Arrows Umulighedssætning og dens Historie - math.ku.dk · Ikke-Euklidisk geometri Arrows...
-
Upload
trinhtuong -
Category
Documents
-
view
232 -
download
1
Transcript of Arrows Umulighedssætning og dens Historie - math.ku.dk · Ikke-Euklidisk geometri Arrows...
Dias 1
Department of Mathematical Sciences
Arrows Umulighedssætningog dens Historie
Jesper Lützen
Institut for Matematiske Fag
Københavns Universitet
Dias 2
Department of Mathematical Sciences
Arrow og hans umulighedssætning
1972: Kenneth Arrow modtog Nobel Prisen i Økonomi
Presemeddelelse:
“Som det nok vigtigste af Arrows mange bidrag til velfærdsteorien skal nævnes hans “mulighedssætning” ifølge hvilken det er umuligt at konstruere en social velfærdsfunktion ud af individuelle præfferencefunktioner”
Dias 3
Et nyt paradigme
Arrows bog og sætning som Paradigmatiske:
“Arrows sætning … om sammenfatning af individuelle præferencer er så overraskende og robust og betydningsfuld, at den gav anledning til en ny gren af socialvidenskaberne kaldet socialvalgsteori” (Campbell and Kelly 2002, 37)
“Det big bang som karakteriserede begyndelsen [af moderne socialvalgsteori] kom i skikkelse af en “umulighedssætning” nemlig Arrows (1950, 1951) “Generelle Mulighedssætning”. Denne sætning havde en afgørende indflydelse på udviklingen af den moderne socialvalgsteori…” (Armatya Sen 1986, 1074)
Department of Mathematical Sciences
1.ed. 1951
2. ed. 1963
Dias 4
En Revolution?
Jerry S. Kelly sammenlignede Arrow’s sætning med
• Einsteins relativitetsteori
• Gödels ufuldstændighedssætning
• Crick and Watson opdagelse af DNA
“Et lignende dramatisk tilfælde er Kenneth Arrows 1950 … artikel. Denne artikel (eller 1951 bogen) har været den primære kilde til næsten al moderne teori om kollektive valg og har stærkt påvirket teoretisk velfærdsøkonomi, moral-og politisk filosofi og den matematiske behandling af mikroøkonomisk teori” (Kelly 1978, 1)
Afgørende ændring af den matematiske model
Department of Mathematical Sciences
Dias 5
Department of Mathematical Sciences
Berg-son1938
Dias 6
Arrow
Department of Mathematical Sciences
Dias 7
Spørgsmål
1. Hvad ledte Arrow til ændring af den matematiske model for socialvalgsteorien
fra analytisk model (kontinuert, brug af differentialregning, optimering…)
til diskret model (aksiomatisk defineret ordnede mængder, matematisk logik)?
Department of Mathematical Sciences
Dias 8
Spørgsmål
Arrow forenede to forskellige grene af socialvidenskaben:
a. Velfærdøkonomi
b. Teori for afstemninger (valg)
2. Hvordan skete det?
3. Hvilken rolle spillede den teoretiske matematik?
4. Hvilken rolle spillede politiske og etiske overvejelser?
Department of Mathematical Sciences
Dias 9
Foredragets plan
1. Condorcets paradox
2. Arrow’s vej til umulighedssætningen, bl.a. hans matematiske baggrund, og hans prioritets ”strid” med Duncan Black
3. Modtagelsen af Arrow’s ideer
Department of Mathematical Sciences
Dias 10
Umulighed som en kreativ kraft
Matematiske umulighedsresultater standser sjældent fremskridt
Genererer ofte ny vigtig matematik
Fx:
1.
Intet fælles mål
Forholdslæren (Euklid bog V)
2. Umulighed af ligningsløsning
a. Komplekse tal
b. Galois teori
3. Umulighed af at bevise parallelpostulatet
Ikke-Euklidisk geometri
Arrows umulighedssætning første i socialvidenskab
Department of Mathematical Sciences
sd
Dias 11
Matematisk, historisk oprindelse1. Valg eller afstemninger
Valgprocedurer.
Middelalderen: Ramond Llull (1283) og Nicolas fra Cusa (1433)
Valg af paver, abbeder, kejsere.
Første omhyggelige undersøgelse og opdagelse af hovedproblemet:
Nicolas de Condorcet (1743-1794)
Essay om anvendelsen af analysen på sandsynligheden af beslutninger fundet ved pluralitet af stemmer (1785)
Tilegnet
Jacques Turgot “var overbevist om at sandheden af de moralske og politiske videnskaber kan behandles med samme sikkerhed som de fysiske videnskaber og selv som de grene fx astronomi, som synes at nærme sig matematisk sikkerhed” (Condorcet1785, i).
Department of Mathematical Sciences
Dias 12
Condorcet. Problem med flertalsafgørelser
Valg med to kandidater: Sandsynlighedsregning, Store tals lov.
Ingen særlige problemer:
Tre eller flere kandidater:
Kandidaten med flest stemmer kan være den mest upopulære:
Fx: 6 vælgere: 1,2,3,4,5,6, 6 kandidater: A,B,C,D,E,F
Rangordning:
Top
Sidst
Department of Mathematical Sciences
1 2 3 4 5 6
A A B C D E
B B F B B B
C C C D C C
D D D E E D
E E E F F F
F F A A A A
Dias 13
Condorcet-vinderen
Condorcet: Den sande vinder er den kandidat som
Vinder over hver af de andre i flertalsafstemninger mellem to kandidater.
B er
Condorcet-vinderen
Department of Mathematical Sciences
1 2 3 4 5 6
A A B C D E
B B F B B B
C C C D C C
D D D E E D
E E E F F F
F F A A A A
Dias 14
Condorcet-paradokset
Der er ikke altid en Condorcet-vinder.
Fx. 3 vælgere: 1,2,3, 3 kandidater: A,B,C
Dekomponer i parvise afstemninger:
A slår B 2 mod 1
B slår C 2 mod 1
C slår A 2 mod 1
Kombinationen er intransitive (inkonsistent): A>B>C>A
For ethvert valg af kandidat er der en anden kandidat som slår ham/hende i en topersoners flertalsafstemning.
Problem. Paradoks.
Department of Mathematical Sciences
1 2 3
A B C
B C A
C A B
Dias 15
En mangfoldighed af afstemningsmetoder
1770: Jean-Charles de Borda
Ingen kontinuert tradition, mange isolerede forslag
Forskellige metoder brugt i praksis ved nationale valg, juryer, firmaer, universiteter,….
Uhensigtsmæssigheder ofte påpeget.
Forslag fra mange hold:
Statsmænd: Hamilton and Jefferson
Arkitekter: William Robert Ware
Jurister: Andrew Inglis Clark and Thomas Hare
Matematikere: Edward J. Nanson, Carl Andræ,
Thorvald Nicolai Thiele and Charles Dodgson.
=
Lewis Carroll
Department of Mathematical Sciences
Dias 16
Arrows umulighedssætning
Alle afstemningsprocedurer har uhensigtsmæssigheder.
Arrow interesseret i afstemninger i 11-årsalderen
Demokraternes konvent i 1932
Ikke det, der ledte ham til umulighedssætningen
Men Matematik-økonomi
Department of Mathematical Sciences
Dias 17
Kenneth J. Arrow (1921-2017)
Department of Mathematical Sciences
Født i New York City i jødisk familie
Læste matematik ved City College i New York
Interesseret i logik
1940: Alfred Tarski Polsk-jøde (matematisk logik)
Forelæsning ved City College i New York
Arrow fulgte dem
Arrow læste korrektur på engelsk oversættelse af Tarskis
Einführung in die mathematische Logik (1937)
Oversat af
Olaf Helmer Tysk jødisk flygtning (matematiker, logiker, filosof)
Dias 18
Ordnede mængder
Aksiomer for ordningsrelationer:
I forbindelse med de reelle tal:
Dedekind (1872), Hilbert (1900)
I logik (velordningssætningen):
Schröder 1890-95,
Hausdorff 1914: Mengenlehre: Aksiomer for totalt og partielt ordnede mængder.
Mere generelt: Garrett Birkhoff 1940 (Gitterteori)
Brugt i et økonomisk arbejde:
Von Neumann and Morgenstern:
Theory of Games and Economic Behavior (1944)
Department of Mathematical Sciences
Dias 19
Kenneth J. Arrow (1921-2017)
Ordningsrelationer kendt i matematik i 1940ene.
Men: ”notationen var ikke almindeligt brugt i økonomi” (Arrow 1950, 331)
Arrow’s kendskab til abstrakt ordnede mængder blev afgørende.
Kandidat studium ved Columbia University (New York)
Matematisk økonomi
Lærte meget af statistiker og mat-økonom
Harold Hotelling
Specielt forskel på ordinal og kardinal tilgang
til velfærdsøkonomi
Department of Mathematical Sciences
Dias 20
Velfærdsøkonomi
Den politisk-økonomiske rod til Arrow’s ideer
Oprindelse i utilitarismen
Jeremy Bentham 1748 – 1832
Filosofi, Etik:
Det etisk korrekte er at maximere “nytten”
“it is the greatest happiness of the greatestnumber that is the measure of right and wrong”
Samfundet skal maximere den totale “nytte”
Sum af individuelle nyttefunktioner
Department of Mathematical Sciences
Dias 21
Matematisering af Økonomi
Cournot, Walras og Edgeworth 1800-tallet
Bruger differentialregning.
Maximer total nyttefunktion
Liberalistiske økonomer prøvede at bevise at
fuldkommen konkurrence maximerer nytte.
Ideer forfinet af Abraham Bergson: A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics (1938)
Udviklet videre af Paul A. Samuelson:
Foundations of Economic Analysis (1947)
Department of Mathematical Sciences
Dias 22
Kritik af matematisk økonomi
Mange økonomer afviste brug af matematik
Matematiske økonomer anklagede hinanden for brug af
uklare begreber
forkerte eller ustringente argumenter
forkerte fortolkninger
Samuelson kritik af forgængere
Specielt sjuskede brug af infinitesimaler.
Typisk kommentar:
“Og hvis Marshall faktisk når til konklusioner, som ikke er heltforkerte, er det alligevel klart at han når til dem af de forkerte grunde.” (Samuelson 1945, 207).
Department of Mathematical Sciences
Dias 23
Kardinal og ordinal
Kardinal nyttefunktion:
Reel funktion af mange økonomiske (og evt ikke økonomiske variable)
Angiver nytten (fx målt i kroner) af en bestemt social eller økonomisk situation for et individ eller et samfund.
Ordinal Nytte: En ordning af de forskellige mulige sociale tilstande. Uden at tilskrive dem talværdier.
I begyndelsen af 1900-tallet begynder økonomer at sætte spørgsmålstegn ved kardinalt mål for nytte.
Ordinal tilgang bliver fremherskende.
”Nye Velfærdsteori”
Department of Mathematical Sciences
Dias 24
Sammenfatning af individuelle nyttefunktioner
Hvordan dannes en total nyttefunktion for samfundet ud fra individernes nyttefunktioner?
1: Kardinal nyttefunktion: Adder dem
Eller gang dem eller …..
2. Ordinal mål for nytte: ????
Det er det spørgsmål Arrow stiller.
Department of Mathematical Sciences
Dias 25
Ordinal teori med kardinal indikator
Bergson og Samuelson
Tilhængere af ordinal teori.
Men brugte ”kardinal indikator”
Velfærdfunktionen
Department of Mathematical Sciences
Dias 26
Velfærd-funktionen
Bergson + Samuelson:
Centrale begreb: Velfærd-funktionen
W(x,y,z,….)
“Funktionen behøver kun være ordinal defineret men det kanvære bekvemt at arbejde med et kardinalt index ellerindicator … Hvis vi burger en af de uendelig mange indikatorer eller kardinale indekser kan vi skrive dennefunction på formen
𝑊 = 𝑊 𝑧1, 𝑧2, …
hvor z’erne repræsenterer alle de mulige variable, hvorafmange af dem kan være ikke-økonomiske (Samuelson 1945, 221)
Resultat skal være uafhængige af valg af cardinal indicator, sålænge ordnen er uændret.
Department of Mathematical Sciences
Dias 27
Bergson, Samuelson
Ordinal filosofi
Men
Matematiske udledninger bruger kardinal indikator
Stadig brug af matematisk analyse
Hvorfor?
For økonom ca. 1945 kunne en ordning mest naturligt beskrives ved en afbildning ind i de reelle tal
Kun få økonomer kendte til abstrakt teori for ordnede mængder
Men det gjorde Arrow!
Department of Mathematical Sciences
Dias 28
Arrows
Arrow om Hotellings undervisning:
”Jeg lærte den ikke særlig udbredte ide at forbrugere vælger forbrugsvektorer som et mest foretrukket punkt (den ordinale fortolkning), i modsætning til det gamle synspunkt at der var en nytte-funktion med numeriske værdier som de maksimerer (den kardinale fortolkning). Identiteten af dette synspunkt med det logiske begreb om en ordning var oplagt nok.” (Arrow 1991)
Så allerede ca. 1941 indså Arrow sammenhæng mellem
1. Ordinal velfærdsøkonomi og
2. Aksiomatik for ordnede mængder (logik)
Gik ikke videre med ideen.
Department of Mathematical Sciences
Dias 29
Kenneth J. Arrow (1921-2017)
1941 Kandidat i mat. økonomi
Krigsarbejde i luftvåbnets vejrtjeneste
1946-49: PhD studerende ved Colombia University
Og Forsknings assistent ved Cowles Commission for Research in Economics, University of Chicago
PhD projekt (aldrig færdiggjort) om erhvervsøkonomi.
Ledte Arrow til opdagelsen af Condorcet’s paradox
Department of Mathematical Sciences
Dias 30
Arrow’s opdagelse af Condorcets paradoks 1946-47
”Jeg havde observeret at store aktieselskaber ikke var individer men forventedes at afspejle deres mange aktionærers ønsker. … Men da forskellige aktionærer har forskellige forventninger (til fremtiden) kan de meget vel ordne forskellige investeringsstrategier forskelligt. Min første tanke var den oplagte…: Hvis der er to investeringsstrategier kaldet A og B, vælges den, som har en majoritet blandt aktionærerne.”
Mere end to: ”Det forekom mig naturligt at vælge den, som ville have majoritet over hver af de andre. Men jeg fik en ubehagelig overraskelse. Det er muligt at A har majoritet over B og B majoritet over C, men at C har majoritet over A, ikke A over C…. Det forekom mig at denne observation måtte være opdaget af andre, og jeg undrede mig over om jeg havde hørt om det et sted. … Hvorom alting er var effekten snarest at det fik mig til at droppe hele sagen og studere noget andet” (Arrow 1986, 48-49)
Department of Mathematical Sciences
Dias 31
Arrow’s opdagelse af Condorcets paradoks
Refererer til Condorcet i 2. udgaven af bog (1963)
1946-47: Så Condorcet paradokset som et problem, opgav problemet med at finde en Selskabsstrategi ud fra aktionærernes strategi.
”Mit arbejde med socialvalgsteorien kom ikke som et resultat af langvarige undersøgelser af et tidligere anerkendt problem. Det forekom mere som et begreb som besatte mig og som havde prøvet at besætte mig i en stykke tid” (Arrow 1983, 1)
Platonisk!
Department of Mathematical Sciences
Dias 32
Arrows opdagelse af Single peakedpræference kurver
1948 ved Cowles Commission i Chicago
”Et år senere vente mine tanker uden min vilje igen tilbage til spørgsmålet om afstemninger. Jeg opdagede at under visse særlige, men ikke helt unaturlige antagelser angående vælgernes præferencer, kunne det paradoks, jeg tidligere havde opdaget ikke indtræffe. Jeg mente at det var værd at skrive om. Men da jeg var gået i gang med det faldt jeg over et tidsskrift hvori jeg fandt det samme resultat i en artikel af en engelsk økonom Duncan Black. Det resultat, som Black og jeg havde fundet, kunne have været udtænkt på ethvert tidspunkt inden for de sidste 150 år. At vi to kom på det næsten samtidigt er et tilfælde, som jeg ikke kan forklare. Prioritet er en spore inden for videnskaben, og at være blevet foregrebet var tilsvarende frustrerende. Igen droppede jeg studiet af afstemninger” (Arrow 1986, 49)
Department of Mathematical Sciences
Dias 33
Duncan Black (1908-1991)
Skotte
Uddannet 1. i matematik, 2. i politisk økonomi
Professor ved Dundee school of Economics
University College of North Wales
Glasgow University
Artikler om afstemninger fra 1948
Department of Mathematical Sciences
Dias 34
Duncan Black (1908-1991)
Arbejdede hele livet på en ”pure science of politics”
Black: Illustrerede præferencer på kurve:
1942:
Single –peaked præference kurver:
I dette tilfælde er medianen en Condorcet-vinder
Department of Mathematical Sciences
Median:Is a Condorcet-winner
1234567
EX: politiske partier: Højre-venstreOptimale værdi af et tal, fx, arbejdslønnen
Dias 35
Duncan Black (1908-1991) opdager Condorcet Paradokset.
Senere opdagede Black at der ikke altid er en Condorcet vinder.
“I de første måneder, hvor jeg arbejdede med den geometriske version af teorien, tog jeg det for givet, at når man brugte simpel majoritet ville svaret være bestemt uanset præferencekurvernes udseende. Senere da jeg udarbejdede et aritmetisk eksempel, opstod der en intransitivitet, og jeg mente at det måtte skyldes en regnefejl. Da jeg fik overbevist mig om at mine beregninger var korrekte og intransitiviteten ikke ville forsvinde gjorde min mave oprør med noget der lignede fysisk kvalme. Ikke bare var det problem jeg havde givet mig i kast med mere kompliceret end jeg havde antaget, det havde en anden karakter. Resultatet var kun bestemt for særlige forløb af præferencekurverne.
(Black 1998, 390)
Følelsesladet opdagelse
Department of Mathematical Sciences
Dias 36
Duncan Black (1908-1991)
Undersøgte spørgsmål som:
1. Hvor (u)sandsynligt er det at der opstår intransitiviteter
2. Hvad sker der når man stemmer om en kombination af to single peaked spørgsmål
Slutningen af 1940ene: Black prøvede at få sine resultater publiceret.
Artikler blev afvist af de ledende britiske men blev udgivet af mindre kendte udenlandske tidsskrifter 1948-49
Bog afvist af britiske forlag
November 1949: Artikel forfattet sammen med R.A Newingsendt til Econometrica.
Ventede på svar i 1½ år. Så svar fra redaktøren:
“Hvis sammenhængen med Arrows nyudkomne monografi bliver forklaret igennem hele artiklen, vil jeg meget gerne anbefale at Deres manuscript bliver udgivet i Econometrica”
(citeret af Coase 1998, xii)
Department of Mathematical Sciences
Dias 37
Duncan Black (1908-1991)
Black blev vred.
Han var kommet først og ville ikke underordne sine ideer under Arrows senere synspunkt.
Opdagede at redaktøren af Econometrica var visedirektør for forskning ved Cowles Commission, hvor Arrow havde skrevet sin bog
Lignede et bevidst forsøg på at forsinke udgivelsen af Black’sarbejde for at give Arrow prioritet
De trak manuskriptet tilbage. Publ som privat udgivelse.
1958: Theory of Committees and Elections. Cambridge University Press
Historiske studier (specielt om Dodgson) udgivet som 2. del.
Black udgav meget lidt derefter.
Department of Mathematical Sciences
Dias 38
Black og Arrow
Parallel udvikling af ideer
Begge uddannet i matematik og økonomi
Begge så sammenhængen mellem beslutningsprocesser i firmaer og afstemninger (valg)
Begge opdagede Condorcet paradokset og begge fandt det ubehageligt
Begge opdagede single peaked rangordninger
(Black i omvendt rækkefølge)
Begge følte sig i prioritetskonkurrence med den anden.
Fra 1948-49 gik de hver sin vej.
Department of Mathematical Sciences
Dias 39
Arrows opdagelse af umulighedssætningen
Forår 1948: Opdagede at Black havde opdaget resultatet om single peaked rangordninger før ham selv
”Igen droppede jeg studiet af afstemninger”
Sommer 1948. Arrow inviteret til Rand Corporation.
RAND: Prøvede at bruge spilteori til at analysere internationale konflikter.
I kaffepause: Olaf Helmer fortæller Arrow om skrupler:
Spilteori er baseret på nyttefunktioner for individer. Men spillerne i internationale konflikter er ikke individer men lande. Kan man tillægge dem nyttefunktioner?
Arrow: Det problem er løst af Bergson ved hans begreb om velfærdsfunktionen:
Helmer: Skriv Bergsons løsning ned.
Department of Mathematical Sciences
Dias 40
Arrow’s opdagelse af umulighedssætningen
Opdagede problemer:
”Jeg opdagede hurtigt at det ordinale synspunkt, som jeg helt havde tilegnet mig, betød at den eneste information om præferencer som kunne transmitteres ud over individniveau var en ordning. Social velfærd kunne kun være en sammenhobning af ordninger”
Tidligere resultater havde lært ham at
”man ikke altid kan udlede en præference-ordning for en nation ud fra dens borgeres præference-ordninger hvis man bruger majoritetsafstemninger til at sammenligne et alternativ med et andet.”
Er det muligt at der er andre måder at aggregere individuelle præference-ordninger til at danne en social ordning, som overholder transitivitet?
Department of Mathematical Sciences
Dias 41
Arrow’s opdagelse af umulighedssætnigen
1948
”Et par ugers arbejde klargjorde svaret”
1. Et par dages arbejde: fornemmede at der var et umulighedsresultat.
2. Hurtigt derefter fandt han resultatet
3. 3 ugers arbejde: Præcis formulering af resultatet og skitse af bevis
Ph.D afhandling forsvaret 1949
1949: Præsenteret ved møde i Amer. Economic Society
1950: Publ. Artikel i Journal of Political Economy.
1951: Monografi:
Department of Mathematical Sciences
Dias 42
Arrow’s model for velfærdsøkonomien
Velfærdsøkonomi handler om sociale tilstande
Antag at der er endelig mange sociale tilstande
Hvert individ har en rangordning al alle sociale tilstande bestemt af hans smag og værdier (incl. økonomiske interesser).
På basis af disse individuelle rangordninger skal samfundet vedtage en samfunds-ordning af de sociale tilstande.
Hovedproblem: Hvordan kan det gøres på en rimelig måde?
Department of Mathematical Sciences
Dias 43
Arrow’s præference-relation
Betragt en endelig mængde S af sociale tilstande (alternativer)
R er en relation på S
xRy læses: “x foretrækkes eller er indifferent til y”
R opfylder to aksiomer:
Aksiom I: For alle x og y, gælder enten xRy eller yRx.
“Axiom II: For alle x,y, z: xRy and yRz medfører xRz
Arrow tillader at xRy and yRx for nogle x≠y.
I så tilfælde: xIy (x er indifferent til y)
xPy betyder non-yRx (x foretrækkes for y)
Arrow antog at både individuelle og samfunds-rangordninger skal opfylde disse aksiomer
Department of Mathematical Sciences
Dias 44
Arrow’s nye model
Nye problem for sociale valg:
Haves: Individuelle rangordninger (R1, R2, R3,…,Rn) af sociale tilstande
Social velfærdsfunktion
Samfundets rangordning: R.
Helt forskellig fra Bergsons og Samuelsons velfærdsfunktion
Department of Mathematical Sciences
Dias 45
Velfærdsøkonomi og valgmetoder
Sociale valg knyttet til teorien om afstemninger (valg):
Mange mulige sociale velfærdsfunktioner
Bestem den etisk mest acceptable velfærdsfunktion (valgmetode)
Department of Mathematical Sciences
Sociale valg Valg
Sociale tilstande Kandidater
Individuelle rangordninger: R1, R2, R3,…,Rn
Stemmesedler
Samfundets ordning R Valgets udfald
Social velfærdsfunktion Valgmetode
Dias 46
Arrows nye tilgang til valgmetoder(velfærdsfunktionen)
Tidligere forfattere om valgmetoder:
Valgmetode Egenskaber
Arrow:
Egenskaber Hvad kan man sige om
Betingelser valgmetoden Aksiomer velfærdsfunktionen
Overraskende svar: Ingen social velfærdsfunktion
tilfredsstiller betingelserne.
Dette er Arrows umulighedssætning
Department of Mathematical Sciences
Dias 47
Arrows betingelser
Betingelse 1: Der eksisterer tre alternativer, som individerne kan ordne i hvilken somhelst rækkefølge.
Senere ofte erstattet med stærkere “uindskrænket domæne”
Positiv (eller ikke-negative) respons til ændringer:
Betingelse 2: Hvis en af de sociale tilstande x flyttes op (eller I al fald ikke ned) i hvert individs ordning uden at der sker nogen andre ændringer i disse ordninger, og hvis x var foretrukket for et andet alternativ y [i samfundets ordning R) før ændringen så vil x stadig være foretrukket for y i samfundets ordning efter ændringen” (Arrow 1950, 336-337).
Senere kaldt “monotonicitet”
Department of Mathematical Sciences
Dias 48
Arrows betingelser
Indifferens over for irrelevante alternativer:
If S is a subset of the alternatives then a social welfare function gives rise to a social choice C(S) function that maps a collection R1, R2, R3,…,Rn of individual rankings into the set of maximal alternatives in S i.e. such that for every y in S, xRy.
Condition 3: Let R1, R2, R3,…,Rn and R’1, R’2, R’3,…,R’n be two sets of individual orderings and let C(S) and C’(S) be the corresponding social choice functions. If, for all individuals iand all x and y in a given environment S, xRiy if and only xR’iy, then C(S) and C’(S) are the same (independence of irrelevant alternatives)
Med andre ord:
“Ligesom for et enkelt individ skal samfundets valg blandt en givet mængde af alternativer være uafhængig af eksistensen af alternativer udenfor den givne mængde”
(Arrow 1950, 337)
Department of Mathematical Sciences
Dias 49
Arrows betingelser
“Definition 4: En social velfærdsfunktion kaldes pålagt (imposed) hvis xRy for to bestemte alternativer x, y for alle individuelle ordninger R1,…, Rn, hvor R er samfundets ordning svarende til R1,…, Rn.”
Betingelse 4: Den sociale velfærdsfunktion må ikke være pålagt.
Borgernes suverænitet
Department of Mathematical Sciences
Dias 50
Arrows betingelser
“Definition 5: En social velfærdsfunktion kaldes “diktatorisk” hvis der findes et individ i så at for alle x og y, xPiymedfører xPy uanset alle andre individers ordninger, hvor Per samfundets præference relation svarende til disse ordninger.”
Betingelse 5: Den sociale velfærdsfunktion må ikke være diktatorisk.
Department of Mathematical Sciences
Dias 51
Arrows umulighedssætning
“Theorem 2 (General Possibility Theorem). If there are at least three alternatives among which the members of society are free to order in any way, then every social welfare function satisfying Conditions 2 and 3 and yielding a social ordering satisfying Axiom I and II must be either imposed or dictatorial.”
Bevis (8 sider) ikke særligt svært
Bruger ideer hentet fra Condorcets Paradoks (3 alternativer)
“ Teorem 2 viser at hvis man ikke antager noget apriori om individernes ordning, er der ingen valgmetode som fjerner afstemningsparadokset (Condorcet’s paradoks), hverken pluralitetsafstemning eller hvilken somhelst proportional repræsentations-metode uanset hvor indviklet den måtte være. Ligeså kan markedsmekanismer ikke skabe et rationalt social valg.” (Arrow 1951, 59)
Department of Mathematical Sciences
Dias 52
Mulighed eller umulighed
Navn i 1950 artikel og 1951 monografi:
”Generel muligheds sætning” (General possibilitytheorem”
Sen (2014) tilskriver dette ”muntre navn” til Arrow’s”sunny disposition”
Arrow svarer: Jeg er en dyster realist (gloomy realist).
Det var Tjalling Koopmans som insisterede på at kalde det en mulighedssætning:
”Han hadede følelsen af at noget ikke kunne ske eller ændres”
Var direktør for Cowles commission, som udgav Arrow’s bog.
Så Arrow fulgte Koopmans’ ønske
Ca 1970: sætn. kaldes umulighedssætning
Department of Mathematical Sciences
Dias 53
Den aksiomatiske metodes vigtighed
Berømt ikke for bevisets vanskelighed
Men den ny model og den ny bevismetode
“Mine studier inden for logik hjalp mig med at formulere spørgsmålet klart.” (Arrow, 1986, 50)
Hjalp på to måder:
1: Aksiomatik for ordnede mængder
2. Ny formulering af problem:
Find en metode der opfylder
bestemte aksiomer
Department of Mathematical Sciences
Dias 54
Modtagelsen af Arrows ideer
Først ringe genklang
Omkring 1970: eksplosion af Arrow-style Social choice artikler
5 slags reaktioner
0. Vi må opgive demokratiske valg. (sjælden reaktion)
1. Arrow har lavet en fejl (Blau 1957)
2. Arrow’s resultat er irrelevant (Black, Bergson, Samuelson)
3. Vi må prøve at omgå umulighedsresultatet
4. Bevis af andre umulighedsresultater i stil med Arrows
Department of Mathematical Sciences
Dias 55
3. Omgåelse af umuligheden
Arrow selv åbnede for denne mulighed:
“Hvis vi ønsker at tage sociale velfærdsbeslutninger som afhænger af alle individuelle værdier, dvs som ikke er pålagt eller diktatoriske så må vi slække nogle af de stillede betingelser”
(Arrow 1950, 343)
Arrow: eneste acceptable afsvækning er i betingelse 1: “uindskrænket domæne”
Arrow: Single peaked præferencer er et eksempel
Median opfylder alle betingelser (på nær 1)
Nævner Black.
Andre forfattere foreslår andre afsvækninger
Især uafhængighed af irrelevante alternativer
Department of Mathematical Sciences
Dias 56
Lignende umulighedssætninger
Kelly, Jerry S. (1978) Arrow Impossibility Theorems.
ca 50 umulighedsresultater bevist af forskellige forfattere efter 1970.
Det er umuligt at finde en social velfærdsfunktion som opfylder nogle uskyldigt udseende betingelser i lighed med Arrows
Mange andre bevist efter 1978
Afsvækninger Umulighed
Mulige metoder
Kelly 1978 : “Vanskeligheden som denne reaktion (afsvækning) nu står over for er meget simpel: For hver af Arrows betingelser er der nu en umulighedssætning, som ikke benytter denne betingelse”
Department of Mathematical Sciences
Dias 57
Gibbard-Satterthwaite sætningenSpilteori
Sætning: Ved et valg med mere end 3 kandidater er der ingen valgfunktion (metode til at finde en vinder) som ikke kan manipuleres
Formodet af økonomen Farquharson and filosoffen Dummett fælles artikel fra 1961
1960: Vickrey formoder at Arrows betingelser er forbundet med manipulerbarhed.
Sætningen bevist uafhængigt af
1. filosoffen Allan Gibbard 1971 (publ 1973) ved at følge Vickreys hint
2. Økonomen Mark A. Satterthwaite 1973 (publ. 1975). Bevis ved induction, bygger ikke på Arrows bevis.
Department of Mathematical Sciences
Dias 58
Konklusion
Fulgt proces som ledte til en ny matematisk gren af velfærdsøkonomien: Socialvalgsteorien og til Arrow’sumulighedssætning
Fusion af velfærdsøkonomi og teori for afstemninger
Arrow opstillede ny matematisk model og formulerede og beviste fundamental umulighedssætning
Hvad var drivkræfterne bag udviklingen?
Department of Mathematical Sciences
Dias 59
Drivkræfterne
Filosofiske.
Arrow og andre diskuterer ofte filosofiske (især etiske) problemer
Bl.a. afvisning af en platonisk ideal social tilstand (pålagt)
Afvisning af en meningsfuld kardinal velfærdsfunktion
Politiske: ”problem om sociale valg i fremvoksende velfærdsstater som England, Frankrig og Skandinavien.”
Department of Mathematical Sciences
Dias 60
Drivkræfterne
Den kolde krig og dens institutioner
Arrows arbejde ved Cowles commissionen og RAND ledte ham i flere omgange til spørgsmålet om at danne en kollektiv ”nyttefunktion” ud fra individuelle nyttefunktioner
Blev støttet af disse grupper da han havde gjort sit gennembrud
Black arbejdede isoleret. En forklaring på Arrows større gennemslagskraft
Dog også videnskabelige grunde
Department of Mathematical Sciences
Dias 61
Drivkræfterne
Prioritet
Personlig og national stolthed
Amerikanske institutioner og individer hjalp Arrow
Senere: Blacks støtter er britter.
Department of Mathematical Sciences
Dias 62
Moderne aksiomatisk strukturmatematik
Matematiske drivkræfter:
Hvorfor blev det Arrow og ikke Black eller Samuelson, som fandt på den nye model for sociale valg?
Fordi Arrow i modsætning til de andre var optrænet i moderne aksiomatisk tankegang
1. Brugte aksiomer for ordningsrelationer
2. Brugte ideen i Hilberts aksiomatiske metode: Opstillede en række aksiomer (betingelser) og undersøgte hvad der følger af dem (i dette tilfælde en umulighed)
Department of Mathematical Sciences
Dias 63
Kenneth Arrow døde 2017
Department of Mathematical Sciences
Dias 64
Department of Mathematical Sciences