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Philosophie der FraktaleArchetypen der Schöpfung
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Fraktale Geometrie der Natur
Was haben diese Objekte gemeinsam?
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Fraktale Geometrie der Natur
Farnblatt
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Fraktale Geometrie der Natur
Lüftaufnahme eines Küstenabschnittes
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Fraktale Geometrie der Natur
Romanesco-Gemüse
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Fraktale Geometrie der Natur
Blutgefäße einer Niere
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Fraktale Geometrie der Natur
Verteilung von Galaxien im Weltall
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Mathematik der Fraktale
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Fraktale: ein Bisschen Mathe
Fraktale - eine ziemlich große Klasse von geometrischen Objekten (Mengen), die „selbstähnlich“ sind, d.h., skaleninvariante Eigenschaften besitzen
Fraktal = aus lat. Fractus, „in Teile gebrochen“(B. Mandelbrot, 1975)
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Geometrische Selbstähnlichkeit
Vier Konstruktionsschritte der Koch-Kurve(Fraktale Dimension d = ln 4/ln 3=1.2618 )
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Geometrische Selbstähnlichkeit
Schneeflocke
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Geometrische Selbstähnlichkeit
Sierpinski-Teppich(Fraktale Dimension d = ln 8/ln 3=1.8927)
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Geometrische Selbstähnlichkeit
Menger-Schwamm
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Statistische Selbstähnlichkeit
Brownsche Bewegung
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
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Fraktale: weitere Beispiele
Mandelbrot-Menge Julia-Menge(„Apfelmännchen“)
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Fraktale Dimension
Wie lang ist der Küste von England? (Richardson, 1961)
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Länge der gemeinsamen Staatsgrenzen
Bis zu 20% Diskrepanz zwischen den Messwerten!
L(r) – Länge bei Verwendung des Längenmaßes r,d – fraktale Dimension. Hier: d ≈ 3/2
Spanien: 987 km Portugal: 1214 km
Niederlande: 380 km Belgien: 449 km
1( ) dL r l r −≈ ⋅
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Fraktale DimensionTopologische Dimension D: Anzahl der Koordinaten
(D=0, 1, 2, 3, …)Für das Volumen des Einheitswürfels gilt:
N = Anzahl der kleinen Würfel der Zerlegung, 1/a = ihre Seitenlänge
Fraktale Dimension d: d ≥ D, d nicht unbedingt ganzzahlig.
Für geometrisch selbstähnliche Mengen:
d = log N / log a,
N = Anzahl der Kopien seiner Selbst, a = Verkleinerungsfaktor
(1/ ) 1,DN a⋅ =
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Fraktale Dimension
Definiton der Fraktale : Mengen, für die d > D gilt
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Verteilung der Masse im Weltall
33
( )
( ) (1/ ) ,
d
d
M r r
M r rr
−
∝
∝
d = 1.23
Lösung des „Paradoxons des strahlenden Weltalls“(J. Kepler)Fraktale Modelle des Weltalls: Fournier (1907), Hoydle (1953)
oder
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Alte Ideen im neuen Gewand
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Hermetische Gesetze
Hermes Trismegistos Altägyptischer Gott (der dreifach größte) Thot
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Oben wie Unten
Tabulae smaragdinae
Verra secretorum HermetisTrismegisti
1. Verum, sine mendasio, certum et verissimum.
2. Quod est inferius, ist sicutid quod est superius, et quod est superius, est sicutid quod est inferius, ad perpetranda miracula reiunius.
Gott Thot-Hermes
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Alte Ideen im neuen Gewand
Fraktale Kugelpackung (Apollonius von Perge, ca. 200 v. Chr.)
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Alte Ideen im neuen Gewand
Waclaw Sierpinski (1915) Albrecht Dürer (1520)
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Philosophie der Fraktale
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Brücke zwischen den Welten
Himalaya-Berge (Satellitenaufnahme)
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Archetypen des Wachstums
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Archetypen der Evolution
Eiche (Kalifornien, USA)
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Chaos und Ordnung
Bestimmung oder Zufall?
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Fraktale in der NaturL‘imagination se lassera plutot de concevoir que la nature de fournir.
Blaise Pascal
Eisformation von Kilimanjaro
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Fraktale in der Natur
Wälder auf Hawaii
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Fraktale in der Natur
Lava-Formationen auf Hawaii
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Fraktale in der Natur
Wadi Hadramaut (Satellitenbild)
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Fraktale in der Kunst
Decke der Isfahan –Moschee, Iran
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Fraktale in der Kunst
Kolam-Muster aus dem traditionellen Indien
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Fraktale in der Kunst
Carlos Ginzburg „Dieu Fractal“
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Fraktale in der Kunst
Jean-Paul Agosti „Im Garten Eden“
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LiteraturAllgemeine Quellen•Tangente, Hors série N°18 : La magie des fractales•Bernard Sapoval: Universalités et fractales, 1997.•GEO, Wissen : Chaos und Kreativität, Nov. 1993Mathematische Quellen•M. Barnsley. Fractals everywhere. 2nd ed, Academic Press, 1993.•K. Falconer. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. 2nd ed, Wiley, 2003.•K. Falconer. Techniques in fractal geometry. Wiley, 1997.•B. Mandelbrot Die fraktale Geometrie der Natur. Basel, 1991.•H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe. Chaos and fractals. New frontiers of science. 2nd ed., Springer, 2004.•H.-O. Peitgen, P. Richter. The beauty of fractals. Springer, 1986.•H.-O. Peitgen, D. Saupe, eds. The science of fractal images. Springer, 1988.•H. Zeitler, D. Pagon. Fraktale Geometrie - eine Einführung. Vieweg, 2000.Fraktale in der Kunst•S. Condé, Ed. L’art fractal. La Différence, 2000. •S. Condé, Ed. Fractalis, la complexité fractale dans l'art. La Différence en 1993. •Die Kolam-Figuren Südindiens, Spektrum der Wissenschaft 6 / 2003, S.74. Fraktale in der Musik•M. Gardner. Fractal music, hypercards and more. Freeman, 1992.•A. Zalmanski. Les scintillements de Richard Voss, Artikel von in der französischen Zeitschrift „Tangente“, pp. 50-51 (Hors série N° 18: La magie des fractales)WWW-Links•http://www.fraktalroman.de/main02.htm•http://www.lactamme.polytechnique.fr•www.f-lohmueller.de/links/indexfrd.htm