1. POLÍGONOS

Definición (línea poligonal): Sean 1 2, ,..., nA A A n puntos en el plano, la línea poligonal es

la unión de los segmentos 1 2 2 3 1, ,..., n nA A A A A A .

Si 1A está unida con nA , se dice que la línea poligonal es cerrada, en caso contrario la

poligonal es abierta.

Ejemplo:

La primera es una poligonal abierta y convexa.

La segunda es una poligonal cerrada y convexa.

La tercera es una poligonal cerrada y no convexa.

Definición (polígono): Es el conjunto de puntos del plano del plano limitado por una línea

poligonal.

Los puntos 1 2, ,..., nA A A se denominan vértices del polígono, mientras que los segmentos

1 2 2 3 1, ,..., n nA A A A A A son los lados del polígono.

Definición (perímetro de un polígono): Es la suma de las medidas de sus lados.

Definición (diagonal de un polígono): Segmento que une dos vértices no consecutivos del

polígono.

Definición (polígono regular): Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos

congruentes.

Clasificación de polígonos

Los polígonos reciben nombres de acuerdo al número de lados:

3 lados Triángulos

4 lados Cuadriláteros

5 lados Pentágonos

6 lados Hexágonos

7 lados Heptágonos

8 lados Octágonos

9 lados Nonágonos

10 lados Decágonos

Teorema: El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a

( 3)

2

n n

Teorema: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados es

igual a

( 2) 180n

Ejercicio: Demostrar que la suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360º.

2. TRIÁNGULOS

7.1 Elementos básicos y clasificación

Triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados, o bien, la

figura formada por tres rectas que se cortan, a los puntos de corte se les llama vértices.

Los vértices del triángulo se designan con letras mayúsculas A, B, y C y los lados opuestos

con letra minúscula a, b y c. Los ángulos los denotamos con las equivalentes letras

griegas. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el semiperímetro.

Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el lado, y un

lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.

Clase de triángulos:

Según la medida de los lados

1. Equilátero. Los tres lados congruentes

2. Isósceles. Dos lados congruentes

3. Escaleno. Los tres lados no congruentes

Según La medida de los ángulos

1. Rectángulo. Tiene un ángulo recto.

2. Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso.

3. Acutángulo. Los tres ángulos son agudos.

Relación entre ángulos y lados:

Teorema: La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

Teorema: El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos internos no

adyacentes. La suma de los ángulos externos siempre es 360º.

Teorema: Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. Como

consecuencia, en todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

Teorema: En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.

7.2 Elementos notables de un triángulo

Medianas de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo

se llama mediana.

Algunas propiedades de las medianas son:

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto

Llamado baricentro del triángulo.

Mediatrices y circunferencia circunscrita de un triángulo.

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular

a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral).

El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados .

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante

de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada

uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo,

y su centro se denomina circuncentro.

En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro

del triángulo.

En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera

del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto

medio de la hipotenusa.

Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el

punto medio de su hipotenusa.

Bisectrices y circunferencia inscrita de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos.

Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.

Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un

punto O.

La circunferencia inscrita del triángulo es la única circunferencia tangente

a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto

central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro de un triángulo.

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice

del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo

Recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen

tres alturas. Estas 3 alturas se cortan en un punto único H (son concurrentes),

llamado ortocentro del triángulo.

Propiedades

Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del

triángulo.

Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del

triángulo.

Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.

3. CUADRILÁTEROS

8.1 Taxonomía de los cuadriláteros

Se parte de un cuadrilátero definido como un polígono cerrado de cuatro lados, sin más

restricciones, sin embargo es posible diferenciar entre cuadriláteros compuestos y simples.

Cuadrilátero complejo: Dos de sus lados se cortan.

Cuadrilátero simple: Los lados no se cruzan. Los cuadriláteros simples se dividen en:

Cóncavos: En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide

más de 180°.

Convexos: Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de

180°.

A

B

C

D

A B

C

D

A

B

C

D

8.2 Clasificación de cuadriláteros convexos

Los cuadriláteros (convexos) pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen dos

diagonales y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360°.

A, B, C y D: vértices.

, ,AB BC CD y DA : lados.

AC y BD : diagonales.

, , y : ángulo interiores.

Los cuadriláteros convexos pueden recibir diferentes nombres, de acuerdo a las

propiedades que cumplen sus lados y ángulos.

Trapecios: Cuadriláteros que tienen al menos un par de lados paralelos. Los trapecios se

pueden subdividir en:

Trapecio rectángulo: Un par de lados paralelos y uno de los otros lados es

perpendicular a los lados paralelos.

/ /AB CD y AD AB

Trapecio isósceles: Un par de lados paralelos y los otros dos lados congruentes.

A

B

C

D

A

B

C D

A B

C D

/ /AB CD y AD BC

Paralelogramo: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

/ /AB CD y / /BC AD

Rectángulo: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos y sus ángulos interiores

congruentes.

/ /AB CD , / /BC AD y A B C D

Dado que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º, los ángulos del

rectángulo miden 90º.

El rectángulo es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de:

Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.

Trapecio rectángulo, porque los lados son perpendiculares a las bases.

Trapecio isósceles, por ser de igual longitud los lados que no constituyen las bases.

Rombo: Cuadrilátero que tiene sus lados congruentes.

AB BC CD AD

A B

C D

A B

C D

A B

C D

Cuadrado: Cuadrilátero que tiene sus lados congruentes y sus ángulos congruentes.

AB BC CD AD y A B C D

El cuadrado puede considerarse rombo y rectángulo a la vez.

La relación entre los cuadriláteros se puede observar en el siguiente diagrama:

A B

C D

También suelen recibir nombre propio los siguientes cuadriláteros:

Trapezoide: Cuadrilátero sin lados opuestos paralelos.

/ /AB CD , / /BC AD

Deltoide o Cometa: Trapezoide cuyos lados contiguos son iguales dos a dos.

AB AD y BC CD

Romboide: Paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo.

A

B

C

D

A

B

C

D

A B

C D

8.3 Fórmulas relacionadas con los cuadriláteros

Los cuatro lados de un cuadrilátero: a, b, c, d;

los cuatro vértices: A, B, C, D;

las dos diagonales: e, f.

La suma de los ángulos internos es igual a 360°:

Actividad:

1. Asocie los nombres de la columna A con los dibujos de la columna B:

Columna A Columna B

a) Trapecio

rectángulo

_____

b) Rectángulo

_____

c) Trapecio

_____

d) Trapezoide

_____

e) Rombo

_____

f) Trapecio

isósceles

_____

g) Romboide

_____

2. Escriban verdadero (V) o falso (F). Justificando con tus palabras la elección:

a) La suma de los ángulos interiores de un romboide es igual a 4 rectos.

b) La suma de los ángulos exteriores de un trapecio es igual a 4 rectos.

c) En todo trapecio, un ángulo interior y su exterior son complementarios.

d) En un trapecio rectángulo, los ángulos que no son rectos suman menos de 180º.

3. Con los visto completar el cuadro con una cruz en donde corresponda:

Magnitudes Geométricas

Generalmente la medida de magnitudes geométricas

(perímetro, área y volumen), se obtienen a partir de fórmulas

dadas. Pero, ¿quién puede recordar tanta fórmula? Lo que

proponemos aquí es revisar la manera en que se obtienen

dichas fórmulas, para que estas tengan sentido y puedan ser

reproducidas en otros momentos. La idea fundamental de

estos procedimientos es “recortar la figura” y reordenar

formando otra que tengan medida conocida.

Consideremos la fórmula del área de un rectángulo, igual a la base por

la altura, elegidas arbitrariamente:

A b h

Área de un paralelogramo:

A partir de esta fórmula es posible determinar el área de cualquier

paralelogramo, en efecto basta separar las partes y formar un rectángulo de

igual base y altura. El área de un paralelogramo es base por altura:

A b h

MEDIDA

b

h

b

b

h

b

b

h

b

e

f /2

e

f

Área de un triángulo:

Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo, por tanto es la mitad

de su área, la mitad de la base por la altura:

2

b hA

Área de un rombo:

Consideremos un rombo cualquiera, donde sus diagonales miden e y f. Las

diagonales del rombo, lo dividen de manera natural en cuatro triángulos

rectángulos, cada uno de ellos con catetos 2

e y

2

f, si se reordenan podemos

formar un rectángulo de lados e y 2

f:

Por tanto, el área del rombo es igual al área del rectángulo de base e y altura

2

f, esto es

2

eA f o, lo que es lo mismo:

2

e fA

MEDIDA

b

h

b b

h

b

Área de un círculo:

Antes que todo, si suponemos que un círculo puede ser visto

como un polígono regular con “infinitos” lados, esto nos

permitirá de manera natural dividirlo en “infinitas” partes, cada

una de estas parecida a un triángulo isósceles (de los cuales

conocemos su área). Este proceso es similar a dividir una torta o

una pizza en “infinitos” trozos.

En la siguiente figura podemos observar la situación antes descrita, pero con

un número finito de divisiones:

Luego, si la mitad superior de las partes obtenidas al dividir el

círculo se disponen posteriormente hacia abajo, y la mitad

inferior se dispone hacia arriba, se aprecia que estas encajan a la

perfección formando una nueva figira de forma un

paralelogramo.

Si el círculo tiene radio , la mitad inferior y superior miden

cada una. El paralelógramo resultante tiene por ancho la medida

de la mitad inferior (o superior) del círculo, es decir , la altura

de este coincide con el radio del círculo, es decir ,

posteriormente si el área de un paralelógramo es el producto de la

base por la altura, obtenemos:

=

MEDIDA

Pero y , por tanto , esto es

2A r

MEDIDA