ARITHMETIQUE I DIVISEURS ET MULTIPLES 1° Division euclidienne a) Effectuer la division euclidienne...
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ARITHMETIQUE
I DIVISEURS ET MULTIPLES
1° Division euclidienne
a) Effectuer la division euclidienne de 263 par 15
263 15
8
113 71
263 = 15 × 17 + 8
Dividende
Reste Quotient
Diviseur
Dividende Diviseur Quotient Reste= × +
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b) Effectuer la division euclidienne de 1288 par 23
1288 23
138 65
0
1288 = 23 × 56
Le reste est nul
On dit alors que :
♦ 23 est un diviseur de 1288
♦ 1288 est un multiple de 23
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2°Définition
a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠0On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier n tel que a = n × b
Exemple
♦ 60 = 5 × 12 Donc 12 est diviseur de 60
Les diviseurs de 60 sont :
1 302 43 65 602010 1512
♦ 65 = 7 × 9 + 2 Donc 7 n’est pas un diviseur de 65
Donc 9 n’est pas un diviseur de 65Le reste n’est pas nul
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Nombre premier
Un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs 1 et lui-même est un nombre premier
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 sont des nombres premiers
Exemples
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II Plus Grand Commun Diviseur
1° Activité.
Ecrire la liste des diviseurs de 42:
1 2 3 6 7 14 21 42 Ecrire la liste des diviseurs de 30
1 2 3 5 6 10 15 30
Les diviseurs communs à 42 et 30 sont :
le Plus Grand Commun Diviseur à 42 et 30 est 6
On note PGCD( 42 ; 30) = 6
1 2 3 6
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2°Définition.
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.Le plus grand commun diviseur aux nombres a et b s’appelle le PGCD et se note PGCD( a ; b )
Remarques :
PGCD ( a ; a ) = a
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )
Si b est un diviseur de a alors PGCD ( a ; b ) = b
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3° Détermination du PGCD avec la liste des diviseurs
Déterminer le PGCD de 42 et 70
1 42
2 21
3 14
6 7
1 70
2 35
5 14
7 10
PGCD(70 ; 42 ) = 14
Diviseurs de 42 Diviseurs de 70
Diviseurs communs a 70 et 42 : 1 2 7 14
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4° Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successives
a) Les diviseurs communs a 70 et 42 sont : 1 2 7 14
b) Cherchons les diviseurs communs a 42 et 70 – 42
Diviseurs de 42 : 1 2 3 6 7 14 21 42
Diviseurs de 28 :
Diviseurs communs : 1 2 7 14 Ce sont les mêmes
Donc PGCD (70 ; 42) = PGCD( 42 ; 70 – 42 )
c) Nous admettrons Quelques soient les nombres entiers a et b avec a > b PGCD( a ; b) = PGCD( b ; a - b)
1 2 4 7 14 28
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d) Application
Déterminer le PGCD des nombres 255 et 102
PGCD ( 255 ; 102 ) = PGCD ( 102 ; 255- 102 )
= PGCD ( 102 ; 153 )
= PGCD ( 153 ; 102 )
= PGCD ( 102 ; 153 -102 )
= PGCD ( 102 ; 51 )
= PGCD ( 51 ; 102-51)
= PGCD ( 51 ; 51)
= 51
PGCD ( 255 ; 102 ) = 51
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5° Calcul du PGCD par l’algorithme d’EUCLIDE
a) Nous admettons:
Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs avec a > b.Soit r le reste de la division euclidienne de a par b
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
b) Application :
Déterminer le PGCD des nombres 770 et 198
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770 1983176198
1
176
2222
80
176
Le reste est nul.
D’où PGCD ( 770 ; 198 ) = 22
PGCD ( 770 ; 198 ) = PGCD ( 198 ; 176 )
PGCD ( 198 ; 176 ) = PGCD ( 176; 22)
Donc 22 est un diviseur de 176Donc PGCD ( 176 , 22 )= 22
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6° Définition.
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD = 1
Si le dénominateur et le numérateur sont premiers entre eux alors cette fraction est IRREDUCTIBLE
7° Rendre une fraction irréductible
a) Définition
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b) Réduire la fraction 221323
♦ On calcule le PGCD des nombres 323 et 221
323 221
1102
221 102
217
102 17
60
PGCD ( 323 ; 221 ) = 17
221323
= 17 x 1317 x 19
1319
= D’où
Fraction irréductible