un morphisme pro-lisse, les morphismes de tran-sition sont arbitraires. En revanche, pour un morphisme pro-étale, les morphismesde transition sont automatiquement étales ([43, Tag. 02GW]).

1.3.2. Un morphisme SpecpBq Ñ SpecpAq pro-lisse de type fini est lisse. En effet, dans cecas B admet un nombre fini de générateurs et en écrivant B » colimBα avec Bαdes A-algèbres lisses, on obtient que B » Bα pour α assez grand.

1.3.3. Comme une limite inductive filtrante de modules plats est plate, on en déduitqu’un morphisme pro-lisse entre schémas f : Z Ñ S est plat et comme d’après[31, II.1.2.3.4], le complexe cotangent commute aux limites inductives filtrantes d’al-gèbres, on en déduit que le complexe cotangent LZS est concentré en degré zéro etplat sur Z.

Les morphismes pro-lisses et placides sont stables par changement de base arbitraire etpar composition. En effet, traitons le cas d’un morphisme pro-lisse, les autres cas sont

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analogues. On considère alors Z Ñ Y Ñ X une composée de morphismes pro-lisses. Ona donc Z » limÐÝZi avec Zi lisse de présentation finie sur Y . Maintenant, comme Y estpro-lisse sur X, on a Y » limÐÝYj avec les Yj lisses de présentation finie sur X et il résultealors [43, Tag. 0C0C, 01ZL] que chaque Zi se descend en un schéma lisse de présentationfinie sur un des Yj, le résultat suit.

Remarque 1.3.4. La réciproque est malheureusement fausse d’après un contre-exemple deGabber, rédigé par Bhatt [5]. De plus, l’exemple rédigé par Bhatt pourrait amener à croirequ’il s’agit d’une pathologie typique de la caractéristique p. Néanmoins, Gabber nous acommuniqué que le résultat reste faux en caractéristique zéro. En remplaçant la perfectionde l’algèbre Bi de [5] par l’algèbre où l’on ajoute les racines carrés, on obtient à nouveauune algèbre non-réduite dont le complexe cotangent est plat et placé en degré zéro.

On s’intéresse dans la section suivante aux morphismes pro-lisses entre schémas noethériens.

1.4. Morphismes réguliers. On rappelle qu’un morphisme régulier est un morphismeplat à fibres géométriquement régulières et que si A est un anneau excellent, une des pro-priétés est que pour tout p P SpecpAq, le morphisme de complétion Ap Ñ Ap est régulier.De plus, si A est excellent, il en est de même de toute A-algèbre de type fini. Les exemplestypiques d’anneaux excellents qui apparaîtront ici sont donnés par les k-algèbres de typefini et les anneaux locaux complets noethériens. On renvoie à [43, Tag. 07QS] pour plus dedétails.

D’après le théorème de Popescu ([38],[39],[40]), tout morphisme régulier f : SpecpBq ÑSpecpAq entre schémas noethériens est pro-lisse. En particulier, si Y est un schéma excellentet y P Y , le morphisme de complétion :

SpecpO^Y,yq Ñ SpecpOY,yq

est pro-lisse. On remarque ainsi qu’un morphisme pro-lisse n’est pas nécessairement formel-lement lisse. A l’aide du théorème de Popescu, on peut clarifier la relation entre régulier etpro-lisse dans le cas noethérien :

Théorème 1.4.1. Soit un morphisme f : Y Ñ Y entre schémas affines noethériens, on ales équivalences suivantes :

(i) f est régulier.

(ii) f est pro-lisse.

(iii) f est plat et le complexe cotangent LY Y est concentré en degré zéro et plat sur Y .

Démonstration. piq ñ piiq est l’objet du théorème de Popescu, d’après 1.3, on a l’implicationpiiq ñ piiiq et piiiq ñ piq se déduit d’un théorème d’André [1, Th.30, p. 331].

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1.5. Morphismes de Weierstrass. Soit k algébriquement clos, f : Z Ñ S un morphismeentre k-schémas, soit x P Zpkq et y “ fpxq. Soit fx : DefZ,x Ñ DefY,y le morphisme auniveau des foncteurs de déformation, on dit que fx est topologiquement de type fini s’ilexiste un entier r P N et un diagramme commutatif :

DefZ,x

%%

// DefArY,y

DefY,y

où la flèche horizontale est une immersion fermée (i.e représentable par une immersionfermée après tiré-en-arrière par tout SpecpRq avec R quasi-artinien) et la flèche verticale dedroite est induite par la projection. En utilisant le fait que les foncteurs de déformation sontpro-représentables par les anneaux locaux complétés, cela se réinterprète en disant qu’on aune surjection :

O^Y,yrrt1, . . . , trss ։ O

^Z,z.

Définition 1.5.1. Soit k algébriquement clos, f : Z Ñ S un morphisme entre k-schémas.On dit que :

(i) f est Weierstrass, si f est pro-lisse et pour tout k-point x P Zpkq, fx est formellementlisse et topologiquement de type fini.

(ii) f est un isomorphisme formel si pour tout k-point x P Zpkq, fx est un isomorphisme.

Remarque 1.5.2. Comme les foncteurs de déformation commutent aux produits et quela formelle lissité est stable par changement de base et composition, les morphismes deWeierstrass et les isomorphismes formels sont stables par changement de base arbitraire etcomposition ainsi que par produit direct.

Lemme 1.5.3. On conserve les notations de la définition précédente, alors si fx est topo-logiquement de type fini et formellement lisse, on a un isomorphisme (non-canonique) defoncteurs :

DefArY,y

» DefZ,x

pour un certain entier r P N.

Remarque 1.5.4. Comme les anneaux locaux complétés pro-représentent les foncteurs dedéformations, il résulte du lemme que la condition de 1.5.1.1. est équivalente à ce que lemorphisme :

ηx : O^Y,y Ñ O

^Z,x

soit formellement lisse et induise un isomorphisme O^Y,yrrt1, ..., trss » O^

Z,x.

Démonstration. Notons A “ OY,y, B “ OZ,x, mA, mB leurs idéaux maximaux respectifset pA (resp. pB) la complétion mA-adique (resp. mB-adique). Pour tout n P N, on définitalors xmn

A “ Kerp pA Ñ AmnAq et de même xmn

B. En général, on a xmnA ‰ mn

ApA et pA n’est pas

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mA-adiquement complet, il est donc plus naturel de considérer sur pA la topologie induitepar la filtration F ‚

A “ p xmnAq, pour laquelle pA est tautologiquement complet. En particulier,

on a :

@ n P N, pA xmnA – Amn

A,xmnA z

mn`1A – m

nAmn`1

A . (1.5.4.1)

et pareillement pour pB. Comme la flèche fx est topologiquement de type fini, on a unesurjection d’anneaux locaux :

pArrt1, . . . , trss Ñ pB.On peut donc choisir une base finie x1, . . . , xs de t˚

pB pA “ xmBp xm2B ` xmABq – mBpm2

B `

mABq d’après (1.5.4.1) ( xmB xm2B s’envoie surjectivement sur t˚

pB pA). On pose T :“ ArX1, . . . Xss,

soit mT sont idéal maximal et pT “ pArrX1, . . . Xsss. On a un morphisme de A-algèbres lo-cales :

pB Ñ T pm2T ` mAT q

On utilise alors la formelle lissité pour relever d’abord à T m2T puis en un morphisme

u : pB Ñ pTqui induit un isomorphisme entre t˚

pB pA et t˚pT pA. En particulier, une chasse au daigramme

analogue à [42, Lem. 1.1] donne que la flèche sur les gradués grpuq est surjective (pour lesfiltrations F ‚

B et F ‚T ), donc u est surjectif d’après [7, Ch. III, n˝2, Cor.2]. De plus, si on choisit

yi P pB tel que upyiq “ Xi, on peut poser vpXiq “ yi et construire une flèche de pA-algèbreslocales v : pT Ñ pB telle que u ˝ v “ Id pT . Ainsi, v est injective et induit un isomorphisme surles cotangents, donc v est aussi surjective, donc c’est un isomorphisme.

Proposition 1.5.5. Soit un morphisme f : Z Ñ S entre k-schémas pℵ0q-placides affines

avec des morphismes de transition surjectifs, on suppose qu’en tout k-point x P Zpkq, fx est

formellement lisse, alors f est pro-lisse. Si de plus, pour tout x P Zpkq, fx est topologique-ment de type fini, il est donc de Weierstrass.

Remarque 1.5.6. Par pℵ0q-placide, on entend que le système projectif qui intervient estdénombrable.

Démonstration. On écrit Z “ SpecpAq avec A “ limÝÑAi et S “ SpecpBq avec B “ limÝÑBj oùles Ai, Bj sont des k-algèbres de type fini et les morphismes de transition sont lisses surjectifs.Fixons j, alors le morphisme Z Ñ Sj :“ SpecpBjq se factorise par un Zi :“ SpecpAiq. Ona alors un diagramme commutatif :

Z

pi

f// S

qj

Zi // Sj

10

où les flèches verticales sont formellement lisses et surjectives, comme les systèmes inductifssont dénombrables. Soit x P Zpkq, on pose y “ fpxq, xi :“ pipxq et yj “ qjpxq, alors on aun diagramme au niveau des complétés formels :

DefZ,x

fx// DefS,y

DefZi,xi// DefSj ,yj

où cette fois fx est également formellement lisse et les verticales sont toujours formellementlisses et surjectives. On déduit donc que la flèche :

DefZi,xi Ñ DefSj ,yj

est formellement lisse et comme Zi et Sj sont des k-schémas de type fini, d’après [43, Tag.02HY], la flèche

fij : Zi Ñ Sj

est lisse en xi. Comme par hypothèse Z Ñ Zi est surjective, fij est lisse en tout k-pointde Zi et comme les points fermés sont denses dans Zi et le lieu lisse ouvert, fij est lisse.On obtient alors que f est pro-lisse comme il s’écrit comme limite projective filtrante desmorphismes Zi ˆSj

S Ñ S.

Remarque 1.5.7. A partir de maintenant, tous les systèmes projectifs qui apparaîtrontseront dénombrables, sauf mention explicite.

La terminologie de morphisme de Weierstrass se justifie par ce qui suit. Pour tout entierd ě 1, on considère le k-schéma Qd qui classifie les polynômes unitaires de degré d, l’ouvertQ5d Ă Qd des polynômes de Qd dont le terme constant est inversible et le k-schéma Ad qui

classifie les polynômes de degré au plus d´ 1. On définit l’ouvert :

LAďd :“ ev´1d pLd A

1 ´ t0uq,

avec evd : LA1 Ñ Ld A1 . On considère alors le morphisme :

αd : Qd ˆ LGm Ñ LAďd (1.5.7.1)

donné par pq, uq ÞÑ qu.

Proposition 1.5.8. Le morphisme αd est ℵ0-Weierstrass, affine, surjectif et induit un iso-morphisme formel en les k-points de la forme ptd, uq.

Démonstration. Comme la source est affine et le but est un ouvert d’un schéma affine, αd estaffine d’après [43, Tag. 01SG]. Les schémas sont clairement ℵ0-placides et affines et la flècheest surjective sur les K-points, pour tout corps K, donc surjective. D’après la proposition1.5.5, il faut donc démontrer que αd est formellement lisse et topologiquement de type finisur les complétés formels des k-points. Il suffit d’étudier le foncteur des déformations, soitA P Infk, d’idéal maximal mA et de corps résiduel k. Soit γ0 “ tdu P krrtss, u P krrtssˆ et

11

γ P Arrtss qui se réduit modulo mA sur γ0. Par le théorème de division de Weierstrass, ona alors :

γptq “ qv,

avec v P Arrtssˆ et q P QdpAq. On obtient ainsi l’isomorphisme au niveau des complétésformels en γ0. Il s’agit de voir l’assertion en les autres points.

Soit y P LAďdpAq de réduction y0 “ tev0 avec v0 P krrtssˆ et e ď d. Montrons que la fibredu morphisme αdpAq est donnée par Q5

dépAq. On commence par appliquer le théorème deWeierstrass à y et on écrit y “ pv avec p P QepAq et v P Arrtssˆ. La fibre au-dessus de yest alors donnée par les paires pq, uq P pQd ˆ LGmqpAq telles que :

q “ pvu´1.

Comme on a de plus, Artsppq – Arrtssppq, puisque les deux A-modules sont libres demême rang, on en déduit que p|q et q “ pp1, avec p1 P QdépAq. De plus, en réduisantmodulo t l’égalité qu “ pv, on obtient que p1 P Arrtssˆ, on obtient alors que u est déterminéuniquement par :

u “ vpp1q´1,

ce qu’on voulait.

On introduit la stratification naturelle de Qd. Pour 0 ď e ď d, on considère le ferméQd,e Ă Qd défini par :

Qd,e :“ tq P Qd | te|qu.

En particulier, on a Qd,0 “ Qd et une suite décroissante de fermés :

Qd,0 “ Qd Ą Qd,1 Ą ¨ ¨ ¨ Ą Qd,d “ ttdu.

La multiplication par te induit un isomorphisme :

te : Qdé – Qd,e. (1.5.8.1)

Pour 0 ď e ď d, on considère les ouverts :

Q5d,e :“ tq P Qd,e | ae P Gmu – Gm ˆ Ad´1é.

avec la convention Q5d,d “ Qd,d et Q5

d :“ Q5d,0. Le morphisme αd admet une description

simple sur chacune des strates où l’on fixe la valuation :

Proposition 1.5.9. Pour tout 0 ď e ď d, on a un isomorphisme canonique :

Q5dé ˆ LA“e » α´1

d pLA“eq. (1.5.9.1)

de telle sorte que la composée Q5dé ˆ LA“e Ñ LA“e s’identifie à la projection suivant le

second facteur. En particulier, le morphisme est régulier.

Démonstration. Le localement fermé LA“e consiste en les séries de la forme tev avec v PLGm. On considère la flèche canonique :

Q5dé ˆ LA“e Ñ α´1

d pLA“eq.12

définie par pp, vq ÞÑ ptep, p´1vq où p P L` Gm comme pp0q P Gm. Montrons que c’est unisomorphisme. Soit pq, uq P α´1

d pLA“eq, on a alors :

qu “ tev,

pour un certain v P LGm, d’où tevu´1 “ q, d’où l’on déduit en identifiant les coefficientsque te|q et donc on a :

q “ tep

avec p P Q5dé, comme souhaité. D’après la Proposition 1.5.8, on a déjà que le morphisme

est pro-lisse, donc plat et on vient de voir que les fibres de αd sont données par des schémasaffines lisses, donc le morphisme est régulier.

Le morphisme αd : Z Ñ S avec Z :“ Qd ˆ LGm et S :“ LAďd induit un morphisme auniveau des espaces tangents :

dαd : TZ Ñ TS ˆS Z.

avec TZ :“ Qd ˆ LGm ˆ Ad ˆ LA1 et TS ˆS Z “ Qd ˆ LGm ˆ LA1. A un quadrupletpq, u, a, vq P TZ, on associe :

dαdpq, u, a, vq “ pq, u, ua ` qvq.

En prenant le paramètre u “ 1, on obtient ainsi le morphisme :

βd : Qd Âd ˆ LA1 Ñ Qd ˆ LA1, (1.5.9.2)

donné par pq, v, ξq ÞÑ pq, v ` qξq.

Proposition 1.5.10. Le morphisme βd est Weierstrass, affine, surjectif et induit un iso-morphisme formel aux k-points de la forme ptd, v, ξq.

Démonstration. On a déjà que βd est affine, comme morphisme entre schémas affines.D’après la Proposition 1.5.8, αd est Weierstrass, surjectif donc d’après 1.5.5 et critère infi-nitésimal, dαd l’est également et βd par changement de base.

Proposition 1.5.11. Le long de la stratification tQ5d,eˆLA1u0ďeďd, on a un isomorphisme

canonique :

Q5d,e Âdé ˆ LA1 » β´1

d pQ5d,e ˆ LA1q.

Démonstration. A nouveau, la proposition se déduit de 1.5.9 par différentiation et chan-gement de base ainsi que du fait que la stratification de LAďd par les LA“e induit lastratification correspondante sur Qd ˆ LA1.

2. Briques non-noethériennes

Dans cette section, on considère une certaine classe d’anneaux qui vont apparaître de ma-nière cruciale dans le Théorème 3.1.1.

13

2.1. Schémas décents. Soit un schéma S, on considère le faisceau d’idéaux nil8pOSq dontles sections sur un ouvert sont données par :

nil8pOSpUqq :“č

ně0

č

tPU

KerpOSpUq Ñ OU,tmnt q.

On note idec : Sdec ãÑ S, le sous-schéma fermé défini par ce faisceau d’idéaux et on ditque S est décent si idec est un isomorphisme. Un anneau A est décent si SpecpAq l’est. Leschéma Sdec vérifie la même propriété d’unicité que le réduit (analogue à [43, Tag. 01J3]),à savoir qu’il est l’unique schéma décent avec le même espace topologique que S. De plus,par réduction au cas affine, on obtient que pour tout morphisme de schémas W Ñ S avecW décent, la flèche se factorise par Sdec.

Si S “ SpecpAq, alors x P nil8pAq si pour tout p P SpecpAq, x est dans le noyau deA Ñ AppnAp pour tout n. On en déduit ainsi :

x R nil8pAq ðñ D ν : A Ñ R tel que νpxq ‰ 0 et R P Infk .

Des exemples d’anneaux décents sont fournis par les familles suivantes :— Si A est réduit, car nilpAq “

ŞpPSpecpAq

p “ t0u.

— Si A est noethérien, en effet d’après [43, Tag. 00L9] il s’injecte dans le produitśpPAsspAq

Ap où AsspAq désigne l’ensemble, fini car A est noethérien, des idéaux pre-

miers minimaux et les anneaux semi-locaux noethériens sont décents par le théorèmed’intersection de Krull ([43, Tag. 00IP]).

— Tout anneau local complet est décent.

Un exemple typique d’anneau indécent est de considérer B :“ AtA où A :“Ťně0

Arrt1

n ss.

L’idéal maximal de B vérifie m “ m2 et m Ă nil8pBq.

Une immersion fermée i : S0 ãÑ S est dite décente si le faisceau d’idéaux I qui la définitest contenu dans nil8pOSq. Les immersions décentes sont stables par changement de base.De plus, comme les foncteurs SdecpRq et SpRq sont les mêmes pour tout anneau R décentet donc en particulier pour les anneaux de Infk, on en déduit que toute immersion décenteest un isomorphisme formel.

Lemme 2.1.1. Soit S un schéma quasi-compact quasi-séparé, on considère une immersiondécente S1

ãÑ S, alors elle s’écrit comme une limite filtrante (non-nécessairement dénom-brable) d’immersions décentes de présentation finie.

Démonstration. D’après [43, Tag. 09ZP], toute immersion fermée dans un schéma qcqsest une limite d’immersions fermées de présentation finie et les flèches de transition sontelle-mêmes des immersions fermées (voir preuve de loc.cit.). Ainsi, on a :

S1 » limÐÝSα

Comme de plus, S1ãÑ S est décente, il en est de même des Sα.

14

2.2. Les schémas Sd. Soit d P N˚, on considère le carré cartésien :

Sd

ψd

// Qd ˆAd ˆ LA1

βd

Qd// Qd ˆ LA1

(2.2.0.1)

où la flèche horizontale du bas est donnée par q ÞÑ pq, 0q. D’après 1.5.10, le schéma Sd estpro-lisse sur Qd et est non-noethérien car βd n’est pas de type fini. Il admet une section :

σ : Qd Ñ Sd (2.2.0.2)

donné par q ÞÑ pq, 0, 0q. Décrivons-le de manière explicite pour d “ 1. Le schéma Q1 ˆA1 ˆ LA1 classifie les triplets pq, v, ξq avec q “ t ` a le polynôme universel de degré unet Q1 :“ Specpkrasq. On écrit LA1 :“ Specpkrξ0, ξ1 . . . sq. Les équations pour S1 sont alorsdonnées par :

v ` aξ0 “ 0 (2.2.0.3)

ξ0 ` aξ1 “ 0 (2.2.0.4)

ξ1 ` aξ2 “ 0 (2.2.0.5)

. . . (2.2.0.6)

avec ξ “ pξqiPN. En particulier, la fibre au-dessus de S1 pour a ‰ 0 est isomorphe à A1

et la fibre au-dessus de 0 est réduite à un point. Il résulte de ces équations que pour toutn P N, an divise tous les ξi et v. En particulier, on trouve que la complétion formelle en 0du schéma S1 est isomorphe à krrass.

Plus généralement, on vérifie immédiatement que la fibre en zéro ψ´1d p0q se réduit à 0

et il résulte de 1.5.10, par changement de base, que la flèche ψd : Sd Ñ Qd induit unisomorphisme sur les complétions en zéro.

Etudions les schémas Sd le long d’une stratification.

Lemme 2.2.1. Soit d P N˚, alors Sd admet une stratification finie constructible par d ` 1

schémas de type fini. Plus précisément, pour tout e P J0, dK, ψ´1d pQ5

d,eq est un k-schéma detype fini.

On rappelle que Q5d,e :“ tq P Qd|, te|q, ae P Gmu avec la convention que Q5

d,d “ ttdu.

Démonstration. Cela se déduit par changement de base de 1.5.11.

2.3. Schémas de type pSq. Soit d P N et un k-schéma qcqs T , on dit qu’il est de typepSdq s’il admet une partition :

T “dž

i“0

Ti

par des sous-schémas localement fermés non-vides, de telle sorte que :15

(i) Pour tout i ď d,Ťkďi

Tk est ouvert quasi-compact dans T .

(ii) Pour tout i, les Ti sont des k-schémas de type fini.

On dit qu’il est de type pSq s’il est de classe pSdq pour un certain d P N. De plus, on appellepSq-stratification, une stratification qui vérifie les deux conditions ci-dessus. Dans ce cas,d’après [43, Tag. 05GG], pour tout i, l’immersion Ti ãÑ T est de type fini.

Si d “ 0, les schémas de type pS0q sont simplement les k-schémas de type fini. Si T est detype pSdq pour un certain d P N˚, il admet un fermé F ãÑ T qui est un k-schéma de typefini de complémentaire V quasi-compact de type pSd´1q :

T “ V \ F. (2.3.0.1)

Soit A un anneau muni de la topologie I-adique pour un idéal de type fini I Ă A etun A-module. On définit M^ :“ limÐÝMInM la complétion I-adique de M . Il résulte de[43, 00M9] que l’on a :

InA^ – pInq^ et A^InA^ – AIn. (2.3.0.2)

En particulier, A^ est I-adiquement complet.

Lemme 2.3.1. On considère une décomposition telle que dans (2.3.0.1), on a les propriétéssuivantes :

(i) Les schémas de type pSq ont un espace topologique noethérien et sont de dimensionde Krull finie.

(ii) Tout sous-schéma localement fermé d’un schéma de type pSq est de type pSq.

(iii) On conserve les notations de (2.3.0.1). L’immersion fermée F ãÑ T est de type finiet si T est affine, alors le schéma affine sous-jacent à la complétion formelle de T lelong de F est noethérien excellent.

Démonstration. (i) Comme un espace topologique qui admet une stratification finie par desespaces topologiques noethériens de dimension finie est lui-même de noethérien de dimensionfinie ([43, Tag. 0053]), on en déduit l’assertion pour les schémas de type pSq.

(ii) Soit un localement fermé H d’un schéma T de type pSq et une (S)-stratification pTiqde T . D’après (i), T est noethérien, donc H est aussi noethérien, donc quasi-compact. Onconsidère alors la stratification induite HXTi avec sa structure réduite. La condition (i) estbien vérifiée comme H est quasi-compact. Il s’agit donc de voir que HXTi est un k-schémade type fini. Or, H X Ti ãÑ Ti est localement fermé dans un k-schéma de type fini, donclui-même de type fini.

(iii) Comme F est un k-schéma de type fini, l’immersion fermée F ãÑ T “ SpecpAq [43, Tag.01T8] est aussi de type fini, donc l’idéal I qui la définit est de type fini et AI est noethérien,donc d’après [43, Tag. 05GH], la complétion I-adique de A, A^, est un anneau noethérienI-adiquement complet.

16

Proposition 2.3.2. Soit T un schéma de type pSq, y P T pkq, alors O^T,y est noethérien

excellent.

Démonstration. On procède par récurrence sur l’entier d P N tel que T est de type pSdq. Sid “ 0, T est un k-schéma de type fini et cela se déduit de [43, Tag. 07QW]. Supposons lerésultat vrai pour les schémas de type pSdq et montrons le résultat pour pSd`1q. Soit T detype pSd`1q, on écrit alors une décomposition telle que dans (2.3.0.1) :

T “ V \ F

où F est un k-schéma de type fini, fermé dans T de complémentaire V de type pSdq. Siy P V pkq, O^

T,y “ O^V,y et c’est clair par hypothèse de récurrence. Si y P F pkq, alors comme

F est un k-schéma de type fini, la composée Specpkpyqq ãÑ F ãÑ T est aussi de typefini d’après 2.3.1, donc d’après [43, Tag. 05GH], O^

T,y est local noethérien complet, doncexcellent ([43, Tag. 07QW]).

Remarque 2.3.3. En revanche, en général pour un point quelconque d’un schéma de typepSq, la complétion de l’anneau local n’est pas noethérienne en général ; il suffit de considérerl’immersion fermée S1 ãÑ S2.

Pour tout d P N, la catégorie des schémas de type pSdq est stable par produit direct et parmorphismes de type fini, ainsi qu’on le voit en prenant respectivement le produit direct etl’image inverse d’une pSq-stratification.Plus généralement, si T est un schéma de type pSq et f : T 1 Ñ T un morphisme pSq-stratifié, i.e qcqs et il existe une pSq-stratification pTiq de T telle que pour tout i, f|f´1pTiq :

f´1pTiq Ñ Ti est de type fini, alors T 1 est aussi de type pSq.Enfin, pour tout morphisme pSq-stratifié f : X Ñ T et g : Y Ñ T entre schémas de typepSq, quitte à raffiner la pSq-stratitication pour qu’elle soit adaptée à f et à g, on obtientque le produit fibré X ˆT Y est aussi de type pSq.

Pour tout entier m P N, on considère le produit fibré de m copies de Sd :

Spmqd :“ Sd ˆQd

¨ ¨ ¨ ˆQdSd.

Proposition 2.3.4. Tout schéma de type fini sur un produit Spm1qd1

ˆk ¨ ¨ ¨ ˆk Spmrqdr

est de

type pSq.

Démonstration. La catégorie des schémas de type pSq est stable par morphismes de typefini et produits directs. On est donc ramené à montrer l’assertion pour Spmq

d et cela se déduitalors de 2.2.1 et de la stabilité par produit fibré de morphismes pSq-stratifiés.

En fait, dans le théorème 3.1.1, ce sont précisément ces schémas là qui apparaissent (etmême ceux de présentation finie sur un produit Spm1q

d1ˆk ¨ ¨ ¨ ˆk S

pmrqdr

).17

2.4. Théorie de la dimension.

Lemme 2.4.1. Tout schéma de type pSq est de Jacobson.

Démonstration. D’après [23, 10.1.2], il s’agit de voir que tout localement fermé de type pSqadmet un point fermé. Or d’après 2.3.1, un localement fermé H d’un schéma de type pSqest aussi de type pSq, donc en particulier, contient un ouvert U qui est un k-schéma de typefini, donc de Jacobson d’après [23, 10.4.7]. En particulier, U admet un point fermé, qui estaussi un point fermé de H, ce qu’on voulait.

Proposition 2.4.2. Soit T un schéma de type pSq irréductible de point générique η, alorsdimT “ degtrkpkpηqq, en particulier, pour tout ouvert U , on a dimU “ dimT .

Démonstration. Quitte à recouvrir T , on peut supposer T “ SpecpAq affine. Soit U “ Dpfqun ouvert affine non-vide de T qui est un k-schéma de type fini, on a donc degtrkpkpηqq “dimpUq ď dimpT q. Montrons la réciproque ; comme T est intègre, U est dense. On écritA » colimAα comme réunion de ses sous-k-algèbres de type fini, qui sont aussi intègres etT » limÐÝTα. Il existe α tel que f P Aα, de telle sorte que Af » colimβěαAβ,f . Comme Afest une k-algèbre de type fini, quitte à grandir α, on peut supposer que Af – Aβ,f pourtout β ě α. Comme les algèbres considérés sont intègres, on obtient la chaîne d’égalitéspour β ě α :

dimpUq “ dimpUβq “ dimpTβq “ supβěα

dimpTβq.

Il nous suffit de montrer que dimpT q ď supβěα

dimpTβq. Soit alors une chaîne d’idéaux premiers

p0 Ĺ ¨ ¨ ¨ Ĺ pn de longueur maximale de T , on considère pour tout i, si P qizqi´1, soit β1

tel que s0, . . . , sn P Aβ1 . Pour tout β ě β1, on a donc par intersection, une chaîne d’idéauxpremiers :

p0 XAβ Ĺ ¨ ¨ ¨ Ĺ pn XAβ

et donc on en déduit que dimpT q ď supβěα

dimpTβq, ce qu’on voulait.

Corollaire 2.4.3. Soit T de type pSq, alors c’est un schéma de Jaffard, i.e. pour tout n P N,on a dimpT ˆk A

nq “ dimpT q ` n.

Remarque 2.4.4. Etant donné que l’on considère des schémas non-noethériens, une tellepropriété n’est pas automatique, il existe des anneaux A de dimension un pour lesquelsdimpArtsq “ 3.

Démonstration. Comme T ˆk An est de type pSq, par récurrence on peut supposer n “ 1

et comme T est noethérien, on peut supposer T intègre et donc T ˆ A1 aussi. Soit U unouvert non-vide de T qui est un k-schéma de type fini. D’après la proposition précédenteet comme U est de type fini, on a dimpT q “ dimpUq et dimpT ˆk A

nq “ dimpU ˆk Anq “

n` dimpUq “ n` dimpT q, ce qu’on voulait.

18

3. Construction d’un atlas

3.1. Énoncés principaux et dévissages. On considère un k-schéma de type finiX réduit,pur avec dimX ě 1. On dispose de l’ouvert L‚X :“ LX ´LXsing, comme c’est un schémaqui n’est pas quasi-compact, on va considérer des ouverts plus petits. Pour tout entier d P N,on peut alors considérer l’ouvert

LXďd :“ ev´1d pLdX´LdXsingq

avec evd : LX Ñ LdX. C’est un schéma quasi-compact quasi-séparé, comme image inversed’un schéma de type fini par un morphisme affine.

Théorème 3.1.1. Soit d P N, alors il existe un morphisme de schémas f : Z Ñ LXďd avecZ tel que :

(i) f est Weierstrass, affine et surjectif.

(ii) On a une immersion décente Z ãÑ T ˆ AN avec T un k-schéma de type (S).

Si de plus, X est irréductible, T l’est aussi. On appelle un tel Z un atlas formel.

Remarque 3.1.2. On rappelle que les immersions décentes sont des isomorphismes formels.

On commence par l’énoncé suivant :

Proposition 3.1.3. Soit S1 Ñ LXďd de présentation finie, alors si LXďd admet un atlasformel, il en induit un par changement de base sur S1.

Démonstration. Soit Z Ñ LXďd un atlas formel comme dans le Théorème 3.1.1. Soit Z1 lechangement de base de Z à S1. Par changement de base, Z1 est affine, surjectif et Weierstrasssur S1. De plus, Z1 est de présentation finie sur Z. On a une immersion décente :

ι : Z ãÑ T ˆ AN

avec T de type pSq. Comme T ˆAN est quasi-compact quasi-séparé, d’après le Lemme 2.1.1et [43, Tag. 01ZL], il existe une immersion décente de présentation finie ια : Zα Ñ T ˆ AN

telle que l’on a un carré cartésien :

Z1

// Z1,α

Z // Zα

où les flèches horizontales sont des immersions décentes. En particulier, Z1,α est de présen-tation finie sur T ˆ AN, donc à nouveau par descente noethérienne, on a :

Z1,α » T 1 ˆ AN,

où T 1 est de présentation finie sur T , donc il est de type pSq, ce qui conclut.

19

On dit qu’un k-schéma est un schéma d’intersection complète spécial, s’il est défini commeun sous-schéma fermé de Specpkrx1, . . . , xm, y1, . . . , ylsq par les équations p1 “ ¨ ¨ ¨ “ pl “ 0.Dans ce cas, le lieu singulier consiste en le lieu d’annulation du déterminant de la matricejacobienne p Bpi

Byjq.

Proposition 3.1.4. Le Théorème 3.1.1 pour les intersections complètes spéciales impliquele cas général.

On a besoin de la proposition suivante qui résulte de [13] et [34, Prop.4.1, Lem. 4.2] :

Proposition 3.1.5. Supposons de plus X affine. Soient r, d des entiers avec r ě d, alors ilexiste des schémas intersections complètes spéciaux Mi et un recouvrement par des ouvertsaffines Ui de LrX

ďd qui vérifient les conditions suivantes :

(i) On a des immersions fermées X ãÑ Mi.

(ii) Les ouverts Ui sont contenus dans LrMďdi .

(iii) Soit Vi l’image réciproque de Ui dans LX, alors on a un carré cartésien :

Vi

// LMďdi

Ui // LrMďdi

Passons maintenant à la preuve de la Proposition 3.1.4 :

Démonstration. Tout d’abord, on peut se ramener immédiatement au cas où X est affineen prenant un recouvrement par des ouverts affines. On considère alors des ouverts Ui, Vi etun schéma intersection complète Mi, tels que dans la Proposition 3.1.5. Il suffit de montrerl’existence d’un atlas formel pour Vi. On a alors un carré cartésien :

Vi

// LMďdi

Ui // LrMďdi

En particulier, par changement de base, on a une immersion de présentation finie Vi ÑLMďd

i . On conclut alors par la Proposition 3.1.3.

En plus de l’atlas, on a besoin d’une bonne stratification de l’espace d’arcs.

Théorème 3.1.6. Le schéma LXďd admet une stratification finie constructible par desschémas isomorphes à H ˆ AN pour un k-schéma de type fini H.

Proposition 3.1.7. Le Théorème 3.1.6 se déduit du cas intersection complète spécial.

20

Démonstration. On utilise à nouveau la Proposition 3.1.5 et l’assertion se réduit à montrerque si l’on a une immersion localement fermée de présentation finie :

F Ñ H ˆ AN

alors F est également de la forme H1 ˆ AN avec H1 un k-schéma de type fini et cela sedéduit immédiatement par descente noethérienne.

On montre dans la section 3.3 les théorèmes 3.1.1, 3.1.6 dans le cas d’intersection complètespécial.

3.2. Le cas d’intersection complète spécial. Soit A un anneau commutatif, une sériex P Arrtss est non-dégénérée si pour tout morphisme ν : A Ñ K avec K un corps, νpxq PKrrtss XKpptqqˆ.

Lemme 3.2.1. On a les assertions suivantes :

(i) Soit B P Infk, alors si x P Brrtss est non-dégénérée, on a x P Brrtss XBpptqqˆ.

(ii) Soit A un anneau décent, une série non-dégénérée x P Arrtss, alors la multiplicationpar x est injective.

Démonstration. (i) Soit m l’idéal maximal de B. Comme x “ tbuptq P krrtss X kpptqqˆ etque par hypothèse mr “ p0q pour un certain r P N, on obtient qu’il existe N P N tel quexN “ tbNHptq avec Hptq P Brrtssˆ, d’où l’on déduit que xN P Brrtss XBpptqqˆ ainsi que x.

(ii) On commence par prouver l’énoncé pour les objets de Infk. Si B P Infk et x P Brrtssest non-dégénérée, d’après (i), x P Bpptqqˆ donc la multiplication sur Bpptqq est bijective etcomme Brrtss Ñ Bpptqq est injective, on a le résultat pour B. Si A est décent, la multipli-cation est injective si et seulement si elle l’est pour tout B P Infk, et cela se déduit du casprécédent.

Proposition 3.2.2. Soit A un anneau décent, φ P MnpArrtssq tel que ψ :“ detpφq P Arrtssest une série non-dégénérée, alors l’application linéaire associée :

φ : Arrtssn Ñ Arrtssn

est injective et son image consiste en l’ensemble des u P Arrtssn tels que :

φ1u “ 0 mod ψ.

où φ1 est la matrice adjointe de φ, telle que φ1φ “ ψ.In.

Démonstration. De l’égalité de Cramer φφ1 “ φ1φ “ ψ.In et du Lemme 3.2.1, on en déduitque φ et φ1 sont injectives. De plus, si l’on a deux vecteurs u, ν P Arrtssn, de l’injectivité deφ et φ1, on déduit que φpνq “ u si et seulement si φ1puq “ ψν. En particulier, u P Imφ si etseulement si φ1puq “ 0 mod ψ.

21

Soient deux entiers m,n P N avec m ě n. On définit le schéma intersection complèteX, comme le sous-schéma fermé de Spec krx1, . . . , xmń, y1, . . . , yns défini par les équationsf1 “ ¨ ¨ ¨ “ fn “ 0. On note f :“ pf1, . . . , fnq et pour γ :“ px, yq “ px1, . . . , xmń, y1, . . . , ynq PAm, on considère la matrice :

φpγq :“ pBfipx, yq

Byjq1ďi,jďn.

et on note ψpγq :“ detpφpγqq. Soit M :“ LAmń ˆ Qd ˆ LGm ˆ And`1 ˆ LAn, on a uneimmersion fermée pi, ψq : X ãÑ AmÂ1 qui induit une immersion fermée, notée de la mêmemanière pi, ψq : LX ãÑ LAm ˆ LA1, on considère alors le carré cartésien :

N0//

LXďd

pi,ψq

MpId,βd`1,αdq

// LAm ˆ LAďd

où αd est donnée par (1.5.7.1), βd`1 par (1.5.9.2) relativement au polynôme tq et pi, ψq estune immersion fermée par restriction à l’ouvert LAm ˆ LAďd Ă LAm ˆ LA1. Le schémaN0 classifie les uplets px, q, u, y, ξq P M tels que :

fpx, y ` tqξq “ 0, (3.2.2.1)

ψpx, yq “ qu et y “ y ` tqξ. (3.2.2.2)

D’après les propositions 1.5.8 et1.5.10 et par changement de base, la flèche N0 Ñ LXďd

est Weierstrass, affine et surjective. On a de plus, une immersion fermée N0 ãÑ M . Onconsidère alors le sous-schéma fermé N1 Ă M qui consiste en les uplets px, q, v, y, νq P Mtels que :

φ1pγ1, fpγ1qq ` tq2ν “ 0, (3.2.2.3)

ψpγ1q “ qv. (3.2.2.4)

Ici, on a posé γ1 :“ px, yq et φ1pγ1, .q est l’endomorphisme adjoint de φpγ, .q.

Proposition 3.2.3. On a un isomorphisme canonique θ : M Ñ M de telle sorte que lacomposée :

N0 ãÑ Mθ

Ñ M

se factorise en une immersion fermée N0 ãÑ N1. De plus, cette immersion induit un isomor-phisme pour tout anneau commutatif décent. En particulier, c’est une immersion décente.

Démonstration. On fait le développement de Taylor de (3.2.2.1) par rapport à la variabley, soit :

fpx, y ` tqξq “ fpx, yq ` tqφpx, yqξ ` t2q2Hpx, yq “ 0, (3.2.3.1)

avec H :“ pH1, . . . ,Hnq P Arrtssrx, ys. En appliquant φ1pγ1, .q avec γ1 :“ px, yq, on obtient :

φ1pγ, fpγ1qq ` tqψpγ1qξ ` t2q2φ1pγ1,Hpx, yqq “ 0. (3.2.3.2)22

D’autre part, en faisant également un développement de Taylor de (3.2.2.2) on a :

ψpγ1q “ qpu` tqBpx, yqq. (3.2.3.3)

On pose v :“ u ` tqBpx, yq P LGm. Ainsi, (3.2.3.2) se récrit :

φ1pγ1, fpγ1qq ` tq2rvξ ` tφ1pγ1,Hpx, yqqs “ 0. (3.2.3.4)

On considère alors la flèche θ :M Ñ M donnée par :

px, q, u, y, ξq ÞÑ px, q, v, y, vξ ` tφ1pγ1,Hpx, yqqq.

Il résulte alors de (3.2.3.4) que la composée N0 ãÑ Mθ

Ñ M se factorise par N1. Montronsque θ est un isomorphisme et que la flèche N0 Ñ N1 est bijective sur les A-points pour Adécent. On considère px, q, v, y, νq P MpAq, d’après 3.2.4, il existe un unique ξ tel que :

ν “ vξ ` tφ1pγ1,Hpx, yqq avec y “ y ` qξ.

et on peut donc poser u :“ v ´ tBpx, yq avec Bpx, yq défini par (3.2.3.3), pour obtenir lafonction réciproque de θ. Si de plus, px, q, v, y, νq P N1pAq, alors ils vérifient (3.2.2.3), onobtient un point de N0pAq à l’aide de la proposition 3.2.2 si A est décent.

Lemme 3.2.4. Soit h : An Ñ An une application polynomiale, alors pour tout anneaucommutatif A et λ P Arrtssˆ, l’application :

Arrtssn Ñ Arrtssn

ν0 ÞÑ λν0 ` thpν0q est bijective.

Démonstration. Soit x P Arrtssn, on définit la norme |x| “ 2´d où d est le plus petit entiertel que la réduction de x modulo td soit non-nulle. Pour cette norme, Arrtssn est un espacemétrique complet, comme on considère la topologie limite projective.

Soit ν1 P Arrtssn, il suffit de montrer que l’application ν ÞÑ φpνq “ λ´1rν1 ´ thpνqs admetun point fixe. Comme h est polynomiale, |hpνq ´ hpwq| ď |ν ´ w| et |λ| “ 1 comme λinversible, on déduit :

|φpνq ´ φpwq| ď1

2|ν ´ w|.

On obtient donc que φ est contractante et admet donc un unique point fixe par le théorèmede Banach.

3.3. Décomposition en morceaux. On va maintenant utiliser le schéma N1 pour séparerla partie de dimension finie de la partie espace affine de dimension infinie. Dans la suite,pour simplifier les notations, on pose cpx, yq :“ φ1pγ1, fpx, yqq. On forme le carré cartésien :

N2

f1// N1

pr

Qd Âmńd`1 ˆ LAmń βd

// Qd ˆ LAmń

23

avecprpx, q, v, y, νq “ pq, xq (3.3.0.1)

et βd donnée par :βdpq, x, ξq “ pq, x ` tqξq.

A nouveau, comme βd est Weierstrass, affine, surjectif, f1 l’est aussi. Montrons que N2 estisomorphe à un produit d’un schéma de type (S) avec un AN. Le schéma N2 est donné parles équations :

cpx ` tqξ, yq ` tq2ν “ 0 avec x “ x` tqξ, (3.3.0.2)ψpx, yq “ qv. (3.3.0.3)

Pour décomposer le schéma N2, on va faire « une division euclidienne » par tq. Soit Z unk-schéma affine de type fini. On considère le foncteur ZQd

sur la catégorie des k-algèbres :

ZQdpRq :“ tpq, xq, q P QdpRq, x : SpecpRrtsqq Ñ Zu

Il est représentable par un schéma affine de type fini au-dessus de Qd. Sa fibre au-dessusd’un polynôme séparable est le produit Zd et au-dessus de td, on obtient Ld´1 Z. Dans lecas Z “ A1, on a :

A1Qd

pRq :“ tpq, xq| q P QdpRq, x P Rrtspqqu,

qui est un fibré vectoriel de rang d sur Qd. Comme la flèche canonique AdpRq Ñ Rrtspqqest un isomorphisme par la division euclidienne, ce fibré se trivialise en :

Qd Âd – A1Qd. (3.3.0.4)

A tout morphisme f : Z Ñ V et tout entier r P N, on a par fonctorialité une flèche

fQr : ZQr Ñ VQr . (3.3.0.5)

En prenant r “ d` 1 et r “ 2d` 1, les morphismes ψ : Am Ñ A1 et c : Am Ñ An induisentdes morphismes :

ψQd`1: AmQd`1

Ñ A1Qd`1

et cQ2d`1: AmQ2d`1

Ñ AnQ2d`1.

De plus, on rappelle que dans le cas d’un espace affine, on a par division euclidienne(cf.(3.3.0.4))

@ k P N,AkQd`1– Qd`1 Âkd`1.

On considère alors la composée :

ψ : Qd Âmd`1 Ñ AmQd`1

ψQd`1

Ñ Qd`1 Âd`1,

où la première flèche est donnée pt., Idq où la première coordonnée désigne la multiplicationpar t ainsi que

c : Qd Âm2d`1 Ñ AmQ2d`1

cQ2d`1

Ñ Q2d`1 Ân2d`1.

où la première flèche est induite par Qd Ñ Q2d`1 qui envoie q sur tq2. Ceci nous permetdonc d’écrire :

cpx ` tqξ, yq “ cpγ, qq ` tq2c1px, yq, (3.3.0.6)ψpx, yq “ ψpγ, qq ` tqψ1px, yq. (3.3.0.7)

24

avec γ :“ px, yq et x “ x ` tqξ. On peut donc récrire N2 comme l’espace des upletspq, x, y, ξ, ν, vq tels que :

cpγ, qq ` tq2rc1px, yq ` νs “ 0, (3.3.0.8)

pψpγ, qq ´ qv0q ` tqrψ1px, yq ´ v1s “ 0. (3.3.0.9)

avec v “ v0 ` tv1. On a alors une flèche canonique de présentation finie :

ψ : Gm ˆ Qd Âmd`1 Ñ Qd`1 ˆ Q2d`1 Ân2d`1 Âd`1

donnée par pv0, q, x, yq ÞÑ ptq, tq2, cpγ, qq, pψpγ, qq ´ qv0qq. On forme alors le carré cartésien :

T

// Sd`1 ˆk Spnq2d`1

Gm ˆ Qd Âmd`1 ˆ LAn ˆ LA1 ψ// Qd`1 ˆ Q2d`1 Ân2d`1 Âd`1 ˆ LAn ˆ LA1

où la flèche verticale de droite vient de la définition (2.2.0.1) en tant que produit fibré.Par changement de base, comme ψ est de présentation finie, T est de présentation finiesur Sd`1 ˆk S

pnq2d`1. En particulier, il est donc de type pSq d’après 2.3.4. Par définition, il

consiste en l’espaces des uplets pv0, q, x, y, ξ1, ξ2q tels que :

cpγ, qq ` tq2ξ1 “ 0, (3.3.0.10)

pψpγ, qq ´ qv0q ` tqξ2 “ 0. “, (3.3.0.11)

avec γ “ px, yq. Il ne reste plus qu’à montrer le lemme suivant :

Lemme 3.3.1. La flèche

N2 Ñ T ˆ LAmń.

donnée par :

pq, x, y, ξ, ν, vq ÞÑ ppv0, q, x, y, c1px, yq ´ ν, ψ1px, yq ´ v1q, ξq,

obtenue à partir de (3.3.0.8) et (3.3.0.9) est un isomorphisme.

On rappelle que l’on écrit v “ v0`tv1, x “ x`tqξ et que N2 est déterminé par les équations(3.3.0.8) et (3.3.0.9).

Démonstration. On construit alors une flèche dans le sens opposé :

T ˆ LAmń Ñ N2,

donnée par :pv0, q, x, y, ξ1, ξ2, ξq ÞÑ ppq, x, y, ξ, ν, vqq,

où ν :“ c1px` tqξ, yq´ξ1, v1 :“ ψ1px` tqξ, yq´ξ2 et v “ v0 ` tv1. On vérifie immédiatementque la composée des deux est un isomorphisme.

On peut terminer la preuve du Théorème 3.1.6 :25

Démonstration. En combinant 3.2.3 et 3.3.1, on a un diagramme commutatif :

N0

// LXďd

T ˆ LAmń » N2// N1

Toutes les flèches horizontales sont des morphismes affines, surjectifs de Weierstrass et laflèche verticale est une immersion décente. En particulier, si on pose Z :“ N2 ˆN1

N0, il estWeierstrass, affine et surjectif et admet une immersion décente :

Z ãÑ T ˆ LAmń,

ce qui donne l’atlas voulu.

Il ne reste plus qu’à démontrer l’énoncé d’irréductibilité :

si de plus, X est irréductible, d’après [37, Thm. 3.15], LXďd l’est également. En particulier,l’ouvert LXreg est dense dans LXďd. Soit Z0 Ă Z l’ouvert réciproque de LXreg dans Z.Comme Z Ñ LXďd est fidèlement plat, par platitude topologique Z0 reste dense dans Z.Or, il résulte de 1.5.9 et 1.5.11 qu’au-dessus de LXreg “ LX0, les flèches αd et βd sontsurjectives, lisses et leurs fibres sont des schémas lisses connexes. On en déduit donc queZ0 est également irréductible et donc Z par densité. Enfin, Z et T ˆ AN ont même espacetopologique donc T ˆ AN est irréductible et T également.

Il reste à montrer le Théorème 3.1.6, il suffit de montrer la proposition suivante :

Proposition 3.3.2. Pour tout d, le schéma LX“d est isomorphe à Dd ˆLAm avec Dd quiest un k-schéma de type fini.

Démonstration. On considère le foncteur Bd sur la catégorie des k-algèbres donné par :

R ÞÑ BdpRq :“ tz P Rrrtssm, fpzq “ 0 rt2d`1s, ψpzq “ tdu, u P Rrrtssû.

Comme les équations ne portent que sur la réduction de z modulo t2d`1, le foncteur estreprésentable par un schéma de la forme Dd ˆ LAm avec :

DdpRq :“ tz P pRrtspt2d`1qqm, fpzq “ 0 rt2d`1s, ψpzq “ tdu, u P Rrrtssû.

Pour toute k-algèbre R, si z P LX“dpRq, on commence par l’écrire z “ z ` t2d`1ν PRrrtssm avec ν :“ p0, . . . , 0, ν1, . . . , νnq P Rrrtssn. En faisant un développement de Taylor defpz` t2n`1νq, on obtient immédiatement que x définit un point de BdpRq. Pour démontrerl’énoncé, il nous suffit de vérifier que les foncteurs sont isomorphes pour tout anneau com-mutatif A. Si on a un point x P BdpAq, le même argument que pour la Proposition 3.2.2nous fournit l’existence et unicité d’un ν tel que :

fpx` t2d`1νq “ 0.26

Il est à noter que dans ce cas on n’a pas besoin de la condition de décence étant donnéque ψpxq “ tdu, u P Arrtssˆ n’est jamais un diviseur de zéro. On obtient donc le résultatsouhaité.

Remarque 3.3.3. Il est indispensable de travailler avec des schémas de type (S). En effet,ces schémas non-noethériens permettent de recoller les différents modèles formels qui ap-paraissent dans le théorème de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan. En revanche, cela ne peut êtrefait avec des k-schémas de type fini, ainsi que le montre l’exemple suivant.

Exemple : On considère le cas du cône quadratique X :“ tpx, y, zq|xy “ z2u.

Si l’on prend les arcs de valuation un et deux, γ1ptq “ pt, 0, 0q et γ2ptq “ pt2, 0, 0q, lesmodèles formels Y1 et Y2 sont donnés par tv2 “ 0u et tpa, b, v, wq| aw2 “ v2, bw2 “ 2wvu.On a alors un morphisme :

φ : Y2 ˆ LGm ˆ LA1 Ñ LXď2,

donné par ppa, b, v, wq, uptq, ξptqq ÞÑ pquptq, yptq, v`wt` qξptqq, avec yptq défini uniquementpar pxptq, zptqq et q “ a ` bt ` t2. Le morphisme φ induit un isomorphisme formel sur lespoints qui s’envoient sur LX“2. En revanche, cela n’est plus vrai aux autres points où lessingularités des deux côtés sont différentes. En effet, le quadruplet p1, 0, 0, 0q est un pointsingulier de Y2 mais s’envoie sur un point lisse de LX.

4. Cohomologie étale des espaces d’arcs

4.1. Constructibilité pour les S-schémas. Soit k un corps, on considère n P N˚ premierà la caractéristique. Dans la suite, tous les foncteurs sont dérivés. L’énoncé principal est4.1.7. On commence par rappeler le théorème de Gabber [32, Exp. XX, 4.4] qui est unénoncé de comparaison avec la complétion :

Théorème 4.1.1. Soit A un anneau commutatif, I Ă A un idéal de type fini. On considèreun morphisme pA, Iq Ñ pA1, I 1q de paires henséliennes avec I 1 “ IA1, de telle sorte que l’ona un isomorphisme au niveau des complétions I et I 1-adiques :

A^ » A1^.

Soient X “ SpecpAq, X 1 “ SpecpA1q, U :“ SpecpAq ´ V pIq, U 1 :“ SpecpA1q ´ V pI 1q,π : X 1 Ñ X, j : U Ñ X, j1 : U 1 Ñ X 1. On suppose n inversible sur X, alors pour toutK P Db

cpU,Znq, le morphisme de changement de base :

π˚j˚K Ñ j1˚π

˚K.

est un isomorphisme.

Remarques.

4.1.2. Il est important de noter que l’on ne fait pas d’hypothèses sur A.27

4.1.3. Dans loc.cit., l’énoncé est au niveau des faisceaux de cohomologie et pour K unfaisceau de Zn-modules. Il s’étend dans notre cas de la manière suivante : d’après[43, Tag. 095S], la flèche de changement de base est définie dans la catégorie dérivée ;pour montrer que c’est un isomorphisme, il suffit de le voir au niveau des faisceauxde cohomologie. Par un argument de suite spectrale [43, Tag. 015J], on se ramèneensuite à K qui est un faisceau de Zn-modules et là c’est le théorème [32, Exp. XX,4.4].

On utilisera à plusieurs reprises le corollaire suivant :

Corollaire 4.1.4. Soit une paire pA, Iq avec I un idéal de type fini, X :“ SpecpAq, U :“X ´ V pIq et X 1 :“ SpecpA^q où A^ est la complétion I-adique de A, alors on a un énoncéde changement de base pour j˚ avec j : U Ñ X comme ci-dessus.

Démonstration. En effet, il suffit dans un premier temps de faire le changement de base àl’hensélisé pAh, Ihq de A le long de I et ensuite on applique le Théorème 4.1.1.

Proposition 4.1.5. [Changement de base pro-lisse] On considère un carré cartésien deschémas qcqs :

T1

h

g// T

h

S1g

// S

avec g pro-lisse et h qcqs. Alors, pour tout K P D`pTét,Znq le morphisme canonique :

g˚h˚K Ñ h˚g˚K

est une équivalence.

Démonstration. Il suffit de montrer l’énoncé en prenant les faisceaux de cohomologie. Lemême argument de suite spectrale que la remarque 4.1.(ii) nous ramène au K est un faisceauconstructible de Zn-modules. L’énoncé se déduit alors de [32, Exp. XIV, Lem. 2.5.3]. Onremarque que dans loc. cit., la preuve est faite pour un morphisme régulier, mais l’hypothèseclé est en fait la pro-lissité.

Lemme 4.1.6. Soit f : Y Ñ S un morphisme surjectif de schémas qcqs, alors pour toutK P Db

cpS,Znq, K est constructible si et seulement si f˚K l’est.

Démonstration. Le sens direct est immédiat. Comme f˚ est exact, il suffit de vérifier l’as-sertion dans le cas où K est un faisceau constructible de Zn-modules et alors cela se déduitde [43, Tag. 095Q].

Passons maintenant au théorème clé :28

Théorème 4.1.7. Soit T un schéma de type pSq, soit j : U Ñ T une immersion ouvertequasi-compacte. Soit K P Db

cpU,Znq, alors j˚K est constructible.

Démonstration. Soit d P N, tel que T est de type pSdq. On procède par récurrence sur d.Si d “ 0, alors T est un k-schéma de type fini et c’est l’énoncé de constructibilité usuelle[27, Exp. XIX, 5.1]. Supposons la propriété vraie pour tout k ď d et montrons-là pour d`1.On écrit alors T “ Vd´1 \Fd´1 avec Vd´1 de type pSd´1q et Fd´1 un k-schéma de type fini.On a sur U un triangle distingué :

i˚i!K Ñ K Ñ h˚h

˚K

avec h : Ud´1 :“ U X Vd´1 Ñ U et i : Hd´1 :“ U ´ Vd´1 Ñ U l’immersion ferméecomplémentaire. Comme K est constructible, h˚K l’est aussi. Montrons que h˚h

˚K estconstructible sur U . Le problème étant local, on peut donc supposer que U est affine.D’après 2.3.1 le schéma affine U^ sous-jacent à la complétion formelle de U le long de Hd´1

est noethérien excellent. On considère alors le diagramme cartésien :

U^d´1

// U^

Ud´1// U

avec U^d´1 l’image inverse dans U^ de Ud´1. D’après 4.1.6 et 4.1.4, il suffit de montrer

la constructibilité au niveau de la flèche du haut, qui est une immersion ouverte entreschémas noethériens excellents. Cela se déduit alors du théorème de constructibilité deGabber [32, Intro, Thm.1]. Ainsi, h˚h

˚K est constructible et comme K l’est aussi, on endéduit la constructibilité de i˚i!K. En appliquant j˚ à ce triangle, on obtient un triangledistingué :

j˚pi˚i!Kq Ñ j˚K Ñ j˚ph˚h

˚Kq.

Il suffit donc de montrer que les deux extrémités sont constructibles. Pour l’extrémité dedroite, on a un diagramme commutatif :

Ud´1

j1

//

h

Vd´1

h1

Uj

// T

On en déduit :

j˚ph˚h˚Kq “ h1

˚j1˚ph˚Kq.

Comme Vd´1 est de type pSd´1q, par hypothèse de récurrence j1˚ph˚Kq est constructible et

également h1˚j

1˚ph˚Kq en appliquant à nouveau 4.1.6, 4.1.4 et [32, Intro, Thm.1]. Enfin la

29

constructibilité de j˚i˚i!K se déduit du carré commutatif :

Hd´1//

i

Fd´1

Uj

// T

,

du fait que Fd´1 Ñ T est une immersion fermée et que Hd´1 Ñ Fd´1 est une immersionouverte entre k-schémas de type fini donc préserve les constructibles.

Corollaire 4.1.8. Soit f : T 1 Ñ T un morphisme séparé de type fini entre schémas de typepSq, alors les foncteurs pf˚, f!, f

˚, f !q préservent les constructibles.

Remarque 4.1.9. On rappelle que dans [27, Exp XVIII, Thm.3.1.4], Deligne définit lefoncteur f ! pour tout morphisme compactifiable, i.e. qui se factorise en une immersionouverte suivie d’un morphisme propre, ce qui est le cas d’un morphisme de séparé de typefini d’après Nagata [43, Tag. 0F41].

Démonstration. Pour f˚ c’est immédiat ([43, Tag. 095G]), pour f!, cela se déduit du chan-gement de base propre [27, Exp. XIV]. Pour f˚, en utilisant la compactification de Nagata,f se factorise en f “ g˝j avec g propre et j une immersion ouverte quasi-compacte. En par-ticulier, le résultat se déduit du Théorème 4.1.7 et de la finitude de g˚ comme g est propre.Il reste donc le cas de f !. Comme l’assertion est locale sur T 1, on factorise f en f “ p˝i aveci une immersion fermée de type fini et p lisse. Comme p est lisse, on p! “ p˚r2ds où d est lafonction localement constante dimension relative de p (d’après [27, Exp XVIII,Thm. 3.2.5]).Il suffit donc de montrer le résultat pour f “ i. Soit λ l’immersion ouverte complémentaire,qui est quasi-compacte, K P Db

cpT,Znq, on a un triangle distingué :

i˚i!K Ñ K Ñ λ˚λ

˚K

D’après 4.1.7, comme K est constructible, λ˚λ˚K l’est aussi et par conséquent i˚i

!K.Comme i!K “ i˚pi˚i

!Kq, on conclut.

Corollaire 4.1.10. Soit T de type pSq, K,L P DbcpT,Znq, alors RHom pK,Lq P Db

cpT,Znq.

Démonstration. L’assertion est locale sur T et en filtrant K, d’après [27, Exp. IX, Prop.2.5],on peut supposer que K » k!Zn où k est une immersion localement fermée constructible.On a alors :

RHom pK,Lq “ RHom pk!Zn,Lq » k˚k!L,

et l’assertion se déduit de 4.1.8.

4.2. Constructibilité sur les L-schémas. Dans cette section, le but est d’obtenir l’énoncéde finitude 4.2.2.

Soit S un k-schéma qcqs, on dit que c’est un L-schéma s’il admet un atlas formel tel quedans le théorème 3.1.1 et une stratification finie constructible du type du théorème 3.1.6.

30

Il résulte de la preuve de la proposition 3.1.3 que tout schéma de présentation finie sur unL-schéma est un L-schéma. On commence par un cas particulier de 4.2.2 :

Proposition 4.2.1. Soit f : Z2 Ñ Z1 un morphisme séparé de présentation finie de L-schémas avec Z1 “ T ÂN où T est de type (S), alors les foncteurs pf!, f˚, f

!, f˚q préserventles catégories constructibles.

Démonstration. Tout d’abord, il est à noter que comme f est séparé de présentation finie, ilse descend à un cran fini de telle sorte que Z2 provient d’un schéma Z2 séparé de présentationfinie sur un T ˆ Ar avec

Z2 » Z2 ˆTÂr Z1.

et Z2 est donc aussi de type (S). On commence par la paire pf!, f˚q, soit K P DbcpZ2,ZnZq.

Par un argument de suite spectrale [43, Tag. 015J], on se ramène à K qui est un faisceauconstructible de Zn-modules. On utilise alors [43, Tag. 09YU] pour dire que K se descendà un cran fini et sans restreindre la généralité, quitte à agrandir Z2, on peut supposer queK “ h˚K0 avec K0 P ShcpZ2,étq et h : Z2 Ñ Z2 est pro-lisse puisque qu’il s’obtient parchangement de base de la projection :

T ˆ AN Ñ T ˆ Ar.

Pour f!, l’énoncé se déduit du changement de base propre et du corollaire 4.1.8, pour f˚

cela se déduit des propositions 4.1.5 et 4.1.8. Passons à la paire pf˚, f !q, pour f˚ c’estimmédiat ([43, Tag. 095G]). Pour f ! le même argument que 4.1.8 montre qu’il suffit detraiter le cas d’une immersion fermée i et dans ce cas en utilisant le triangle distingué avecl’immersion ouverte complémentaire j, cela se déduit du fait que pj˚, j

˚, i˚q préservent lesconstructibles.

Théorème 4.2.2. Soit f : S1 Ñ S un morphisme séparé de présentation finie de L-schémas,alors les foncteurs pf!, f˚, f

!, f˚q préservent les catégories constructibles.

Démonstration. Pour f˚, c’est immédiat par construction du foncteur. On commmence parmontrer l’énoncé pour pf!, f˚q. On considère Z un atlas formel de S, soit Z1 :“ S1 ˆS Z.D’après 4.1.5, 4.1.6 et par le changement de base propre, il suffit de montrer l’énoncé enremplaçant S1 par Z1. Soit K P Db

cpZ1,ét,ZnZq, d’après 3.1.1, on a une immersion décente :

Z ãÑ T ˆ AN

que l’on peut écrire comme une limite d’immersions fermées de présentation finie d’après2.1.1 où T est de type (S). En particulier, on peut descendre Z1 en Z1 séparé de présentationfinie sur T ÂN et quitte à agrandir Z1, on peut supposer que K se descend aussi, l’énoncése déduit alors de 4.2.1 et de l’invariance topologique du topos étale ([43, Tag. 03SI]). Pourf !, le même argument que 4.2.1 permet de se ramener au cas où f est une immersion ferméei et on conclut de même que pour 4.2.1 à l’aide de la constructiblité de pj˚, j

˚, i˚q où j estl’immersion ouverte complémentaire.

31

Proposition 4.2.3. Soient K,L P DbcpS,Znq avec S un L-schéma, alors RHom pK,Lq P

DbcpSét,Znq.

Démonstration. L’assertion est locale sur S, on peut supposer, quitte à filtrer K qu’il estde la forme i!Zn pour une immersion localement fermée constructible. On a alors paradjonction :

RHom pK,Lq “ i˚ RHom pZn, i!Lq “ i˚i!Zn

qui est constructible par le théorème 4.2.2.

On peut maintenant en déduire le résultat suivant de finitude de la cohomologie qui étendla situation de Drinfeld [14, 6.8-6.9] :

Théorème 4.2.4. Soient S un L-schéma, n P N inversible sur S, et K P DbcpS,Znq,

alors RΓpS,Kq P DbcpSpecpkq,Znq. En particulier, pour tout d P N, on a RΓpLXďd,Kq P

DbcpSpecpkq,Znq.

Démonstration. On a vu que pour une immersion constructible, les foncteurs pk˚, k!, k˚, k!q

préservent les constructibles. En particulier, en considérant les triangles distingués d’exci-sion et comme S est un L-schéma, on est ramené au cas produit HˆAN avec H un k-schémade type fini. Par un argument de suite spectrale, on peut supposer que K est un faisceauconstructible de Zn-modules. D’après [43, Tag. 09YU], K se descend à un cran fini en unfaisceau constructible Kr sur H ˆ Ar pour un certain r. D’après [27, Exp. XVI 1.2], on apar passage à la limite l’isomorphisme :

RΓpH8,Kq “ limÝÑměr

RΓcpHm, h˚mrKrq “ RΓpHr,Krq

avec hmr : Hm Ñ Hr et où la dernière égalité se déduit par acyclicité des fibres. L’énoncése déduit alors de l’énoncé à un cran fini.

4.3. Remarques s’agissant des t-structures. Une des motivations originales de ce tra-vail était d’établir une théorie des faisceaux pervers sur des espaces d’arcs. Et plus préci-sément une théorie qui serait compatible à l’énoncé de Drinfeld-Grinberg-Kazhdan. Pourtout espace d’arcs LX, on veut définir un complexe d’intersection ICLX P Db

cpLXďd,Qℓq

tel que pour tout γ P pLXďdqpkq, on ait modulo des décalages :

f˚γ ICLX » ICY ^

γ, (4.3.0.1)

où Y ^γ est le schéma affine sous-jacent à un modèle formel de dimension finie de LX^

γ

obtenu par DGK et fγ : Y ^γ Ñ LX. Comme localement pour la topologie pro-lisse les

schémas LXďd se comportent comme des produits T ˆ AN pour des schémas de type pSq,une première étape est donc d’étudier la situation pour des schémas de type pSq.

32

On considère donc un morphisme affine de présentation finie f : T Ñ S1. On note F “f´1pt0uq qui est donc un k-schéma de type fini, de telle sorte que le schéma affine T^ sous-jacent à la complétion de T le long de F est noethérien excellent. On note U son ouvertcomplémentaire qui est également un k-schéma de type fini.

On veut donc comprendre la nature du morphisme de complétion T^ Ñ T. Elle va êtrecontrôlée par un sous-schéma fermé de T . On a une flèche canonique S1 Ñ Q1 donnéepar pv, q, ξq ÞÑ q qui admet une section σ : Q1 Ñ S1, on forme alors T0 :“ σ˚T , c’est unsous-schéma fermé de T , qui est de présentation finie sur Q1, donc c’est un k-schéma detype fini. On a alors le diagramme commutatif suivant :

T^

// T

S^1 – Specpkrrassq // Q1

σ// S1

où S^1 “ SpecpO^

S1,0q – Specpkrrassq d’après la section 2.2. Ainsi, la flèche de complétion

se factorise T^ Ñ T se factorise via le sous-schéma fermé T0 et on montre de plus que l’ona un isomorphisme :

T^ » T^0

où T^0 est la complétion le long de F Ă T0. En particulier, comme T0 est un k-schéma de

type fini, donc excellent, le morphisme T^0 Ñ T0 est pro-lisse et donc le morphisme T^ Ñ T

s’identifie à la composée d’un morphisme pro-lisse avec une immersion fermée.

Maintenant, si l’on dispose d’un complexe d’intersection ICT , on doit avoir ICT “ j!˚ICUpour j : U ãÑ T . Or, on a le carré cartésien suivant :

U^ //

T^

U X T0

// T0

U // T

.

Ainsi, si l’on veut obtenir une identité f˚ICT “ ICT^ (en négligeant les décalages), il fautdéjà que cette égalité soit vraie au-dessus de U . Le problème est que la flèche U^ Ñ U

se factorise par l’immersion fermée U X T0 Ñ U , laquelle n’a aucune raison de préserverle complexe d’intersection de U . On se retrouve donc confronté au fait que les singularitéssur U sont différentes de celles de U^ et il n’y a donc pas d’espoir d’obtenir un complexed’intersection compatible à la décomposition de DGK.

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