Aritmética modular
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ARITMÉTICA MODULAR
Um novo contexto para operações básicas
EQUIPE
Wesley Siebra Maurício Neto Joéliton Araújo Ellison Alencar Paulo Dayvson
A OPERAÇÃO (A mod B)
11 (mod 3) = 2
- 37 (mod 5) = 3 5 (mod 7) = 5
CONGRUÊNCIA
EXEMPLO
Verificar se 14 e 22 são congruentes no módulo 6:
O QUE É ARITMÉTICA?
É o estudo das operações básicas: Adição; Subtração; Multiplicação ; Divisão.
CONTEXTO
Esta visão mais simplista da aritmética é normalmente estudada no contexto dos conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).
UM NOVO CONTEXTO
O novo contexto que iremos trabalhar é o conjunto Zn .
Dado um número inteiro n>1, então:
UM NOVO CONTEXTO
Como todo número inteiro produz um resto ao ser dividido por n, Zn tem em si um representante para cada número inteiro.
UMA NOVA VISÃO
ADIÇÃO MODULAR
EXEMPLOS
= (5 + 5) mod 10 = 10 mod 10 = 0
EXEMPLOS
Ainda com n = 10
= (9 + 9) mod 10 = 18 mod 10 = 8
SUBTRAÇÃO MODULAR
Exemplo: (Com n = 10)
= (8 - 5) mod 10 = 3 mod 10 = 3
PRIMOS ENTRE SI
Dois números inteiros quaisquer são primos entre si quando:
mdc(a,b) = 1
INVERSO MODULAR
EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) , COM n = 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0 2 4 6 8 1 3 5 7
3 0 3 6 0 3 6 0 3 6
4 0 4 8 3 7 2 6 1 5
5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
6 0 6 3 0 6 3 0 6 3
7 0 7 5 3 1 8 6 4 2
8 0 8 7 6 5 4 3 2 1
NOTA-SE QUE...
Os números invertíveis foram: 1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9)
Os não-invertíveis foram: 0, 3 e 6. (Não são primos entre si com
9)
DIVISÃO MODULAR
Onde b-1 é o inverso modular de a.
EXEMPLO
APLICAÇÕES
Cálculos envolvendo datas, períodos e ciclos de tempo e outros;
Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN);
Criptografia; Geração de números pseudo-
aleatórios; Endereçamento de memória; Código de barras; etc.
PROBLEMA PRÁTICO!
SOLUÇÃO...
Como 118 mod 8 = 6, então a estará no fio G.
EXERCÍCIOS
FIM!