Αθανάσιος Μυγδαλάs

ΓενΙΚό Ί'μήμα

Πολυτεχνική Σχολή

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Αριθμητιχή Ανάλuση Ηλεκτρολόyων Μηχανιχών

Ιούνιος 2010

1. Έστω ότι ανα9"Jτείται λύση τηs ε~ίσωσηs χ3 + χ2 - 3χ- 3 =Ο.

[0.5μ α)] Βεβαίωσε ότι έχει λύση στο διάστημα [1, 2].

[lμ β)] Εάν χρησιμοποιηθεί η μέθοδος τηs διχοτόμησης για τον προσεγγιστΙΚό

εντοπισμό τηs ρίζας, ποιό είναι το αμέσως επόμενο διάστημα που περιέχει

την ρίζα;

[0.5μ γ)] Εάν επιθυμούμε την ρίζα με ανοχή ακρίβειας ε= 10-4 • πόσες επαναλή­ψεις τηs μεθόδου διχοτόμησης απαιτούνται;

2. Γνωρίζουμε την συνάρτηση y = f(x) από τιs τιμές της στον ακόλουθο πίνακα με απόλυτο σφάλμα 0.001.

Χ; 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 y, 1.532 2.183 3.100 3. 748 4.096

[2μ α)] Να δοθεί πίνακας διαφορών κατάλληλου τύπου για παρεμβολή Newton.

[ 1 μ β)] Να εκτιμηθεί η τιμή τηs συνάρτησης στο σημείο χ = 0.61 με παρεμβολή Newton υπολογίζοντας με πέντε δεκαδικά.

[1μ γ)] Να εκτιμηθεί το ολΙΚό σφάλμα τηs προσέγγισης όταν το αποτέλεσμα

στροyyυλοπιείται σε τρία δεκαδικά.

3. Έστω η διαφορική ε~ίσωση y' = 0.4y2 + χ2 στο διάστημα [0, 0.5] με συνθήκη αρχικής τιμής y(O) = -1. Λαμβάνοντας ωs βήμα διαίρεσης του διαστήματος το /ι = 0.1, να εκτιμηθεί η τιμή y(0.1) τηs Υ'Jτούμενηs συνάρτησης y στο σημείο χ =0.1

[ 1 μ α)] με την κλασσική μέθοδο Euler,

[1μ β)] με την βελτιωμένη μέθοδο Euler-Cauchy και

[2μ γ)] με την κλασσική μέθοδο Runge-Kutta.

Τunολόyιο

Κάποιοι από τουs ακόλουθους τύπους θα σαs φανούν χρήσιμοι στα Θέματα 2 και 3.

Αθανάσιος Μυγδαλάς

Γενικό Τµήµα

Πολυτεχνική Σχολή

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο

Αριθµητική Ανάλυση Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Σεπτέµβριος 2009

1. Επιθυµούµε την επίλυση της εξίσωσης e−2x = 1 − x.

(α΄) (1µ) Επιβεβαίωσε ότι υπάρχει ϱίζα της εξίσωσης στο διάστηµα [0.4, 1.6].

(ϐ΄) (1µ) Εάν εφαρµοσθεί η µέθοδος της διχοτόµησης για την αναζήτηση της

ϱίζας στο δεδοµένο διάστηµα, ποιό είναι το επόµενο διάστηµα που περιέχει

την ϱίζα της εξίσωσης ;

(γ΄) (1µ) Εάν επιθυµούµε την ϱίζα µε µέγιστο σφάλµα 0.025, πόσες επαναλήψεις

της µεθόδου διχοτόµησης ϑα απαιτούντο για το δεδοµένο διάστηµα ;

2. ΄Εστω η διαφορική εξίσωση y′ = yx− y2 µε συνθήκη αρχικής τιµής y(1) = 1 για

την λύση y = y(x). Επιθυµούµε να προσεγγίσουµε την τιµή y(1.2) της λύσης

y = y(x) στο σηµείο x = 1.2.

(α΄) (1µ) Να εφαρµοσθεί η µέθοδος Euler µε ϐήµα h = 0.1. Στρογγυλοποίησε

(εφόσον απαιτείται) στα 7 δεκαδικά.

(ϐ΄) (2µ) Να εφαρµοσθεί η µέθοδος Runge­Kutta µε ϐήµα h = 0.2. Στρογγυλο-

ποίησε (εφόσον απαιτείται) στα 7 δεκαδικά.

3. Κάποιες δειγµατολειπτικές µετρήσεις έχουν καταλήξει στις εξής τιµές :

t 0 1 2 3 4

b(t) -2 2 5 3 1

Επιθυµούµε να προσεγγίσουµε την άγνωστη συνάρτηση b(t) προσαρµόζοντας στα

δεδοµένα, µε την µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, ένα πρότυπο γραµµικού

συνδυασµού των συναρτήσεων φ1(t) = 1, φ2(t) = t − 2, φ3(t) = t2 − 4t + 2.

(α΄) (1µ) Να δοθούν οι εξισώσεις του υπερπροσδιορισµένου συστήµατος που αν-

τιστοιχεί σ΄ αυτό το πρότυπο προσέγγισης της b(t).

(ϐ΄) (1µ) Να δοθούν οι κανονικές εξισώσεις του προβλήµατος.

(γ΄) (1µ) Να επιλυθούν οι κανονικές εξισώσεις (στρογγυλοποίηση σε τρία δεκαδι-

κά εφόσον απαιτείται) και να δοθεί η συνάρτηση προσέγγισης της b(t).

1

(δ΄) (1µ) Αντί των κανονικών εξισώσεων, αριθµητικά προτιµότερος τρόπος επί-

λυσης υπερπροσδιορισµένων συστηµάτων παρέχεται από την µέθοδο πα-

ϱαγοντοποίησης QR. Να δοθεί το διάνυσµα ορθογωνίου µετασχηµατισµού

Householder που µηδενίζει όλα τα στοιχεία – πλην του πρώτου – της πρώτης

στήλης της µήτρας του υπερπροσδιορισµένου συστήµατος.

Τυπολόγιο

Κάποιοι από τους ακόλουθους τύπους ϑα σας ϕανούν χρήσιµοι στο Θέµα 2.

f [xi, xi+1, . . . , xi+k] =∆kyi

hk· k!

, ∆kf(x) = hkf (k)(ξ), Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏

i=0

(x − xi),

Rn(x) = hn+1f (n+1)(ξ)p(p − 1) · · · (p − n)

(n + 1)!, Rn(x) ≈

p(p − 1) . . . (p − n)

(n + 1)!∆n+1yo,

K1 = hf(xk, yk), K2 = h2f(xk, yk), K2 = hf(xk + h/2, yk + K1/2),

K3 = hf(xk + h/2, yk + K2/2), K3 = hf(xk+1/2, yk+1/2),K4 = hf(xk + h, yk + K3), K4 = h[f(xk, yk) + f(xk+1, yk+1]/2,

yk+1 = yk + K1, yk+1 = yk + K4, yk+1 = yk + [K1 + 2K2 + 2K3 + K4]/6,

yk+1 = yk + K3, yk+1 = yk + K1

Οι λύσεις ϑ΄ αναρτηθούν στο eTHMMY µε το πέρας της εξέτασης.

Καλή επιτυχία !

2

Αθανάσιος Μυγδαλάς

Γενικό Τµήµα

Πολυτεχνική Σχολή

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο

Αριθµητική Ανάλυση Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Ιούλιος 2009

1. ΄Εστω το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων Ax = b µε

A =

1 2 3

−1 −2 13 1 −5

και b =

14−2−10

(α΄) (1µ) Να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Gauss µε µερική οδήγηση για την απα-

λοιφή των µη-διαγωνίων στοιχείων της πρώτης στήλης.

(ϐ΄) (1µ) Να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Gauss µε πλήρη/ολική οδήγηση για την

απαλοιφή των µη-διαγωνίων στοιχείων της πρώτης στήλης.

(γ΄) (1µ) ΄Εστω ότι έχει ολοκληρωθεί η απαλοιφή Gauss και έχει καταλήξει στην

ακόλουθη LU-παραγοντοποίηση της A (Η L είναι κάτω τριγωνική που έχει

απλώς µετατεθεί λόγω της οδήγησης και η αρχική διάταξη των µεταβλητών

διατηρείται, ισχύει δηλαδή A = LU):

L =

1/3 −1 1

−1/3 1 01 0 0

και U =

3 1 −50 −5/3 −2/30 0 4

Να ευρεθεί η λύση x = (x1, x2, x3)T του συστήµατος γραµµικών εξισώσεων.

2. ΄Εστω η διαφορική εξίσωση y′ = x + y µε συνθήκη αρχικής τιµής y(0) = 1 για

την λύση y = y(x). Επιθυµούµε να προσεγγίσουµε την τιµή y(0.2) της λύσης

y = y(x) στο σηµείο x = 0.2. Για τον λόγο αυτό επιλέγουµε το ϐήµα h = 0.1.

(α΄) (1µ) Να εφαρµοσθεί η µέθοδος Euler. Στρογγυλοποίησε (εφόσον απαιτείται)

στα 6 δεκαδικά.

(ϐ΄) (2µ) Να εφαρµοσθεί η µέθοδος Runge­Kutta. Στρογγυλοποίησε (εφόσον

απαιτείται) στα 6 δεκαδικά.

3. Κάποια συνάρτηση y = y(x) µας είναι γνωστή από τον πίνακα :

x y100 4.6051702

110 4.7004804

120 4.7874917

130 4.8675345

140 4.9416424

150 5.0106353

1

Επιθυµούµε την προσέγγιση της τιµής y(101) της συνάρτησης y = y(x) στο ση-

µείο x = 101.

(α΄) (2µ) Να κατασκευασθεί ένας πίνακας παρεµβολής από κατάλληλες για την

περίπτωση διαφορές (χρησιµοποιώντας επτά δεκαδικά).

(ϐ΄) (1µ) Να υπολογισθεί µία προσέγγιση του y(101) (χρησιµοποιώντας επτά δε-

καδικά) µε κατάλληλο για την περίπτωση πολυώνυµο παρεµβολής λαµβά-

νοντας υπ΄ όψιν µόνον εκείνες τις στήλες του πίνακα που έχουν στοιχεία κατ΄

απόλυτη τιµή µεγαλύτερα του 0.0005.

(γ΄) (1µ) Να υπολογισθεί µία προσέγγιση του σφάλµατος κολόβωσης χρησιµο-

ποιώντας την πρώτη στήλη που τα στοιχεία της δεν συµµετείχαν στον σχη-

µατισµό του πολυωνύµου. ∆ώσε προσέγγιση του ολικού σφάλµατος.

Τυπολόγιο

Κάποιοι από τους ακόλουθους τύπους ϑα σας ϕανούν χρήσιµοι στα Θέµατα 2 και 3.

f [xi, xi+1, . . . , xi+k] =∆kyi

hk· k!

, ∆kf(x) = hkf (k)(ξ), Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏

i=0

(x − xi),

Rn(x) = hn+1f (n+1)(ξ)p(p − 1) · · · (p − n)

(n + 1)!, Rn(x) ≈

p(p − 1) . . . (p − n)

(n + 1)!∆n+1yo,

K1 = hf(xk, yk), K2 = h2f(xk, yk), K2 = hf(xk + h/2, yk + K1/2),

K3 = hf(xk + h/2, yk + K2/2), K3 = hf(xk+1/2, yk+1/2),K4 = hf(xk + h, yk + K3), K4 = h[f(xk, yk) + f(xk+1, yk+1]/2,

yk+1 = yk + K1, yk+1 = yk + K4, yk+1 = yk + [K1 + 2K2 + 2K3 + K4]/6,

yk+1 = yk + K3, yk+1 = yk + K1

Οι λύσεις ϑ΄ αναρτηθούν στο eTHMMY µε το πέρας της εξέτασης.

Καλή επιτυχία !

2

.\ριστοτtλειο Ιlανεπιστήμω Θcσσαλον(χης Ι'ενιχό Τμήμα 1\ολuτcχνιχής ':χολής Τομέα ϊπολογιστιχών 1εvό!:iων χαι Ιl pογραμμαησμο\ι

Αριvμητιχή Ανάλυση- Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηzανιχών

.J.ιδάσχοντες: Πιτσο\ιλης

22 Iouν(ou 2007 - Διάρκεια: 2 ώρες

Θέμα 1 (3.0 μονάδ ε.:;): Να uτωλογισ·ει ένα ;;οι ;ω •:l'J :":Fι:;-o:ΙJ•J ~ομι/ι μ(:τ) ,fJ'J ν; ;;ρ<ισεγyζει -;τ1ν σ•,ν~Η1στ1

__ ι +ο :! .ΙΊ Ι ϊ

f(r,) I '2 9

ι α ur.ολοyισ -;εί η -;ιμ+1 ιι( Ι & )

Θέμα 2 (3.0 μον:iδες): Έστω ό-;ι f(r) = 1

):r

α) Ατ.οδείξ-;ε ό-;ι r f χ 1 . J' ι

y) Πόσες ετ.:χν:U.r,:ιεις -;ov :χ; γόρη>μr;•, cιzo•iψrρr ~:ι-,,.,, 1 ;: νι;~; ει'' ,Jε -::.ψ;;:γγ•.σr, ττ,~ ρί~α:; με :χχρQει:χ 10 ι ο,

ΘF:μ.α. 3 (4 μ.ονάοες ): 1\α υπολοyισ-:εί μι :ι 7:ρr)σέγyιοr1 ~r,~ ι ~πεω; "'()'.J Υ?'3:J{-Η;<ι," r-r r.r-ri~

η '1r - l.r')

3rι + 2r2 IO:r3 \\r 1 .,. lr_ +3r

με την μέ-6οδο Gauss- e ide l );QIJ ;;εριγp:Χ'jlε-;αι α;;ό -;τ," ε;::ιν:χl η-;-;ιχr, σzέστ, χ " I = - ;\.1 ι " χ ι:)+ M - 1b , για 2 επαναλήψεις χαι χ(Ο} =(Ο. Ο, οjΊΌ :\:χ χ:Χνε-;ε εί εγι.ο γι :χ Ο'Jγχί.ισr,

Αρtστοτέλειο Πανεπιστήμ~ο θεσσαλονiχ·ης rενΙΧό Τμήμα Πολvτεχν<χής Σχολής

Τομέας: Τπολοyιστιχών Με-f)ό6ων χαι Προγραμμα-τισμού

Αρι{)μητική Ανάλυση • Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Διδάσκοντες: Φραyχ&:χις, Πιτσούλης, Κωνστα:ντιν(δηc:

16 Ιοuνίοu 2005 - Δι&ρχειcι: 2.5 ώρες - Α

Θtμα 1 (2.5 μονάδες): Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση

i Χ;

/(χι)

ο 1 2 1 2 4 3 2 3

3 5 5

Υπολογίστε τα πολυώνυμα παρεμβολής p(x) και q(x) με την μέtlοδο διηρημένων διcιφορών, όπου το p(x) παρεμβάλει την /(χ) στα σημεία χσ,χι ,χz, χ3 και το q(x) στα σημεία χι , χz,χ3 . Υπολογίστε τις τιμές p(2.5) και q( \ .5). Η k-οστή

διηρημένη διαφορ& ορίζεται ώ;:

/ [ I /[Χ;+ ι ,Χι+2ο · · · ,Χι+k [ - f[χι, χι+ Ι > ·. · ,χι+k ι]

Χί 1 X-l+ I t • • • Ι Xi+k := Χί+k - Xi

για Ο $; i $; n - k.

Θέμα 2 (2.5 μονάδες): Να παραγοντοποιη{)ε( ο πίνακας

[ ι 2 ι ]

Α = 3 4 2 , 2 5 ι

στο γινόμενο ΧΑ = LU με απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση, όποu ο L είναι κάτω τριγωνικός: πίνακας ο U είναι άνω τριγωνικός πίναχας και ο Χ είναι μετα\Ιετιχός πίνακας. Χρησιμοποιώντας την παροιγοντοποίηση ΧΑ = LU βρείτε λόση στο γραμμικό σόστημα Αχ= b όποu b = (3, 2, 4)τ.

Θέμοι 3 (2.5 μονάδες) : Να uπολογιστε( μίοι προσέγγιση της λύσεως: το•J γραμμικού σuστήματος

-2χι + 9xz + 2χ3 2χ ι + 3xz + \Οχ3 8χ ι +xz - 2χ3

=

=

=

2 4

3

με την μέ\Ιοδο J acoi>i που ::εpιγράφεται α:τό την επαναληπτική σχέση χ<•+ ι ) = -!νι - ι Ν χ(•) + J\1 - 1b , για 2 επαναλήψεις Υ.::ι< κ(ό) = (0, Ο. Ο) τ. Θα έχο•Jμε σ(ιγχλιση;

Θέμα 4 (2.5 μονάδες): Χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές χαι επΙλέγοντας /ι = 0.2, να αναγάγετε την Δ.Ε. με μεραές παραyώγοv<;

82u 821• 8χ2 +28y2 = 25

σε ένα γp<ψ.μιχό σύστΥJμα. Τα χ, y ανήκουν στο τετράγωνο Ο 5 χ 5 1, Ο $; y 5 I. Δίνονται οι σvνο;καχές σvν\Ιήχες

1ι(χ, Ο)= sin2 (πx), u(l , y) =Ο, u(O, y) = Ο, Du. θy(χ,Ι)=2χ(π - χ).

Ποιός είναι κατά την γνώμη σας ο καταλληλότερος: τρόπος επ!λuσης: ;ou παραπάνω συστήματος; (Δεν ζητείται να ειιιλu\Ιεί το σύστημα)

Αγιστοτtλcw Πο:νεπισηiμω θεσσαλοv<κης Γενικό Τμ!jμο: Πολυttχνιχής Σχολής

Τομέtτζ Τπολστιστιχών ~iεi)όδων "'" ΠpοτΡ"!Ψο:πσμσύ Αp.vμηtιχή Α""'-uση • Τμιjμα Ηλεχτρολόyων Μηχαvαών J\Οά:C".<οντtς-: Φ;.-~yχQ:χt.ς, π~τσοVλr;ι:t ΣvνεφάχytΑραμ;:.:ι~~ή

29 Σεπ'tεμβρίοu 2004 - Διόψχeια.: 2.5 ώρeς - Β

Θέι-ια. 1 (2.5 μονιiδες): C'ia γpuφε! ο ~ίv::ιχα<: ~ων c;ε;;ερασμένων διcιφορών χα•. να ur.ολογιοτοuν με τήv χαλίιu:ρη δυνατή προσέγγιοη οι τιμές ~ων σuμ~ω:ιχών ::ολuωwμων Ρ1 , Ρ2, Ρ3, Ρ. ;ης σuν:Χρ7Ιjσr,< f(x) για χ= -1.2 με την μέ,οοο Newton των πε;rερασμένων Οια~ών. δ::ιν όiνον><n (Ο, 2), (2, -1). (4, 9), (6. -10), (8. ι92).

Ρ(:ι:) = /(χο) + pΔJ(xo) + p(p - ! ) Δ2/ (:ι:ο) + p{p- l )(p - 2) Δ3 /(zo) + · ·· 2! 31

θέμcι 2 (2.5 ι-ιονciδες):

Να ϊϊαρι:χyοντοrιοιη{)εί ο :;iνcικας

[ ι ι 2 ]

Α = 3 4 2 , 4 2 ι

στο yινόιιcνο Α = LU μs α.πcιλοιφή Ga>ιs~. n7.nu n L είναι κάτω τριrωvικός π!ναχας και ο U είναι άνω τριγωνικός πίνΧ<ας. ΧρrρψΟiΙΟ!ώντας την ;;αραyον•οπο!ηση Α = LU βρεί:ε λUση στο γραμμικό οuστημο Αχ = b δ~οu b = ( 1.2,3)τ.

Θέμα 3 (2.5 μονάδες): Να λu\Jε! το σίιοτφα κανονικών διαφορικών εξισώσεων με την μέ,οδο Βελτιωμένου Euler

y; = 3yΙ + 2.112

Υ2 = 4yι + Υ2

γιοι Ο~ .z $ 0.5 χαι αρχικές τψές Υι (Ο)= Ο, Υ2(0) = ι, με βψ« h = 0.1. Ο τύπος οε μορφή οιιχννσμάτων 13α ε:!ναι

ko = lι f(:ι:r, Yr)

kι = hf(zι +Ι ι, Υ ι + ko) Ι

Υ Ι+ Ι = y, + 2(ko + kι)

11 λ\ισr, να ί)οiJε! στην μr>ρφή ~ου π!νιχχα

i %; Υι.r !h .• ο 0.0 ο Ι

Ι ο. ι !/ι . Ι /12. 1

:

5 0.5 1/Ι.S Ι/2.δ

Θέι-ισι 4 (2.5 μονciδες) :

Να βρεΟσUν οι :ψές της " οτ'-' 1!tσεις r = 0.2 χαι t = 0.4 οι οπ:ο!ες ικανο:<οιοίιν την διαφορική εξίσωση

θu -λ a~ι. 8t - 1Jx2

με αρχικές τψές u(z,O) = 3::(1 -:ι:) χαι σuνοριαχές τψές u(O, t) =Ο, u(ι, t) =Ο χαι λ= 0.8, Δχ = 0.2.

fίιι u,,J+ Ι - Uij

aι = Δt • D2ιι _ "Ι+ ι ,J - 2u;i + uι-ΙJ O:r? - Δχ2

Πότε σvy--<λίνει η λίιοη χ<n πο-.ές άλλες μεθδδοuc; μnορο(r,ι.ε να χρηοψο.:οιrpοvμε; Να γίνει και το οχετιχό &..iγραμμα.

Αρισ<οτέλεω Πανε;-;ισ~ήμιο Θεσσαλονίχηc

Γενιχό Τμήμα Πολuτεχνιχήc ~χολήc

Τομέαc Υrτολογισ•ιχών :V!ε\Jόοων και Πρrη·p::ιμματccμού

Αρη)μη"χή λνάλuση · Τμrμα Ηλεχφολόγwν Μr;χα'Ιιχών Διδάσχοντεc: Φραγχάχιc, Πιτσούληc, Συνεφάκη-Λpαμπα~ζή

24 Ιουνίου 2004 - Διόψκεια: 3 ώpεc - Α

Θέμα 1 (2.5 μονάδες): Να υπολογιο-.εi :σ ολοκλήρωμα

3

Ι=~ )2χ3 + 3 dx

με τη μέ-θοδο Simpson και αχ;::ί;3εια δύο διαοοχιχών ;:pοσεγγ\σεwν, e = 0.01.

h b-a Ι n = -

3 Uo + 4/Ι + 2/~ -'- .!ι/3 .L • · • + 2/2• -2 + 4/2· -Ι + /2•) , h = --. 2n

Θέμα 2 (2.5 μονάδες): Εφαρμόστε :ρει:; ε;;αναλήψεις της μ!:-δόδοv QR για :ην εύρεση ιοιο-.:ψών ενός :ιίνακα στον πίνακ:ι

[ 5 -8 ]

Α= -4 1 '

ο οποίος έχει αχέραιες ιδ ιοτιμές. Ο πίνακα:; Hoι:sel1older είναι Η = Ι- 2uu τ όπου

ο

ο

.η+ sgn(x,)s Xk-t-1

Χ η

I ·• .. - . και s = ν Xj. + ·'i-Ι + ''. +χ~ . Ποιά 1Jα εiναι μί:ι ;::;οσέγγ•.ση των ιοιοτψwν;

Θέμα 3 (2 .5 μονάδες): Να παραγον-:ο::ο•.r,-Gεί ο πίνακας

j Α~[Η η i 1 στο γινόμενο ΧΑ= L U με ο::-ι::ιλοιcρή Gauss με μεpιχ·ή οδήγηση, όr.ου ο L είναι κάτω τpιγων~zό~ :::ν:χλας ο U είναι

J άνω τριγωνικό~ ::iν:χλας χαι ο Χ είναι μετcr~ετιχός ::ίναχας . Χpησιμοr.οιώντας την παpαyovτor.oir,cr, ΧΑ = L U βρεi•ε J λύση. στο ΥF~ψμιχό σύστημα Αχ = b όπου b = (1, 2, 3) 7 .

Θέμα. 4 (2.5 μονάδες): Χρησιμοποιών::ι:; rtεπεpα.σμένες διαφορές και εr.ιλέγοντας }ι = k = 0.25, να ανάγε-:ε :ην διαφο;::ιzi, ~~ίσωση με μεpαέ:; παραγώγους

8~ll 82 ιι -8

., +2-8

, = -32, .τ- y-

σε ένα γραμμιzό ()χ() σvστημα, αναζητώντας τψές :η:; 11, μόνο στο εσω:ε;:ιικό του τε:pαyώνοv Ο s; .r S:: 1. 0 .S:: y .S:: 1. Δίνοντα•. οι συνοpιακέι; σuν\Jήχες

Du τι (χ,Ω)= sίn~(τ.χ), H(l,y)=O, ιι(Ο,y)=Ο, 1/ (:r.,1)=21ι.

Ποιός είναι - %::ι::ί -:r1ν γνώμη πας - ο χα:αλληλίιτε?ος τρόποι; εr.ίλυσηc τοu πcιρα;:cίνω συσ:'fιtJ:.ι:ο~ : (Δε ζητείται να επιλυ13ε( το σ•)σ:r,μα)

--:"λιf ifMA ~!Λ . J/~/ X .=: μ, ΙiΧ. ';7-/ Υ. MA ~·r~/__.~~: .f.ι (ι&!vf. Η f t μ-t A.t·/fιΛYS.Lf

~~ο/ f',) Cl vιi)o :}σ{! C"ι:/11

~~ο : .. -).σ u.f...Jt~ r c 'YvJ fι / ~;J·;) ~ι; P-.o;..-f/SE/2 G '!.:..~ r c ό~ 1ιvJ OVr~ 'YY]1 ~ι'~Cιο(. Γ;· JcιJ -z_.d_j'YLS -u:~ .. , 1V ew 1--ο YJ G +e s ψ}. CA Q2--o ι' 8-n- r 1 v χ, v '1.-0 } J ι-ο ~ ι..~ 4 ut ~ U-Ω _,

ι&W or>ιriJnι: "1 r ,'JJ.,Jos <>Ν7-·ι'/ j}cx)d;x, IZ-"' i -f,r s -fc:t:)= 1/(1-ι- χ~.) Jt/=3 ~ ~~ (t-0-)j;2N

("' .

' ~Ν~ο<~~~ R u ιν&-Ε Ποιο( ~ Vι:Χ..-1

11 ύ l~

ι

, \λ, 1.. ~

\

r t\ \) \1

7 ·1λ.:: 5ο 'f.

uhU.u..

ιλ~ \. ;....'

r~ 't( ::. t{ t.-l 1 j - ~ tl ~j -+ 'U ί·Η ;J.

ιι-;. ο ~ )<<z.. Δχ2-

11 ·~

pΑ-·9-ΜΟΛΟΓJΑ 9-tf.-llrT'S.N. ~' Ξ(λ.{δ Ν J ~<> l._f.{oιJ 1 5~ /.μ.A.rιtJ

C Ι+ Λ Υ1 :-{ ΤΡ 'I 'f' 'I r:τ :-tf.ιi-A7v Σ Q.}J.. ο Ν . ) . ο \\Ρε- ο ι rJ p Α:;: Έ ι~ Έ J.44>A-ιJ . Ζ. ·σ Ν7 Α ι !J. 6 6 'Ζ ΗΜ ΑΝ1ι ~Α ~-f-J Φ;A-

. λ ί!Οίc Λ Ε'ϊ J-ιΙΑ7 Α 'ΣΤο F=-Αθ:ΑFΌ Γ PAfJ7\.: !( r\ Ι Τ Α FΊv ,t-.. 1 Α ι\..1. t= ί Α

ο

· · ··· ···· \.jJ .; · ·~ ι i:;; ·γ ι ι · ι υ ι. / , , . ..- • - .... . . . . .. _ • • J ...._.:;:,ι . . . • . _ .. . • • , _ •. . _ . .• • , •.• ~~;~.;,:~/~;·

ΘcΜΑΤΑ EΞ.t:ίAU~tJ Πf?ιuΔΟiΣΈΓ!7Εt-ΙΜιDί 1111-~ Τ Μ lf Μ Α. ·. . . . · _ Μ Α & ιt Μ Α Α. Ρ !9 μ ti Τ ι tc ι-t Α Ν· ~-

~- '-...'

~ΜΑ ιi ο b i v ι:- -ι.c:u- -c.o cnJό1N1 rO( Α χ::;:. b . Ν α.~v.J-oJ..o rι tiU-11

.

'>'} Ch!cJ>Ι χ I Ζ-<1 Α -1. 1/I.AU "UJ Olf;. j. j-, Ο( 1: = b - Α 7 fι ,ι: &νι j.., / J, J ο G AU 5 S - :1 Ο {2. D Α tJ ~ο <λ>- r:.ι cΓΙ.-ι ~ . Ε «3-τ' Πt:J ·.·

v α_ α;ινuww)(S-c.: . 11 Σ.cJ!' D..:J d11 όlj; _1 r "<:"7-Όj ~ Υ"( rι'vw. . S tJ ο1 J tιOf D ~or.A S

f)-fMA 2" Δ ;vo~ · 6 J ~{'? '7-rj..:,v (Χ<Ί ;/-7) . Δι I/.Al.I0-

4υa ΙΛ1 dL-f. --111 . ?(f .f P1j "1<-<1·. ι~ r$J)uv ιD 6f r.} {; <> μ S ~ ..,_..__ • r <Α ο VCΛ{ -r-1 r <'( ~ 7:1--t-S . jV ο( <VvfJ-D ~υ Ο' ra-/ 'V/ 'zA.f 7 J1 ι} Χ ==' 6. ι/.f Χ ~- ':f 5. 3. · 1. 5 · 3 . Ζ3 1. Ο 9. ιg . Χ== 8 • 0 6. . .

. 'j ο. 6312. · . r:J.3~tri . ιJ. t'l~lf. · ο.518?? ο. '1562 ο. '612-f

. Λιl~δbs : hιo.(ιf4c.'ι.wY δι~~f~t f(xo, xA,XQ.)· . . )('1 ==-~(χ~ .. ... , χ η)-1(χο;··ι~-. f CX)-= ;j (χ ο) +(χ- X 0 )r(Xo1 Xt) +(χ~χ.,) (Χ ~xi) f (χ~ ;Χι/Χ~) +. . . Χ1 ~Χ ο θ'ΕΜΑ 3~ /VC>( vw-o>o}-1 61.~ τ.ο o)..e· · '--'· . . ι.Ι~ ι . t t -~ C' {)

' f "-.. I Q • \λ../ δ '1 l "'""\. ο< ι;' C. ~ -1 t V0 δ 'Ο t'\. t) \Aot ~~ b'- ο.>..~ ~ oUV'o<1M aνγl.bue( '7..-.-ιν, '/(fl-10\ L ovSQιι.:..,~ ~(' -z1ιι.n ι τι ~-<Χ [J_ ς~ 7J r· :<~ GV"~ .

Οιi = 1 Q.t:tCσ.J+,f(η) J /Nι~=k[JrΙ-1 1 1.-+ b;:.~~(ιx+~'2J i

dχvo<~ ~o~ιv~.s Rrche<Ί-clςo __ . ι:=1 (-<) . . iJ" Ν:::. Ο ι ,( • 9.. 1? .,....,: ί.:: 1

1 ~ , 3 '1 ΙινJ 'ι+i -=- ( 4;' ΤΝ+Ιι ;_ - Τν, <)/( 4-ί -1.) .

& CefιXf~ ο~ ~q Ν=- 3" ~ t (Χ)= X~.t;- 3;/' (Α) 1 ;fc~)= Χ;_ ?Jx2.-x_(~· ··

Af:AoA{&A/4 ΓιΑ- το 1ο. 9--tMJ\.

2 6 - i

Α~ s -i ~

-3 -Lf- -i

®

b::: -1~

fl9

s

3

s ~

-~ 1. 4--Lt 3 6:: --19.

)

1 1 11

O~Ci. οι ΠΡΑΞ.Ε.ιr. CΜ<!ιιrιvι 2o.VCA ® \\ΚΑ \I./ -τrι ι ~Α-1 ίΙ NOrV(A;ι ~Y.t IL S::.\-fMAιV

ι Η-ΦιΑ . U\Y 31:] ψιt,Ριο -τ<;, ΑJ ΑΠDΊΈ!\h- 0 1

__ -ε-ι Ν ιτι !. ~~ ΤιJ . (U;::_ . ΜΑΤ ..--rJ όl Ρ t;f1 c Ι Ν'. .·

\7 (/ Μ Α 7 ~ ι 'ί:-<9 Δ i ι\) Α-Μ Α . h ι Α Ρ ΚΈ ι Α q c: ο ρ - . c'<; ..J- t[_

'

-··· ~ · - ...... _

. Α c ~r:ι ΑΛ Έ ιv Λ &ει4 ~το ε 1c-.J •

. , '

- -··-- ·---- ---