Apuntes Filtracion y Redes de Flujo
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Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
1
INDICE 1. EL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO EN EL SUELO................................................ 2 2. PRINCIPIOS FÍSICOS DEL FLUJO DEL AGUA EN EL TERRENO..................... 3
2.1. Carga hidráulica. La ecuación de Bernoulli ............................................... 3 2.2. Ley de Darcy.................................................................................................. 4 2.3. Consideraciones energéticas. ..................................................................... 6 2.4. Conductividad hidráulica y permeabilidad................................................. 7 2.5. Validez de la Ley de Darcy ........................................................................... 8 2.6. Estimaciones de k......................................................................................... 9 2.7. Fuerzas de filtración ................................................................................... 10 2.8. Sifonamiento. .............................................................................................. 13
3. ECUACIONES DEL FLUJO. REDES DE FILTRACIÓN...................................... 14 3.1. Ecuación de Laplace. ................................................................................. 15 3.2. Soluciones de la ecuación de Laplace ..................................................... 18
3.2.1. Ejemplo de resolución matemática ....................................................... 19 3.2.2. Dibujo a mano alzada ........................................................................... 19 3.2.3. Numéricas ............................................................................................. 20 3.2.4. Modelos Analógicos .............................................................................. 20
3.3. Estimación de la superficie libre (presas) ................................................ 20 3.4. Determinación del caudal de filtración ..................................................... 23
4. FLUJO EN MEDIOS ANISÓTROPOS ................................................................. 24 4.1. Coeficiente de permeabilidad equivalente ............................................... 24 4.2. Red de flujo en suelos anisótropos .......................................................... 24
5. FLUJO EN MEDIOS HETEROGÉNEOS (SUELOS DE DISTINTA PERMEABILIDAD). LEY DE SNELL........................................................................... 25 6. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO................................................................. 26 7. POZOS ................................................................................................................. 28
7.1. Pozos en régimen permanente.................................................................. 28 7.2. Pozos en régimen transitorio. Análisis de ensayos de bombeo............ 30
ANEJO I: Bibliografía
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
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1. EL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO EN EL SUELO
Muchos problemas geotécnicos tienen como causa el agua. Es frecuente que, por
ejemplo, los deslizamientos del terreno se produzcan durante o después de periodos
de elevadas precipitaciones. Las tensiones efectivas en el suelo, que determinan su
comportamiento mecánico y su resistencia, se obtienen como diferencias de las
tensiones totales y la presión del agua en el terreno. Cuando el agua en el terreno está
en reposo, no se mueve, nos encontramos en condiciones que denominamos
hidrostáticas. No obstante, el agua en el terreno con frecuencia no se encuentra en
equilibrio hidrostático, sino en movimiento, movimiento que se denomina de filtración o
percolación. El conocimiento de los principios del flujo de fluidos, en general, en el
terreno es necesario para resolver problemas tales como:
• la velocidad a la que fluye el agua a través del suelo (por ejemplo, para el
cálculo de fugas en presas);
• la consolidación del suelo (por ejemplo para el cálculo de la velocidad de
asiento en una cimentación);
• la resistencia al corte del suelo (ya que el flujo de agua afecta a las
presiones efectivas y, por tanto, a la resistencia del suelo).
De hecho, son tres los aspectos principales en los que el movimiento del agua en el
interior del terreno influye desde el punto de vista geotécnico:
• Caudales: el movimiento del agua en el terreno produce un caudal que es
necesario determinar en numerosos problemas geotécnicos, por ejemplo en
excavaciones;
• Presiones intersticiales: el estado de presiones intersticiales que el agua
adopta al circular en terreno determina el estado de tensiones efectivas en el
terreno, y por lo tanto, su resistencia y deformabilidad;
• Alteraciones del terreno: el paso del agua puede producir alteraciones en el
terreno de tipo físico (por ejemplo erosión interna), químico (disoluciones,
precipitaciones) o biológico (desarrollo de algas, bacterias, con influencia en el
comportamiento del terreno).
En el estudio de los problemas geotécnicos asociados al movimiento del agua en el
terreno, es característica la importancia de los pequeños detalles de la estructura
geológica. Con frecuencia, macizos rocosos o capas de suelos arcillosos considerados
impermeables, no lo son, debido a la presencia de fisuras, grietas o finas vetas
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arenosas o limosas inesperadas o de difícil detección. La importancia de estas
heterogeneidades se debe fundamentalmente a la extensa gama de valores que el
coeficiente de permeabilidad, k, puede adoptar.
2. PRINCIPIOS FÍSICOS DEL FLUJO DEL AGUA EN EL TERRENO
2.1. Carga hidráulica. La ecuación de Bernoulli
El suelo está constituido generalmente por un conjunto discreto de partículas cuyos
poros están interconectados entre sí. En esas condiciones el agua es libre de moverse
a través de ellos y fluir desde unas zonas del suelo hacia otras. Como sucede en los
problemas de la Mecánica de Fluidos, el agua sólo se mueve cuando existen
diferencias de carga hidráulica entre unas zonas y otras, dirigiéndose hacia las zonas
de menor carga.
La magnitud que determina el flujo de agua a través del terreno es pues la carga
hidráulica, h, que representa la energía mecánica total del fluido. Tiene dimensiones
de longitud [L], y se mide en metros. También se puede expresar en metros columna
de agua (m.c.a.).
La ley que rige con carácter general el movimiento del agua es la conocida como
ecuación de Bernoulli, según la cual la carga hidráulica, h, se expresa como:
gvuzh
w 2
2
++=γ
siendo:
• h: la carga hidráulica, la energía del agua por unidad de masa (tanto
potencial como cinética), en un determinado punto. Se mide, como se ha
indicado anteriormente, en metros de columna de agua (m.c.a.).
• z: la carga geométrica (o cota geométrica). Es la distancia en vertical del
punto en cuestión a un plano de comparación o referencia.
• Ψ = u/γw: la carga de presión. Es de gran importancia, ya que indica la
presión real del agua (presión intersticial o presión neutra, en los suelos).
La carga de presión es la altura a la que ascendería el agua en un
piezómetro de tubo abierto por encima del punto considerado. Se mide en
metros. Para obtener la presión del agua (u) en kN/m2, se multiplica Ψ (en
metros) por el peso específico del agua, γw, en kN/m3.
• v2/2g: la carga de velocidad. En los suelos, el flujo de agua se produce a
velocidades pequeñas.
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Despreciando el término de carga de velocidad, en el movimiento del agua en el
terreno, la ley de Bernoulli queda reducida a:
w
uzhγ
+= ψ+= zh
El flujo del agua en el terreno viene determinado por la carga hidráulica, h (suma del
término de presión, Ψ, y del término de altura geométrica, z). El agua se mueve en el
terreno desde las zonas de mayor carga hidráulica (de mayor h) hacia las zonas de
menor carga hidráulica; y no necesariamente desde las zonas de mayor presión (u ó Ψ
) hacia las zonas de menor presión, o de las zonas con mayor cota (z) a las zonas más
bajas.
Además de la carga hidráulica, en la Mecánica de Suelos interesa conocer la carga de
presión, ya que se corresponde con la presión intersticial, a partir de la cual se
calculan las presiones efectivas del terreno. Esta carga de presión en un punto puede
bien medirse directamente con piezómetros, o bien calcularse mediante los principios
de la mecánica de fluidos.
Conviene hacer notar que la magnitud absoluta de la carga geométrica, y, por tanto,
también de la carga total, tiene poco significado, puesto que dichos valores dependen
del plano de referencia adoptado; lo realmente significativo es la diferencia de carga
hidráulica entre dos puntos, Δh, que es lo que determina el movimiento.
Como norma general, es conveniente determinar primero las cargas hidráulica y
geométrica, y calcular después la carga de presión como diferencia entre las dos.
2.2. Ley de Darcy
El análisis matemático del flujo del agua en el terreno se basa en una ley empírica, la
Ley de Darcy, deducida a partir de ensayos en laboratorio, enunciada por el ingeniero
francés Henry Darcy en 1856, y ampliamente corroborada posteriormente por la
experiencia.
Consideremos el esquema de la Fig. 1, que representa un cilindro de sección
transversal A, relleno de arena saturada de agua y a lo largo del cual fluye un caudal
de agua, Q, introducido en el extremo superior y recogido en el inferior. En dos puntos,
1 y 2, del eje del cilindro, separados una distancia Δl, la carga hidráulica, h1 y h2, es
medida con relación a un plano de referencia arbitrario z = 0.
Consideremos el caudal Q (magnitud escalar) que atraviesa una determinada área A
(magnitud vectorial, de módulo igual al valor geométrico del área, y dirección normal a
la misma), podemos definir ese caudal como el producto escalar de dos vectores:
Q = v·A = ⏐v⏐⏐A⏐cos α
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siendo α el ángulo entre los dos vectores v y A. A partir de ahí podemos definir una
magnitud vectorial v, velocidad de flujo, cuya dirección indica la dirección del flujo
del agua en el terreno, y cuyo módulo, considerando un área A normal a la dirección
de ese flujo (α=0) es el cociente del caudal Q por el área:
v = Q/A con dimensiones: v = [L/T]; Q= [L3/T]; A= [L2]
Fig. 1 – Flujo de agua a lo largo de probeta de suelo
Nótese que esta velocidad no es la velocidad real de movimiento del agua o fluido en
el terreno, puesto que éste sólo circula a través de los poros entre los granos de
arena, no a través de toda el área A, y siguiendo itinerarios irregulares y dirección
variable (Fig.2).
A
Fig. 2 – Concepto de velocidad de flujo, y velocidad real del fluido en el suelo
ψ1 = h1 – z1
1
2
v* v = Q/A
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Henry Darcy demostró experimentalmente en el año 1856 que en arenas saturadas la
velocidad del agua en un flujo unidireccional es proporcional al gradiente hidráulico:
v ∝ Δh/Δl
v = -k· Δh/Δl
o:
dldhkv −= = -k grad(h) = -k·i
donde:
• k es la constante de proporcionalidad o coeficiente de permeabilidad
(conductividad hidráulica);
• i el gradiente hidráulico o pérdida de carga unitaria (Δh/Δl, siendo Δl la
longitud del camino recorrido, en el cual se produce una pérdida de carga
Δh).
La Ley de Darcy puede escribirse referida al caudal:
Q = -k·A·dh/dl = -k·A·i Es importante destacar que la Ley de Darcy es independiente de la dirección del flujo
(v, i y A son magnitudes vectoriales). Así, el caudal que atraviesa una sección
cualquiera A depende del gradiente hidráulico en la dirección normal a la superficie y
del coeficiente de conductividad hidráulica en esa dirección. De hecho, de acuerdo con
la ley de Darcy, la dirección del flujo depende sólo del gradiente hidráulico (gradiente
de energía).
2.3. Consideraciones energéticas.
Examinando las relaciones de energía en el proceso de flujo de un fluido en el terreno,
puede utilizarse el concepto de potencial, definido como el trabajo realizado en este
proceso. El trabajo realizado para mover una unidad de masa de fluido entre dos
puntos cualesquiera en un sistema de flujo es una medida de la pérdida de energía por
unidad de masa. Considerando un estado de referencia a la cota z = 0 y a la presión
atmosférica, p0, y considerando un punto P en el sistema de flujo a la cota z, y con el
fluido a la presión p y a la velocidad v, la energía mecánica del fluido por unidad de
masa de fluido, Φ, es igual a:
Φ = gz + 1/2v2 + (p-p0)/ ρ
donde ρ es la densidad del fluido. Despreciando la componente de energía cinética,
por ser extremadamente bajas las velocidades de flujo en los medios porosos, la
expresión queda reducida a:
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Φ = gz + (p-p0)/ ρ
El valor de la presión del fluido, p, en el punto P, medida a partir de la altura alcanzada
(ψ =h-z) en el manómetro (Fig. 1) será:
p = ρg(h-z) + p0
de donde resulta, substituyendo, que
Φ = gz + (p-p0)/ ρ = gz + g(h-z) = gh
O sea que la energía mecánica total del fluido por unidad de masa de fluido, Φ, en
otras palabras, el potencial del fluido, es igual a la carga hidráulica, h, multiplicada por
la aceleración de la gravedad, g. El flujo seguirá, por tanto, la dirección del gradiente
de carga hidráulica.
Esta aproximación presenta las siguientes limitaciones: no puede usarse con fluidos
compresibles (se ha considerado ρ constante); y no tiene en cuenta los gradientes
químicos, térmicos o eléctricos, que en determinadas circunstancia pueden determinar
el flujo.
2.4. Conductividad hidráulica y permeabilidad
La capacidad del agua para atravesar el suelo se denomina permeabilidad. Bajo la
denominación de coeficiente de permeabilidad (o conductividad hidráulica), k,
definimos la velocidad de flujo producida por un gradiente hidráulico unidad, ya que, de
acuerdo con la ley de Darcy:
k = - v/i
La conductividad hidráulica es función tanto del fluido como del medio poroso,
dependiendo de factores tales como la viscosidad y la densidad del líquido, la
porosidad, granulometría y forma de las partículas del suelo, y el grado de saturación.
El coeficiente de permeabilidad (conductividad hidráulica), k, tiene dimensiones de
velocidad, y puede expresarse del siguiente modo:
μκρgk =
donde ρ y μ son la densidad y viscosidad del fluido, respectivamente; κ es la
permeabilidad intrínseca del medio poroso, que puede considerarse función del
cuadrado del diámetro de poro, y, equivalentemente, del cuadrado del diámetro de
partícula (d) multiplicado por una constante (C):
κ = Cd2
La viscosidad del fluido varía con la temperatura. En el caso del agua, en la Tabla 1 se
presenta esta variación, en el caso del agua.
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En la Tabla 2 se ha recogido el rango de valores de la permeabilidad y la capacidad
de drenaje típicos de diferentes tipos de suelos.
Tabla 1 – Viscosidad del agua en función de la temperatura Temperatura, T (ºC) Viscosidad, μ (10-3 N seg/m2)
0 1,787 10 1,307 20 1,002 40 0,6529 60 0,4665 80 0,3547
100 0,2818
Tabla 2 - Valores del coeficiente de permeabilidad (modificado de Jiménez Salas et al., 1976)
Tipo de Suelo k (m/s) Permeabilidad Gravas > 10-2 Alta
Arenas gruesas 10-2 – 10-3 Alta
Arenas medias 10-3 – 10-4 Media
(se pueden drenar por bombeo)
Arenas finas 10-4 – 10-5 Media
(se pueden drenar por bombeo)
Arenas limosas 10-5 – 10-6 Baja Turba 4x10-5 – 10-9 Baja a muy baja
Limos, arcillas meteorizadas 10-6 – 10-8 Baja a muy baja Arcillas no meteorizadas 10-9 – 10-10 Muy baja
2.5. Validez de la Ley de Darcy
La velocidad de flujo (o velocidad de Darcy), v, que figura en la expresión de Ley de
Darcy, definida como la razón entre el caudal de fluido, Q, que atraviesa una
determinada área, A, (v = Q/A), aunque tiene dimensiones de velocidad, no es la
velocidad real del movimiento de las partículas de agua o fluido a través de la
intrincada red de poros del terreno (Fig. 2). Es un concepto macroscópico en el que se
substituye el medio poroso por un medio continuo, y es fácilmente medible, al contrario
que las velocidades reales, a nivel microscópico, del fluido, de imposible
determinación. La verdadera velocidad microscópica del fluido es función de la
porosidad del medio y de la tortuosidad de la red de poros. Una aproximación al valor
de esta velocidad real microscópica es la velocidad lineal media, v*, definida a partir de
la porosidad, n, del suelo: v* = v/n = Q/nA
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Un límite superior para la validez de la Ley de Darcy viene determinado por la
necesidad de que el régimen de flujo sea laminar, lo que sucede en un elevado
número de suelos. Sin embargo en escolleras gruesas y en gravas limpias muy
abiertas, el flujo del agua puede ser más turbulento que laminar, motivo por el cual la
ley de Darcy puede no cumplirse. Lo mismo acontece en macizos rocosos fracturados
o carstificados. El límite se puede establecer mediante el número de Reynolds,
parámetro adimensional que expresa la razón entre las fuerzas de inercia y de
rozamiento viscoso durante el flujo, y que ha de ser inferior a un valor entre 1 y 10,
para que el flujo sea laminar:
μρvdRe = < 1 a 10
donde ρ y μ son la densidad y la viscosidad del fluido, v la velocidad de flujo y d el
diámetro medio de partícula de suelo, representativo del tamaño medio de poro.
Por otro lado, el límite inferior de validez de la Ley de Darcy viene fijado en aquellas
situaciones de muy reducida permeabilidad del medio y bajo gradiente, en las cuales
las fuerzas osmóticas pueden ser predominantes.
2.6. Estimaciones de k
Existen en la literatura numerosas correlaciones del coeficiente k con otras
propiedades del suelo, fundamentalmente con e (índice de poros) y con D10 (diámetro
eficaz, es decir el tamaño de tamiz que deja pasar un 10% de suelo). La que se utiliza
con mayor frecuencia y proporciona unos resultados bastante adecuados es la
correlación debida a Hazen:
k(mm/s) = C·D102 (mm)
donde C oscila entre 8 y 12 para arenas uniformes con coeficiente de uniformidad (Cu)
inferior a 5 y D10 comprendidos entre 0,06 y 3 mm, y entre 5 y 8 para arenas bien
graduadas (Cu > 5) y D10 entre 0,003 y 0,6 mm. Esta formula sólo se aplica en arenas.
La fórmula de Hazen se basa en que la mayor influencia en la permeabilidad se debe
a las partículas más finas del suelo.
El valor del coeficiente de permeabilidad se puede determinar directamente mediante
ensayos en el terreno. Estos ensayos se pueden realizar in situ (ensayo Lugeon,
ensayo Lefranc, etc.), o en laboratorio, sobre muestras tomadas del terreno.
La determinación del coeficiente de permeabilidad mediante ensayos de laboratorio
presenta una serie de inconvenientes frente a la determinación del mismo mediante
ensayos de campo, entre los cuales podemos señalar los siguientes:
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• Las muestras tomadas para ensayar en laboratorio siempre presentan, en
mayor o menor grado, una cierta alteración, que afecta a la densidad, índice de
poros, estado tensional;
• Siempre hay factores que reducen la representatividad del ensayo, tales como:
presencia de burbujas de aire en el sistema, variaciones de presión,
temperatura, viscosidad del agua, sales del agua, etc.;
• En laboratorio es imposible reproducir las condiciones que tienen lugar in situ,
pues a menudo se producen: variaciones de densidad y porosidad; distintas
presiones efectivas e intersticiales que las existentes en el campo; diferente
tamaño de la muestra ensayada (efecto escala); no consideración del flujo de
circulación del agua en la realidad y la estratificación natural del terreno; etc.
A pesar de todos estos inconvenientes es normal emplear los ensayos de laboratorio
para una primera aproximación y para obtener un orden de magnitud de la
permeabilidad - son más cualitativos que cuantitativos-, por lo que deben
complementarse con ensayos in situ, que como ya se ha indicado reproducen mejor la
situación real y proporcionan los mejores resultados.
Los ensayos de laboratorio más empleados para determinar el coeficiente de
permeabilidad de un suelo suelen ser de tres tipos:
• Permeámetro de carga constante: Son convenientes cuando la permeabilidad
del suelo es mayor de 10-4 m/s (gravas y arenas medias a gruesas);
• Permeámetros de carga variable: adecuados para suelos entre 10-4 y 10-7 m/s
(arenas finas, limos y arcillas)
• En célula Rowe: Es útil para suelos de muy baja permeabilidad; permite
determinar valores de permeabilidad horizontal y vertical.
2.7. Fuerzas de filtración
El agua, en su proceso de filtración a través del suelo, ejerce una fuerza sobre las
partículas que encuentra a su paso, fuerza que normalmente se conoce como fuerza
de filtración. Para una mejor comprensión del significado físico de estas fuerzas se ha
dibujado en la Fig. 3 un permeámetro de carga constante y flujo ascendente y se han
representado las fuerzas que actúan sobre el suelo:
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2
1
suelo
H
L
z4
3
Plano decomparacion
= +
γ w.z.A
γ w.(L+z+H).A
Fuerzasperifericas
γ w.z.A
γ w.(L+z).A
Empuje deArquimedes(estatico)
γ w.H.A
Fuerzas defiltracion
Fig. 3 - Fuerzas de filtración ejercidas por el agua en el suelo
Las fuerzas periféricas son las ejercidas por el agua sobre un elemento de suelo.
Cuando el agua está en reposo, no circula, estas fuerzas periféricas son iguales al
empuje de Arquímedes que experimenta el suelo (fuerza que experimenta todo sólido
sumergido en un líquido). Pero cuando hay flujo de agua, las fuerzas periféricas son
iguales a la suma del empuje de Arquímedes y de las fuerzas de filtración (fuerza
ejercida por el fluido sobre el suelo por el mero hecho de circular a través de él). Las
fuerzas de filtración están causadas por la presión de filtración. Ésta es ejercida por el
agua en movimiento y se disipa uniforme y completamente en el flujo ascensional a
través del suelo.
Veamos a continuación cómo se deduce la fuerza de filtración ejercida por el agua.
Estudiando el permeámetro de la Fig. 3 y de acuerdo con los principios básicos que se
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han establecido del movimiento de agua en el terreno, veamos como se produce dicho
movimiento:
Carga hidráulica en 1:
h1 = z1 + u1/γw
siendo:
z1: la altura con respecto al plano de comparación elegido
u1: la presión de agua en 1. Tomando la presión atmosférica como presión
cero, u1 = 0. Por tanto:
h1 = ( H + z + L )
Carga en 2:
h2 = z2 + u2/γw = z + L
Al ser mayor la carga en 1 que en 2, la filtración se producirá de 1 a 2. La pérdida de
carga total entre ambos puntos será:
Δh = h1 – h2 = H
Esta pérdida de carga se produce fundamentalmente en el terreno (pérdidas por
rozamiento con el suelo). La pérdida de carga que se produce por rozamiento en los
conductos de agua es despreciable frente a la que se produce al atravesar el suelo.
Por tanto, en el estudio del permeámetro se supone que toda la pérdida de carga, H,
se produce entre los puntos 3 y 4.
Veamos cuanto vale la presión del agua en el punto 3:
h1 = ( H + z + L )
h3 = h1 – Δh1-3
donde Δh1-3 es la pérdida de carga que se produce entre los puntos 1 y 3. Como
suponemos que toda la pérdida de carga se produce en el suelo Δh1-3 = 0.
Por tanto,
h3 = h1 = ( H + z + L )
Por otra parte, de acuerdo con Bernoulli:
h3 = z3 + u3/γw = u3/γw
(pues z3 = 0 de acuerdo con el plano de comparación elegido)
Igualando ambas expresiones se tiene:
u3 = γw ( H + z + L )
Si multiplicamos u3 por la sección transversal de la muestra, A, obtenemos la fuerza
total ejercida por el agua sobre la superficie inferior del suelo del permeámetro (fuerza
periférica inferior).
Veamos cuanto vale la presión del agua en el punto 4. Análogamente al punto 3:
h2 = z + L
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h2 = h4 – Δh2-4 = h4
luego h4 = z + L
Por otra parte, de acuerdo con Bernoulli:
h4 = z4 + u4/γw = L + u4/γw
Igualando ambas expresiones se tiene:
z + L = L + u4/γw ⇒ u4 = γw . z
Si multiplicamos u4 por la sección transversal A obtenemos la fuerza total que ejerce el
agua sobre la superficie superior del suelo (fuerza periférica superior).
Restando a estas fuerzas periféricas (inferior y superior) las fuerzas correspondientes
al caso estático (compresiones hidrostáticas), queda una fuerza ejercida por el agua
en circulación sobre el suelo que es lo que constituye la fuerza de filtración.
La fuerza de filtración es una fuerza interior, de arrastre de agua sobre el esqueleto
mineral y de reacción de éste sobre el agua. En un suelo isótropo la fuerza de filtración
siempre actúa en la dirección de la corriente.
La fuerza de filtración por unidad de volumen de suelo será:
s = γw.H.A/ A.L = γw.H/L = γw.i
donde i es el gradiente hidráulico. Es una magnitud vectorial, orientada en la dirección
del gradiente hidráulico (y del flujo, por lo tanto).
De todo lo expuesto merece la pena destacar los siguientes aspectos:
• Las fuerzas periféricas ejercidas por el agua sobre un elemento de suelo
son iguales a la suma del empuje de Arquímedes más la fuerza de
filtración;
• Para calcular las fuerzas que el agua ejerce sobre un elemento de suelo,
podemos utilizar las fuerzas periféricas y considerar el peso total del suelo,
o bien utilizar las fuerzas de filtración y considerar el peso sumergido del
suelo;
• La fuerza de filtración por unidad de volumen de suelo es igual al gradiente
de carga hidráulica, i, multiplicado por el peso especifico del fluido γw.
2.8. Sifonamiento.
En el esquema de la Fig. 3, veamos cuáles son las presiones en la superficie inferior
del suelo (punto 3):
• Presión total (vertical): σ = γwz + γsatL • Presión intersticial: u = γw (H + z + L) • Presión efectiva: σ’ = σ – u
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
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Si vamos aumentando H se irá produciendo un incremento de presión intersticial, con
la consiguiente reducción de presión efectiva. Llegará un valor H para el cual las
presiones efectivas en 3 se anulen. En suelos sin cohesión la resistencia al corte es
directamente proporcional a la presión efectiva, por tanto, si la presión efectiva se hace
nula el suelo se comporta como si fuera un líquido. Esto es lo que se conoce como
sifonamiento del suelo. Es decir, el estado de sifonamiento es aquél en el que la
resistencia al corte del suelo es nula por la ausencia de presiones efectivas. Veamos
cuál es el gradiente crítico, ic, para el que sucede esto:
σ’ = 0 ⇒ σ = u ⇒
⇒ γw.z + γsat.L = γw (H + z + L) ⇒(γsat – γw) L = γw.H ⇒
⇒ H/L = ic = γ’/γw
En arenas medias a finas ic oscila entre 0,9 y 1,1, con un valor medio en torno a 1. En
suelos cohesivos tipo limos y arcillas no se produce necesariamente, ya que presentan
una cierta resistencia incluso ante la ausencia de esfuerzos normales (debido a la
cohesión).
Veremos un poco más adelante cómo se calculan y cómo se dibujan las redes de
filtración. Esto está especialmente indicado en problemas de excavaciones al abrigo
de tablestacas o pantallas, en los cuales es preciso conocer el caudal de acceso al
fondo de la excavación para prever la capacidad de los elementos de achique. Sin
embargo, en estos casos también es necesario analizar la seguridad del fondo de la
excavación frente a un posible sifonamiento, como estado límite último.
3. ECUACIONES DEL FLUJO. REDES DE FILTRACIÓN.
En ciertos problemas de ingeniería es preciso efectuar una estimación de los caudales
de agua que circulan por el interior del terreno. Puede ser, por ejemplo, el caso de las
excavaciones al abrigo de pantallas, o la filtración a través de presas, en donde hay
que prever la capacidad de los sistemas de agotamiento para poder trabajar en seco,
o de los sistemas de evacuación. En otros casos, por ejemplo, cuando hay flujos de
agua a través de cimentaciones de terraplenes, la estimación puede ser necesaria
para el correcto diseño de los elementos de drenaje. Por otro lado, el conocimiento de
la red de filtración en el terreno permite conocer la distribución de presiones
intersticiales, que condiciona la resistencia y la deformabilidad del terreno.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
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3.1. Ecuación de Laplace.
En la Fig.4 se ha representado un elemento diferencial de suelo, a través del cual está
fluyendo el agua.
x
y
z
dxdy
dz
Fig. 4 - Filtración a través de un elemento diferencial de suelo
El caudal que entra por la cara superior será:
dxdyzhkq zz .)(
∂∂
=
Y el caudal que sale por la inferior:
dxdydzzh
zhkdz
zqqqq z
zzzz .)( 2
2
∂∂
∂∂
+=∂∂
+=Δ+
La variación de caudal será por lo tanto:
dxdydzzhkq zz ..)( 2
2
∂∂
=Δ
y sumando los de las otras dos direcciones el caudal total que atraviesa el elemento
diferencial de suelo será:
dxdydzxhk
yhk
zhkq xyz ..)( 2
2
2
2
2
2
∂∂
∂∂
∂∂
++=Δ (1)
Por otra parte, veamos cual será el volumen de agua en el elemento de suelo, en
función del índice de poros, e, y del grado de saturación, S.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
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dx
dy
dz
a
Fig. 5 - Elemento diferencial de suelo.
De acuerdo con el esquema del suelo, representado en la Fig. 5 - , en el que se ha
agrupado por una parte todo el volumen de las partículas sólidas y por otra todo el
volumen de huecos, el volumen de agua Vw en el elemento es:
dzdydxeeSVw ..
1.+
=
siendo:
S: grado de saturación
e: índice de poros
y su variación en el tiempo será el incremento de caudal:
teS
edzdydxdzdydx
eeS
ttVq w
∂∂
∂∂
∂∂ ).(
1..)..
1.(
+=
+==Δ
ya que (dx.dy.dz)/ (1+e) es igual al volumen de las partículas sólidas, que no varia
con el tiempo.
Por lo tanto, igualando con la ecuación (1) anterior queda de la siguiente forma:
)(1
12
2
2
2
2
2
teS
tSe
ezhk
yhk
zhk zyz ∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
++
=++
En relación con los distintos valores que pueden adoptar e y S tendríamos diferentes
modos de flujo o de soluciones de la ecuación:
• e y S constantes
• e variable y S constante
• e constante y S variable
• e y S variables
El modo correspondiente al punto a) es el que analizaremos a continuación y que
denominaremos a partir de este momento como flujo permanente o establecido. En
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
17
cuanto a las otras tres situaciones, son procesos de flujo transitorios (el segundo
representa la consolidación).
Para e y S constantes, la ecuación del flujo queda reducida a:
02
2
2
2
2
2
=++zhk
yhk
zhk zyz ∂
∂∂∂
∂∂
que cuando el suelo es isótropo queda de la siguiente forma:
02
2
2
2
2
2
=++zh
yh
zh
∂∂
∂∂
∂∂
o bien Δh = 0 (Δ ≡ operador laplaciano)
Esta ecuación se denomina en la práctica ecuación de Laplace e indica que la suma
de los cambios del gradiente hidráulico en tres direcciones ortogonales es nula. En dos
dimensiones, la ecuación queda:
02
2
2
2
=+yh
zh
∂∂
∂∂
La solución de la ecuación de Laplace para un problema particular, con unas
condiciones de contorno definidas, es única, y en dos dimensiones está constituida por
dos conjuntos de curvas ortogonales entre sí que se denominan líneas de corriente
(ψ) y equipotenciales (φ). Ambas definen lo que en la práctica se conoce bajo el
nombre de red de flujo. En la Fig. 6 - se ha representado un ejemplo de una red de
filtración a través de una presa.
líneas de corriente
equipotenciales
Fig. 6 - Ejemplo de red de filtración a través de una presa
Las líneas de corriente representan en el caso de régimen permanente la trayectoria
que siguen las partículas de agua en su recorrido a través del terreno. Ningún caudal
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
18
atraviesa, por tanto, una línea de corriente. En cuanto a las equipotenciales, son líneas
a lo largo de las cuales el valor de la carga hidráulica, h, es constante, de tal manera
que si se dispusiera un conjunto de piezómetros a lo largo de una cualquiera de ellas
el agua ascendería al mismo nivel en todos ellos. También suele denominarse tubo de
flujo o canal de flujo al área contenida entre dos líneas de corriente consecutivas.
Otro conjunto de líneas de gran importancia son las isobaras, a lo largo de las cuales
la carga de presión, (u/γw = h – z) es constante. La denominada superficie libre, en la
que la presión es nula (la presión atmosférica, tomada como referencia), es pues un
caso particular de ellas.
La construcción de la red de flujo en un caso concreto persigue la determinación de
uno o varios de los siguientes objetivos:
• Presiones intersticiales en el medio (se determina la carga hidráulica total y, a
través de ella, las presiones)
• El gradiente hidráulico crítico
• El caudal de filtración
3.2. Soluciones de la ecuación de Laplace
Las ecuaciones del flujo de agua en el terreno, y en particular, la ecuación de Laplace,
pueden resolverse de varias maneras:
- Soluciones matemático-analíticas (en problemas de una dimensión, o
en casos simples de 2 dimensiones);
- Métodos gráficos (dibujo a mano alzada, en dos dimensiones);
- Soluciones analógicas (modelos eléctricos);
- Modelos físicos (a escala reducida);
- Métodos numéricas (diferencias finitas, elementos finitos).
En todo caso será necesario establecer previamente las condiciones de contorno del
problema. Las condiciones de contorno pueden ser de varios tipos. En una presa de
materiales sueltos, por ejemplo, tendremos:
- Contorno impermeable: es una línea de corriente (ψ = cte). Siendo n y t
las direcciones normal y tangencial en un punto del contorno:
0===tn
vn ∂ψ∂
∂∂φ
luego, ψ es constante a lo largo de t, y por tanto es línea de corriente.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
19
- Superficie libre: es línea de corriente (ψ = cte) e isobara: u/γw =cte= 0,
(presión atmosférica); h = z; Δh = Δz; φ = -kz.
- Superficie de entrada: es línea equipotencial (φ = cte.).
- Superficie de salida: puede ser equipotencial, isobara o una
combinación de ambas.
3.2.1. Ejemplo de resolución matemática
En un problema unidimensional, la ecuación de Laplace adopta la siguiente forma:
02
2
=dx
hd
de donde:
adxhd=
h = ax+b
Introduciendo condiciones de contorno:
x = 0 → h = h0 → b = h0
x = L → h =hL → hL = aL + h0 → a = (hL - h0)/L
y la solución de la ecuación de Laplace queda:
00 hx
Lhhh L +
−=
que representa la distribución de h en un acuífero confinado de pequeño espesor,
asimilable a un problema unidimensional, en el cual la extrapolación lineal del valor de
h estaría, pues, justificada.
3.2.2. Dibujo a mano alzada
En el caso de medios isótropos (kh=kv) y homogéneos se puede dibujar a mano
alzada la red de filtración, teniendo en cuenta las siguientes reglas:
a. Analizar en primer lugar las condiciones de contorno del problema para
localizar las líneas de corriente o equipotenciales que constituyan la base de
partida.
Por ejemplo:
-En el caso de pantallas:
- Contorno impermeable (es una línea de corriente)
- Eje de simetría (es una línea de corriente)
- Superficie de entrada o salida (es una línea equipotencial)
-En el caso de presas:
- Talud de aguas arriba (es una línea equipotencial)
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
20
- Talud de aguas abajo (es una línea de corriente, en parte)
- Cimentación (es una línea de corriente, si el terreno se considera
impermeable)
- Superficie libre (es una línea equipotencial)
b. Comenzar dibujando pocos tubos de flujo (3-4) y pocas equipotenciales,
manteniendo la precaución de que las intersecciones sean ortogonales.
c. La separación entre líneas de corriente se elegirá de forma que resulten
iguales los flujos circulantes por cada par de ellas
d. Procurar que las áreas contenidas por dos líneas de corriente y dos
equipotenciales sean cuadradas.
e. Las líneas de corriente serán suaves y no deberán cortarse nunca dos de
ellas. Lo mismo se aplica para las equipotenciales.
f. En cualquier caso procurar ajustar de forma general la red y después afinar
los detalles. Generalmente se hace subdividiendo los cuadrados ya ajustados
en otros de menores dimensiones.
El dibujo de la red suele dar unos resultados bastante aproximados. Aunque se
empleen programas informáticos de cálculo, es útil realizar un tanteo a mano, con el
fin de corroborar que los cálculos se están haciendo de forma correcta.
3.2.3. Numéricas
La ecuación de Laplace se puede resolver aplicando, por ejemplo, el método de
diferencias finitas o el método de los elementos finitos. Hoy en día existen numerosos
programas informáticos comerciales para el cálculo de filtraciones en el terreno.
Permiten realizar el cálculo de filtraciones en terrenos heterogéneos y anisótropos,
cuando hay un proceso constructivo complicado, etc.
3.2.4. Modelos Analógicos
Permiten resolver el problema a través de similitud con problemas de calor o
eléctricos. Se asimilan los siguientes parámetros:
• Carga Hidráulica = Voltaje • Permeabilidad = Conductividad eléctrica • Caudal = Intensidad de la corriente
3.3. Estimación de la superficie libre (presas)
Mientras que el flujo bajo estructuras impermeables, como es el caso de presas de
hormigón o pantallas, es de tipo confinado, cuando la estructura es permeable, el flujo
es no confinado. En este caso la línea superior que delimita ese flujo la llamamos
línea piezométrica, o superficie libre, y a lo largo de ella la presión es la atmosférica.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
21
Al ser la más importante es la primera línea que hay que buscar en este tipo de
problemas de filtración a través de presas y terraplenes.
Para dibujar la superficie libre del agua en el caso de filtración a través de una presa
se pueden emplear métodos aproximados basados en el empleo de la parábola básica
de Casagrande, como el que se describe en Jiménez Salas et al. (1976). Según este
método la línea piezométrica puede aproximarse a una parábola, con algunas
modificaciones en la parte de entrada y salida de la presa o terraplén para ajustarla a
lo observado en la experimentación.
En la Fig. 7 se ha representado un ejemplo de filtración en una presa, así como la
parábola que constituye la superficie libre, con sus correspondientes modificaciones en
la entrada y en la salida. Esta parábola pasa por el punto A, distante de B tres décimas
de la distancia EB, y tiene su foco en el punto F.
Δa
a
Fig. 7 - Aproximación de la superficie a una parábola. Correcciones de entrada y salida
En la Fig. 8 se han representado las correcciones a realizar a la parábola tanto en la
entrada como en la salida de la filtración. El paramento de entrada del agua en el
interior de la presa o terraplén representa la equipotencial máxima y, por ser
ortogonales las líneas de corriente y las equipotenciales, el agua entrará perpendicular
a él.
La corrección que debe emplearse en la salida de la superficie está indicada en la fig.
8, en la que se ha ampliado la zona de salida. En la Tabla 3 se indican los valores
señalados en el gráfico.
Tabla 3: Valores de los parámetros señalados en el gráfico de la Fig. 8 β (talud) 30 60 90 120 150 180
Δa/a 0.36 0.32 0.26 0.18 0.10 0
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
22
a
a
β
Fig. 8 - Detalle de corrección a la parábola en la zona de salida
Otra forma de estimar la posición aproximada de la superficie libre es aplicar la
solución de Dupuit-Forchheimer. Las hipótesis simplificadoras adoptadas en esta
solución consisten en suponer flujo básicamente en la dirección horizontal, y
considerar que no se rezuma agua en el paramento de aguas abajo, esto es, que la
superficie libre alcanza en ese paramento el nivel de agua del exterior (Fig. 9).
L x
z
x=0 x=L
h0
hL
h
dxdh
ds
L x
z
x=0 x=L
h0
hL
h
dxdh
ds
L x
z
x=0 x=L
h0
hL
h
dxdh
ds
Fig. 9 – Hipótesis de la solución de Dupuit-Forchheimer para la posición de la superficie libre.
Admitiéndose flujo horizontal, el gradiente hidráulico resulta ser:
Y aplicando Darcy, el caudal será:
dxdh
dsdhi ==
hdxdhkA
dxdhkQ −=−=
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
23
De esta manera, integrando, y aplicando las condiciones de contorno (x=0 → h=h0; y
x=x → h=hx) resulta la siguiente ecuación de la superficie libre:
xhhkQ x
2)( 22
0 −=
que corresponde a una parábola, pudiéndose determinar el caudal según:
LhhkQ L
2)( 22
0 −=
3.4. Determinación del caudal de filtración
En la Fig. 10 se ha representado la red de filtración a través de una presa.
h
Fig. 10 - Ejemplo de red de filtración a través de una presa. Cálculo del caudal filtrado
Una vez dibujada la red de flujo, el caudal de filtración correspondiente se calcula de la
siguiente forma:
eq
f
NN
nHkq ...Δ=
donde
• Nf es el número de tubos de flujo
• Neq es el número de equipotenciales
• n es la relación altura-anchura de los elementos que constituyen la red o factor
de forma de la misma (a/b en la figura)
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
24
• ΔH es la máxima pérdida de carga hidráulica.
4. FLUJO EN MEDIOS ANISÓTROPOS
4.1. Coeficiente de permeabilidad equivalente
El flujo a través de medios anisótropos se puede calcular mediante un coeficiente de
permeabilidad equivalente de la forma siguiente:
• Flujo horizontal en un suelo estratificado verticalmente; el mismo gradiente
321
332211 ...DDD
kDkDkDkH ++++
=
• Flujo vertical en un suelo estratificado verticalmente; el mismo caudal
3
3
2
2
1
1
321
kD
kD
kD
DDDkV
++
++=
4.2. Red de flujo en suelos anisótropos
En el caso de medios anisótropos la ecuación del flujo bidimensional queda:
02
2
2
2
=+yhk
xhk yx ∂
∂∂∂
donde kx ≠ ky.
En este caso la solución de la ecuación del flujo no son dos familias perpendiculares
entre sí. Para resolver el cálculo de la red de flujo se puede aplicar el método de
Samsiöe, que consiste en hacer un cambio de coordenadas:
x → xT
es decir, x se transforma en xT , haciendo que
x xkkT
y
x= .
De esta forma la ecuación del flujo queda en forma de laplaciano:
02
2
2
2
=+yh
xh
T ∂∂
∂∂
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
25
cuya solución son las dos familias de curvas ortogonales entre sí, que forman las
líneas de corriente y equipotenciales.
Es decir, para construir una red de flujo en medios anisótropos lo primero que hay que
hacer es transformar el eje x natural mediante la expresión anterior y proceder como
en el caso de suelos isótropos, tal y como se indica en la Fig. 11. Una vez dibujada la
red de flujo se deshace la transformación y la red resultante será la que tenga lugar en
la realidad.
X= x13
xT
x
zT k
kxx =
Fig. 11 - Transformación de coordenadas en el caso anisótropo
En cuanto al caudal de filtración correspondiente, es fácil deducirlo de la red
transformada empleando una permeabilidad equivalente:
k k ke y x= .
5. FLUJO EN MEDIOS HETEROGÉNEOS (SUELOS DE DISTINTA PERMEABILIDAD). LEY DE SNELL
En el caso de que el flujo atraviese dos medios de diferente permeabilidad (k1 ≠ k2) las
líneas de corriente se desvían de la forma indicada en la Fig. 12.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
26
K 1
K2
1
1
a11
a2
Fig. 12 - Refracción producida en la superficie de contacto entre dos medios de distinta permeabilidad
Se cumple la relación:
)()(
2
1
2
1
αα
tgtg
kk
=
Siendo αi el ángulo que forman las líneas de corriente con la normal al plano de
separación de los dos medios.
6. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO
En la determinación de las ecuaciones del flujo en régimen transitorio, en la ecuación
que rige el balance de masa de fluido en una porción de suelo, debemos considerar,
además de la cantidad de fluido que entra y que sale, la que se almacena por unidad
de tiempo. Resulta así (Fig. 13):
Fig. 13 – Balance de masa de fluido
x
z
y
Δy
Δx
Δz
xvx
v xx Δ∂∂
+ )(ρρ xvρ
nt
vz
vy
vx zyx ρρρρ
∂∂
=∂∂
−∂∂
−∂∂
− )()()(
Entra – Sale = ΔAlm./Δt
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
27
Considerando que el fluido es poco compresible y que la Ley de Darcy es válida,
resulta:
El término temporal se puede descomponer de la siguiente manera:
Donde α es la compresibilidad del medio poroso y β la compresibilidad del fluido,
ambas en unidades (m2/N):
Denominamos al parámetro Ss almacenamiento específico, definido como el volumen
de agua liberado por un volumen unitario de medio poroso debido a una caída unitaria
de carga hidráulica, (Ss = [1/L]):
Considerando un medio homogéneo e isótropo, resulta la siguiente ecuación
(“ecuación de la difusión”) que rige el flujo de agua en régimen transitorio, para cuya
resolución es necesario conocer tanto las condiciones de contorno como las iniciales:
En un acuífero confinado, podemos simplificar el problema considerando apenas las
dos dimensiones en planta (Fig. 14).
Fig. 14 – Acuífero confinado de espesor “b”.
Aplicando igualmente el principio de conservación de masa y la Ley de Darcy,
tenemos:
donde T = k·b, la transmisividad, [L2/T], y S = Ss·b, la almacenabilidad, [-], son los
parámetros que caracterizan el acuífero confinado. La almacenabilidad (o coeficiente
b
y
x
tn
zhk
yhk
xhk zyx ∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂ )(1
2
2
2
2
2
2 ρρ
thng
tn
tn
tn
∂∂
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=∂
∂ )(1)(1 βαρρρρ
ρρ
)1(' 0ee
v +ΔΔ
=σ
α ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=PV
V1β
)( βαρ ngSs +=
thShk s ∂∂
=∇2
thbS
yhbk
yxhbk
x syx ∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
th
TSh∂∂
=∇2
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
28
de almacenamiento), S, se define como el volumen de agua liberado por unidad de
área del acuífero por unidad de disminución de carga hidráulica, h. Se considera que
el acuífero tiene una buena transmisividad (lo que facilita su explotación) cuando
T > 0,015 m2/s. En relación a S, en los acuíferos confinados este parámetro suele
presentar un valor entre 5·10-3 y 5·10-5.
Si el acuífero es libre o no confinado, las ecuaciones difieren porque al aplicar la Ley
de Darcy, el parámetro que determina el área no es el espesor del acuífero (b en los
acuíferos confinados), sino la altura piezométrica o carga hidráulica, h, referida a un
plano de referencia en la base del acuífero:
de donde:
y
El parámetro adimensional Sy se denomina cedencia específica, rendimiento
específico o almacenabilidad no confinada, y caracteriza el acuífero. Suele adoptar
valores entre 0,01 y 0,3 en los acuíferos libres.
7. POZOS
7.1. Pozos en régimen permanente
En un pozo de bombeo excavado en un acuífero confinado, en régimen permanente,
es decir sin cambios en el tiempo ni del caudal extraído ni del nivel freático, podemos
deducir la ecuación que rige el flujo de agua hacia el pozo (Ecuación de Thiem) a partir
de la Ley de Darcy (Fig. 15). Así, el caudal que atraviesa una superficie cilíndrica de
radio r y altura b (espesor del acuífero) es:
rbdrdhkkiAQ π2==
Introduciendo como condiciones de contorno la altura piezométrica (carga hidráulica)
en dos puntos situados a una distancia del pozo de r1 y r2, respectivamente, h1 y h2:
∫∫ = 2
1
2
1 2r
r
h
h rdr
bkQdhπ
thS
yhhk
yxhhk
x yyx ∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
thS
yhhk
yxhhk
x yyx ∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
thS
yhk
xhk yyx ∂
∂=
∂∂
+∂∂
2
22
2
22
21
21
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
29
e integrando:
1
212 ln
2 rr
TQhhπ
=−
resulta la ecuación de Thiem, siendo T = b·k la transmisividad del acuífero.
Fig. 15 – Flujo de agua hacia un pozo en un acuífero confinado en régimen permanente.
Si el acuífero es libre (Fig. 16), y aceptamos las hipótesis de Dupuit-Forchheimer –a)
flujo esencialmente horizontal; y b) el pozo no rezuma agua por encima del nivel de
agua en el mismo-, resulta:
rhdrdhkQ π2= ∫∫ = 2
1
2
1 2r
r
h
h rdr
kQhdhπ
1
221
22 ln
rr
kQhhπ
=−
Se deduce de lo anterior que, en régimen permanente, las ecuaciones que rigen el
flujo de agua hacia un pozo, en un acuífero confinado y en un acuífero no confinado,
son lineales en h y en h2, respectivamente, lo que permite aplicar el principio de
superposición, por ejemplo, para representar un contorno de flujo nulo, o un contorno
de recarga (Fig. 17).
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
30
Fig. 16 – Flujo de agua hacia un pozo en un acuífero no confinado en régimen permanente.
Fig. 17 – Utilización del principio de superposición para representar un contorno de flujo nulo mediante un pozo imaginario simétrico del real respecto del plano del
contorno.
7.2. Pozos en régimen transitorio. Análisis de ensayos de bombeo
El flujo transitorio de agua hacia un pozo en un acuífero confinado se puede
representar a partir de la solución de Theis. Utilizando coordenadas radiales, la
ecuación de flujo transitorio es la siguiente:
th
TS
rh
rrh
∂∂
=∂∂
+∂∂ 1
2
2
donde T es la transmisividad del acuífero, y S la almacenabilidad o coeficiente de
almacenamiento. Consideramos inicialmente que para un tiempo t ≤ 0, antes del
bombeo, la altura piezométrica en la zona es h(r,0) = h0. Como condición de contorno,
la altura piezométrica tenderá a mantenerse igual a h0 en las zonas alejadas del pozo
de bombeo. Esto es, para t > 0, y r→∞:
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
31
Tq
rhr
r π2lim
0=
∂∂
→
La solución de Theis hace uso de la función de pozo, W(u):
duu
eT
Qtrhhu
u
∫∞ −
=−π4
),(0
siendo:
TtSru
4
2
=
y la función de pozo:
...!44!33!22
ln5772,0)(432
+⋅
−⋅
+⋅
−+−−== ∫∞ − uuuuudu
ueuW
u
u
Para conocer las características del acuífero confinado, T y S, se realizan ensayos de
bombeo, en los que, desde que se inicia la extracción de un caudal constante, Q, se
miden en sondeos o pozos de observación situados a distancias r del pozo de bombeo
los descensos del nivel piezométrico, s(r,t)=h0-h(r,t), a diferentes tiempos, t. A partir de
la ecuación de Theis, se tiene:
)(log4
loglog uWT
Qs +=π
uST
tr log4loglog
2
+=
Siendo constantes Q/4πT y 4T/S, se puede analizar el ensayo de bombeo
gráficamente a partir de los datos de campo (mediciones de s(r,t)) y de la curva tipo de
la función de pozo: log W(u) en función de log(u). Superponiendo a esta curva tipo la
curva de mediciones expresada en: log(s) en función de log(r2/t), se puede obtener el
valor de la transmisividad y de la almacenabilidad del acuífero confinado (fig. 18).
Fig. 18 – Solución gráfica de análisis de ensayos de bombeo a partir de la ecuación de Theis.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
32
Cuando la variable u (u=r2S/4Tt) es menor de 0,01, es decir, con valores del descenso
de nivel piezométrico medidos en puntos próximos al pozo de extracción (r pequeño) o
en tiempos, t, elevados, se puede utilizar el método de Jacob, que considera como
simplificación como función de pozo la siguiente expresión:
uuW ln5772,0)( −−≈
Así, el descenso de nivel piezométrico resulta:
SrtT
TQu
TQtrs 2
25,2ln4
)ln5772,0(4
),( ⋅=−−=
ππ
SrtT
TQtrs 2
25,2log4
3,2),( ⋅⋅=
π
expresión que permite también la obtención gráficamente de los parámetros del
acuífero, transmisividad, T, y almacenabilidad, S. Así, para un radio fijo (mediciones en
un único pozo o sondeo de observación situado a la distancia r del pozo de bombeo),
se pueden representar los valores medidos de s en función de log t, que deberán
conformar una recta cuya pendiente es 2,3Q/4πT. Una vez obtenido el valor de T, el
punto de corte de la recta con el eje de abscisas será el tiempo t0, correspondiente a
s=0, y a partir de ese valor se puede deducir S (Fig. 19):
SrtTs 2
025,2log0 ⋅⋅== S
SrtT⇒
⋅⋅= 2
025,21
Análogamente, si se dispone de lecturas del descenso de nivel piezométrico en
diferentes sondeos de observación, se puede representar s en función de log r para
un mismo tiempo t desde el inicio del bombeo, alineándose los puntos en ese gráfico
en una recta de pendiente -2,3Q/2πT, que permite deducir el valor de la
transmisividad, así como el valor de S a partir del punto de corte con el eje de
abscisas.
Fig. 19 – Solución gráfica de análisis de ensayos de bombeo según el método de Jacob, para u<0,01.
Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA
33
ANEJO I BIBLIOGRAFÍA
Jiménez Salas, J. A..; de Justo Alpañés, J. L.; Serrano González, A. A. (1976).
“Geotecnia y Cimientos”. Tomos I y II. Ed. Rueda.
Lambe, T. W. ; Whitman, R. V. (1972). “Mecánica de suelos”. Ed. Limusa.
Freeze, R. Allan; Cherry, J.A . (1979) “Groundwater”. Ed. Prentice Hall.