ÁREAS LATERALES TOTALES Y VOLUMENES DE

PIRAMIDE

ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que

une la base con el vértice.

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de

cualquiera de sus caras laterales.

Aristas laterales. Son las que concurren en el vértice. Aristas básicas. Son las aristas de la base.

Fórmula para calcular la Apotema de la pirámide 𝐴𝑝=ℎ2+𝑎𝑝2

2

ÁREA LATERAL:

𝑃𝑏=𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝐴𝑙=

𝑃𝑏.𝐴𝑝

2

ÁREA TOTAL.

𝐴𝑏 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏

VOLUMEN: 𝑉 =𝐴𝑏𝑥ℎ

3

Ejemplos.

1. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide cuadrangular de lado 10cm, de apotema

principal 13cm y de altura 12cm.

Área lateral: 𝐴𝑙 =𝑃𝑏𝑥𝐴𝑝

2=

4𝑥10𝑐𝑚𝑥13𝑐𝑚

2=

520𝑐𝑚2

2= 260𝑐𝑚2

Área de la base: 𝐴 = 𝑙2=(10𝑐𝑚)2 =100𝑐𝑚2

Área total = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 = 260𝑐𝑚2 + 100𝑐𝑚2 = 360𝑐𝑚2

Volumen: 𝑉 =𝐴𝑏𝑥ℎ

3=

100𝑐𝑚2𝑥12𝑐𝑚

3=

1200𝑐𝑚3

3= 400𝑐𝑚3

2. Hallar el área lateral, total y volumen de una pirámide hexagonal de 16cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

Apotema : 282 = 𝐴𝑝2 + 82

784 = 𝐴𝑝2 + 64 784 − 64 = 𝐴𝑝

2

720 =𝐴𝑝2 √720 = 𝐴𝑝 26.83 = 𝐴𝑝

. Área lateral: 𝐴𝑙 =𝑃𝑏𝑥𝐴𝑝

2=

6𝑥16𝑐𝑚𝑥26,83𝑐𝑚

2=

2575.68𝑐𝑚2

2=

1287,84𝑐𝑚2

Apotema de la base: 162 = 𝑎𝑝2 + 82

256 = 𝑎𝑝2 + 64 256 − 64 = 𝑎𝑝

2

192 = 𝑎𝑝2 √192 = 𝑎𝑝 13,86 = 𝑎𝑝

Área de la base:

𝐴𝑏 =𝑃𝑥𝑎𝑝

2=

6𝑥16𝑐𝑚𝑥13,86𝑐𝑚

2=

1330,56𝑐𝑚2

2=

665,28𝑐𝑚2

Área total = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 = 1287,84𝑐𝑚2 + 6𝑥16𝑐𝑚𝑥13,86𝑐𝑚

2= 1287,84𝑐𝑚2 +

665,28𝑐𝑚2 = 1953,12𝑐𝑚2

Altura de la pirámide: (26,83)2 =

(13,86)2 + ℎ2 719,84 − 192,09 = ℎ2

527,75 = ℎ2 √527,75 = ℎ 22,97 = ℎ

Volumen: 𝑉 =𝐴𝑏𝑥ℎ

3=

665,28𝑐𝑚2𝑥22,97𝑐𝑚

3=

15281,48𝑐𝑚3

3= 5093,83𝑐𝑚3

CILINDRO

Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados

ELEMENTOS

EJE: Es el lado fijo alrededor del cual gira el

rectángulo

GENERATRIZ: Es el lado opuesto al eje, y es el

lado que engendra el cilindro.

BASES: Son los círculos que engendran los

lados perpendiculares al eje.

ALTURA: Es la distancia entre las dos bases,

esta distancia es igual a la generatriz.

r = radio g = Generatriz h = Altura

Área lateral: 𝐴𝑙 = 2𝜋𝑟𝑥ℎ

Área de las bases (2 círculos): 𝐴𝑏=2𝜋𝑟2

Área total = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=2𝜋𝑟𝑥ℎ+2𝜋𝑟2

Volumen: 𝑉 = 𝐴𝑏𝑥ℎ = 𝜋𝑟2𝑥ℎ

EJEMPLOS:

1. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 10cm y de altura

el doble del radio.

R= 10cm, h = 2R = 2x10cm = 20cm.

𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2x𝜋x10cmx20cm = 400𝜋𝑐𝑚2 𝐴𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(10𝑐𝑚)2=2𝜋𝑥100𝑐𝑚2=200𝜋𝑐𝑚2

Área total : 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=400𝜋𝑐𝑚2+200𝜋𝑐𝑚2=600𝜋𝑐𝑚2 Volumen: 𝑉 = 𝐴𝑏𝑥ℎ = 𝜋𝑟2𝑥ℎ = 𝜋(10𝑐𝑚)2𝑥20𝑐𝑚 = 𝜋𝑥100𝑐𝑚2𝑥20𝑐𝑚 = 2000𝜋𝑐𝑚3

2. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de diámetro 5√2cm y de

altura 10√2𝑐𝑚.

D = 2r , 𝑟 =𝐷

2=

5√2

2𝑐𝑚

𝐷

2= 𝑟

𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2𝜋 5√2

2𝑐𝑚𝑥10√2𝑐𝑚 =

2𝜋𝑥5𝑥10𝑥√22𝑐𝑚2

2=

100𝜋𝑥2𝑐𝑚2

2= 100𝜋𝑐𝑚2

𝐴𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(

5√2

2𝑐𝑚)

2

=2𝜋𝑥(52√22)

22 𝑐𝑚2=2𝜋25𝑥2

4𝑐𝑚2=

100𝜋

4𝑐𝑚2=25𝜋𝑐𝑚2

Área total : 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=100𝜋𝑐𝑚2+25𝜋𝑐𝑚2=125𝜋𝑐𝑚2

Volumen: 𝑉 = 𝐴𝑏𝑥ℎ = 𝜋𝑟2𝑥ℎ = 𝜋 (5√2

2𝑐𝑚)

2

𝑥10√2𝑐𝑚 = 𝜋(52√22)

22 𝑐𝑚2𝑥10√2𝑐𝑚 =

𝜋25𝑥2

4𝑐𝑚2𝑥10√2𝑐𝑚 =

100𝜋

4𝑐𝑚2𝑥10√2𝑐𝑚 = 250√2𝜋𝑐𝑚3

3. Hallar el área lateral, total y volumen de un cilindro que tiene de radio 2bcm y de altura

11bcm. 𝐴𝑙= 2𝜋𝑟𝑥ℎ = 2𝜋 𝑥2𝑏𝑐𝑚𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 44𝑏2𝜋𝑐𝑚2

𝐴𝑏=2𝜋𝑟2=2𝑥𝜋(2𝑏𝑐𝑚)2=2𝜋𝑥4𝑏2𝑐𝑚2=8𝑏2𝜋𝑐𝑚2

Área total : 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=44𝑏2𝜋𝑐𝑚2+8𝑏2𝜋𝑐𝑚2=52𝑏2𝜋𝑐𝑚2 Volumen: 𝑉 = 𝐴𝑏𝑥ℎ = 𝜋𝑟2𝑥ℎ = 𝜋𝑥(2𝑏𝑐𝑚)2𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 4𝑏2𝜋𝑐𝑚2𝑥11𝑏𝑐𝑚 = 44𝑏3𝜋𝑐𝑚3

CONO

Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de

uno de sus catetos.

ELEMENTOS

Eje: Es el cateto f i jo alrededor del cual gira el triángulo. Base: Es el círculo que forma el otro cateto. Generatriz : Es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Altura: Es la distancia del vértice a la base.

r = radio g = Generatriz h = Altura

Teorema de Pitágoras, para hallar generatriz

𝑔2 = ℎ2 + 𝑟2

Área lateral: 𝐴𝑙 = 𝜋𝑥𝑟𝑥𝑔

Área de las bases (círculos): 𝐴𝑏=𝜋𝑟2

Área total = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=𝜋𝑥𝑟𝑥𝑔+𝜋𝑟2

Volumen: 𝑉 =𝐴𝑏𝑥ℎ

3=

𝜋𝑟2𝑥ℎ

3

Ejemplos

1. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? Datos r = 15cm, g = 25cm Área lateral: 𝐴𝑙 = 3,14𝑥15𝑐𝑚𝑥25𝑐𝑚 = 1177,5𝑐𝑚2

Total de Cartón= 10x1177,5𝑐𝑚2=11775𝑐𝑚2

2. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm. Datos r = 5cm, g = 13cm h = ? Área lateral: 𝐴𝑙 = 3,14𝑥5𝑐𝑚𝑥13𝑐𝑚 = 204,1𝑐𝑚2

Área de las bases (círculos): 𝐴𝑏=𝜋𝑟2=3.14𝑥(5𝑐𝑚)2=3,14𝑥25𝑐𝑚2=78,5𝑐𝑚2

Área total = 𝐴𝑡 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏=204,1𝑐𝑚2+78,5𝑐𝑚2=282,6𝑐𝑚2 Falta h = Teorema de Pitágoras. 𝑔2 = ℎ2 + 𝑟2 → 132 = ℎ2 + 52 → 169 = ℎ2 + 25 →

169 − 25 = ℎ2 → 144 = ℎ2 → √144 = ℎ → ℎ = 12𝑐𝑚

Volumen: 𝑉 =𝐴𝑏𝑥ℎ

3=

3.14𝑥(5𝑐𝑚)2𝑥12𝑐𝑚

3=

3,14𝑥25𝑐𝑚2𝑥12𝑐𝑚

3=

942𝑐𝑚3

3= 314𝑐𝑚3

ESFERA Superficie esférica: Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro. Esfera: Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

ELEMENTOS

Centro: Punto interior que

equidista de cualquier

punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro

a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une

dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa

por el centro.

Polos: Son los puntos del

eje de giro que quedan

sobre la superficie esférica.

Área total: 𝐴𝑡 = 4𝜋𝑟2

Volumen: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

CIRCUNFERENCIAS EN UNA ESFERA

Paralelos: circunferencias obtenidas al cortar la superf icie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución. Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene a l centro de la esfera. Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superf icie esférica con planos que contienen el eje de revolución.

Ejemplos.

1. Hallar el área y el volumen de una esfera de radio 20cm.

Área total: 𝐴𝑡 = 4𝜋𝑟2 = 4𝑥3.14𝑥(20𝑐𝑚)2 = 4𝑥3.14𝑥400𝑐𝑚2 = 5024𝑐𝑚2

Volumen: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3 =

4

3𝑥3.14𝑥(20𝑐𝑚)3 =

4

3𝑥3.14𝑥400𝑐𝑚3 =

5024

3𝑐𝑚3

= 1674,6𝑐𝑚3 2. Calcular el volumen de una semiesfera de 10cm de radio.

Volumen: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3 =

4

3𝑥3.14𝑥(10𝑐𝑚)3 =

4

3𝑥3.14𝑥100𝑐𝑚3 =

1256

3𝑐𝑚3

= 418.6𝑐𝑚3

Volumen de la semiesfera = 𝑉

2=

418.6

2𝑐𝑚3 = 209,3𝑐𝑚3

3. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cil indro de 2 m de altura.

4. Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

Área total: 𝐴𝑡 = 4𝜋𝑟2 =4𝑥3.14𝑥(1𝑚)2 = 4𝑥3.14𝑥1𝑚2 =12,56𝑚2

Volumen: 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

=4

3𝑥3.14𝑥(1𝑚)3

=4

3𝑥3.14𝑥1𝑐𝑚3 =

12,56

3𝑐𝑚3

= 4,18𝑐𝑚3

DATOS

Radio de la esfera 35cm

Distancia del plano al

centro de la esfera 21cm

Radio del círculo no se

conoce.

Por Pitágoras

352 = 212 + 𝑟2 1225 = 441 + 𝑟2 1225 − 441 = 𝑟2

784 = 𝑟2

√784 = 𝑟

28 =r

𝐴=𝜋𝑟2=3.14𝑥(28𝑐𝑚)2=3,14𝑥784𝑐𝑚2

=2461,76𝑐𝑚2

TALLER

1. En la figura hallar. Área lateral, total y

volumen del cilindro y de la esfera.

Que cantidad de volumen queda en el

cilindro sin ocupar por la esfera.

2. Si R=5cm, x= 4cm

Hallar: Área latera, total, volumen de la

esfera y del cono

3. En la figura hallar. Área lateral, total y

volumen del cubo y del cono.

Que cantidad de volumen queda en el

cubo sin ocupar por el cono.

4. En la figura. Hallar Área lateral, total y

volumen.

5. En la figura. Hallar d= , D= , el área

latera, el área total, el volumen y el área

del triángulo formado por las diagonales.

6. En la figura: Hallar área de la esfera,

volumen, área de circulo de radio R, área

del circulo de radio r, si R= 13cm, d=5cm

7. En la figura: hallar el volumen de

papel.

8. En la figura; Hallar el área total y el

volumen total.

9. En la figura: Hallar área lateral, total,

volumen de la esfera y del cilindro.

Que cantidad de volumen queda en el

cilindro sin ocupar por la esfera.

10. En cada una de las siguientes figuras:

Hallar el área lateral, total y volumen

11.

12.

13.

14.

.