Articulo de Carter

8/2/2019 Articulo de Carter

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P r o c e e d i n g s o f t h e I n s t i t u t e o f R a d i o E n g i n e e r sV o l u m e 2 0 , N u m b e r 6 J u n e , 1 9 3 2CIRCUIT RELATIONS IN RADIATING SYSTEMS ANDAPPLICATIONS T O ANTENNA PROBLEMS*

BYP . S . C A R T E R( R . C . A C o m m u n i c a t i o n s , I n c . , Rocky P o i n t , L . I . , N . Y . )

S u m m a r y - E x p r e s s i o n s f o r t h e s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s w i t h i n a r a d i -a t i n g s y s t e m a r e d e v e l o p e d b y t h e u s e o f t h e g e n e r a l i z e d r e c i p r o c i t y t h e o r e m . T h e s ee x p r e s s i o n s a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e e l e c t r i c f i e l d i n t e n s i t i e s a l o n gt h e r a d i a t o r s .A m e t h o d f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e f i e l d i n t e n s i t i e s i s o u t l i n e d . F o r m u l a s f o rt h e s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s i n s e v e r a l t y p e s o f d i r e c t i o n a l a n t e n n a s a r e g i v e n .Q u e s t i o n s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t i n c o n n e c t i o n w i t h a r r a y s o f h a l f - w a v e d i p o l e s ,l o n g p a r a l l e l w i r e s , a n d " V " t y p e r a d i a t o r s a r e d i s c u s s e d . D i f f e r e n t t y p e s o f r e f l e c t o rs y s t e m s a r e c o n s i d e r e d . C u r v e s o f t h e m o r e i m p o r t a n t r e l a t i o n s a r e s h o w n .T h e m a t h e m a t i c a l d e v e l o p m e n t i s s h o w n i n a n a p p e n d i x .N THE d e s i g n a n d t h e a d j u s t m e n t o f a n t e n n a s y s t e m s a k n o w l -e d g e o f c e r t a i n c h a r a c t e r i s t i c s a n d r e l a t i o n s i s o f g r e a t a s s i s t a n c e .We s h o u l d k n o w t h e t h e o r e t i c a l d i r e c t i v i t y , t h a t i s , t h e r a t i o o f t h ei n t e n s i t y o f r a d i a t i o n i n a d e s i r e d d i r e c t i o n t o t h e mean i n t e n s i t y i n a l ld i r e c t i o n s . T h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h r a d i a t i n g e l e m e n t t o t h e t o t a lr a d i a t e d p o w e r a n d t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n e l e m e n t s a r e i m p o r t a n t . I na g o o d s y s t e m t h e r a t i o o f h e a t l o s s e s t o r a d i a t e d p o w e r m u s t b e l o w .T h e i n t e n s i t y o f r a d i a t i o n i n t h e d e s i r e d d i r e c t i o n i s r e l a t i v e l y e a s yt o o b t a i n . To d e t e r m i n e t h e t o t a l p o w e r w e m a y , f o r m a t h e m a t i c a l p u r -p o s e s , i m a g i n e t h e s y s t e m p l a c e d a t t h e c e n t e r o f a v e r y l a r g e s p h e r ea n d c o m p u t e t h e p o w e r f l o w t h r o u g h e a c h e l e m e n t o f a r e a o n t h e

s p h e r e . A s u m m a t i o n g i v e s t h e t o t a l . T h e a v e r a g e i n t e n s i t y i s t h e nt h i s t o t a l d i v i d e d b y t h e n u m b e r o f u n i t s o f s o l i d a n g l e c o n t a i n e d i n t h es p h e r e . T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s m e t h o d t o l o n g l i n e a r r a d i a t o r s a n ds e v e r a l t y p e s o f d i r e c t i o n a l a n t e n n a s y s t e m s h a s b e e n s h o w n b y t h ew r i t e r i n d e t a i l . 1 Upon c o m p l e t i o n o f t h i s p r o c e s s w e h a v e a c o m p l e t ek n o w l e d g e o f t h e p o w e r f l o w i n e v e r y d i r e c t i o n i n s p a c e b u t a r e l e f t i ne n t i r e i g n o r a n c e a s t o t h e p o r t i o n s o f t h i s p o w e r c o n t r i b u t e d b y t h ev a r i o u s a n t e n n a e l e m e n t s a n d a s t o t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e s ee l e m e n t s .To t h e c o m m u n i c a t i o n s e n g i n e e r , w h o i s q u i t e f a m i l i a r w i t h t h e u s eo f i m p e d a n c e o p e r a t o r s i n c o n n e c t i o n w i t h o r d i n a r y c i r c u i t c a l c u l a -* D e c i m a l c l a s s i f i c a t i o n : R 1 1 6 . O r i g i n a l m a n u s c r i p t r e c e i v e d b y t h eI n s t i t u t e , March 1 , 1 9 3 2 . P r e s e n t e d b e f o r e T w e n t i e t h A n n i v e r s a r y C o n v e n t i o no f t h e I n s t i t u t e , P i t t s b u r g h , P a . , A p r i l 9 , 1 9 3 2 .l C a r t e r , H a n s e l l , L i n d e n b l a d , " D e v e l o p m e n t o f d i r e c t i v e t r a n s m i t t i n g a n -t e n n a s b y R . C . A . C o m m u n i c a t i o n s , I n c . , " P R O C . I . R . E . , v o l . 1 9 , p p . 1 7 7 3 - 1 8 4 2 ;O c t o b e r , ( 1 9 3 1 ) .

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C a r t e r : C i r c t i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m st i o n s , t h e q u e s t i o n m a y a r i s e "Why n o t d e t e r m i n e t h e p o w e r a t t h ec i r c u i t i t s e l f r a t h e r t h a n a t a g r e a t d i s t a n c e ? " A s a m a t t e r o f f a c t , e x -c e p t f o r t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r a d i a t e d p o w e r i n s p a c e , we m a y d e -t e r m i n e e v e r y t h i n g we n e e d t o know a t t h e w i r e s . I n d e e d , we m u s tw o r k d i r e c t l y a t t h e a n t e n n a s y s t e m i f we w i s h t o d e t e r m i n e w h a t i sh a p p e n i n g i n i t .I n t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n a n a t t e m p t i s m a d e t o r e d u c e p r o b l e m si n c o n n e c t i o n w i t h r a d i a t i o n s y s t e m s t o s u c h a f o r m t h a t t h e y m a y b eh a n d l e d b y t h e o r d i n a r y c i r c u i t m e t h o d s o f e n g i n e e r i n g a n d t o s h o wt h e r e s u l t s o f - c e r t a i n a p p l i c a t i o n s o f i m p o r t a n c e t o d i r e c t i o n a l a n -t e n n a s . P A R T I--GENERAL PRINCIPLES

1 . C I R C U I T LAWS A N D R E C I P R O C I T Y I N R A D I A T I N G S Y S T E M SA s s u m e t h a t , i n s i d e o f a c l o s e d b o x , w e h a v e a c i r c u i t n e t w o r k c o n -s i s t i n g o f i n d u c t a n c e s , c a p a c i t i e s , a n d r e s i s t a n c e s ( v a c u u m t u b e s , i r o nc o r e i n d u c t a n c e s , a n d o t h e r n o n l i n e a r d e v i c e s e x c l u d e d ) c o n n e c t e d i na n u n k n o w n m a n n e r b u t h a v i n g t w o p a i r s o f t e r m i n a l s , a a n d b , a t o p -

p o s i t e e n d s o f t h e b o x . No w s u p p o s e we a p p l y a n a - c v o l t a g e a t a a n dm e a s u r e t h e c u r r e n t t h r o u g h a n a m m e t e r c o n n e c t e d t o t e r m i n a l s b .T h e n l e t u s r e v e r s e t h e p r o c e s s , p l a c i n g t h e a m m e t e r a t a a n d a p p l y i n gt h e v o l t a g e a t b . T h e c u r r e n t i s a l i k e i n b o t h c a s e s b o t h i n m a g n i t u d ea n d p h a s e a n g l e . T h i s i s t h e r e c i p r o c i t y t h e o r e m f o r o r d i n a r y c i r c u i t s .I f w e c a l l t h e r a t i o b e t w e e n t h e v o l t a g e a t a a n d c u r r e n t a t b , Z a b a n dt h e r a t i o u n d e r t h e r e v e r s e c o n d i t i o n s , Z b a , t h e r e c i p r o c i t y l a w t h e ns t a t e s t h a t Z a b = Z b a . T h i s i m p e d a n c e i s g e n e r a l l y k n o w n a s t h e t r a n s -f e r i m p e d a n c e .C a r s o n 2 a n d B a l l a n t i n e 3 h a v e g i v e n p r o o f s o f a m o r e g e n e r a l i z e d r e -c i p r o c i t y t h e o r e m w h i c h h o l d s w i t h o u t a n y r e s t r i c t i o n s i n a l l c a s e s t o b ec o n s i d e r e d i n t h i s d i s c u s s i o n .C o n s i d e r a l i n e a r r a d i a t o r a s s h o w n i n F i g . 1 . We k n o w f r o m e x -p e r i m e n - t t h a t , t o a f a i r d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n , t h e c u r r e n t i s s i n u -s o i d a l l y d i s t r i b u t e d . We w i s h t o know w h a t v o l t a g e w e m u s t i m p r e s s a ta c u r r e n t l o o p i n o r d e r t o p r o d u c e a g i v e n c u r r e n t . A s s u m e t h a t w ek n o w t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e p a r a l l e l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c f o r c e E ,

a l o n g t h e r a d i a t o r d u e t o t h e s i n e w a v e d i s t r i b u t i o n o f c u r r e n t I A s i nmZ w h e r e m = 2 r / X . S i n c e t h e e . m . f . o r v o l t a g e i s t h e l i n e i n t e g r a l o fe l e c t r i c f o r c e , t h e v o l t a g e i n d u c e d i n a n e l e m e n t d z d u e t o t h e c u r r e n t2 C a r s o n , " A g e n e r a l i z a t i o n , o f t h e r e c i p r o c a l t h e o r e m , " B e l l S y s . T e c h .J o u r . , J u l y , ( 1 9 2 4 ) ; " R e c i p r o c a l t h e o r e m s i n r a d i o c o m m u n i c a t i o n , " P R O C . I . R . E .J u n e , ( 1 9 2 9 ) .3 B a l l a n t i n e , " R e c i p r o c i t y i n e l e c t r o m a g n e t i c a n d o t h e r s y s t e m s , " P R O C .l . R . E . , J u n e , ( 1 9 2 9 ) .

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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sI A a t t h e l o o p p o s i t i o n A m u s t b e E z d z . By t h e r e c i p r o c i t y l a w a c u r -r e n t I A i n t h e e l e m e n t d z w o u l d i n d u c e a v o l t a g e E , d z a t A . H o w e v e r ,t h e a c t u a l c u r r e n t i n t h e e l e m e n t d z i s I A s i n m z . C a l l i n g t h e v o l t a g ei n d u c e d a t A , d V , w e t h e n h a v e t h e r e l a t i o n :E 2 d z dV

_ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 1 )I A I A s i n mzo r , dV = E , s i n m z d z . ( 2 )T h e t o t a l v o l t a g e a t A , d u e t o c u r r e n t i n a l l e l e m e n t s o f t h e w i r e ,i s t h e n :

(SV=J Esinmzdz. ( 3 )T h e i m p r e s s e d v o l t a g e m u s t b e e q u a l a n d o p p o s i t e t o t h e i n d u c e de . m . f . L e t u s d e f i n e t h e s e l f - i m p e d a n c e o f a r a d i a t o r a s t h e r a t i o b e -

z

F i g . 1t w e e n t h e i m p r e s s e d v o l t a g e a n d c u r r e n t a t a c u r r e n t l o o p p o s i t i o nw h e n t h i s r a d i a t o r i s u n d e r n o i n f l u e n c e f r o m o t h e r r a d i a t o r s . We t h e nh a v e t h e r e l a t i o n : V I V i ly Z __z11=-= - ( 4 ) _ _w h e r e Z i , i s t h e s e l f - i m p e d a n c e o f r a d i a t o r N o . 1 d u e t o i t s own c u r -r e n t . V I i s t h e i m p r e s s e d e . m . f . , Y V ' t h e i n d u c e d e . m . f . , a n d I , t h e l o o p

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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sc u r r e n t , t h e d o t s i n d i c a t i n g t h a t t h e p h a s e m u s t b e t a k e n c a r e o f b yt h e s t a n d a r d c o m p l e x a l g e b r a m e t h o d o f e l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g .A s s u m e t h a t w e h a v e a s e c o n d r a d i a t o r N o . 2 a t a n y d i s t a n c e a n do r i e n t e d i n a n y m a n n e r w i t h r e s p e c t t o r a d i a t o r N o . 1 . A s s u m e w ek n o w t h e c u r r e n t i n N o . 1 a n d t h a t t h i s p r o d u c e s a known d i s t r i b u t i o no f e l e c t r i c f o r c e a l o n g N o . 2 . A s s u m i n g t h a t t h e c u r r e n t i n w i r e N o . 2m u s t b e s i n e w a v e d i s t r i b u t e d , t h e e f f e c t i v e i n d u c e d e . m . f . a t a c u r -r e n t l o o p o f w i r e N o . 2 w i l l t h e n b e :

V 2 1 = E 2 s i n m z d z . ( 5 )L e t u s d e f i n e t h e m u t u a l i m p e d a n c e a s t h e n e g a t i v e r a t i o o f t h e i n -d u c e d e . m . f . a t a c u r r e n t l o o p o f r a d i a t o r N o . 2 t o t h e l o o p c u r r e n t o fr a d i a t o r N o . 1 . B e c a u s e o f t h e r e c i p r o c i t y l a w t h i s m u t u a l i m p e d a n c ei s t h e s a m e i n t h e r e v e r s e d d i r e c t i o n a n d w e h a v e t h e r e l a t i o n :

- V 2 1Z 1 2 = Z 2 1 - * ( 6 )I ,P r o v i d e d w e k n o w t h e v a l u e s o f t h e s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e swe c a n now d e t e r m i n e t h e r e l a t i o n s i n a n y s y s t e m h a v i n g n l i n e a rr a d i a t o r s a n d i m p r e s s e d v o l t a g e s V 1 , V 2 , - , V , n a t t h e c u r r e n t l o o p s .T h e r e s u l t i n g r e l a t i o n s a r e t h e s a m e a s f o r o r d i n a r y c i r c u i t n e t w o r k s ,t h e d i f f i c u l t i e s i n t h e way o f t h e s o l u t i o n i n t h e m o r e c o m p l e x c a s e sb e i n g t h e s a m e . T h e g e n e r a l r e l a t i o n s t h e n a r e :

V 1 = I l Z l + I 2 Z 1 2 + * + I n Z l nV 2 = I h Z 1 2 + I 2 Z 2 2 + + I n Z 2 n ( 7 )

. .....*..... . ...**V n = I l Z l n + I 2 Z 2 n + * * +n Z 4 n

A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c a s e o f t w o l i k e r a d i a t o r s 1 a n d 2 ,w h e r e a v o l t a g e V 1 i s i m p r e s s e d i n r a d i a t o r N o . 1 o n l y . We t h e n h a v et h e r e l a t i o n s : V1 = I l Z l l + I 2 Z 1 2 =I 1 Z 1 2 + U 2 N 2 2 (I f n o i m p e d a n c e i s p l a c e d i n s e r i e s w i t h e i t h e r , Z 1 1 = Z 2 2 a n d t h e r e -l a t i o n s g i v i n g t h e c u r r e n t s b e c o m e :

z i i , 12 1 ( 9 )Z 1 1 2 - Z 1 2 19

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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sI f w e d i s r e g a r d h e a t l o s s e s , t h e p o w e r r a d i a t e d f r o m t h e n t h r a d i a -t o r i n a n y s y s t e m i s V n I n c o s 0 , w h e r e 0 i s t h e p h a s e a n g l e , o r I F R w h e r eR i s t h e r e a l p a r t o f t h e c o m p l e x i m p e d a n c e o p e r a t o r Z . I n m o s t c a s e si n s h o r t - w a v e p r a c t i c e w e a r e j u s t i f i e d i n n e g l e c t i n g h e a t l o s s e s w i t h i na r a d i a t o r b u t i n t h e f e e d i n g s y s t e m t h e y m a y b e c o n s i d e r a b l e .B e f o r e w e c a n a p p l y t h e m e t h o d o u t l i n e d t o a n y a c t u a l c a s e s , w em u s t k n o w t h e i m p e d a n c e s a n d , a s a l r e a d y s h o w n , t h e v a l u e s o f t h e s ei m p e d a n c e s a r e d e t e r m i n e d b y t h e f i e l d c o n d i t i o n s i n t h e v i c i n i t y o ft h e r a d i a t o r s .

2 . F I E L D C O N D I T I O N S IN T HE V I C I N I T Y OF A R A D I A T O RI n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e f i e l d c o n d i t i o n s i n t h e v i c i n i t y o f ar a d i a t o r , t h e w r i t e r h a s u s e d a n e x t e n s i o n o f t h e m e t h o d o u t l i n e d b yP i s t o l k o r s . 4 D u r i n g t h i s w o r k a p a p e r b y B e c h m a n ' a p p e a r e d i n w h i c hh e g i v e s a n e x c e l l e n t m e t h o d o f d e t e r m i n i n g t h e f i e l d s . A t t h e c o n c l u -s i o n o f t h i s w o r k a s e c o n d p a p e r b y B e c h m a n n 6 w a s p u b l i s h e d . T h el a t t e r c o v e r s a c o n s i d e r a b l e p a r t o f t h e t h e o r y u n d e r l y i n g t h e d i s c u s -s i o n t o f o l l o w . B e c h m a n n d e r i v e s h i s e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f o r c e s f r o ma H e r t z v e c t o r w h i l e t h e w r i t e r h a s u s e d t h e s c a l a r a n d v e c t o r p o t e n -t i a l s b u t , o f c o u r s e , b o t h m e t h o d s b e c o m e i d e n t i c a l i n t h e r e s u l t s .F a r a d a y ' s l a w o f i n d u c t i o n a n d M a x w e l l ' s r e v i s e d f o r m o f A m p e r e ' sl a w , w h i c h f o r m t h e f o u n d a t i o n o f e l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y , a r e :( a ) T h e l i n e i n t e g r a l o f t h e e l e c t r i c f o r c e a r o u n d a n y c o m p l e t e c i r -c u i t i s e q u a l t o t h e n e g a t i v e r a t e o f c h a n g e o f m a g n e t i c i n d u c t i o nt h r o u g h t h e c i r c u i t .( b ) T h e l i n e i n t e g r a l o f t h e m a g n e t i c f o r c e a r o u n d a n y c o m p l e t ec i r c u i t i s e q u a l t o t h e t o t a l c u r r e n t , c o n d u c t i o n , a n d d i s p l a c e m e n t ,t h r o u g h t h e a r e a b o u n d e d b y t h e c i r c u i t .T h e s i x p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s k n o w n a s " M a x w e l l ' s e q u a -t i o n s " a r e t h e d i f f e r e n t i a l f o r m o f t h e s e l a w s . We c a n n o t d i r e c t l y d e -t e r m i n e t h e f o r c e s f r o m t h e s e e q u a t i o n s a s t h e y a r e i n a n i m p l i c i t f o r m .I n t h e q u a s i - s t a t i c , o r l o w - f r e q u e n c y c a s e , t h e m a g n e t i c f o r c e m a y b ed e r i v e d f r o m a v e c t o r f u n c t i o n c a l l e d t h e v e c t o r p o t e n t i a l . T h e r e a s o nf o r t h e name v e c t o r p o t e n t i a l i s t h a t t h i s v e c t o r i s d e r i v e d f o r a g i v e nc u r r e n t d i s t r i b u t i o n i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t u s e d i n d e r i v i n g t h es c a l a r p o t e n t i a l f o r a g i v e n c h a r g e d i s t r i b u t i o n . To d e t e r m i n e t h ee l e c t r i c f o r c e w e n e e d b o t h t h e v e c t o r a n d s c a l a r p o t e n t i a l s .

I P i s t o l k o r s , " T h e r a d i a t i o n r e s i s t a n c e o f beam a n t e n n a s , " P R O C . I . R . E . ,M a r c h , ( 1 9 2 9 ) .I B e c h m a n n , " C a l c u l a t i o n o f e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d s t r e n g t h s o f a n yo s c i l l a t i n g s t r a i g h t c o n d u c t o r s , " P R O C . I . R . E . , M a r c h , ( 1 9 3 1 ) .6 B e c h m a n n , " O n t h e c a l c u l a t i o n o f r a d i a t i o n r e s i s t a n c e o f beam a n t e n n a sa n d a n t e n n a c a l c u l a t i o n s , " P R O C . I . R . E . , A u g u s t , ( 1 9 3 1 ) .

1 0 0 8


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sI n f r e e s p a c e M a x w e l l ' s l a w s r e s u l t i n t h e " w a v e e q u a t i o n . " H e n c e ,a t a d i s t a n c e r f r o m t h e s o u r c e , t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d i n t e n -s i t y v e c t o r s E a n d H m u s t b e f u n c t i o n s o f ( t - r / c ) , c b e i n g t h e v e l o c i t yo f l i g h t , i n a d d i t i o n t o s a t i s f y i n g t h e p a r t i c u l a r c o n d i t i o n s a t t h es o u r c e . ( t - r / c ) i s c o m m o n l y c a l l e d t h e r e t a r d e d t i m e . I t i s t h e t i m e a tw h i c h a d i s t u r b a n c e , r e a c h i n g t h e d i s t a n c e r a t t h e t i m e t , o r i g i n a t e da t t h e s o u r c e . T h e m e t h o d o f d e r i v i n g t h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c i n -t e n s i t i e s m e n t i o n e d a b o v e c a n b e g e n e r a l i z e d s o a s t o h o l d f o r a l l f r e -q u e n c i e s i f t h e r e t a r d e d t i m e i s u s e d i n f o r m i n g t h e p o t e n t i a l s . P o t e n -t i a l s f o r m e d i n t h i s m a n n e r a r e k n o w n a s " r e t a r d e d p o t e n t i a l s . "

F i g . 2F o r w i r e s a n i n t e g r a l n u m b e r o f h a l f w a v e s l o n g t h e p r o c e s s d e -s c r i b e d g i v e s u s t h e f o r m u l a s s h o w n b e l o w . T h e s e g i v e H a n d t h e p e r -p e n d i c u l a r a n d p a r a l l e l c o m p o n e n t s o f E i n t e r m s o f t h e c y l i n d r i c a l c o -o r d i n a t e s a s s h o w n i n F i g . 2 . T h e p o w e r a n d q u a d r a t u r e t e r m s a r eg i v e n b y t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s o f t h e s e e x p r e s s i o n s a f t e r e x -p a n d i n g t h e e x p o n e n t i a l s . T h e d e r i v a t i o n i s s h o w n i n A p p e n d i x I .45-mr, e-mrl

E- j 3 0 I [ - ] v o l t s p e r c m . ( 1 0 )r j - m r 2 ( Z nz ) e - j 7 7 Z -E p = -j 3 0 1 1 __ ( - . 1 ) n - _ v o l t s p e r c m . ( 1 1 )[ e-m2 el)( - Emr jH o = + j 1[_( 1 ) n - ] G a u s s ( 1 2 )

1 0 0 9


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sw h e r e I i s t h e c u r r e n t i n a m p e r e s , m = 2 i r / X , r 2 =p2+( l z ) 2 , r l =p2H, n = t h e n u m b e r o f h a l f waves on t h e w i r e , a n d E - i m r = C O s mr-js i n m r .From t h e s e r e l a t i o n s w e m a y d e t e r m i n e t h e s e l f a n d m u t u a l i m -p e d a n c e s f o r t h e s e v e r a l c o n d i t i o n s o f i n t e r e s t w h i c h w e w i s h t o i n v e s -t i g a t e . From t h e d e f i n i t i o n s o f i m p e d a n c e g i v e n w e h a v e a s g e n e r a l r e -l a t i o n s f o r t h e s e l f a n d m u t u a l i m p e d a n c e s o f a n y l i n e a r r a d i a t o r sw h o s e l e n g t h s a r e m u l t i p l e s o f a h a l f w a v e l e n g t h :

-1 r 'Z1=-Ii E i n s i n m z d z ( 1 3 )-1 a r IZ= - E 1 2 s i n m z d z ( 1 4 )

w h e r e E 1 1 i s t h e c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c i n t e n s i t y p a r a l l e l t o r a d i a t o rN o . 1 d u e t o t h e c u r r e n t I , i n N o . 1 a n d E 1 2 i s t h e c o m p o n e n t o f t h ee l e c t r i c i n t e n s i t y p a r a l l e l t o r a d i a t o r N o . 2 d u e t o t h e c u r r e n t I , i nN o . 1 .T h e c o n d i t i o n s o f i n t e r e s t a n d t h e c o r r e s p o n d i n g i m p e d a n c e f o r -m u l a s a r e a s f o l l o w s . T h e d e r i v a t i o n i s s h o w n i n A p p e n d i x I I .( a ) S e l f - I m p e d a n c e o f a L i n e a r R a d i a t o r

Z = 3 0 [ , r + l o g E 2ml - C i 2 m l + j S i 2 m l ] o h m s ( 1 5 )w h e r e , 2 r u c o s x s i n xm =_ C i = d x , S i ( u ) = d x)t 0 0 ~ ~~xO x

r = E u l e r ' s c o n s t a n t 0 . 5 7 7 2

J rF i g . 3T a b l e s o f t h e s i n e i n t e g r a l a n d c o s i n e i n t e g r a l f u n c t i o n s S i ( u ) a n dC i ( u ) a r e g i v e n i n S t e i n m e t z ' " T r a n s i e n t E l e c t r i c P h e n o m e n a a n dO s c i l l a t i o n s " a n d i n J a h n k e a n d Emde " F u n k t i o n e n t a f e l n m i t F o r -m e l n u n d K u r v e n . "

( b ) P a r a l l e l W i r e s o f E q u a l L e n g t h ( N o t S t a g g e r e d ) ( S e e F i g . 3 . )

1 0 1 0


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s 1 0 1 1Z 2 1 = + 3 0 { 2 E i ( - j m p ) - E i [ - j m ( /p2 + 1 2 + 1 ) ]

- E i [ - j m ( Vp2 + 1 2 - 1 ) ] } o h m s ( 1 6 )w h e r e , E i ( - j x ) = C i ( x ) - j S i ( x ) .( c ) P a r a l l e l W i r e s i n , E c h e l o n ( F i g . 4 )

Z 2 1 = 15 c o s m h [2 Cih -2 Ci -h + C i h - - I + Ci - - ( h - )+ Cih + 1 + C i h - ( h + 1 ) ] + 1 5 s i n m h [ 2 Sih- 2 S i - h- S i h - I + S i - ( h - 1 ) - S i h + 1 + C i - ( h + 1 ) ]- j l 5 c o s m h [ 2 S i h -+ 2 S i - h - S i h -1- S i - ( h - 1 )- S i h + l - S i - ( h + 1 ) ] + j l 5 s i n m h [ 2 C i h - 2 C i - h ( 1 7 )- C i h - I + C i - ( h - 1 ) - C i h + 1 + C i - ( h + 1 ) ] o h m s .w h e r e ,

h=M / p 2 + A h 2 + A h ) , -(h-i) =m[/p2A+(h-1)2 - ( h - l ) ] , e t c .

F i g . 4( d ) C o l i n e a r W i r e s ( F i g . 5 )T h i s i s a s p e c i a l c a s e o f ( c ) i n w h i c h p = z e r o w h e r e t h e f o r m u l af a i l s d u e t o g i v i n g r i s e t o t h e i n d e t e r m i n a t e f o r m o - o o . H o w e v e r , b yt a k i n g t h e l i m i t a s p a p p r o a c h e s z e r o ,

Z 1 2 -15 c o s m h [- 2 C i ( 2 m h ) + C i ( 2 m ( h - 1 ) ) + C i ( 2 m ( h + 1 ) )/ h 2 _12\-_l ( h 2 + 1 5 s i n m h 2 S i ( 2 m h ) - S i ( 2 m ( h - 1 ) )- S i ( 2 m ( h + 1 ) ) -] j 1 5 c o s m h [ 2 S i ( 2 m h ) - S i ( 2 m ( h - 1 ) )- S i ( 2 m ( h + 1 ) ) ] + j i 5 s i n m h [ 2 C i ( 2 m h ) - C i ( 2 m ( h - 1 )- C i ( 2 m ( h + 1 ) ) - l o g , ( )] o h m s ( 1 8 )

w h e n , h > l .


9/38

1 2 C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s4,~~~~~~-

Fg 5 -F i l g . a( e ) T w o W i r e s F o r m i n g a " V " ( F i g . 6 )

I n t h i s c a s e t h e e l e c t r i c i n t e n s i t y a l o n g t h e s e c o n d w i r e , d u e t o t h ec u r r e n t i n t h e f i r s t , d e p e n d s u p o n b o t h t h e p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a rc o m p o n e n t s w i t h r e f e r e n c e t o t h e f i r s t w i r e . T h i s i s g i v e n b y :1 e-jmr2E s =j 3 0 I --is r 2 ( - 1 ) n v o l t s p e r cm

w h e r e ,r 2 \ / 2 + S 2 -2 1 s co s 0

a n d s i s t h e d i s t a n c e a l o n g t h e s e c o n d w i r e a s s h o w n i n t h e f i g u r e . T h em u t u a l i m p e d a n c e i s :Z 2 1 =-30(-1


10/38

C a r t e r : C i r c u i i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sP A R T I1-APPLICATIONS

1 . F I E L D C O N D I T I O N S NEAR R A D I A T O R SI t i s n o t p o s s i b l e t o b u i l d a m o d e l w h i c h w i l l a c c u r a t e l y s h o w t h ef i e l d c o n d i t i o n s n e a r a r a d i a t o r . I f t w o f o r c e s , b o t h o f w h i c h a r e s i n us o i d a l f u n c t i o n s o f t i m e a n d w h i c h d i f f e r b o t h i n d i r e c t i o n a n d i n t i m ep h a s e a r e c o m b i n e d , t h e t e r m i n u s o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t i n g t h e r e s u l t a n tf o r c e w i l l d e s c r i b e a n e l l i p s e d u r i n g a c y c l e . T h i s i s t h e c o n d i t i o n w h i c hg e n e r a l l y e x i s t s i n t h e v i c i n i t y o f a r a d i a t o r w i t h r e s p e c t t o t h e f i e l df o r c e s . I n g e n e r a l , t h e p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a r c o m p o n e n t s o f t h ee l e c t r i c f i e l d i n t e n s i t y d i f f e r i n t i m e p h a s e . S u c h a c o n d i t i o n m a k e s i tq u i t e d i f f i c u l t t o g e t a c l e a r p h y s i c a l p i c t u r e o f t h e p h e n o m e n a e x i s t i n g .

4 5 0

/ 0 _ /0 / E -Z v Frtrr/M

/L)000 60 ^ GD ' I O0 90 /00

F i g . 7A t p o s i t i o n s o f i n t e r e s t we m i g h t p l o t t h e e l l i p s e s o f p o l a r i z a t i o n b u tt o c o n n e c t t h e s e p i c t u r e s p r o p e r l y i s a l a b o r i o u s p r o c e d u r e . H o w e v e r , i nt h e c a s e o f a s i n g l e l i n e a r r a d i a t o r we m a y t a k e a n y l i n e i n s p a c e p a r -a l l e l t o t h e r a d i a t o r , a n d p l o t c u r v e s o f t h e p o w e r a n d q u a d r a t u r e t e r m so f b o t h t h e p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a r c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c f o r c ea l o n g t h i s l i n e . A c o l l e c t i o n o f s u c h p i c t u r e s g i v e s u s a l l t h e i n f o r m a -t i o n n e c e s s a r y i n a s t u d y o f r a d i a t i o n p h e n o m e n a .I n F i g . 7 a r e s h o w n c u r v e s o f t h e p o w e r a n d q u a d r a t u r e t e r m s o ft h e p a r a l l e l c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c f o r c e a l o n g a h a l f - w a v e d i p o l e o fN o . 4 w i r e f o r a w a v e l e n g t h o f 1 5 m e t e r s , w h i l e i n F i g . 8 a r e s h o w nc u r v e s o f t h e q u a d r a t u r e t e r m s i n b o t h t h e p a r a l l e l a n d p e r p e n d i c u l a rc o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c f o r c e . T h e o n l y f o r c e s w h i c h c a n d o a n y

1 0 1 3


11/38

1 0 1 4 C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sw o r k on t h e c o n d u c t o r c u r r e n t a r e t h e p a r a l l e l components. Thea v e r age w o r k p er c y c l e d o n e b y t h e q u a d r a t u r e term i s , o f cour se, zero.S i n c e we h a v e a s s u m e d t h e w i r e t o h a v e no o r d i n a r y r e s i s t a n c e , t h ew o r k d o n e b y t h e power t e r m r e p r e s e n t s energy r a d i a t e d .I t w i l l b e n o t e d t h a t t h e c u r v e o f t h e r e a c t i v e term i n t h e p a r a l l e le l e c t r i c i n t e n s i t y r i s e s t o i n f i n i t y a t t h e w i r e e n d s . I n p r a c t i c e , t h i s c a n -n o t b e t r u e . T h i s r e s u l t i s d u e t o t h e a s s u m p t i o n o f a f i l a m e n t a r y w i r e

/ 3042 6 0 90I, S D 0 0 . 1 -/8s _.V P w ' 0 " , O A.'- 7 - = srze

t v o o 3 o s 2:


12/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s 1 0 1 5l e n g t h o f , say, 1 5 m e t e r s . From t h e cu r ve i t i s seen t h a t t h e maximume l e c t r i c f o r c e i s 2 3 6 v o l t s p er c e n t i m e t e r f o r a c u r r e n t o f 1 ampere. A t5 0 kw t h e c u r r e n t w o u l d b e 5 0 , 0 0 0 / 7 3 . 2=2 6 . 2 a m p e re s . T h i s w i l l

F i g . 9ON,c ' W I & e / a d T W o m4D4Toxor4 w l r - C

30aeUr'-' 7 3 , V E EWrz;s # r b F ' , 9 r n < q L L g La~~o v c ~ 'MR 4 1 > 9 E R t E

A /C _1 0 .6 4 1

zoo r o > r c F i g . 1 0 c sresultnf o r c e o f 6 2 0 0 v ~ ~ ~ ~ ~ ~ o l t s p6/err=e n t i e t e o r 1 / 0 ot enh

\ c - I 8 O 6 t E e 5

O 4 __X

F i g . 1 0r e s u l t i n a f o r c e o f 6 2 0 0 v o l t s p e r c e n t i m e t e r o r 1 5 , 7 0 0 v o l t s p e r i n c h .I n F i g s . 9 a n d 1 0 a r e s h o w n s i m i l a r c u r v e s f o r a r a d i a t o r o n e w a v el o n g . I t w i l l b e n o t e d t h a t t h e p o w e r t e r m o f t h e p a r a l l e l c o m p o n e n t o f


13/38

1 1 ( a r t e r : ( C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n q S y s t e m st h e e l e c t r i c f o r c e i s g r e a t e s t t o w a r d s t h e e n d s o f t h e w i r e . F o r w i r e ss e v e r a l w a v e l e n g t h s l o n g t h e r e s u l t i n g c u r v e s w o u l d b e v e r y s i m i l a r t ot h e s e f o r t h e o n e - w a v e w i r e a n d t h e r e f o r e h a v e n o t b e e n s h o w n .

2 . HALF-WAVE R A D I A T O R SF ' r o m ( 1 6 ) we o b t a i n f o r t h e s e l f - i m p e d a n c e o f a h a l f - w a v e r a d i a t o r :

Z i , = 7 3 . 2 +j 4 2 . 5 = 8 4 . 5 / - - - 3 0 . 1 5 0 o h m s .T h u s , a t t h e c u r r e n t a n t i n o d e t h e r a d i a t o r i s t h e e q u i v a l e n t o f ar e s i s t a n c e o f 7 3 . 2 o h m s ( t h e r a d i a t i o n r e s i s t a n c e ) a n d a n i n d u c t i v e r e -

Fig9k 1F i g . I 1 1a c t a n c e o f 4 2 . 5 o h m s . T h i s r e s u l t i n d i c a t e s t h e n e c e s s i t y o f d e c r e a s i n gt h e l e n g t h a l i t t l e i n o r d e r t o o b t a i n a n o n r e a c t i v e l o a d .

T h e c u r v e s i n F i g s . 1 1 a n d 1 2 s h o w t h e m a n n e r i n w h i c h t h e m u t u a li m p e d a n c e a n d i t s p h a s e a n g l e v a r y w i t h t h e s p a c i n g o f t w o p a r a l l e lh a l f - w a v e d i p o l e s w h e n t h e e n d s r e m a i n u p o n a c o mmo n p e r p e n d i c u l a rl i n e .I n t h e p a s t t h e r e h a s b e e n c o n s i d e r a b l e c o n t r o v e r s y a s t o t h e b e s ts p a c i n g f o r a f r e e r e f l e c t i n g h a l f - w a v e d i p o l e f r o m i t s a n t e n n a . By m a k -

1 0 1 6


14/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m si n g us e o f t h e curves o f m u t u a l i m p e d a n c e we may a n s w e r t h i s ques-t i o n . F o r zero r a d i a t i o n d i r e c t l y b a c k w a r d s t h e c u r r e n t s m u s t b e o fe q u a l a m p l i t u d e a n d i n q u a r t e r - p h a s e r e l a t i o n a n d t h e s p a c i n g e x a c t l ye q u a l t o an o d d m u l t i p l e o f a q u a r t e r w a v e l e n g t h . I t i s e v i d e n t t h a ts u c h a c o n d i t i o n i s i m p o s s i b l e t o o b t a i n when a f r e e r e f l e c t o r i s u s e d .F o r b e s t a d d i t i o n o f t h e wave a m p l i t u d e s i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n t h ep h a s e a n g l e b e t w e e n t h e c u r r e n t s s h o u l d b e e q u a l t o 2 r S / X w h e r e S i st h e s p a c i n g . I n F i g . 1 3 a re s h o w n curves o f c u r r e n t a n d o f a c t u a l a n d

/14'u,q /t~ ThWC1JJ43 S T ' R

I~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~I N / ~ ~ ~

----- --1XX- -- t , r . . r 1\; ,; ia i i f, / / /}J7>9C/'Vd I M v , 9 & - e L'6P'.5S

F i g . 1 2d e s i r e d p h a s e a n g l e s a s a f u n c t i o n o f t h e s p a c i n g . I t i s s e e n t h a t t h ep h a s e a n g l e c u r v e s c r o s s a t a b o u t 0 . 2 9 - w a v e l e n g t h s p a c i n g b u t t h a t t h ec u r r e n t i s r a p i d l y d e c r e a s i n g . A t a q u a r t e r - w a v e s p a c i n g t h e p h a s ea n g l e i s i n c o r r e c t b y a b o u t 2 8 d e g r e e s . T h i s m a y b e m a d e z e r o b y as l i g h t c h a n g e i n t h e r e f l e c t o r t u n i n g w i t h l i t t l e e f f e c t u p o n t h e c u r r e n ta m p l i t u d e . C o n s e q u e n t l y , t o t h e w r i t e r , t h e r e a p p e a r s t o b e l i t t l e b a s i st o t h e a r g u m e n t s f o r t h e u s e o f o t h e r s p a c i n g s . W i t h R . C . A . C o m m u n i -c a t i o n s i t h a s n o t b e e n t h e p r a c t i c e t o u s e f r e e r e f l e c t i n g s y s t e m s . Whena r e f l e c t o r i s f e d b y a t r a n s m i s s i o n l i n e i t i s n o m o r e a r e f l e c t o r i n t h es t r i c t s e n s e o f t h e w o r d a n d t h e p r o b l e m i s q u i t e d i f f e r e n t . T h i s c o n d i -t i o n w i l l b e d i s c u s s e d l a t e r .

1 0 1 7


15/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sC o n s i d e r t h e q u e s t i o n "What i s t h e b e s t s p a c i n g f o r t w o p a r a l l e lh a l f - w a v e d i p o l e s ? " I f t h e c u r r e n t s a r e h e l d e q u a l a n d c o n s t a n t a s t h es p a c i n g i s v a r i e d , t h e i n t e n s i t y o f r a d i a t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e a r r a yw i l l r e m a i n c o n s t a n t , b u t , d u e t o t h e v a r i a t i o n i n t h e m u t u a l i m p e d -a n c e , t h e t o t a l p o w e r w i l l v a r y . I t i s a p p a r e n t t h a t a t z e r o s p a c i n g t h ed i r e c t i v i t y i s t h e s a m e a s f o r o n e r a d i a t o r a l o n e . A t a v e r y g r e a t s p a c i n gt h e m u t u a l i m p e d a n c e i s n e g l i g i b l e a n d t h e p o w e r j u s t t w i c e t h a t f o ro n e w i r e . A t a g r e a t d i s t a n c e p e r p e n d i c u l a r t o t h e a r r a y t h e e l e c t r i c~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~"4X4 1 / /

94, - T . I . - /

. 5 _ P .,9C/ / V G zV rL/HSF i g . 1 3i n t e n s i t y i s d o u b l e d , t h u s q u a d r u p l i n g t h e i n t e n s i t y o f r a d i a t i o n . T h ed i r e c t i v i t y i s t h e n e x a c t l y t w i c e t h a t f o r a s i n g l e w i r e .F o r a f i n i t e s p a c i n g t h e p o w e r i n e i t h e r w i r e i s :W = I , 2 R i l + I I 2 R 1 2 w h e r e R 1 1 = Z 1 1 c o s o i l a n d R 1 2 = Z 1 2 c o s 4 1 2 .T h e t o t a l p o w e r i s 2 W . F o r o n e a m p e r e i n e a c h d i p o l e t h e t o t a l p o w e ri s t h e n 2 ( R 1 l + R l 2 ) . T h e d i r e c t i v i t y i s p r o p o r t i o n a l t o 1 / W . F i g . 1 4s h o w s t h e r e l a t i v e g a i n a s t h e s p a c i n g i s v a r i e d . The s a m e r e a s o n i n gm a y b e e x t e n d e d t o i n c l u d e a n y n u m b e r o f r a d i a t o r s . F i g . 1 5 i s a s i m i -l a r c u r v e f o r t h r e e r a d i a t o r s .

1 0 1 8


16/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s 1 0 1 9I n t r e a t i n g r a d i a t i o n p h e n o m e n a t h e a s s u m p t i o n o f a p e r f e c t l yc o n d u c t i n g g r o u n d i s u s u a l l y f a r f r o m j u s t i f i e d . A c u r v e o f r a d i a t i o n

4 2 . ,l / .

l\-/n1a. _ r 6 - \

i 1--/Hf1V t7>iX-F i g . 2 2

3 . LONG P A R A L L E L WIRES ( N O T S T A G G E R E D )F r o m ( 1 5 ) w e m a y c o m p u t e t h e s e l f - i m p e d a n c e f o r a w i r e h a v i n g al e n g t h e q u a l t o a n y i n t e g r a l n u m b e r o f h a l f w a v e l e n g t h s . F i g . 2 2 i s ac u r v e o f i m p e d a n c e v e r s u s l e n g t h . T h e v a l u e s s h o w n a r e c o r r e c t o n l yf o r m u l t i p l e h a l f w a v e l e n g t h s . T h e p o w e r t e r m o f t h e i m p e d a n c e i si d e n t i c a l w i t h t h e v a l u e o f r a d i a t i o n r e s i s t a n c e a s s h o w n i n t h e I . R . E .p a p e r a l r e a d y r e f e r r e d t o , w h e n c o m p u t e d b y t h e P o y n t i n g ' s v e c t o rm e t h o d . C u r v e s o f t h e p o w e r t e r m i n t h e m u t u a l i m p e d a n c e f o r w i r e s

1 0 2 3


21/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s4 , 8 , a n d 1 6 w a v e s l o n g , p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e s p a c i n g , a r e s h o w ni n F i g . 2 3 . By t h e s a m e m e t h o d a s w a s u s e d i n c o n n e c t i o n w i t h h a l f -w a v e d i p o l e s we m a y d e t e r m i n e t h e r e l a t i v e d i r e c t i v i t y f o r t w o o r m o r el o n g w i r e s i n b r o a d s i d e a s t h e s p a c i n g i s v a r i e d . I n F i g . 2 4 a r e s h o w n

79 ~ E x 7 -uZgz Sr0nSGGEtLDv

t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1C/SA44X4444X.1n A --

F i g . 2 3

F i g . 2 4c u r v e s f o r a p a i r o f w i r e s 4 , 8 , a n d 1 6 w a v e s l o n g . T h e 8 - w a v e c u r v e i so f p a r t i c u l a r i n t e r e s t i n c o n n e c t i o n w i t h t h e b r o a d s i d i n g o f two s e c -t i o n s o f t h e R . C . A . T y p e B a n t e n n a ; , o f t e n s p o k e n o f a s t h e v e r t i c a lh a r m o n i c w i r e a n t e n n a . I t w i l l b e n o t e d t h a t t h e o p t i m u m s p a c i n g i s

1 0 2 4


22/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s1 1 w a v e l e n g t h s . T h i s a l s o w a s t h e r e s u l t o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y b yL i n d e n b l a d f o r t w o b a y s e a c h w i t h o u t a r e f l e c t o r . A n a l y s i s b y t h eP o y n t i n g v e c t o r m e t h o d , s u b j e c t t o m o r e o r l e s s e r r o r b e c a u s e o f t h el a r g e n u m b e r o f c u r v e s p l o t t e d , r e s u l t e d i n a n o p t i m u m v a l u e o f 2w a v e l e n g t h s f o r 2 b a y s c o m p l e t e w i t h r e f l e c t o r s . I t i s a p p a r e n t t h a tt h e s p a c i n g s h o u l d b e a l i t t l e g r e a t e r f o r a s y s t e m w i t h r e f l e c t o r s t h a nw i t h o u t . T h e r e f o r e , we c a n s t a t e w i t h c e r t a i n t y t h a t t h e s p a c i n g s h o u l dl i e w i t h i n t h e r a n g e o f 1 4 t o 2 w a v e l e n g t h s .

4 . LONG P A R A L L E L WIRES I N E C H E L O NFrom ( 1 7 ) w e m a y c a l c u l a t e t h e t r a n s f e r i m p e d a n c e b e t w e e n t w ow i r e s o f a n y l e n g t h i n e c h e l o n . A s t h i s e x p r e s s i o n i s r a t h e r t e d i o u s t oe v a l u a t e , w e s h a l l h e r e t r e a t o n l y o n e c a s e , t h e c a l c u l a t i o n o f t h e t h e -o r e t i c a l d i r e c t i v i t y f o r t h e M o d e l B h a r m o n i c w i r e a n t e n n a , a s a c h e c ku p o n t h e c o n c l u s i o n s f r o m t h e P o y n t i n g v e c t o r m e t h o d o f a n a l y s i s . I na c o m m e r c i a l m o d e l t h e d i m e n s i o n s a r e : l e n g t h = 8 w a v e l e n g t h s , s p a c -i n g ( p ) = 0 . 4 1 6 X , s t a g g e r ( o r e c h e l o n d i s t a n c e ) = 0 . 1 3 1 1 X .S i n c e t h e c u r r e n t i n e a c h s u c c e e d i n g w i r e l e a d s t h a t i n t h e p r e c e d i n gb y 9 0 d e g r e e s , t h e t o t a l i m p r e s s e d v o l t a g e i n N o . 1 w i r e f o r a c u r r e n to f 1 a m p e r e i n e a c h w i r e m u s t b e :

V l = Z l l + j Z 1 2 + j 2 Z 1 3 + j 3 Z 1 4 = Z 1 1 + j Z 1 2 - Z 1 3 - j Z 4 .S i n c e Z a b = R a b + j X a b , t h e p o w e r t e r m o f V 1 , o r t h e p o w e r f o r o n ea m p e r e , i n N o . 1 w i r e b e c o m e s :

W1 = R , - X12- R13 + X 1 4 .I n a s i m i l a r m a n n e r w e o b t a i n f o r t h e p o w e r i n t h e o t h e r t h r e e

w i r e s : W2 = R 2 2 + X 2 1 - X 2 3 -R24W3 = R33- R 3 1 + X 3 2 7 - X 3W 4 = R 4 4 + X 4 3 - R 4 2 - X 4 1 .

E a c h o f t h e R ' s i n t h e a b o v e r e l a t i o n a r e e q u a l t o o n e o f t h e f o u rv a l u e s , R 1 1 , R 1 2 , R 1 3 , R 1 4 . A s i m i l a r r e l a t i o n i s a l s o t r u e f o r t h e X ' s . Upons u b s t i t u t i o n o f t h e s e e q u i v a l e n t v a l u e s a n d a d d i t i o n o f t h e W ' s , w eo b t a i n f o r t h e t o t a l p o w e r : W = 4 R 1 1 - 4 R 1 3 . H a v i n g p r e v i o u s l y c a l -c u l a t e d R 1 , w e h a v e r e m a i n i n g o n l y R 1 3 t o d e t e r m i n e . From ( 1 7 ) w eg e t R 1 3 = - 1 1 . 4 8 o h m s . T h e r e f o r e , W = 4 X 1 6 7 . 1 = 6 6 8 . 4 w a t t s p e ra m p e r e .F o r o n e a m p e r e i n e a c h w i r e t h e r a d i a t i o n i n t h e d i r e c t i o n o f m a x i -m um i s i n c r e a s e d 1 6 t i m e s o v e r t h a t f o r o n e a m p e r e i n o n e w i r e a l o n e .T h e p o w e r f o r o n e w i r e a l o n e i s 1 5 5 . 6 w a t t s p e r a m p e r e . T h e r e f o r e , t h e

1 0 2 5


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sg a i n r a t i o i s 1 6 X 1 5 5 . 6 / 6 6 8 . 4 = 3 . 7 1 . T h e g a i n r a t i o f o r o n e w i r e t o ah a l f - w a v e d i p o l e i s 4 . 4 2 . H e n c e , t h e r a t i o f o r t h e o n e - b a y h a r m o n i cw i r e a n t e n n a t o t h e h a l f - w a v e d i p o l e i s 4 . 4 2 X 3 . 7 1 = 1 6 . 4 .T h e a b o v e r e s u l t i s n e a r l y t h e s a m e a s t h a t o b t a i n e d b y t h e P o y n t -i n g v e c t o r m e t h o d a s w e l l a s b y a c t u a l t e s t s .

5 . V-WIRE R A D I A T O R SI n t h e M o d e l D a n t e n n a t h e r a d i a t i n g u n i t i s a w i r e i n t h e s h a p eo f a V . S e v e r a l l e n g t h s h a v e b e e n u s e d b u t we s h a l l f i r s t c o n s i d e r au n i t h a v i n g s i d e s 8 w a v e s i n l e n g t h . T h e s e l f - i m p e d a n c e o f o n e s i d e o f

a V , a s o b t a i n e d f r o m ( 2 0 ) , i s 1 5 5 . 6 + j 4 6 . 9 o h m s . F o r t h e m u t u a l i m -p e d a n c e w e g e t f r o m ( 2 0 ) , a f t e r c h a n g i n g t h e v a r i a b l e f r o m S t o m s= 1 6 3 r s i n m r 2 s i n m sZ 1 2 = 30 - m l d ( m s )J o 0 m r 2 m s+ 1 6 r cos m r 2 s i n m d s ( 2 2 )+ j d ( m s ) O h m sm r 2 m sw h e r e ,

m r 2 = ( 1 6 7 r ) 2 + ( m s ) 2 - 3 2 r m s c o s 0 .By g r a p h i c a l e v a l u a t i o n o f t h e a b o v e e x p r e s s i o n we o b t a i n Z 1 2 =3 7 . 2 - j 4 8 . 3 o h m s .S i n c e t h e c u r r e n t i n t h e s e c o n d w i r e i s i n p h a s e o p p o s i t i o n t o t h a t i nt h e f i r s t , t h e t o t a l e f f e c t i v e i m p e d a n c e o f o n e s i d e o f t h e V i s 1 5 5 . 6

. 0 0 2 o 6

Y 2,02 2 X w ; v r> ssrtQcr0o,"9 A ov k.ost A S ~ ~ ~ ~ ~ V 9 w f A 7 V0'ct t 1 . 0 0 8 4 - ~ s , v 6 a 3 z G f

d . o6 z t - i _ _ _

+ j 4 6 . 9 -( 3 7 . 2 / - j 4 8 . 3 ) = 1 0 8 . 4 + j 9 5 . 2 o h m s . I n t h e d e t e r m i n a t i o n o ft h e m u t u a l i m p e d a n c e , c u r v e s o f t h e i n t e g r a n d s were p l o t t e d t o al a r g e s c a l e . I n a d d i t i o n t o k n o w i n g t h e t o t a l e f n e c t o f one w i r e o f a Vu p o n t h e o t h e r i t i s o f v a l u e t o know j u s t how t h i s e f f e c t i s d i s t r i b u t e d

1 0 2 6


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m so / - - A i j


25/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sa l o n g t h e w i r e . F o r t h i s r e a s o n , r o u g h c o p i e s , d r a w n t o a s m a l l s c a l e ,o f t h e s e c u r v e s a r e s h o w n i n F i g s . 2 5 a n d 2 6 .T h e e f f e c t o f d e c r e a s e i n t h e i n c l u d e d a n g l e o f t h e V t o 2 5 d e g r e e s i ss h o w n i n F i g . 2 7 .I n c e r t a i n c a s e s w e w i s h t o know n o t o n l y t h e t o t a l p o w e r r a d i a t e df r o m a V u n i t b u t a l s o t h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h e l e m e n t o f t h e w i r e t ot h i s t o t a l p o w e r . T h e t o t a l p o w e r r a d i a t e d f r o m a n e l e m e n t i s d e t e r -

F i g . 2 9m i n e d b y t h e sum o f t h e s e l f - i n d u c e d a n d m u t u a l e l e c t r i c f o r c e s . Ac u r v e s h o w i n g t h e r e l a t i v e p o w e r d i s t r i b u t i o n a l o n g a n 8 - w a v e , 3 5 - d e -g r e e V i s s h o w n i n F i g . 2 8 . A l t h o u g h e a c h e l e m e n t o f t h e w i r e t a k e sp a r t i n d e t e r m i n i n g t h e d i r e c t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f r a d i a t i o n , i t s c o n -t r i b u t i o n t o t h e p o w e r m a y , i n s o m e c a s e s , e v e n b e n e g a t i v e . I t w i l l b en o t e d f r o m t h e c u r v e t h a t t h e l a r g e r p o r t i o n o f t h e p o w e r i s c o n t r i b -u t e d b y t h e e l e m e n t s t o w a r d t h e d i v e r g i n g e n d s o f t h e V .I t w a s s h o w n i n t h e I . R . E . p a p e r p r e v i o u s l y r e f e r r e d t o t h a t , i f t h ec u r r e n t i s h e l d c o n s t a n t , maximum r a d i a t i o n a l o n g t h e b i s e c t o r o f a i n

1 0 2 8


26/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i o n S y s t e m s 1 0 2 98 - w a v e V t a k e s p l a c e w h e n t h e i n c l u d e d a n g l e i s 3 5 d e g r e e s . H o w e v e r ,i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y f o l l o w t h a t t h i s a n g l e r e s u l t s i n t h e maximumd i r e c t i v i t y a s t h e d i r e c t i v i t y d e p e n d s u p o n t h e r a t i o o f t h e i n t e n s i t y o fr a d i a t i o n a l o n g t h e b i s e c t o r t o t h e t o t a l p o w e r r a d i a t e d . I n g e n e r a l ,c o n s t a n t c u r r e n t s d o n o t r e p r e s e n t a c o n s t a n t t o t a l p o w e r when t h ec o n d i t i o n s i n a r a d i a t i n g s y s t e m a r e c h a n g e d . An i n v e s t i g a t i o n o f t h e

777f'f-CA10WCtG7 0 0 7 0 0 7 7 0 0 L /4z 7_0' C ( ' y' ' 0y76'%r=t _- 0 - 1_ _ _7L o ' r q w r D / A ' L -

7 ,___ ____ 7--- ___ __-

I0 0

T O 7 ; z 7 0 < 5GEE

F i g . 3 0e f f e c t o f a n g l e u p o n d i r e c t i v i t y was t h e r e f o r e m a d e i n c o n n e c t i o n w i t hV w i r e s o f s e v e r a l d i f f e r e n t l e n g t h s .T h e t o t a l p o w e r r a d i a t e d i s , i n e a c h c a s e , I P R , w h e r e R i s t h e p o w e rt e r m i n t h e t o t a l i m p e d a n c e o f t h e V . T h e p o w e r p e r u n i t s o l i d a n g l er a d i a t e d a l o n g t h e b i s e c t o r c a n b e o b t a i n e d b y t h e m e t h o d s h o w n i nt h e s a m e I . R . E . p a p e r r e f e r r e d t o . C u r v e s o f r a d i a t i o n i n t h e o p t i m u md i r e c t i o n , t o t a l p o w e r r a d i a t e d , a n d d i r e c t i v i t y , p l o t t e d a s a f u n c t i o no f t h e i n c l u d e d a n g l e o f a n 8 - w a v e V , a r e s h o w n i n F i g . 2 9 . T h e u n i t o fs o l i d a n g l e h a s b e e n t a k e n h e r e a s a f u l l s p h e r e r a t h e r t h a n a s o l i d


27/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s sJ . - f K

- 7 - I 3. 0~ 8 p

2 3 o e - __ ;f3 O 38-434 , 0 v 2 I A ' 4 4/ L A 9 4 A F i g . E 31L2G'F i g . 3 1

4 . 7 a a iOZr-i-r or Vt sows / i v ZE Nr15.F i g . 3 2

1 0 3 0

& O 0

K~ ao2509

4 v 0 eg


28/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sr a d i a n . T h e d i r e c t i v i t y t h e n b e c o m e s t h e r a t i o o f t h e w a t t s - p e r - u n i ts o l i d a n g l e i n t h e o p t i m u m d i r e c t i o n t o t h e t o t a l p o w e r r a d i a t e d .I n F i g s . 3 0 a n d 3 1 a r e s h o w n s i m i l a r c u r v e s f o r o n e - h a l f a n d o n e -w a v e V ' s . I t w i l l b e n o t e d t h a t t h e o p t i m u m d i r e c t i v i t y f o r a o n e - w a v eV i s o b t a i n e d w h e n t h e a n g l e i s 9 0 d e g r e e s r a t h e r t h a n 1 0 5 d e g r e e s a sd e t e r m i n e d f r o m t h e f i e l d a m p l i t u d e p a t t e r n s a l o n e .I n F i g . 3 2 i s s h o w n a c u r v e o f d i r e c t i v i t y v s . l e n g t h o f w i r e w h e r et h e b e s t a n g l e i s u s e d i n e a c h c a s e .T h e i n c l u d e d a n g l e o f a V w i r e m a y b e m a d e o b t u s e s u c h t h a tmaxi mum r a d i a t i o n t a k e s p l a c e i n a d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e b i -s e c t o r a s s h o w n i n F i g . 3 3 .

F i g . 3 3I t i s o f i n t e r e s t t o f i n d t h e g a i n r a t i o f o r s u c h a s y s t e m a n d c o m p a r ei t w i t h a n a c u t e a n g l e V h a v i n g maxi mum r a d i a t i o n a l o n g i t s b i s e c t o r .T h i s h a s b e e n d o n e f o r a V h a v i n g a n a n g l e o f 1 4 0 d e g r e e s a n d s i d e se q u a l t o 8 w a v e l e n g t h s . I n t h i s c a s e t h e m u t u a l i m p e d a n c e i s s u c h a st o i n c r e a s e t h e p o w e r f o r a g i v e n c u r r e n t i n e a c h l e g o v e r t h e v a l u ew h e n t h e w i r e s a r e a t a g r e a t d i s t a n c e . T h i s r e s u l t s i n a g a i n r a t i o o f

F i g . 3 4c o n s i d e r a b l y l e s s t h a n 2 o v e r t h a t o f a s i n g l e w i r e . T h e a c t u a l v a l u eo b t a i n e d w a s 1 . 6 8 . T h e r e f o r e , t h i s c o m b i n a t i o n i s q u i t e i n f e r i o r t o as y s t e m w h e r e maximum r a d i a t i o n i s a l o n g t h e b i s e c t o r .I f we f o r m a d i a m o n d s y s t e m ( F i g . 3 4 ) , w e h a v e a c o m b i n a t i o n o ft h e e f f e c t s j u s t c o n s i d e r e d . Maximum r a d i a t i o n t a k e s p l a c e a l o n g o n ed i a g o n a l . T h e g a i n r a t i o i s l e s s t h a n t w i c e t h a t f o r a s i n g l e a c u t e a n g l e

1 0 3 1


29/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y ' s t e m sV b u t g r e a t e r t h a n t w i c e t h a t f o r a s i n g l e o b t u s e a n g l e V . T h e u s u a lb r o a d s i d e a r r a n g e m e n t u s e d i n t h e M o d e l D a n t e n n a i s t h u s s e e n t o b es u p e r i o r t o t h e d i a m o n d .A r o u g h c o p y o f t h e c u r v e o f t h e m u t u a l v o l t a g e d i s t r i b u t i o n f o r aV w i r e h a v i n g a n i n c l u d e d a n g l e o f 1 4 0 d e g r e e s i s s h o w n i n F i g . 3 5 .

.42 *D/E5urlolv or 1 o k V z e 7 o E 1 - 7/ / V r T H E T / V S /ZH O I N D U C E D i ' O Z T E f t E .w / E A r Z Z ' I V 6 7 a = 8 A__ _

Z -_4X_F i g . 3 5

6 . ANTENNA S Y S T E M S WITH F E D R E F L E C T O R SI n a l l t h e d i r e c t i o n a l a n t e n n a s y s t e m s i n u s e i n R . C . A . C o m m u n i -c a t i o n s , i t h a s b e e n t h e p r a c t i c e t o f e e d t h e e n e r g y d i r e c t l y t o t h e r e -f l e c t o r b y m e a n s o f a t r a n s m i s s i o n l i n e , a n d s e v e r a l d i f f e r e n t s p a c i n g sh a v e b e e n u s e d b e t w e e n t h e a n t e n n a a n d r e f l e c t o r u n i t s . S e v e r a l t i m e st h e q u e s t i o n h a s a r i s e n a s t o w h a t i s t h e b e s t s p a c i n g .I f t w o l i k e r a d i a t i n g s y s t e m s a r e s p a c e d i n t h e d e s i r e d d i r e c t i o n o fr a d i a t i o n b y a d i s t a n c e e q u a l t o a n y o d d n u m b e r o f q u a r t e r w a v e s a n dt h e c u r r e n t s i n t h e t w o u n i t s a r e e q u a l a n d i n q u a r t e r - p h a s e r e l a t i o n ,t h e d i r e c t i v i t y w i l l b e e x a c t l y t w i c e t h a t f o r o n e s y s t e i n a c t i n g a l o n e ,p r o v i d e d t h e d i s t r i b u t i o n o f c u r r e n t s w i t h i n e i t h e r s y s t e m r e m a i n su n c h a n g e d b y p r o x i m i t y o f t h e o t h e r . T h i s s t a t e m e n t c a n b e p r o v e d b yt h e m e t h o d s u n d e r d i s c u s s i o n .F i r s t i t c a n b e s h o w n t h a t s o l o n g a s t h e c u r r e n t s i n t h e a n t e n n a a n dr e f l e c t o r s y s t e m s a r e e q u a l a n d i n q u a r t e r - p h a s e r e l a t i o n , t h e t o t a lp o w e r i n p u t i s e x a c t l y t w i c e t h a t f o r o n e s y s t e m a l o n e w h e n r e m o t ef r o m a n y o t h e r , r e g a r d l e s s o f t h e s p a c i n g . T h i s s t a t e m e n t s h o u l d n o tb e t a k e n t o mean t h a t t h e p o r t i o n s o f t h e p o w e r c o n t r i b u t e d b y t h e a n -t e n n a a n d r e f l e c t o r a r e e q u a l . A s a m a t t e r o f f a c t , w i t h o r d i n a r y s p a c -i n g s t h e l a r g e r p o r t i o n o f t h e p o w e r i s a l w a y s c o n t r i b u t e d b y t h e a n -t e n n a . When t h e s p a c i n g i s a n o d d q u a r t e r w a v e l e n g t h t h e e l e c t r i ci n t e n s i t y a t s o m e r e m o t e p o i n t a l o n g t h e c o n t i n u a t i o n o f t h e s p a c i n gl i n e b e t w e e n t h e t w o s y s t e m s , d u e t o b o t h s y s t e m s , i s e i t h e r t w i c e t h a t

1 0 3 2


30/38

C a r t e r : C i r c u t i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sd u e t o o n e a l o n e , o r z e r o . C a l l i n g t h e e l e c t r i c i n t e n s i t y d u e t o o n e s y s -t e m a l o n e E , t h a t d u e t o b o t h i s 2E a n d t h e c o r r e s p o n d i n g i n t e n s i t y o ft h e r a d i a t i o n 4 E 2 . S i n c e t h e p o w e r i n p u t i s t w i c e t h a t o f o n e w i r ea l o n e , t h e d i r e c t i v i t y r a t i o i s 2 a n d t h e s t a t e m e n t i s p r o v e d . T h e s a m ec o n c l u s i o n - i s r o u g h l y o b t a i n e d i n a n y p a r t i c u l a r c a s e b y t h e i n t e g r a t i o no f P o y n t i n g ' s v e c t o r .I t i s t h e r e f o r e c l e a r t h a t , i n s o f a r a s d i r e c t i v i t y a l o n e i s c o n c e r n e d ,t h e n u m b e r o f o d d q u a r t e r w a v e l e n g t h s u s e d f o r t h e s p a c i n g o f a n e n -e r g i z e d r e f l e c t o r i s i m m a t e r i a l . H o w e v e r , s m a l l s p a c i n g s r e s u l t i n a

. 0 . - siE D_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ID * 4 1 E L r M 6 r / / 2 0 2 f 1 1 Z O P 7 0 . 1 S . /

K

K

= _ _ _ T0 1 7 / 0 J5 20 Z 5 - 30 35 4 , 01 f E , V / G * / 017L26P/N 1 E 7 1 7 E 7F i g . 3 6

much g r e a t e r d i f f i c u l t y o f a d j u s t m e n t d u e t o t h e h i g h e r v a l u e s o fm u t u a l i m p e d a n c e o b t a i n e d . I n s o m e i n s t a n c e s r a d i a t i o n a t s o m e u n -d e s i r a b l e a n g l e m a y b e a p p r e c i a b l e a n d b y p r o p e r l y s p a c i n g t h e r e f l e c -t o r t h i s m a y b e m a d e a m i n i m u m .I n p r a c t i c e , w h e r e t h e a n t e n n a a n d r e f l e c t o r e a c h m a y c o n s i s t o f ar a t h e r c o m p l e x a r r a n g e m e n t o f r a d i a t o r s , t h e m u t u a l i m p e d a n c e m a yb e d e t e r m i n e d f r o m e x p e r i m e n t a l c u r v e s o f i n t e n s i t y o f r a d i a t i o n v s .t u n i n g o f t h e r e f l e c t o r w h e n f r e e . I n m a k i n g s u c h a t e s t t h e c o u p l i n g t ot h e t r a n s m i t t e r i s k e p t l o w s o t h a t t h e i m p r e s s e d v o l t a g e o n t h e a n -

t e n n a c a n b e c o n s i d e r e d c o n s t a n t .An e x a m p l e o f s u c h c u r v e s , t a k e n i n b o t h f o r w a r d a n d b a c k w a r dd i r e c t i o n s , i s s h o w n i n F i g . 3 6 . T h e s e w e r e t a k e n d u r i n g t h e p r o c e s s o fa d j u s t m e n t o f a V a n t e n n a s y s t e m i n w h i c h b o t h a n t e n n a a n d r e f l e c t o ru n i t s e a c h c o n s i s t e d o f 2 V w i r e s o n e a b o v e t h e o t h e r .

1 0 3 3


31/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sAP P END I X I

I . F I E L D C O N D I T I O N S I N T H E V I C I N I T Y O F A R A D I A T O RI n F i g . 3 7 l e t AB b e a r a d i a t o r w h o s e l e n g t h 1 i s a n i n t e g r a l num-b e r n o f h a l f w a v e s . C a l l t h e d i s t a n c e a l o n g t h e w i r e z o a n d l e t t h e c y -l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t P , a t w h i c h we w i s h t o d e t e r m i n e t h ef i e l d s t r e n g t h s , b e : ( p , 6 , z )\3

A F i g . 3 7I f t h e c u r r e n t a t a n a n t i n o d a l p o i n t i s r e p r e s e n t e d b y t h e r e a l p a r to f I E i w t , t h e c ur r e n t a t a n y p o i n t z o a l o n g t h e w i r e i s t h e n g i v e n b yt h e r e l a t i o n : i = I e i c t s i n m z o , ( 2 3 )

w h e r e m = 2 r X =c o / c , c b e i n g t h e v e l o c i t y o f l i g h t .B e c a u s e o f t h e l a w o f c o n t i n u i t y , t h e t i m e r a t e o f d e c r e a s e o fc h a r g e d e n s i t y , o - , a l o n g t h e w i r e m u s t e q u a l t h e s p a c e r a t e o f c h a n g eo f c u r r e n t , o r : _ r _ - , ( 2 4 )b t 5 z o

w h e r e o - a n d i a r e b o t h i n e l e c t r o s t a t i c u n i t s , f r o m w h i c hIo f _ e j U t c o s m z o . ( 2 5 )c

T h e e l e c t r i c a n d m a g n e t i c f i e l d f o r c e s m a y b e d e t e r m i n e d f r o m t h er e t a r d e d s c a l a r a n d v e c t o r p o t e n t i a l s f a n d A w h e r e :+ =j [ j d z o , ( 2 6 )r

1 0 3 4


32/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sK r I ]A =- - d z o , ( 2 7 )c 0 ri n w h i c h [ a ] a n d [ i ] i n d i c a t e t h e c h a r g e a n d c u r r e n t t a k e n a t t h e r e -t a r d e d t i m e ( t - r / c ) , a n d K i s u n i t v e c t o r i n t h e z d i r e c t i o n .U p o n s u b s t i t u t i n g t h e v a l u e s o f " r e t a r d e d " c h a r g e a n d c u r r e n t i nt h e s e r e l a t i o n s a n d c h a n g i n g t h e s i n e a n d c o s i n e f u n c t i o n s t o e x p o n e n -t i a l f o r m , t h e p o t e n t i a l s b e c o m e :

I 1 - ~ ~ m ( r z , ) e - i m ( r Z 0 )~k ~ E i f [c - o L r r d z o ( 2 8 )A l i K y E i w t J[ i m ( r + Z o ) - -jm ( r - z o ) (A = X - i e i ' o dzorr ( 2 9 )

w h e r e ,r = V / 2 P + ( z o z ) 2 .

T h e a b o v e i n t e g r a l s m a y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e s i n e i n t e g r a la n d c o s i n e i n t e g r a l f u n c t i o n s b u t t h i s s e r v e s n o u s e f u l p u r p o s e a s t h ep o t e n t i a l s a r e o f n o v a l u e t o u s e x c e p t a s a m e a n s o f d e r i v i n g t h e f i e l df o r c e s .To f o r m t h e c o m p o n e n t s o f E a n d H w e h a v e t h e r e l a t i o n s :1 dAE = - g r a d A- ( 3 0 )c d tH = c u r l A . ( 3 1 )

S i n c e A h a s t h e d i r e c t i o n o f t h e w i r e a x i s A z = A a n d A p = A s = z e r o .G r a d , , / = - , g r a d p J =-, a n d g r a d o V I = 0s z b p

6 AC u r l e A = - , c u r l p A = 0 , c u r l , A = 0S p6 AH e n c e , Ho = H - , a n d Hp = Hz = 0 .b p

H o w e v e r , f r o m F a r a d a y ' s l a w , d H / d t =-c c u r l E , f r o m w h i c h weg e t j ~ ~~~b E p b E z NH = 1 c u r l o E = ( 3 2 )m m L z b p Js o t h a t , o n c e we h a v e d e r i v e d E z a n d E p w e m a y j u s t a s w e l l o b t a i n Hf r o m t h e e l e c t r i c f o r c e c o m p o n e n t s a s f r o m t h e v e c t o r p o t e n t i a l .

1 0 3 5


33/38

1 0 3 6 C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g I S y s t e m sFrom ( 3 0 ) w e h a v e f o r t h e p a r a l l e l c o m p o n e n t ( E , ) o f t h e e l e c t r i cf o r c e : 1 dAE,- g r a d , 4 - - - -c d t

I ul3r E r j m ( r + z o ) n - j m ( r - z o )=a z r r d z 0c+ l f [-E j m ( r + z o ) E- j m ( r - z O ) ( 3 3 )+ 2 c 2 I E i w [ - d z o20 ~ ~ r r

From t h e d i a g r a m i t i s a p p a r e n t t h a t a r / l z = - b r / l z o . I f w e makeu s e o f t h i s r e l a t i o n a n d i n t e g r a t e b y p a r t s , a f t e r s o m e m a n i p u l a t i o n weg e t :EI=J ~ L i ~ [ ( E l mVP-i\P2+ ( l _ z ) 2 e - i m V p 2 z ']E , + i ( E j m l + E - j m l ) P 2 ( 2- ( 3 4 )

b u t ( E i m l + e - i m l ) / 2 c o s ml= (1)n w h e r e n i s t h e n u m b e r o f h a l f w a v e so n t h e r a d i a t o r .I f w e l e t r i = V p 2 + Z 2 a n d r 2 = Vp2+ ( l - z ) 2I -E j m r 2 E-1 m r -E z E 1() ( 3 5 )c r 2e l e c t r o s t a t i c c g s u n i t s .I f I i s t h e r - m - s c u r r e n t i n a m p e r e s t h i s b e c o m e s :

[ e-jmr2 Ejm r lE z = j 3 0 I ( - 1 ) n - v o l t s p e r cm ( r - m - s . ) ( 3 6 ),_ r 2 r ITo o b t a i n E p w e h a v e , s i n c e A , ==0

Ep = - g r a d p l = - ( 3 7 )b pI r1z F E - j n t ( r + z o ) E - j n i ( r - z O ) 1Ep-j E i w t J L -r d z o . ( 3 8 )2 c op r r j

A f t e r c o n s i d e r a b l e m a n i p u l a t i o n t h i s b e c o m e s :I -jmr2 Z-l p - j m r r ZEp= -i j i X L - ( _ - 1 ) - e s u . ( 3 9 )c _ r 2 p r l p _

o r i n p r a c t i c a l u n i t s w h e r e I i s t h e r - m - s c u r r e n t i n a m p e r e s : .E j m r 2 / z l\ n E - m r 1 zE o = -j301 ( - ( - 1 ) - v o l t s p e r c m . ( 4 0 ). r 2 \ p / r i p


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m s 1 0 3 7To d e t e r m i n e H w e m a y u s e t h e r e l a t i o n :

i ~ ~ ~ j S E p b E z -H c u r l e E= ( 4 1 )m m L z b p jA f t e r p e r f o r m i n g t h e o p e r a t i o n s i n d i c a t e d a n d c o m b i n i n g t e r m s w eg e t , f o r t h e c u r r e n t i n a m p e r e s ( r - m - s ) :

IF- E i m r 2 E - m r , aH = 3 0 -(- ) n - G a u s s ( r - m - s ) . ( 4 2 )T h e s e r e l a t i o n s g i v e u s a c o m p l e t e k n o w l e d g e o f t h e f i e l d c o n d i t i o n sa t a n y p o i n t i n s p a c e .

AP P ENDI X I I1 . S E L F - I M P E D A N C E OF A L I N E A R R A D I A T O R

T h e s e l f - i m p e d a n c e h a s b e e n d e f i n e d b y t h e r e l a t i o n :1 r tZ=- E , s i n m z d z . ( 4 3 )

S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f E , f r o m ( 1 0 ) i n t o t h i s e x p r e s s i o n a n dn o t i n g t h a t , i n t h i s c a s e , r =z a n d r 2 = 1 - z w e o b t a i n :r Ij m (U z ) e j m zZl = - j 3 0 ) n s i n m z d z . ( 4 4 )S i n c e m l = n r , i - j m l l = ( - 1 ) a n d t h i s e x p r e s s i o n , a f t e r r e p l a c i n gs i n z b y i t s e x p o n e n t i a l e q u i v a l e n t , b e c o m e s :

I C _>-i2mz - i - 2 mz- \ZJ= 1 + 2z 1 ) d zr 2 m Z e - j u - (45= -30 u d uJouo r , Z l i = 3 0 { [ T r + l o g e 2ml -C i 2 m l ] + j [ S i 2 m l ] } o h m s , ( 4 6 )

w h e r e X = 0 . 5 7 7 2 . . . ( E u l e r ' s c o n s t a n t ) .2 . TRANSFER I M P E D A N C E FOR P A R A L L E L WIRES ( N O T S T A G G E R E D )

T h e t r a n s f e r i m p e d a n c e w a s d e f i n e d a s-1 r 1Z 2 1 = I E 2 1 s i n m z d z . ( 4 7 )


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sS u b s t i t u t i n g t h e v a l u e o f E , f r o m ( 1 0 ) i n t o t h i s e x p r e s s i o n i t b e -c o m e s , a f t e r r e p l a c i n g s i n m z b y i t s e x p o n e n t i a l f o r m :

z m ( r 2 - Z ) I - j m ( r 2 + z )Z 2 1 = -1 5 f[m(1 ) nEj m ( r 1 - z ) _ jm ( r 1 + z )- - d z . ( 4 8 )r i

C h a n g i n g t h e v a r i a b l e i n t h e i n t e g r a l s b y s u b s t i t u t i o n s o f w h i c hU = m ( r 2 - z + l ) i s t y p i c a l , w e g e t :m p f - j ( u - m l )Z21= + 1 5 ( 1 ) n _ - d u-m ( f A i p 2 + 1 2 + I 1m p f - j ( U + m 0 m ( , \ / p - + I - 1 ) e j- + ( - 1 ) " -- - du- -duf n ( V / P 2 + l 2 1 ) p u ( 4 9 ) d

r m ( \ / p 2 + 1 2 + 1 ) I -ju-- du.m p uS i n c e m l= n 7 r , a n d + i m l = ( 1 ) nZ 2 1 + 3 0 [ 2 E i ( - j m p ) - E i - j m ( \ / p 2 + 1 2 + 1 ) 1- E i {- j m ( \ p 2 + 1 2 - 1 ) } ] . ( 5 0 )

3 . MUTUAL I M P E D A N C E FOR P A R A L L E L WIRES IN ECHELONBy r e f e r e n c e t o F i g . 4 i t i s s e e n t h a t i f w e c o n s i d e r Z a s t h e d i s t a n c ea l o n g w i r e N o . 1 , t h e d i s t a n c e a l o n g t h e s e c o n d w i r e b e c o m e s ( z - h ) .T a k i n g t h i s i n t o a c c o u n t , t h e e x p r e s s i o n f o r t h e m u t u a l i m p e d a n c e b e -c o m e s :

* l + h - E j m r 2 j m r , lZ 2 1 j 3 0 ( - 1 ) n s i n m ( z - h ) d z . ( 5 1 )- r 2 r i

C h a n g i n g t h e s i n e t e r m t o e x p o n e n t i a l f o r m t h i s b e c o m e s :- r l + h j m ( r 2 - Z ) 1 - h E - j m ( r l - z )Z 1 2 - i E n h L ( - 1 ) n J d z - a d z_ h r 2 h r l~~~'r

1 + + h h - j m ( r 1 + z ) (1+h E-jm( r -z )+ l 5 6 + m h J ~ ~ ~ ~ d z - - d z . ( 5 2 )J h J l h r iBy c h a n g i n g t h e v a r i a b l e s i n a m a n n e r s i m i l a r t o t h a t i n t h e p r e -c e d i n g d e v e l o p m e n t a n d r e m e m b e r i n g t h a t E i m = E - i m l = ( - 1 ) , w eg e t :

1 0 3 8


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C a r t e r : C i r c u i t R e l a t t o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sZ21- -15i m h { - 2 E i l - j m ( V p 2 + h 2- h ) I

+ E i [ - j m ( , \ / p 2 + ( h - 1 ) 2 - ( h - ) ) ]+ E i [ - j m ( s , / p 2 + ( h + 1 ) 2 - ( h + - l ) ) ] }-1 5 e + i m h I - 2 E i [ - j m ( V / p 2 + h 2 + h ) ]+ E i [ - j m ( V / p 2 + ( h - 1 ) 2 + ( h - 1 ) ) ]+ Ei[- j m ( V p 2 + ( h + 1 ) 2 + ( h + 1 ) ) ] } o h m s .

E x p a n d i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t o i t s p o w e r a n d q u a d r a t u r e t e r m si t b e c o m e s :Z 2 1 = -15 c o s mh[- 2 C i h - 2 C i - h + C i h -1 + C i -(h - 1 )

+ C i h + i + C i - ( h + 1 ) ] + 1 5 s i n m h [ 2 S i h - 2Si-h- S i h - I + S i - ( h - l ) - S i h + I + Si-(h + 1 ) ( 5 4 )-jl5 c o s m h [ 2 S i h + 2 S i -h - S i h - 1 - S i - ( h - 1 )-Sih + - S i - ( h + 1 ) + j l 5 s i n m h [ 2 C i h - 2 C i - h-C i h - 1 + C i - ( h - 1 ) - C i h + + C i - ( h + 1 ) ] o h m s

w h e r e ,h = m ( / p 2 + h 2 + h ) , - ( h - i ) = m ( V / p 2 + ( h - 1 ) 2 - ( h - 1 ) , e t c .

4 . MUTUAL I M P E D A N C E FOR C O L I N E A R WIREST h i s i s a s p e c i a l c a s e o f w i r e s i n e c h e l o n w h e r e t h e s p a c i n g ( p ) i sz e r o . H o w e v e r , i f z e r o i s s u b s t i t u t e d f o r p i n ( 5 4 ) we g e t t h e i n d e t e r -m i n a t e f o r m o o - o o . T h i s d i f f i c u l t y i s o v e r c o m e b y t a k i n g t h e l i m i t o f

t h e e x p r e s s i o n a s p a p p r o a c h e s z e r o i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r :F o r s m a l l v a l u e s o f p w e h a v e b y t h e b i n o m i a l l a w :1 p 2/ p 2 + h 2 - _ h=-- ( 5 5 )2 h

~ ~ 1 p 2,p 2 + ( h - 1 ) 2 - ( h - 1 ) = h 1'(56)2 h -i1 p 2

Vp2 +( h + 1 ) 2 - ( h + 1 ) =2 ( 5 7 )F o r s m a l l v a l u e s o f x , C i ( x ) = r + l o g , x ( 5 8 )a n d , MP2 MP 2 M P 2 - h 2 _128L i m i t 2 C i . -C -C i 1 l o g ( ( 5 9 )p - * o _ 2 h 2 ( h - 1 ) 2 ( h +\)h 2

1 0 3 9


37/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sa n d ,Z 2 1 = -15 c o s m h [ - 2 C i 2 m h + C i 2 m ( h - 1 ) + C i 2 m ( h + 1 )

- l o g h 2 1 2 + 1 5 s i n m h [ 2 S i 2 m h - S i 2 m ( h - 1 )-Si2m(h + 1 ) - j 1 5 c o s m h [ 2 S i 2 m h - S i 2 m ( h - 1 ) ( 6 0 )- S i 2 m ( h + 1 ) ] + j 1 5 s i n m h [ 2 C i 2 m h - C i 2 m ( h - 1 )-Ci2m(h + 1 ) - l 1 g 0 ( ) ] o h m s

w h e n , h > l .5 . MUTUAL I M P E D A N C E F O R V W I R E S

I n F i g . 3 8 a r e t w o w i r e s o f e q u a l l e n g t h n ( X / 2 ) , w h e r e n i s a n i n t e g e r ,a n d h a v i n g a n i n c l u d e d a n g l e 0 b e t w e e n t h e m . T h e d i s t a n c e a l o n g ( 2 )

E

f ~ ~ ~z"~~ ~

F i g . 3 8i s m e a s u r e d f r o m t h e a p e x a s o r i g i n . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e v o l t a g ei n d u c e d i n w i r e ( 2 ) b y t h e c u r r e n t i n w i r e ( 1 ) i t i s f i r s t n e c e s s a r y t od e t e r m i n e t h e c o m p o n e n t o f t h e e l e c t r i c f o r c e E i n t h e d i r e c t i o n o fw i r e ( 2 ) .T h e c o m p o n e n t o f E , i n t h e d i r e c t i o n a l o n g s i n E , c o s 0 .T h e c o m p o n e n t o f E p i n t h e d i r e c t i o n a l o n g s i s E , s i n 0 .T h e r e f o r e , E= E , c o s 0 + E , s i n 0 .B u t z =s c o s 0 a n d p = s s i n 0 .

1 0 4 0


38/38

C a r t e r : C i r c u i t R e l a t i o n s i n R a d i a t i n g S y s t e m sS u b s t i t u t i n g t h e s e v a l u e s o f E z , E , , z , a n d p i n ( 3 6 ) we o b t a i n :

j E- Mr 2 i-ms -E= j 3 O ( - 1 ) n - c o s Gr 2 JE 3 r n r 2 s Cos 0 - 5-)m8 s c o s o- j 3 0 - - (-1)-s i n G ( 6 1 )L 2 s s i n 0 s s s i n j ( 6 1

1 I E i r- j m V2= j 3 0 ( _ 1 ) Io l t s / c m w h e r e r 2 = V Y S 2 - F 2 t s c o s 6 ( 6 2 )s r 2S u b s t i t u t i n g t h i s v a l u e o f E s i n t h e g e n e r a l f o r m u l a f o r m u t u a l i m -p e d a n c e , a n d s e p a r a t i n g t h e e x p r e s s i o n i n t o i t s p o w e r a n d q u a d r a t u r et e r m s we g e t :

~ l s i n m r 2 s i n m sZ 2 1 - 3 0 1 ( - 1 ) n j d s_ r 2 sr c o s m r 2 s i n m s+ c s d s ] o h m s . ( 6 3 )JO r 2 sI t i s n o t p o s s i b l e t o e x p r e s s t h e s e i n t e g r a l s i n a n y f o r m c o n v e n i e n tf o r c a l c u l a t i o n . A s r 2 i s a f u n c t i o n o f 1 , s , a n d 0 t h e y m u s t b e e v a l u a t e dm e c h a n i c a l l y f o r e a c h s p e c i f i c c o n d i t i o n .

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