NOME:_________________________________ Nº:____

PROF.:__________________________ TURMA: _______

Cada Vez Menor 1

M. C. Escher,1940

DESEN

HO

9

º a

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-

En

sin

o F

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da

me

nta

l II

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS HUMAITÁ II

DEPARTAMENTO DE DESENHO

2020

2

Organização e método de estudo .......................................................

Divisão de segmentos ...................................................................................

Razão e proporção ..........................................................................................

Segmentos proporcionais .............................................................................

- Quarta proporcional .................................................................................

- Terceira proporcional...............................................................................

- Média geométrica ou média proporcional ...............................................

- Proporção áurea .....................................................................................

- Retângulo áureo .....................................................................................

Retificação da circunferência ......................................................................

Desretificação da circunferência .........................................................

Equivalência de triângulos .....................................................................

Equivalência de figuras quaisquer.................................................................

Transformações pontuais.............................................................................

Homotetia ....................................................................................................

Sólidos Geométricos – Planificação...............................................................

Perspectiva Cônica.....................................................................................

Índice

03

07

08

13

13

16

17

20

22

23

24

25

26

28

33

XX

XX

ESTA APOSTILA ESTÁ EM PROCESSO DE DIGITALIZAÇÃO E ATUALIZAÇÃO – ÍNDICE

EM CONSTRUÇÃO.

3

ORGANIZAÇÃO E MÉTODO DE ESTUDO

Para iniciar um estudo, seja ele qual for, você precisa estar atento a algumas dicas de como otimizar seu

tempo e melhorar na concentração.

DICAS IMPORTANTES

• Mantenha um plano de estudos, organizando seus horários, ainda que pouco, mas com consistência e

perseverança;

• Antes de começar a estudar, verifique se o que você precisará está à mão (anotações, livros e

instrumentos necessários);

• Procure fazer pausas a cada 50min de estudos;

• Crie o hábito de fazer resumos e esquemas. Isso irá ajudá-lo a fixar o aprendizado.

• Ao terminar de ler, imagine-se tendo que explicar o assunto para alguém. Como você faria???

• Estudo é disciplina e perseverança. Assim como uma atividade física, ele pode começar com um pequeno

tempo e, gradativamente, ir aumentando até impor um ritmo adequado à sua realidade.

• Há várias dicas em sites e livros tratando desse tema. Busque mais informações.

• E lembre-se:

“O êxito na vida não se mede pelo que

você conquistou, mas pelas dificuldades

que superou no caminho”.

(Abraham Lincoln)

SOLUCIONANDO PROBLEMAS

Em Desenho, quando estudamos os lugares geométricos, vimos o quanto é importante saber interpretar

o problema para encontrar a solução. Para o estudo dos conteúdos desta série, você precisará ter em

mente as etapas envolvidas:

1º Momento: Leitura do enunciado (interpretação)

O que se deseja obter?

Quais são os dados?

3º Momento: Descoberta (“ginástica mental”)

Caminho para se chegar à resposta.

A partir dos dados e de determinadas

propriedades.

2º Momento: Rascunho/Figura de análise

Esboce/Rascunhe

Reúna as informações.

5º Momento: Construção

Por fim, o traçado com os instrumentos.

Medidas corretas.

4º Momento: Roteiro

A análise, a organização das informações.

Utilização da linguagem simbólica (notação

específica).

4

CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS NOTÁVEIS COM RÉGUA E COMPASSO

Ângulo de 450

V A

B C

⬧ Construa um ângulo de 900 e trace sua

bissetriz VC.

med(AVC) = 450.

Ângulo de 900

V A B

C

⬧ Com centro em V e abertura qualquer do

compasso, trace um arco determinando A e B.

Determine C, interseção dos arcos de centro em

A e B, com raio maior que dist(B; V).

med(AVC) = med(BVC) = 900.

Ângulo de 600

V A

B

⬧ Obtenha A traçando o arco de centro em V,

com abertura qualquer do compasso. Com centro

em A e raio VA, determine B. Trace VB.

med(AVB) = 600.

Ângulo de 300

V A

B

C

⬧ Construa um ângulo de 600 e trace sua

bissetriz VC.

med(AVC) = 300.

CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Fixo Fixo

Móvel

1) Traçado de paralelas com o par de esquadros

+ P + P + P

2) Traçado de perpendiculares com o par de esquadros

Fixo Fixo

5

ALFABETO GREGO MINÚSCULO

- alfa - eta - ni - tau

- beta - teta - csi - ípsilon

- gama - iota -ômicron - fi

- delta - capa - pi - qui

- épsilon - lambda - rô - psi

- dzeta - mi - sigma - ômega

5) Transporte de ângulo

V A

B

V’ A’

B’

r V’ A’ r

1º) Abertura qualquer

2º) Mesma abertura

Ângulo dado Ângulo Transportado

3º) dist.(A;B)

4) Construção da bissetriz de um ângulo.

C

A

B

V

C

A

B

V A

B

V

1º) Abertura qualquer

2º) Abertura maior que a inicial

A B

3) Construção da mediatriz de um segmento de reta.

A B

1

2 Abertura maior que

a metade de AB

M A B

mtz

6

GLOSSÁRIO DE DESENHO GEOMÉTRICO – 9º ANO

A, B, C... Pontos (qualquer letra maiúscula)

a, b, c... Retas (qualquer letra minúscula)

, , ... Planos (qualquer letra minúscula do alfabeto grego)

AB Reta que passa pelos pontos A e B

AB Semirreta de origem no ponto A e que passa por B

A Semirreta de origem no ponto A

AB Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B

med (AB) Medida do segmento de reta de extremidades A e B

A Ângulo com vértice no ponto A

BAC Ângulo com vértice em A e lados AB e AC

ab Ângulo determinado pelas retas a e b

med(BAC) Medida do ângulo com vértice em A e lados AB e AC

= 450 A medida do ângulo, representado por , é 45 graus

dist(A; B) Distância entre os pontos A e B

dist(A; r) Distância do ponto A à reta r

dist(r; s) Distância entre as retas r e s

r // s A reta r é paralela à reta s

r s A reta r é concorrente com a reta s

r ⊥ s A reta r é perpendicular à reta s

r s A reta r é oblíqua à reta s

r s A reta r é coincidente com a reta s

A F O ângulo A é congruente ao ângulo F

AB Arco de extremidades nos pontos A e B

A r O ponto A pertence à reta r

A r O ponto A não pertence à reta r

r A reta r está contida no plano

s A reta s não está contida no plano

ABC Triângulo com vértices nos pontos A, B e C

Ângulo de 900

⊥ (r; P) Perpendicular à reta r, passando pelo ponto P

Circ (O; r) Circunferência de centro em O e raio de medida r

Mtz (AB) Mediatriz do segmento de extremidades A e B

// (r; d) Par de paralelas à reta r, com distância d

Btz (ab) Par de bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas a e b

Ac (AB; 600) Par de arcos capazes de ver o segmento AB sob um ângulo de 60 graus

L.G. Lugar geométrico

Material de estudo elaborado pela prof.ª Sonia Sá – UESCII – 2011.

Referências:

Jorge, Sonia. Desenho geométrico – ideias e imagens. Vol. 4. 3 ed. São Paulo: Saraiva, 2003.

Marmo, Carlos & Nicolau. Desenho geométrico. Vol. 1. São Paulo: Scipione, 1994. p 47.

Pinto, Nilda Helena S. Correa. Desenho geométrico. Vol. 4. 1 ed. São Paulo: Moderna, 1991.

7

DIVISÃO DE SEGMENTOS

A divisão de um segmento em qualquer número de partes baseia-se no Teorema de Thales, que diz:

“Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer segmentos proporcionais”.

Exercícios

2. Dividir o segmento CD em 7 partes iguais.

3. Determinar o segmento de reta CE que representa 2/5 do segmento CD.

C D

A B

1. Dividir o segmento AB em 3 partes iguais.

C D

A razão ABതതതത

BCതതതത é igual à DEതതതത

EFതതത , pois: 2x

4x =

2y

4y →

2

4 =

2

4

Como há uma igualdade, essas razões são

proporcionais. Temos, também:

ACതതതതത

ABതതതത =DFതതതത

DEതതതത ou BCതതതത

ACതതതതത = EFതതത

DFതതതത

8

Se precisarmos fazer mais panquecas aumentamos a quantidade dos ingredientes na mesma

proporção. No exemplo acima, aumentamos 3 vezes.

Vamos comparar as quantidades dos ingredientes da receita.

Margarina: 3

1 3 k = 3 farinha e leite:

6

2 k = 3 ovos:

9

3 k = 3

Observando as razões, percebemos que há uma igualdade. Essas razões são proporcionais.

3

1 =

6

2 =

9

3

RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão entre dois números indica quantas vezes um número está contido no outro.

Exemplo: 8

2 = 4 → k = 4 k é a razão entre os dois números

➢ Propriedade fundamental das proporções

➢ Segmentos proporcionais

Atenção! Os meios podem trocar suas posições, mas devem continuar sendo meios. Se uma

grandeza que é meio for trocada para a posição de extremo, a proporção transformar-se-á

totalmente. O mesmo vale para os extremos.

Quando quatro segmentos têm a mesma unidade de medida e seus valores numéricos formam

uma proporção (há uma igualdade de razões) eles são chamados de segmentos proporcionais.

A B

D C

E F

G H

8

4

6

3

ABതതതത está para CDതതതതത, assim como EFതതത está para GHതതതതത.

ABതതതത contém CDതതതതത o mesmo número de vezes que EFതതത contém GHതതതതത.

6 x 3 = 2 x 9

meios extremos

UMA RECEITA DE PANQUECA

1 tablete de margarina derretida

2 copos de farinha de trigo

2 copos de leite

3 ovos

TRÊS RECEITAS DE PANQUECA

3 tabletes de margarina derretida

6 copos de farinha de trigo

6 copos de leite

9 ovos

ABതതതത

CDതതതതത = EFതതത

GHതതതതത → 8

4 =

6

3

9

1. Dividir graficamente o segmento AB em partes

proporcionais aos números 2, 3 e 4.

A B

3. Dividir graficamente o segmento EF em

partes proporcionais aos segmentos de medidas

a, b e c.

F E

a b c

Exercícios

4. Dividir graficamente o segmento AB em 2

partes de maneira que a primeira seja 2/3 da

segunda.

A B

2. Represente a circunferência de raio igual a

4/7 do segmento BC.

B C

10

B A

5. Traçar o retângulo MNPQ, cujo perímetro é igual à medida de ABതതതത, sabendo que a razão entre

a altura e a base é igual a 2/3. Resolução gráfica.

A

B C

D

6. Dado o quadrado ABCD, construa o triângulo equilátero EFG sabendo que ambos têm o

mesmo perímetro.

Resolução gráfica

M

N

P

L

A

B C

D

7. Divida o losango ABCD em faixas proporcionais às do losango LMNP. Resolução gráfica.

11

➢ DESAFIOS

Comprimento da escada

8. Observe a representação em perspectiva da escada ao

lado. Ela representa parte de uma escada, a parte

destacada apresenta 2 patamares (início e fim), e 3

degraus. Agora, represente a divisão desta escada no

retângulo abaixo (seguindo a sequência apresentada

na representação ao lado), sabendo que:

- O patamar corresponde a medida de 3 degraus.

Patamar

Imagem retirada da apostila de desenho

arquitetônico 2 (Un. Estácio de Sá):

disponível

em:http://www.monasterio.com.br/Clelia

Blog/2017/1oSEM2017/DA2/DA2-2017-1-

aula5.pdf

Soma das janelas e distâncias entre elas (t)

Imagem disponível em:

https://www.decorfacil.com/grades-para-janelas/

t

9. Dado o segmento t (soma das janelas e distâncias entre elas), represente graficamente a

proporção entre as janelas e o espaço entre elas. Sabendo que a distância entre as janelas

mede 1 2⁄ da medida da largura da janela.

12

Dado segmento p, represente a proporção entre portas e colunas. Sendo p a soma das larguras

das portas e colunas.

Fachada do Museu Nacional - ilustração de Karina Kuschnir - disponível em:

https://karinakuschnir.wordpress.com/2018/09/13/museu-nacional-ufrj-1818/

9. Observe a representação da fachada do Museu Nacional.

• A parte destacada, apresenta as três portas principais do museu e as colunas que

as delimitam.

• As colunas mais largas e as portas possuem a mesma proporção. As colunas mais

estreitas (entre as portas) apresentam 2

3 da medida da porta.

p

13

1a solução

a

b=

c

x

2a solução

b

a=

c

y

3a solução

c

a=

b

z

Se o problema não indicar a proporção

considere a ordem em que se apresentam

os segmentos dados.

- Esse tipo de problema admite três soluções

Exercícios

1. a) Conhecendo os segmentos de medidas a, b e c, determine graficamente o segmento x.

a = 25 mm

b = 30 mm

c = 15 mm

a

b =

c

x

SEGMENTOS PROPORCIONAIS

➢ Quarta proporcional

- Em Matemática, a 4a proporcional é o quarto termo que define uma proporção.

- Em Desenho, teremos três segmentos e vamos achar um segmento que será o 4o termo da

proporção.

10

5 =

4

x → 10 . x = 4 . 5 → 10 . x = 20 → x = 2

a

b =

c

x

14

1. b) Determine graficamente o segmento x, mudando a proporção. Não esqueça de

mencionar qual é a proporção. (Use as medidas de a, b, e c do exercício 1.a))

=

x

=

x

B

D

A

C

35 mm

20 mm

S R

P Q

12 mm

x

2. Sabendo que a altura e a base do retângulo ABCD são proporcionais à altura e à base do

retângulo PQRS, calcule graficamente a medida de PQ.

15

3. Determine graficamente a quarta

proporcional entre os lados do retângulo e

a sua diagonal na ordem de medida do

menor para o maior.

4. Construa um triângulo equilátero PQR sabendo

que seu lado equivale a quarta proporcional

entre os lados do triângulo ABC. Resolução

gráfica.

A

B C

a.c = b.x

5. Dados os segmentos m, n e p, determine

a quarta proporcional que satisfaz a

proporção.

Resolução gráfica.

6. Verifique se os segmentos r, s, t e v atendem à

proporção dada. Resolução gráfica.

r

s

t

v

x = m.n

p

r

v =

s

t m

n

p

16

1a solução

a

b=

b

x

2a solução

b

a=

a

y

- Este tipo de problema admite duas soluções.

y

a

a

b=

- Graficamente a resolução é semelhante à da quarta proporcional.

c = b²

a

➢ Terceira proporcional

- A 3a proporcional é um caso particular da 4a proporcional em que os meios são iguais.

8

4 =

4

x → 8 . x = 4 . 4 → x . x =16 → x = 2

1. Achar a 3a proporcional y dos segmentos a

e b, conhecida a proporção. Resolução

gráfica.

2. Construa o triângulo ABC de lados a = 40 mm,

b = 30mm e sabendo que c é a terceira

proporcional dos outros dois lados. Resolução

gráfica.

a = 20 mm

b = 30 mm

b

a =

a

y c =

b²

a

17

➢ Média geométrica ou média proporcional

- É a raiz quadrada do produto de duas grandezas. Dito de outro modo: é o valor encontrado

para os meios, que no caso se repetem.

4

x =

x

9 → x2 = 4 . 9 → x = ξ36 → x = 6

ou

x2 = a.b

a e b são conhecidos;

x se repete e é desconhecido.

x = ξa.b

A média geométrica entre duas

grandezas (ou dois segmentos dados) é

a raiz quadrada do seu produto.

a

x =

x

b

- A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos.

- A resolução gráfica de problemas que envolvem a média geométrica tem por base o triângulo retângulo. Há duas possibilidades: por adição ou por subtração.

a

x =

x

b → x2 = a.b → x = ξa.b

M – centro da semicircunferência (ponto médio)

❖ Por adição

- Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela.

m n

h

Cateto Cateto

Hipotenusa

OBS: O fundamento do processo aditivo da Média

Geométrica baseia-se numa das relações métricas do

triângulo retângulo:

“A altura (h) de um triângulo

retângulo é a média proporcional

entre as projeções (m e n) dos

catetos na a hipotenusa”. m

h =

h

n → h2= m.n → h = ξm.n

❖ Por subtração

a

x =

x

b → x2 = a.b → x = ξa.b

18

Exercícios

Lembre-se que as resoluções são sempre gráficas.

1. Determine x na razão pedida

C D

B A

4. Determine os segmentos m e/ou n e identifique cada caso (terceira proporcional, quarta

proporcional ou média geométrica).

m = 35 mm

a = 20 mm

b = 25 mm

m.b = n.a

a) É um caso de ____________________________.

ABതതതത

x =

x

CDതതതതത

2. Construa um quadrado RSTU de lado f sabendo

que;

d = 40 mm e = 25 mm

d

f =

f

e

3. As expressões abaixo são uma 4a proporcional, uma 3a proporcional ou uma média geométrica?

Sabe-se que a, b e c são conhecidos e que x é a incógnita.

a.x = b.c ___________________________

x2 =a.c _____________________________

b2 = c.x _____________________________

X= ξa.b ____________________________

b = a.c

x _________________________

a= ξ𝑏. 𝑥 _________________________

c.x

b = a ___________________________

19

m n

5. Construa o paralelogramo PQRS, conhecendo a base PQതതതതത = m, o lado QRതതതതത = n e sabendo que a

diagonal PR corresponde a terceira proporcional de n e m, nessa ordem.

b) É um caso de ____________________________.

a = 20 mm

b = 30 mm

m.a = b2

c) É um caso de ____________________________.

a = 20 mm

b = 30 mm

b.a = n2

20

PROPORÇÃO ÁUREA

Segundo Vitruvius, arquiteto e escritor romano, “para que um espaço dividido em partes desiguais

torne-se agradável e estético, deverá haver entre a parte menor e a maior a mesma relação

existente entre a maior e o todo.” (Extraído da apostila da Faculdade de Desenho Industrial, Fundação Educacional Brasileiro de Almeida, Profa. Selma Sá

Roriz, 1981)

b a

Nesta razão surge um fator numérico conhecido como o número de ouro: 0,618 (ou 1,618). Este número

é encontrado na natureza, nas proporções do corpo humano, nas artes plásticas, na arquitetura. A

proporção áurea tão apreciada pelos gregos remonta aos egípcios que a utilizaram na pintura e

arquitetura. Até hoje encontramos a aplicação desta proporção em composições - artísticas ou

comerciais - servindo como ponto de interesse ou eixo de equilíbrio.

No exemplo acima, b é o segmento áureo de a+b.

a

b

c

6. Dadas as medidas abaixo, represente o retângulo de base= m e altura= n.

Sabendo que:

•b

c =

c

m

• n² = a

c

a

b +

b

b+a

21

➢ Determinando o segmento áureo

a

Parthenon - Templo grego

A

B

C

D

e

f

CURIOSIDADES SOBRE A PROPORÇÃO AUREA:

CONCHA DO CARAMUJO

Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois

antecessores

CAMALEÃO

Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas

da espiral de Fibonacci

ELEFANTE

Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do

processo, adivinhe qual seria o formato?

GIRASSOL

Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos

de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-

horário

PINHA

As sementes crescem e se organizam em duas espirais que

lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13

no anti-horário

A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS

A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto

em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é

representada pela letra grega phi: φ

PARTENON

Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula

para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do

século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618

ARTES

Esse recurso matemático também foi uma das principais

marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci,

usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre

elementos do rosto

AS GRANDES PIRÂMIDES

Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco

do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras

internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura

OBJETOS DO COTIDIANO

Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que

se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro.

Fotos e jornais também costumam adotá-la

ROSTO

Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão

da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela

distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618

CORPO

Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre

o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618

MÃOS

Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as

articulações se relacionam na razão áurea

FONTES Roberto Jamal, professor do cursinho Anglo, Claudio

Possani, professor do Instituto de Matemática e Estatística da

USP, e livro Do Not Open, vários autores.

Disponível em: Super Interessante -

https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-a-

sequencia-de-fibonacci/

AC

CD =

BC

AB

f

e =

e

e + f

Concha Nautilus

Pentágono estrelado

(Pentagrama)

Mona Lisa – 1503/06 – Leonardo

da Vince/Proporção Aurea

AD

AC =

AC

AB =

AB

BC =̃ 1,618

22

➢ RETÂNGULO ÁUREO

O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à vista. Não é por acaso

que cartões de crédito, folhas de papel e publicações possuem esta forma. Sua aplicação abrange

ainda a arquitetura e as artes plásticas.

No retângulo áureo os seus lados estão na proporção áurea.

Se representarmos um quadrado dentro desse retângulo, a figura resultante será um novo retângulo

áureo, porém com sua posição invertida. Esse processo pode ser repetido indefinidamente, como

é mostrado na outra figura.

A curva é uma espiral logarítmica, típica da expansão da concha e do desenvolvimento do centro

de flores como a margarida e o girassol.

1. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado maior.

a

2. Construa o retângulo áureo sendo dado o seu lado menor.

x

Exercícios

a

b

a

b =

b

b + a

23

RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Exercícios

1. Determine o comprimento da circunferência dada abaixo.

2. Imagine que a circunferência da figura abaixo role sobre a reta t, sem escorregamento, e no sentido

horário. Determine a posição em que a circunferência estará quando o ponto P tangenciar a reta.

P

t

T

O

Retificar a circunferência é determinar o seu comprimento, isto é, transformar a linha curva em

segmento de reta. Se dividirmos o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro

obteremos aproximadamente o valor 3,1416... Esse número é conhecido pela letra grega (lê-se

pi).

Em matemática o comprimento de uma circunferência é igual a 2r, mas existem, também,

alguns processos gráficos para se retificar a circunferência e todos eles têm resultados

aproximados, já que é um número irracional.

Estudaremos o processo de Arquimedes que considera = 22

7. Dividindo 22 por 7 encontraremos

um resultado bem próximo: 3,1429.

C – Comprimento da circunferência

d – Diâmetro

C

d⁄ = C = d C = 22

7d⁄ C = 217d⁄ C = 3d + 1

7d⁄

24

DESRETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

É o processo inverso da retificação. Agora temos o comprimento e queremos saber o diâmetro

da circunferência.

1. Represente a circunferência cujo comprimento é igual ao segmento AB.

A B

4. Qual o perímetro da figura abaixo?

Resolva graficamente.

Exercícios

C – Comprimento da circunferência

d – Diâmetro

Cd

⁄ = d = C ⁄ d = C

227⁄

d = 722 C⁄

25

Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes têm a mesma área.

3. Construa, no espaço abaixo, três triângulos equivalentes de base 3 cm e altura 2,5cm. Sendo um

isósceles, outro retângulo e o terceiro tendo um ângulo da base de 120º.

Exercícios

1. Represente o triângulo retângulo EFG

equivalente ao triângulo dado.

2. Faça um triângulo isósceles ONP

equivalente ao triângulo abaixo.

M N

O

E F

H

EQUIVALÊNCIA DE TRIÂNGULOS

26

O processo utilizado na equivalência de triângulos permite efetuar transformações entre polígonos,

construindo figuras com menor ou maior número de lados, ou seja, diminuindo ou aumentando a

quantidade de lados.

Diminuindo o no de lados

1o exemplo: Desenhe um quadrilátero equivalente (de mesma área) a um pentágono (ABCDE –

figura inicial cinza) dado: - Traçar a diagonal BE;

- Reta // a BE passando por A;

- Prolongar CB até a //, obter A';

- EAB é equivalente ao EA'B.

O pentágono ABCDE é equivalente ao

quadrilátero A'CDE.

Aumentando o no de lados

2o exemplo: Desenhe um pentágono equivalente (de mesma área) a um quadrilátero (ABCD –

figura inicial cinza) dado: - Traçar uma reta que passe por A, cortando BC

Determinando assim o ponto J (aleatoriamente);

- Traçar uma reta // a AJ passando por B;

- Determinar B’ (aleatoriamente) na reta // que passa

por B;

- ABJ é equivalente ao AB’J.

O quadrilátero ABCD é equivalente ao

Pentágono AB’JCD.

4. Represente um triângulo retângulo BCD

equivalente ao triângulo ABC.

5. Represente um triângulo isósceles ABD

equivalente ao triângulo ABC.

B A

C

B

C

A

EQUIVALÊNCIA DEFIGURA QUAISQUER

27

EXERCÍCIOS:

1. Transforme o pentágono ABCDE num triângulo e o quadrilátero PQRS num pentágono, ambos

convexos.

a) b)

2. Transforme o polígono abaixo em um

triângulo equivalente.

3. Represente graficamente um pentágono

equivalente ao hexágono dado.

A

R

O

M

5. Dado o triângulo ABC, transforme-o num

quadrilátero equivalente.

4. Transforme o pentágono IJKLM num triângulo

equivalente.

I

J

K

L M

O

M

R

N

Q P

A

B

C

A

E

C

D

B

S R

Q P

28

Gerdau Construtora Ecisa Citroën

Alguns dos símbolos gráficos resultam da aplicação de movimento às letras ou qualquer outra

representação. Tais movimentos, chamados de transformações pontuais, são: translação, rotação,

reflexão e homotetia.

TRANSFORMAÇÕES PONTUAIS

São quatro, basicamente, os elementos que compõem uma identidade visual. Os principais:

logotipo e símbolo, e os secundários: cores e alfabeto.

Logotipo – é a particularização da escrita de um nome. Um logotipo sempre tem letras -

especialmente criadas ou não.

Símbolo – é um sinal gráfico que com o uso passa a identificar um nome, uma idéia, produto ou

serviço. Os símbolos podem ser abstratos ou figurativos e é neste grupo que são incluídos aqueles

que utilizam as letras. (Extraído do livro Identidade Visual. A direção do olhar., Gilberto Luiz Strunck, Ed. Europa, RJ, 1989)

Alguns exemplos de símbolos gráficos:

Translação – direção e distância

a partir de um vetor (v).

Rotação – centro de rotação

(C), ângulo do giro e sentido

(horário ou anti-horário).

Reflexão – eixo de simetria(e)

e uma distância constante e

perpendicular ao eixo.

6. Represente o heptágono equivalente ao

hexágono dado.

7. Um famoso paisagista fez o projeto de

reforma de um jardim que tem a forma do

polígono representado abaixo. No projeto, o

profissional aumentou o número de lados desse

polígono. Desenhe a nova forma desse jardim,

sabendo que ele agora é hexagonal convexo.

P

Q

R

S

T

U

29

Note que as imagens abaixo podem ser divididas em partes iguais por linhas imaginárias dando

a impressão de que foram refletidas por um espelho. Essa linha é o eixo de simetria.

1. Faça a translação das figuras dadas abaixo.

d

f

2. A empresa de carros Citroen possui uma marca com duas figuras simples que ficam acima

do seu nome. Elas são formadas através da translação. Vamos descobri-la? Para isso, faça uma

translação do polígono ABCD (construa-o ligando os vértices dados) em relação ao vetor d,

também dado.

30

3. Faça a rotação das figuras abaixo.

4. Faça a reflexão das figuras abaixo.

e – eixo de reflexão

a) 120o no sentido horário

P – centro de rotação

b) 60o no sentido anti-horário

P – centro de rotação

P

e

e

P

31

5. Trace os eixos de simetria e das representações abaixo.

Mitsubishi Motors Acesita FIOCRUZ

6. Observe os logotipos dados e identifique as transformações pontuais aplicadas na sua criação.

Reflexão

Rotação

Translação

a) (.........) b) (.........) c) (.........) d) (.........)

Enem/2011 7. Questão154 - prova amarela O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de A. 45o

B. 60o

C. 90o

D. 120o

E. 180o

Disponível em www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em 28 abr.

2010

32

8. Observe as composições abaixo. Elas foram criadas utilizando as composições em destaque

através das transformações pontuais. Utilize a malha quadriculada abaixo para criar sua

composição.

- Crie uma composição inicial em um quadrado

- Modifique essa composição utilizando pelo menos duas transformações pontuais

33

HOMOTETIA

A homotetia é um tipo de semelhança na qual os lados da figura permanecem paralelos.

• Semelhança = mesma forma, dimensões proporcionais e não há, necessariamente,

paralelismo entre os lados.

• Homotetia = semelhança + paralelismo

Semelhança

Homotetia

Elementos

• Centro de homotetia – determinado pela

interseção das retas que passam pelos pontos

correspondentes (homólogos) de duas figuras

semelhantes.

• Razão de homotetia – indica a relação entre as

distâncias que vão do centro de homotetia até os

pontos correspondentes.

➢ No exemplo ao lado, a razão de homotetia (k) é

igual a 12⁄ .

OA

OA' =

OB

OB' =

OC

OC' =

1

2

Os retângulos ABCD e AEFG são semelhantes na razão .

Cada lado de ABCD tem o seu homólogo (correspondente) em

AEFG cuja medida está reduzida à metade. São, portanto,

proporcionais.

Os ângulos correspondentes se mantêm com as mesmas

medidas – são congruentes.

Para estudar homotetia não se pode deixar de falar em SEMELHANÇA. Duas figuras são

semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e as medidas de seus lados

são proporcionais..

✓ A palavra HOMÓLOGO significa correspondente.

Quando se amplia ou se reduz uma figura, a forma permanece a mesma variando somente

o tamanho.

O quanto se amplia ou se reduz a figura chama-se razão de semelhança e é indicada pela letra k.

Figura Inicial

34

➢ A HOMOTETIA PODE SER DIRETA OU INVERSA.

- Homotetia direta – a razão é maior que zero (valor positivo)

- Homotetia inversa – a razão é menor que zero (valor negativo)

➢ Nos dois casos, a figura homotética poderá ser maior ou menor que a figura inicial.

Isto dependerá do valor da razão, independentemente se positivo ou negativo.

HOMOTETIA DIRETA

O mecanismo da visão é semelhante ao

que ocorre na máquina fotográfica. No

olho, a luz se dirige para a retina, que

funciona como o filme fotográfico: a

imagem formada na retina também é

invertida como na máquina fotográfica.

O nervo óptico conduz os impulsos nervosos

para o centro da visão, no cérebro, que o

interpreta e nos permite ver os objetos nas

posições em que realmente se encontram. (www.afh.bio.br/Sentidos/Sentidos2.asp)

Exemplo de homotetia inversa

Exemplo de homotetia direta

Perspectiva cônica com um

ponto de fuga

A figura homotética sofrerá dupla inversão.

Objeto Imagem

Nervo óptico

Adaptado de www.darwinismo.wordpress.com

HOMOTETIA INVERSA

O

Figura inicial

A

A’

B

C

B’

C’

O

A

B

C

B’

A’

C’

35

Exercícios

1. Determine o centro de homotetia H.

2. Construa as figuras homotéticas de acordo com os centros de homotetia (O) e as razões (K)

dadas.

O +

K = 2

K = - 3/2

O

36

+ O

K = - 1/ 2

(lembre-se de determinar o centro da circunferência)

K = 5/3

O

K = - 2/3

37

3. Analise as imagens abaixo, e em seguida marque com um X as opções corretas para cada caso

(pode haver mais de uma opção para cada imagem).

4. Analise os casos de homotetia abaixo e relacione a imagem o tipo de transformação para cada

caso.

Figura 1 Figura 2 Figura3 Figura 4

( ) apresenta

translação com 2

vetores diferentes.

( ) apresenta 2

rotações.

( ) apresenta

translações com 1

único vetor.

( ) não apresenta

transformação

pontual

( ) apresenta uma

reflexão.

( ) apresenta uma

rotação.

( ) apresenta uma

homotetia na razão

k= -1.

( ) apresenta uma

translação.

( ) apresenta uma

rotação de 180°.

( ) apresenta uma

reflexão.

( ) apresenta

homotetia inversa.

( ) não apresenta

transformação

pontual.

( ) não apresenta

transformação

pontual pois é uma

rosácea.

( ) apresenta

rotação.

( ) apresenta

translação.

( ) apresenta

homotetia na razão

k= -1.

1 2

3 4

A

D

C

B

( ) homotetia inversa com

k=−1

2 .

( )homotetia com k= -1.

( ) homotetia direta de

redução.

( ) homotetia com k= 3

2.

( ) homotetia inversa com

ampliação.