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7/27/2019 Arena Ch5a Slides

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S i m u l a t i o n : K e y Q u e s t i o n s

W h a t a r e t h e c o m m o n m i s t a k e s i n

s i m u l a t i o n a n d w h y m o s t s i m u l a t i o n s f a i l ?

W h a t l a n g u a g e s h o u l d b e u s e d f o r

d e v e l o p i n g a s i m u l a t i o n m o d e l ?

W h a t a r e d i e r e n t t y p e s o f s i m u l a t i o n s ?

H o w t o s c h e d u l e e v e n t s i n a s i m u l a t i o n ?

H o w t o v e r i f y a n d v a l i d a t e a m o d e l ?

H o w t o d e t e r m i n e t h a t t h e s i m u l a t i o n h a s

r e a c h e d a s t e a d y s t a t e ?

H o w l o n g t o r u n a s i m u l a t i o n ?

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1


2/38

H o w t o g e n e r a t e u n i f o r m r a n d o m

n u m b e r s ?

H o w t o v e r i f y t h a t a g i v e n r a n d o m

n u m b e r g e n e r a t o r i s g o o d ?

H o w t o s e l e c t s e e d s f o r a r a n d o m n u m b e r

g e n e r a t o r s ?

H o w t o g e n e r a t e r a n d o m v a r i a b l e s w i t h a

g i v e n d i s t r i b u t i o n ?

W h a t d i s t r i b u t i o n s s h o u l d b e u s e d a n d

w h e n ?

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2


3/38

I n t r o d u c t i o n t o S i m u l a t i o n

T h e b e s t a d v i c e t o t h o s e a b o u t t o e m b a r k

o n a v e r y l a r g e s i m u l a t i o n i s o f t e n t h e

s a m e a s P u n c h ' s f a m o u s a d v i c e t o t h o s e

a b o u t t o m a r r y : D o n ' t !

{ B r a t e l y , F o x , a n d S c h r a g e ( 1 9 8 7 )

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3


4/38

C o m m o n M i s t a k e s i n S i m u l a t i o n

1 . I n a p p r o p r i a t e L e v e l o f D e t a i l M o r e d e t a i l

)M o r e t i m e

)M o r e B u g s

)M o r e

C P U)

M o r e p a r a m e t e r s 6= M o r e a c c u r a t e

2 . I m p r o p e r L a n g u a g e

G e n e r a l p u r p o s e

)M o r e p o r t a b l e , M o r e e c i e n t , M o r e

t i m e

3 . U n v e r i e d M o d e l s : B u g s

4 . I n v a l i d M o d e l s : M o d e l v s r e a l i t y

5 . I m p r o p e r l y H a n d l e d I n i t i a l C o n d i t i o n s

6 . T o o S h o r t S i m u l a t i o n s :

N e e d c o n d e n c e i n t e r v a l s

7 . P o o r R a n d o m N u m b e r G e n e r a t o r s :

S a f e r t o u s e a w e l l - k n o w n g e n e r a t o r

8 . I m p r o p e r S e l e c t i o n o f S e e d s :

Z e r o s e e d s , S a m e s e e d s f o r a l l s t r e a m s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 4


5/38

O t h e r C a u s e s o f S i m u l a t i o n A n a l y s i s

F a i l u r e

A n y g i v e n p r o g r a m , w h e n r u n n i n g , i s o b -

s o l e t e .

I f a p r o g r a m i s u s e f u l , i t w i l l h a v e t o b e

c h a n g e d .

P r o g r a m c o m p l e x i t y g r o w s u n t i l i t e x c e e d s

t h e c a p a c i t y o f t h e p r o g r a m m e r w h o m u s t

m a i n t a i n i t .

{ D a t a m a t i o n 1 9 6 8

A d d i n g m a n p o w e r t o a l a t e s o f t w a r e

p r o j e c t m a k e s i t l a t e r .

{ F r e d B r o o k s

1 . I n a d e q u a t e T i m e E s t i m a t e

2 . N o A c h i e v a b l e G o a l

3 . I n c o m p l e t e M i x o f E s s e n t i a l S k i l l s

( a ) P r o j e c t L e a d e r s h i p

( b ) M o d e l i n g a n d S t a t i s t i c s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 5


6/38

( c ) P r o g r a m m i n g

( d ) K n o w l e d g e o f t h e M o d e l e d S y s t e m

4 . I n a d e q u a t e L e v e l o f U s e r P a r t i c i p a t i o n

5 . O b s o l e t e o r N o n e x i s t e n t D o c u m e n t a t i o n

6 . I n a b i l i t y t o M a n a g e t h e D e v e l o p m e n t o f a

L a r g e C o m p l e x C o m p u t e r P r o g r a m N e e d

s o f t w a r e e n g i n e e r i n g t o o l s

7 . M y s t e r i o u s R e s u l t s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 6


7/38

C h e c k l i s t f o r S i m u l a t i o n s

1 . C h e c k s b e f o r e d e v e l o p i n g a s i m u l a t i o n :

( a ) I s t h e g o a l o f t h e s i m u l a t i o n p r o p e r l y s p e c i e d ?

( b ) I s t h e l e v e l o f d e t a i l i n t h e m o d e l a p p r o p r i a t e f o r t h e g o a l ?

( c ) D o e s t h e s i m u l a t i o n t e a m i n c l u d e p e r s o n n e l w i t h p r o j e c t

l e a d e r s h i p , m o d e l i n g , p r o g r a m m i n g , a n d c o m p u t e r

s y s t e m s b a c k g r o u n d s ?

( d ) H a s s u c i e n t t i m e b e e n p l a n n e d f o r t h e p r o j e c t ?

2 . C h e c k s d u r i n g d e v e l o p m e n t :

( a ) H a s t h e r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r u s e d i n t h e s i m u l a t i o n

b e e n t e s t e d f o r u n i f o r m i t y a n d i n d e p e n d e n c e ?

( b ) I s t h e m o d e l r e v i e w e d r e g u l a r l y w i t h t h e e n d u s e r ?

( c ) I s t h e m o d e l d o c u m e n t e d ?

3 . C h e c k s a f t e r t h e s i m u l a t i o n i s r u n n i n g :

( a ) I s t h e s i m u l a t i o n l e n g t h a p p r o p r i a t e ?

( b ) A r e t h e i n i t i a l t r a n s i e n t s r e m o v e d b e f o r e c o m p u t a t i o n ?

( c ) H a s t h e m o d e l b e e n v e r i e d t h o r o u g h l y ?

( d ) H a s t h e m o d e l b e e n v a l i d a t e d b e f o r e u s i n g i t s r e s u l t s ?

( e ) I f t h e r e a r e a n y s u r p r i z i n g r e s u l t s , h a v e t h e y b e e n

v a l i d a t e d ?

( f ) A r e a l l s e e d s s u c h t h a t t h e r a n d o m n u m b e r s t r e a m s w i l l

n o t o v e r l a p ?

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 7


8/38

T e r m i n o l o g y

S t a t e V a r i a b l e s :

D e n e t h e s t a t e o f t h e s y s t e m

C a n r e s t a r t s i m u l a t i o n f r o m s t a t e v a r i a b l e s

E . g . , l e n g t h o f t h e j o b q u e u e .

E v e n t :

c h a n g e i n t h e s y s t e m s t a t e .

E . g . , a r r i v a l ,

b e g i n n i n g o f a n e w e x e c u t i o n ,

d e p a r t u r e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 8


9/38

T y p e s o f M o d e l s

C o n t i n u o u s T i m e a n d D i s c r e t e T i m e

M o d e l s :

C P U s c h e d u l i n g m o d e l v s n u m b e r o f

s t u d e n t s a t t e n d i n g t h e c l a s s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 9


10/38

C o n t i n u o u s S t a t e a n d D i s c r e t e S t a t e

M o d e l s :

E x a m p l e : T i m e s p e n t b y s t u d e n t s i n a

w e e k l y c l a s s v s N u m b e r o f s t u d e n t s

D i s c r e t e s t a t e = D i s c r e t e e v e n t m o d e l

C o n t i n u o u s s t a t e = C o n t i n u o u s e v e n t

m o d e

C o n t i n u i t y o f t i m e 6= C o n t i n u i t y o f s t a t e

F o u r p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s :

d i s c r e t e s t a t e / d i s c r e t e t i m e

d i s c r e t e s t a t e / c o n t i n u o u s t i m e

c o n t i n u o u s s t a t e / d i s c r e t e t i m e

c o n t i n u o u s s t a t e / c o n t i n u o u s t i m e m o d e l s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 0


11/38

D e t e r m i n i s t i c a n d P r o b a b i l i s t i c M o d e l s :

S t a t i c a n d D y n a m i c M o d e l s :

C P U s c h e d u l i n g m o d e l v s E =

m c

2

.

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 1


12/38

L i n e a r a n d N o n l i n e a r M o d e l s :

O u t p u t = f n ( I n p u t )

O p e n a n d C l o s e d M o d e l s :

E x t e r n a l i n p u t )

o p e n

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 2


13/38

S t a b l e a n d U n s t a b l e M o d e l s :

S t a b l e )

S e t t l e s t o s t e a d y s t a t e U n s t a b l e

)C o n t i n u o u s l y c h a n g i n g .

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 3


14/38

C o m p u t e r s y s t e m m o d e l s

C o n t i n u o u s t i m e

D i s c r e t e s t a t e

P r o b a b i l i s t i c

D y n a m i c

N o n l i n e a r

O p e n o r c l o s e d

S t a b l e o r u n s t a b l e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 4


15/38

S e l e c t i n g a L a n g u a g e f o r S i m u l a t i o n

1 . S i m u l a t i o n l a n g u a g e

2 . G e n e r a l p u r p o s e

3 . E x t e n s i o n o f a g e n e r a l p u r p o s e l a n g u a g e

4 . S i m u l a t i o n p a c k a g e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 5


16/38

S i m u l a t i o n l a n g u a g e s

S a v e d e v e l o p m e n t t i m e

B u i l t - i n f a c i l i t i e s f o r t i m e a d v a n c i n g , e v e n t

s c h e d u l i n g , e n t i t y m a n i p u l a t i o n , r a n d o m

v a r i a t e g e n e r a t i o n , s t a t i s t i c a l d a t a

c o l l e c t i o n , a n d r e p o r t g e n e r a t i o n

M o r e t i m e f o r s y s t e m s p e c i c i s s u e s

V e r y r e a d a b l e m o d u l a r c o d e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 6


17/38

G e n e r a l p u r p o s e l a n g u a g e

A n a l y s t ' s f a m i l i a r i t y

E a s y a v a i l a b i l i t y

Q u i c k s t a r t u p

T i m e f o r r o u t i n e s f o r e v e n t h a n d l i n g ,

r a n d o m n u m b e r g e n e r a t i o n

O t h e r I s s u e s : E c i e n c y , e x i b i l i t y , a n d

p o r t a b i l i t y

R e c o m m e n d a t i o n : L e a r n a t l e a s t o n e

s i m u l a t i o n l a n g u a g e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 7


18/38

E x t e n s i o n o f a g e n e r a l p u r p o s e

l a n g u a g e

E x a m p l e s : G A S P ( f o r F O R T R A N )

C o l l e c t i o n o f r o u t i n e s t o h a n d l e s i m u l a t i o n

t a s k s

C o m p r o m i s e f o r e c i e n c y , e x i b i l i t y , a n d

p o r t a b i l i t y .

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 8


19/38

S i m u l a t i o n p a c k a g e s

E x a m p l e : Q N E T 4 , a n d R E S Q

I n p u t d i a l o g

L i b r a r y o f d a t a s t r u c t u r e s , r o u t i n e s , a n d

a l g o r i t h m s

B i g t i m e s a v i n g s

I n e x i b l e

)S i m p l i c a t i o n

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 1 9


20/38

T y p e s o f S i m u l a t i o n L a n g u a g e s

1 . C o n t i n u o u s s i m u l a t i o n l a n g u a g e s : C S M P ,

D Y N A M O

D i e r e n t i a l e q u a t i o n s

U s e d i n c h e m i c a l e n g i n e e r i n g

2 . D i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n l a n g u a g e s :

S I M U L A a n d G P S S

3 . C o m b i n e d : S I M S C R I P T a n d G A S P .

A l l o w d i s c r e t e , c o n t i n u o u s , a s w e l l a s

c o m b i n e d s i m u l a t i o n s .

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 0


21/38

T y p e s o f S i m u l a t i o n s

1 . E m u l a t i o n : U s i n g h a r d w a r e o r r m w a r e

E . g . , T e r m i n a l e m u l a t o r , p r o c e s s o r

e m u l a t o r

M o s t l y h a r d w a r e d e s i g n i s s u e s

2 . M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n

3 . T r a c e - D r i v e n S i m u l a t i o n

4 . D i s c r e t e E v e n t S i m u l a t i o n

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 1


22/38

M o n t e C a r l o m e t h o d O r i g i n : a f -

t e r C o u n t M o n t g o m e r y d e C a r l o , I t a l -

i a n g a m b l e r a n d r a n d o m - n u m b e r g e n e r -

a t o r ( 1 7 9 2 - 1 8 3 8 ) . ] A m e t h o d o f j a z z i n g

u p t h e a c t i o n i n c e r t a i n s t a t i s t i c a l a n d

n u m b e r - a n a l y t i c e n v i r o n m e n t s b y s e t t i n g

u p a b o o k a n d i n v i t i n g b e t s o n t h e o u t -

c o m e o f a c o m p u t a t i o n .

{ T h e D e v i l ' s D P D i c t i o n a r y

M c G r a w H i l l ( 1 9 8 1 )

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 2


23/38

M o n t e C a r l o S i m u l a t i o n

S t a t i c s i m u l a t i o n ( N o t i m e a x i s )

T o m o d e l p r o b a b i l i s t i c p h e n o m e n o n

N e e d p s e u d o r a n d o m n u m b e r s

U s e d f o r e v a l u a t i n g n o n p r o b a b i l i s t i c

e x p r e s s i o n s u s i n g p r o b a b i l i s t i c m e t h o d s .

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 3


24/38

M o n t e C a r l o : E x a m p l e

I =

Z

2

0

e

; x

2

d x

x U n i f o r m ( 0

2 )

D e n s i t y f u n c t i o n f ( x

) =

1

2

i 0 x 2

y= 2

e

; x

2

E ( y) =

Z

2

0

2 e

; x

2

f ( x )d x

=

Z

2

0

2 e

; x

2

1

2

d x

=

Z

2

0

e

; x

2

d x

= I

x

i

U n i f o r m ( 0

2 )

y

i

= 2e

; x

2

i

I = E ( y) =

1

n

n

X

i = 1

y

i

2 e

; x

2

i

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 4


25/38

T r a c e - D r i v e n S i m u l a t i o n

T r a c e = t i m e o r d e r e d r e c o r d o f e v e n t s o n a

s y s t e m

T r a c e - d r i v e n s i m u l a t i o n = t r a c e i n p u t

U s e d i n a n a l y z i n g o r t u n i n g r e s o u r c e

m a n a g e m e n t a l g o r i t h m s

P a g i n g , c a c h e a n a l y s i s , C P U s c h e d u l i n g ,

d e a d l o c k p r e v e n t i o n

d y n a m i c s t o r a g e a l l o c a t i o n

E x a m p l e : T r a c e = P a g e r e f e r e n c e p a t t e r n s

S h o u l d b e i n d e p e n d e n t o f t h e s y s t e m

u n d e r s t u d y

E . g . , t r a c e o f p a g e s f e t c h e d d e p e n d s u p o n

t h e w o r k i n g s e t s i z e a n d p a g e r e p l a c e m e n t

p o l i c y

N o t g o o d f o r s t u d y i n g o t h e r p a g e

r e p l a c e m e n t p o l i c i e s

B e t t e r t o u s e p a g e s r e f e r e n c e d

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 5


26/38

A d v a n t a g e s o f t r a c e - d r i v e n

s i m u l a t i o n s

1 . C r e d i b i l i t y

2 . E a s y V a l i d a t i o n :

C o m p a r e s i m u l a t i o n w i t h m e a s u r e d

3 . A c c u r a t e W o r k l o a d :

M o d e l s c o r r e l a t i o n a n d i n t e r f e r e n c e

4 . D e t a i l e d T r a d e - O s :

D e t a i l e d w o r k l o a d )

C a n s t u d y s m a l l

c h a n g e s i n a l g o r i t h m s

5 . L e s s R a n d o m n e s s :

T r a c e )

d e t e r m i n i s t i c i n p u t )

F e w e r

r e p e t i t i o n s

6 . F a i r C o m p a r i s o n : B e t t e r t h a n r a n d o m

i n p u t

7 . S i m i l a r i t y t o t h e A c t u a l I m p l e m e n t a t i o n :

T r a c e - d r i v e n m o d e l i s s i m i l a r t o t h e

s y s t e m

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 6


27/38

)C a n u n d e r s t a n d c o m p l e x i t y o f

i m p l e m e n t a t i o n

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 7


28/38

D i s a d v a n t a g e s o f t r a c e - d r i v e n

s i m u l a t i o n s

1 . C o m p l e x i t y : M o r e d e t a i l e d

2 . R e p r e s e n t a t i v e n e s s :

W o r k l o a d c h a n g e s w i t h t i m e , e q u i p m e n t

3 . F i n i t e n e s s :

F e w m i n u t e s l l u p a d i s k

4 . S i n g l e P o i n t o f V a l i d a t i o n :

O n e t r a c e = o n e p o i n t

5 . D e t a i l

6 . T r a d e - O :

D i c u l t t o c h a n g e w o r k l o a d

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 8


29/38

D i s c r e t e E v e n t S i m u l a t i o n s

C o n c e n t r a t i o n o f a c h e m i c a l s u b s t a n c e

)C o n t i n u o u s e v e n t s i m u l a t i o n s

N u m b e r o f j o b s )

D i s c r e t e e v e n t

D i s c r e t e s t a t e 6= d i s c r e t e t i m e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 2 9


30/38

C o m p o n e n t s o f D i s c r e t e E v e n t

S i m u l a t i o n s

1 . E v e n t S c h e d u l e r

( a ) S c h e d u l e e v e n t X

a t t i m e T .

( b ) H o l d e v e n t X

f o r a t i m e i n t e r v a l d t.

( c ) C a n c e l a p r e v i o u s l y s c h e d u l e d e v e n t X .

( d ) H o l d e v e n t X

i n d e n i t e l y

( e ) S c h e d u l e a n i n d e n i t e l y h e l d e v e n t .

2 . S i m u l a t i o n C l o c k a n d a T i m e A d v a n c i n g

M e c h a n i s m

( a ) u n i t - t i m e a p p r o a c h

( b ) e v e n t - d r i v e n a p p r o a c h

3 . S y s t e m S t a t e V a r i a b l e s

G l o b a l = N u m b e r o f j o b s

L o c a l = C P U t i m e r e q u i r e d f o r a j o b

4 . E v e n t R o u t i n e s : O n e p e r e v e n t .

E . g . , j o b a r r i v a l s , j o b s c h e d u l i n g , a n d j o b

d e p a r t u r e

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 0


31/38

5 . I n p u t R o u t i n e s : G e t m o d e l p a r a m e t e r s

V e r y p a r a m e t e r s i n a r a n g e .

6 . R e p o r t G e n e r a t o r

7 . I n i t i a l i z a t i o n R o u t i n e s :

S e t t h e i n i t i a l s t a t e . I n i t i a l i z e s e e d s .

8 . T r a c e R o u t i n e s : O n / o f e a t u r e

9 . D y n a m i c M e m o r y M a n a g e m e n t : G a r b a g e

c o l l e c t i o n

1 0 . M a i n P r o g r a m

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 1


32/38

E v e n t - S e t A l g o r i t h m s

E v e n t S e t = O r d e r e d l i n k e d l i s t o f f u t u r e

e v e n t n o t i c e s

I n s e r t v s E x e c u t e n e x t

1 . O r d e r e d L i n k e d L i s t : S I M U L A , G P S S ,

a n d G A S P I V

S e a r c h f r o m l e f t o r f r o m r i g h t

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 2


33/38

2 . I n d e x e d L i n e a r L i s t :

A r r a y o f i n d e x e s )

N o s e a r c h t o n d t h e

s u b l i s t

F i x e d o r v a r i a b l e t

O n l y t h e r s t l i s t i s k e p t s o r t e d

3 . c a l e n d a r q u e u e s : A l l e v e n t s o f J a n 1 o n

o n e p a g e . 1 9 9 5 o r 1 9 9 6 .

4 . T r e e S t r u c t u r e s : B i n a r y t r e e )

l o g

2

n

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 3


34/38

5 . h e a p : e v e n t i s a n o d e i n b i n a r y t r e e

U p t o t w o c h i l d r e n

E v e n t t i m e f o r e a c h n o d e i s s m a l l e r t h a n

t h a t o f i t s c h i l d r e n

)R o o t i s n e x t

H e a p c a n b e s t o r e d a s a r r a y s

C h i l d r e n o f n o d e i n p o s i t i o n i

a r e i n

p o s i t i o n s 2 i

a n d 2 i

+ 1

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 4


35/38

6 .k

- a r y h e a p s : k

- a r y t r e e s

0 - 2 0 e v e n t s : S i m p l e l i n k e d l i s t

2 0 - 1 2 0 e v e n t s : I n d e x l i n e a r

1 2 0 + e v e n t s : H e a p s

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 5


36/38

E x e r c i s e 2 4 . 1

F o r e a c h o f t h e f o l l o w i n g m o d e l s , i d e n t i f y a l l

c l a s s i c a t i o n s t h a t a p p l y t o i t :

1 .y ( t

) =t

+ 0: 2

2 .y ( t

) =t

2

3 .y ( t

+ 1 ) = y ( t

) + , i s n o t a n i n t e g e r .

4 .n ( t

+ 1 ) = 2 n ( t

) + 3

5 .y ( t

) = s i n(

w t)

6 . y ( t

+ 1 ) = y ( t

) +

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 6


37/38

E x e r c i s e 2 4 . 2

W h i c h t y p e o f s i m u l a t i o n w o u l d y o u u s e f o r

t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s :

1 . T o m o d e l d e s t i n a t i o n a d d r e s s r e f e r e n c e

p a t t e r n s i n a n e t w o r k t r a c , g i v e n t h a t

t h e p a t t e r n d e p e n d s u p o n a l a r g e n u m b e r

o f f a c t o r s .

2 . T o m o d e l s c h e d u l i n g i n a m u l t i p r o c e s s o r

s y s t e m , g i v e n t h a t t h e r e q u e s t a r r i v a l s

h a v e a k n o w n d i s t r i b u t i o n .

3 . T o d e t e r m i n e t h e v a l u e o f

c

1 9 9 4 R a j J a i n 2 4 . 3 7


38/38

E x e r c i s e 2 4 . 3

W h a t i s u n i t - t i m e a p p r o a c h a n d w h y i s i t

n o t g e n e r a l l y u s e d ?

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