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UNIDAD TRES FAMILIA DE RECTAS

Familia de lnea recta: La ecuacin de la recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones independientes, por ejemplo, dos de sus puntos uno de sus puntos y su pendiente.

Una recta cumple solo una condicin, no es una recta nica, por lo que existe una infinidad de rectas que satisfacen dicha condicin y tiene una propiedad en comn.

Por lo tanto la totalidad de las rectas que cumplen con una nica condicin geomtrica se denominan familia de rectas.

Si consideramos a todas las rectas cuya pendiente es 7, la totalidad de ellas forman una familia de rectas paralelas y que tienen como propiedad comn que su pendiente es 7.

Al aplicar la ecuacin pendiente y ordenada en el origen se tiene lo siguiente:

Y=mx+b Y=7x+b Y=7x+k

K= constante arbitraria que se le asigna cualquier valor real. En la ecuacin k representa el segmento que la recta determina sobre el eje y.

Al tomar k un valor particular se obtiene la ecuacin de las rectas que forman una familia; por ejemplo: determinar las familias de rectas que es (0, 2) y (-3) despectivamente.

Y=7x+k Y=7x+0 7x-y=0

Si consideramos todas las rectas que pasan por el punto A (-4, 3), si se aplica la ecuacin punto y pendiente de la recta tenemos:

A (-4, 3) y-y1=m(x-x1) Y-y1=k (&-&1) Y-3=k(x-(-4)) Y-3=k (&+4)

Al tomar k un valor particular se obtiene la ecuacin de cualquiera de las rectas que forma la familia; por ejemplo: determina las familias par cuando k=0, 2 y -1 de acuerdo al punto A y -1.

Para k=0 para k=2 para k=-1 Y-y1=k(x-x1) y-y1=2(x-x1) y-y1=-1(x-x1) Y-3=0(x-(-4)) y-3=2(x+4) y-3=-1(x+4) Y-3=0 y-3=2x+8 y-3=-x-4 y=3 2x-y+3+8=0 y-3+x+4=0 2x-y+11=0 x+y+1=0 -y=-2x-11 y=-x-1 y=2x+11

La familia de rectas obtenidas se le conoce tambin como HAZ de rectas de un vrtice dado.

Por todo lo anterior se observa que una recta de una familia de rectas queda determinada al asignarse un valor especifico a la constante k que se denomina parmetro de la familia.

La definicin de familia es til para hallar la ecuacin de una recta en particular, el proceso consta de dos pasos.

1.- Se aplica la forma de la ecuacin que satisfaga la condicin dada desinhibiendo la familia HAZ de recta. 2.-dada otra condicin se determina el valor del parmetro de la familia.

Ejemplo: hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto a (-3, 5) tal que la suma algebraica de los segmentos que determinan sobre los ejes coordenados es=4.

K=0

K=-1

K=2

Solucin: al aplicar forma cintica.

X/a+y/b=1 x/k+y/4-k=1 donde ((k no es =4)

Como la recta pasa por el punto A (-3, 5)

-37k+5/4-k=-3(4-k)+5k/k (4-k)=1

-3(4-k)+5k= (1) (k(4-k)) 2 -12+3y+5k=4k-k 2 2 -12+8k=4k-k Ax+Bx+C=0 Ecuacin de 2 grado 2 K+8k-4k-12=0 2 K+4k-12=0

Al resolver la ecuacin de 2 grado se obtiene el valor de k

2 X=-b+-raz de b-4ac/2 2 X=-4razde (4)-4(1)(-12)/2(1) A=1 X=-4raz de 16+48/2 B=4 X=-4 raz de 64/2 C=-12 X=-4+8/2=4/2=x=2

2 X=-b+-raz de b-4ac/2 2 X=-4-raz de (4)-4(1)(-12)/2(1) X=-4-raz de 16+48/2 X=-4- raz de 64/2 X=-4-8/2=-12/2=x=-6

K1=2 k2=-6 k1+k2=-4

Si se substituyendo la ecuacin original obtenemos la ecuacin de la recta

Para k=2 para k=-6 x/k+y/4-k=1 x/k+y/4-k x/2+y/4-2=1 x/-6+y/4-(-6) x/2+y/2=1 x/-6+y/10=-10x+6y/-60=1 x+y/2=1 -10x+6y=-60

x+y=2 -10x+6y+60=0(-1) x+y-2=0 10x-6y-60=0 5x-3y-30=0

Se determina que las 2 rectas que tienen la propiedad de pasar por el punto A (-3, 5) y que satisface la condicin dada de que la suma algebraica de los segmentos L, K que determinan los ejes coordenados es = -4

Determina la familia de las rectas cuando k=0, 1, 2, 3, 4, -1 y -2 de acuerdo al punto A (-4, 3)

Y-y1=k(x-x1) Y-3=0(x-(-4)) Y-3=0 y=3

Y-y1=k(x-x1) Y-3=0(x-(-4)) Y-3=1(x+4) Y-3=x+4 Y-3-x-4=0 x-y+7=0 y=x+7

Familia de rectas que pasan por la interseccin de 2 rectas dadas

Sea Ax+By+C=0 y Ax1+By1+C1=0

Dos rectas que se cortan en el punto B1(x1y1)se considera la expresin siguiente k1(Ax+By+C)+k2(Ax+By+C)=0

K=m En donde k1 y k2 son arbitrarias a las que se les asigna cualquier Pendiente=0 valor real excepto en el caso donde las dos sean cero a la vez es decir que al multiplicarlo por cualquier ecuacin es cero.

La ecuacin anterior se considera que k2/k1=k al sustituir en la ecuacin en la recta resulta: Ax+By+C+K(Ax+By+C)=0

La ecuacin general que representa la familia de las rectas que pasan por la interseccin de las rectas presentan la ventaja de obtener la ecuacin de lacta sin determinar el punto de interseccin.

Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las rectas 3x+y-16 de la recta y 4x-7y-13=0 y por el punto p(-2,4)

P(-2, 4) Ax+By+C+K(Ax+By+C)=0 3x-y-16+k(4x+7y-13)=0 k=18/-49 3(-2)+4-16+k(4(-2)-7(4)-13)=0

-6+4-16+k(-8-28-13)=0 -18+k(-49=0 -18-49k=0 -49k=18 La recta o ecuacin pedida es k=-18/49

3x+y-16+[k(4x-7y-13)]=0 3x+y-16+[-18/49(4x-7y-13)]=0 3x+y-16-[18/49(4x-7y-13)]=0 3x+y1-16-12x-126y-243/49=0 147x+49y-789-72x-126y-239/49=0 147x-72x+49y+126y-789+234/49=0 15x+175y-550/49=0 1.53x+351y-11.22=0

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO

Geomtricamente el punto de concurrencia de las bisectrices es el insentro; el de las mediatrices es el circuncentro; el de las alturas es el hortosentro y el de las medidas es el grabicentro.

Ecuacin como lugar geomtrico de la bisectriz de un ngulo

La bisectriz de un ngulo es la semirrecta interior del ngulo, que lo divide en dos partes o ngulos iguales, es decir, es el lugar geomtrico equidistante en los lados del ngulo.

Sean las rectas PQ: Ax+By+C=0, QR: Ax+By+C=0 y PR: Ax+By+C=0o la ecuacin de los lados del triangulo PQR. (figura 1). Sea O (hr)un punto de la bisectriz l1 del ngulo p; considerando distancias dirigidas de los lados PR y PQ del triangulo al punto O, tenemos que para la bisectriz L1:d1=-d2

es decir: 2 2 2 2

Ax+By+C/+-raiz(A)+(B)=Ax+By+C/+-raz de A+B

De la misma manera, sea O (h r) un punto de la bisectriz l2del ngulo Q (figura 2); considerando distancias dirigidas de los lados PQ y QR del triangulo al punto O, tenemos que para la bisectriz l2:d1=-d2es decir:

2 2 2 2 Ax+By+C/+-raizA+B=Ax+By+C/+-raz de (A)+(B)

Sea O (h r) un punto de la bisectriz l3 del ngulo R (figura 3); considerando distancias dirigidas de los ngulos PR y QR del triangulo al punto O, tenemos que para la bisectriz l3:d1=d22es decir:

2 2 2 2 Ax+By+C/+-raiz(A)+(B)=Ax+By+C/+-raz de (A)+(B)

Incetro

Es el punto de concurrencia de las bisectrices de los ngulos interiores del triangulo. El incetro es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo, cuyos lados son tangentes a la circunferencia (figura 4)

L1, l2, l3 (bisectrices) L1nl2nl3=0 (insentro)

El insentro siempre es interior al triangulo

Ecuacin como lugar geomtrico de la mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento de la recta perpendicular que pasa por el punto medio, es decir, es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Con base a las figuras 5 y 6, los puntos P(x1 y1) Q(x2 y2) R(x3 y3) son los vrtices de un triangulo, en donde l1 es la mediatriz que pasa por el punto medio A (xa ya) del lado PQ del triangulo dado.

Como la mediatriz l1 y el lado PQ son perpendiculares entre si, se tiene que sus pendientes son reciprocas y de signo contrario por lo que:

mL1=-1/mPQ

Aplicando la ecuacin punto-pendiente de la recta, tenemos que la ecuacin de la mediatriz L1 es:

y-ya=-1/mPQ(x-xa)

De la misma manera, sean L2 y L3 las mediatrices que pasan por los puntos medios B (xb yb) y C (xc yc) de los lados QR y PR, respectivamente, del triangulo dado. Como las mediatrices L2 y L3 as como los lados QR y PR son, respectivamente, perpendiculares entre si, se tiene que sus perpendiculares son reciprocas y de signo contrario, por lo que:

mL2=-1/mQR y mL3=-1/mPR

al aplicar la ecuacin punto pendiente de la recta, tenemos que la ecuacin de las mediatrices L2 y L3 son:

Y-Yb=-1/mQR(x-xb) y Y-Yc=-1/mPR (x-xc)

Circuncentro

Es el punto de interseccin de las mediatrices de los tringulos. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triangulo, de tal manera que los tres vrtices del triangulo tocan la circunferencia. De la figura 5 se observa que L1, L2, L3 son las mediatrices de los lados PQR; las intersecciones de dichas mediatrices dan lugar al punto O (h r9 que se denomina circuncentro (L1n, L2n, L3n =0 ); por, ultimo, par esta grafica se establece: un triangulo acutngulo, el circuncentro es interior al triangulo. De la figura 6 observa que L1, L2, L3 son mediatrices de los lados del triangulo PQR; las intersecciones de dichas mediatrices dan lugar al punto O(h r) que se denomina circuncentro (L1n, L2n, L3n=0); por ultimo, para esta grafica se establece : se establece un triangulo obtusngulo, el circuncentro es exterior al triangulo.

Ecuacin y longitud de las alturas del triangula

La altura del triangulo es el segmento de recta se traza desde un vrtice perpendicularmente a su lado opuesto.

Los vrtices de un triangulo son P(x1 y1) Qx2 y2) R(x3 y3), en donde h1 es la altura trazada perpendicularmente desde el vrtice P asta el lado opuesto QR del triangulo dado (figura 7)

Como la altura h1 y el lado QR son perpendiculares entre si, entonces sus pendientes son reciprocas y de signo contrario por lo que:

Mh1=-1/mQR

Al aplicar la ecuacin punto pendiente de la recta, tenemos que la ecuacin de la altura h1 es:

y-y1=-1/mQR(x-x1)

De la misma manera sean h2, h3 las alturas trazadas perpendicularmente desde los vrtices Q y R a los lados opuestos PR y PQ, recprocamente en el triangulo dado.

Como las alturas h2, h3 son perpendiculares entre si, as como los lados PR y PQ, se tiene que sus pendientes son reciprocas y de signo contrario por lo que

Mh2=-1/mPR y mh3=-1/PQ

Al aplicar la ecuacin punto pendiente de la recta tenemos que la ecuacin de las alturas h2 y h3 es

y-y1=-1/mPR(x-x2) y y-y3=-1/mPQ(x-x3)

la longitud de la altura se determina al aplicarla ecuacin de la distancia de una recta a un punto, es decir: sea la ecuacin PQ Ax9+By+C=0 QR ax+by+c=0 PR Ax+By+C=0 la de los lados de los tringulos dado

la longitud de la altura h1 es la distancia de la recta QR Ax+By+C=0 al vrtice P(x1 y1) se expresa por:

dh=ax+by+c/+- raiz de (a)al cuadrado + (b) al cuadrado

De la misma manera, la longitud de las alturas h2, h3 es respectiva a la recta PR Ax+By+C=0 al vrtice Q(x2 y2) y de la recta PQ Ax+By+C=0 al vrtice R por lo que se expresa:

Dh2=ax2+by2+c/+- raiz de (a)al cuadrado + (b) al cuadrado Y de

Dh3=ax3+by3+c/+- raiz de a al cuadrado + b al cuadrado

Ortocentro

El punto de concurrencia de de las tres alturas del triangulo en la figura 7 se tiene h1n, h2n, h3n=0, en donde 0 representa el ortocentro; se ase notar que un triangulo acutngulo el ortocentro es siempre interior al triangulo. En la figura 8 se observa que el triangulo rectngulo el ortocentro coincide con el del vrtice del ngulo recto. En la figura 9 se hace notar que el ortocentro en el triangulo obtusangulo es exterior al triangulo y es el punto de interseccion de las prolongaciones de las alturas

Ecuacin y longitud de las medidas de un triangulo

La mediana en el triangulo es la que se trasa de un vrtice a un punto medio del lado opuesto. Los vrtices de un triangulo son P(x1, y1) Q(x2, y2) y R(x3, y3) en donde L1 es la mediana trazada desde el vrtice P al punto medio A(xa, ya) del lado opuesto QR del triangulo dado (figura 10). Al aplicar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dado, tenemos que la ecuacin de la mediana L1 es:

y-y1=(y1-ya/x1-xa)(x-x1)

De la misma manera, para las medianas L1 y L2 trazadas desde los vrtices Q y R a los puntos medios B(xb, yb) y C(xc, yc) de los lados opuestos PR y PQ respectivamente, en el triangulo dado, tenemos que sus ecuaciones son:

y-y2= (y2-yb/x2-xb)(x-x2) y y-y3=(y3-yc/x3-xc)(x-x3)

Para determinar la longitud es de las medidas, aplicamos la ecuacin de distancias entre dos puntos, y resulta:

Para L1 la longitud es: 2 2 dPA=raz de (x1- xa) + (y1-ya)

Para L2 la longitud es: 2 2 dQB=raz de (x2- xb) + (y2-yb)

Para L3 la longitud es: 2 2 dRC=raz de (x3- xc) + (y3-yc)

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Al concluir la unidad, el alumno conocer y aplicar las propiedades relacionadas con el lugar geomtrico llamado circunferencia, determinando los distintos parmetros , su ecuacin respectiva y viceversa. 4.1.- Obtencin de la ecuacin de la circunferencia DEFINICION y ECUACION.- La circunferencia es el lugar geomtrico del conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo, llamado centro. A la distancia fija de cualquier punto de la circunferencia al centro se le denomina radio (r). { }rPCyxR == ),(

Si en la figura 1, se considera el centro C(h, k) fijo (de coordenadas constantes) y el punto P(x, y) que gira alrededor de C, conservando la distancia r constante, se tiene la grfica de la circunferencia.

Y P(x,y)

X

O Fig. 1 Aplicando la frmula para la distancia entre dos puntos se obtiene:

22 )()( kyhxr += Elevando al cuadrado ambos miembros

C(h,k)

r

222 )()( rkyhx =+ (Ecuacin de la circunferencia en forma ordinaria (1) Desarrollando los binomios al cuadrado y ordenando trminos, se obtiene:

022 22222 =+++ rkhkyhxyx

Se observa que los trminos cuadrticos tienen el mismo coeficiente; condicin que caracteriza a la ecuacin de la circunferencia.

Si se hace: 2h = D, 2k = E, y h2 + k2 r2 = F, se obtiene una nueva forma de la ecuacin:

022 =++++ FEyDxyx (2)

A esta ecuacin se le llama forma general de la circunferencia. Para utilizar la ecuacin (1) se puede observar que se requiere conocer los valores de las coordenadas del centro y la longitud del radio. 4.1.1 Ecuacin de la circunferencia con centro en el origen.

Si h = k = 0, es decir, cuando el centro de la circunferencia est en el origen de coordenadas (Figura 2), al sustituir en (1) se obtiene:

222 ryx =+ (1 A) Que es la ecuacin de la circunferencia con centro en el origen.

Fig.2

EJEMPLO 1.4 Escriba la ecuacin de la circunferencia que tiene por centro el origen y que pasa por el punto A(6, 8). Solucin Se conocen las coordenadas del centro, pero no el radio, por lo tanto, de la ecuacin (1A):

222 ryx =+ , sustituyendo (x,y) 222 )8()6( r=+ , luego

1002 =r , extrayendo la raz cuadrada se obtiene 10=r . Por lo tanto la ecuacin pedida es:

222 )10(=+ yx o 10022 =+ yx 4.1.2 Ecuacin de la circunferencia con centro en cualquier punto. La ecuacin de la circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r es:

222 )()( rkyhx =+ (1) EJEMPLO 2.4: Escriba la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en C (3, 5) y su radio es igual a 8. Solucin. Datos h = 3; k = 5 r = 8 Utilizando la ecuacin (1)

(x 3)2 + (y 5)2 = 64 (forma ordinaria)

Desarrollando los binomios y simplificando, despus de ordenar, se obtiene:

x2 + y2 6x 10y 30 = 0 (forma general) En donde: D = 6, E = 10, F = 30

EJEMPLO 3.4: Escribir la ecuacin de la circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(-3, -2) y radio igual a 5. Solucin: Utilizando la ecuacin (1)

(x + 3 )2 + (y + 2)2 = 25 (forma ordinaria) Quitando parntesis y reduciendo queda:

x2 + y2 + 6x + 4y - 12 = 0 (forma general) En este ejemplo: D = 6, E = 4, F = -12. CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES.- Examinando las ecuaciones (1) y (2), vemos que ambas contienen tres constantes arbitrarias o parmetros, que podrn calcularse en cada caso, si podemos establecer tres ecuaciones que liguen esos parmetros: h, k, r, o bien D, E, F. EJEMPLO 4.4: Encontrar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (5, -1), (4, 6) y (-2,-2). Solucin: Para resolver este problema, se puede utilizar cualquiera de las dos formas de la ecuacin de la circunferencia. Si utilizamos la ecuacin (2):

022 =++++ FEyDxyx (2).

Como las coordenadas de cada uno de los puntos deben satisfacer la ecuacin (2), haciendo las sustituciones obtenemos:

Para P1 (5,-1): 25 + 1 + 5D E + F = 0 Para P2 (4, 6): 16 + 36 + 4D + 6E + F = 0 Para P3 (-2,-2): 4 + 4 - 2D - 2E + F = 0

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones obtenemos:

D = -2, E = -4, F = - 20. Sustituyendo estos valores en (2) obtenemos la ecuacin de la circunferencia que se pide:

x2 + y2 - 2x - 4y 20 = 0

Nota: Si la ecuacin anterior escrita en forma general, se desea pasar a su forma

ordinaria, se procede de la siguiente manera: a).- Se agrupan los trminos que contiene a la misma variable (x,y). b).- Se despeja el termino independiente. c).- De las agrupaciones se completa el trinomio cuadrado perfecto, y para no alterar la igualdad, se suman las mismas cantidades en el segundo miembro de la misma. d).- Factorizar los trinomios cuadrados perfectos correspondientes, obteniendo como resultado, la ecuacin en forma ordinaria. Como tarea extra clase se deja al alumno calcular las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia. Sol. C(1,2) r = 5 4.2.- Problemas que involucren recta y circunferencia Se pueden tener cuatro casos principales: 4.2.1.- La recta pase por el centro de la circunferencia 4.2.2.- La recta pasa por dos puntos de la circunferencia 4.2.3.- La recta sea tangente a la circunferencia 4.2.4.- La recta dista de la circunferencia 4.2.1 La recta pase por el centro de la circunferencia EJEMPLO 5.4: Escribir la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 1) Y (3, 4), que tiene su centro en la recta y = x + 4. Usamos la ecuacin ordinaria:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (1) Las coordenadas del punto (0. 1) deben satisfacer la ecuacin:

(0 - h)2 + (1 - k)2 = r2 Las coordenadas del punto (3, 4) deben satisfacer la ecuacin:

(3 - h)2 + (4 - k)2 = r2 Como el centro C(h, k) es un punto que pertenece a la recta, y = x + 4 debe satisfacer su ecuacin: y = x + 4

k = h + 4 (2)

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones: (0 - h)2 + (1 - k)2 = r2 (3 - h)2 + (4 - k)2 = r2

k = h + 4 obtenemos los valores siguientes:

h = 0, k = 4, r = 3. Por lo tanto la ecuacin pedida es:

(x - 0)2 + (y - 4)2 = 9

x2 + y2 - 8y +7 = 0 4.2.2 La recta pasa por dos puntos de la circunferencia INTERSECCION DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA.- Para encontrar los puntos donde una recta, corta a una circunferencia dada por su ecuacin (1) o (2), hemos de resolver el sistema formado por la ecuacin de la recta dada y la ecuacin de la circunferencia. En general, hay dos soluciones (un par de valores de x, un par de valores de y) que verifican el sistema formado por ambas ecuaciones, lo que significa que generalmente la recta corta a la circunferencia en dos puntos. fig. 3 EJEMPLO 6.4: Encontrar los puntos donde la recta y = x + 3 corta a la circunferencia cuya ecuacin es:

x2 + y2 - 4x - 8y - 16 = 0. Solucin: Escribamos el sistema

x2 + y2 - 4x - 8y - 16 = 0 (a) y = x + 3 (b)

Elevando al cuadrado (b) y sustituyendo en (a), queda:

x2 + (x + 3)2 - 4x - 8(x + 3) - 16 = 0

Simplificando y resolviendo la ecuacin resultante, obtenemos para las variables (x, y) los valores de cada una, que son:

47126

1+=x

471218

1+=y

47126

2=x

471218

2+=y

Es decir, los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), con los valores anotados, son los

puntos donde la recta y la circunferencia se cortan (figura 3).

Y P(x1,y1) P2(x2,y2) X O

Fig 3 4.2.3.- La recta es tangente a la circunferencia EJEMPLO 7.4: Encuentre los puntos donde la recta y = 2x - 10 corta a la circunferencia de ecuacin x2 + y2 = 20. Solucin: Resolvemos el sistema:

x2 + y2 = 20 (1) y = 2x 10 (2)

Haciendo y2 = (2x - 10 )2 y sustituyendo en (1) nos queda' que da para x los valores: 20)102( 22 =+ xx Resolviendo 4=x

Un solo valor. Y como consecuencia, y = -2; en este caso la recta resulta ser tangente a la circunferencia dada como se ilustra en la (figura 5).

En general para encontrar las ecuaciones de las tangentes a una

circunferencia dada, sujeta a cumplir determinadas condiciones, hemos de encontrar entre las rectas que la cumplan, aquellas cuyas intersecciones con la circunferencia sean un solo punto.

Y X P(4,-2)

fig.5 EJEMPLO 8.4: Encuentre la ecuacin de la circunferencia cuyo centro esta en C(2, 3) y que es tangente a la recta la recta x y 4 = 0. Solucin: La distancia de la recta al punto C centro de la circunferencia es el radio. Se encuentra por la formula:

22 BACByAxd +

++= En la ecuacin de la recta A = 1, B = 1, C = -4, y del centro de la circunferencia x = 2 , y = 3, substituyendo los valores en la ecuacin anterior, se tiene:

25

11)4()3(1)2(1

22=+

++== dr por lo tanto 2252 =r

Substituyendo los valores en la ecuacin de la circunferencia con centro fuera del origen se tiene:

225)3()2( 222 ==+ ryx Desarrollando 0112822 22 =++ yxyx

EJEMPLO 9.4: Encontrar la ecuacin de la tangente a la circunferencia, x2 + y2 = 20, y que sea paralela a la recta y = 2x + 6. Las coordenadas del punto de contacto satisfacen el sistema:

2022 =+ yx (1) bxy += 2 (2)

Donde (b) es un parmetro cuyo valor se determina al resolver el sistema (1), (2), sustituyendo (2) en (1)

020)2( 22 =++ bxx 020245 2 =++ bxbx

5*2)20(*5*4)4(4 22 = bbbx

Para que la recta sea tangente se necesita que el valor de (x) sea nico; para esto es suficiente que el radicando sea Igual a cero

04004 2 =+ b 10=b

Condicin que indica que y = 2x + 10, y = 2x - 10 son las rectas que satisfacen lo exigido. Es decir que este par de rectas son tangentes a la circunferencia y adems paralelas a la recta dada. Se deja como trabajo extra clase hacer la grafica correspondiente de circunferencia y rectas. 4.2.4.- La recta dista de la circunferencia EJEMPLO 10.4: Encontrar los puntos donde la recta y = x - 3 corta a la circunferencia de ecuacin x2 + y2 +4x - 8y + 11 = 0. y = x 3 x2 + y2 +4x - 8y + 11 = 0. Resolviendo el sistema de las dos ecuaciones, como en el caso anterior, nos resulta:

279 =x

Nota: Valores imaginarios para (x) que consecuentemente producirn valores imaginarios tambin para (y). Esto quien decir que la recta no corta a la circunferencia o bien, la corta en dos puntos imaginarios: fig 4).

Y P(x,y)

X

O ,y = x 3

fig.4 CONDICION DE TANGENCIA.- Encontrar la condicin de tangencia para que la recta y = mx + b sea tangente a la circunferencia x2 + y2 = r2 ( cuyo centro es el origen). Hemos de resolver el sistema:

y = mx + b (1) x2 + y2 = r2 (2)

El valor de (y) se sustituye en (2)

x2 + (mx + b)2 = r2

(1+m2)x2+2bmx+b2-r2=0

)1()1(

2

222

mbmrbm

x ++=

Los valores de (x) pueden ser reales o imaginarios, segn sea el signo del radicando. Se presentan los tres casos siguientes: 1). (1 +m2)r2 - b2 > 0, races reales y desiguales. La recta corta a la circunferencia en dos puntos 2). (1 +m2)r2 - b2 =0, races reales e iguales. La recta es tangente a la circunferencia 3). (1 +m2)r2 - b2 < 0, races imaginarias. La recta dista de la circunferencia

Nos interesa el caso 2), que expresa la condicin necesaria y suficiente para que la recta (1) sea tangente a la circunferencia (2). Por lo tanto tenemos:

(1 +m2)r2 - b2 =0 (1 +m2)r2 = b2

21 mrb += Este valor de (b) sustituido en (1) nos da la ecuacin de las tangentes que

son: 21 mrmxy += (3)

El alumno calculara las coordenadas de los puntos de contacto (siendo uno para cada tangente) :

El cociente mx

y 11

1 = es la pendiente del radio del punto de contacto. Lo que nos indica (puesto que es la pendiente de la tangente) que la tangente a la circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.

Si admitimos este resultado, demostrado antes en la geometra elemental, es ms fcil encontrar la condicin para que la recta (1) sea tangente a la circunferencia (2):

y=mx + b (1)

x2 + y2 = r2 (2)

Para que la recta (1) sea tangente a la circunferencia (2) es necesario y suficiente que el centro (0, 0) de la circunferencia se encuentre a la distancia (r,) de la recta. Ahora bien, la distancia del origen (0, 0) a la recta (1) es:

21 mbr +=

21 mrb +=

Sustituyendo estos valores de (b) en (1) obtenemos, el mismo resultado al que se lleg anteriormente:

21 mrmxy += (3)

El mismo razonamiento se hace si la circunferencia tiene su centro en el punto (h, k), siendo entonces su ecuacin:

21 mbmhkr +

= por lo tanto 21 mmhrkb += Estos valores de (b) sustituidos en (1), nos dan:

21)( mrhxmky += (4) Tanto en (3) como en (4) tenemos familias de rectas tangentes a la

circunferencia (1), que depende del parmetro (m), porque suponemos que h, k, r tienen valores fijos: (3) y (4) son las tangentes de pendientes (m), o paralelas a la recta (1). Hay dos tangentes para cada valor del parmetro (m).

EJEMPLO 11.4: Encontrar las tangentes a la circunferencia x2 + y2 = 25 cuya pendiente es m = 3/4 Usamos la ecuacin (3) con m = 3/4, r = 5:

16915

43 += xy

425

43 = xy

2534 = xy Del resultado obtenido se observa que hay dos tangentes: 2534 = xy y

2534 = xy que satisfacen la condicin dada. Se deja al alumno como ejercicio calcular los puntos de tangencia. EJEMPLO 12.4: Encontrar las tangentes a la circunferencia (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4, que son paralelas a la recta y = 3x 1 (2). Como la ecuacin de la recta esta dada en la forma y = mx + b se tiene que m = 3 Usamos la ecuacin (4) con m = 3, r = 2, h = 1, k = -2:

102)1(32 =+ xy 10253 = xy

Se deja al alumno como ejercicio a) Calcular las coordenadas de los puntos de contacto. b) Trazar la grfica.

EJEMPLO 12.4: Desde el punto (0, 22 ) trazar dos tangentes a la circunferencia cuyo centro es el origen y su radio mide 2. Escribir las ecuaciones de esas tangentes y obtener las coordenadas de los puntos de contacto.

En este ejemplo debemos usar r = 2, para calcular (m) por la condicin de que el punto dado (0, 22 ) pertenezca a las tangentes.

Sustituyendo sus coordenadas en (3), obtenemos:

21222 m+= 212 m+=

1=m Estos valores de (m) se sustituyen en (3):

22= xy Observamos, por la condicin dada en el problema, que solo se puede emplear el signo + en el segundo termino del segundo miembro porque las tangentes se apoyan en el punto (0, 22 ) y no en el punto ( 0, 22 ). De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones de las tangentes son:

22+= xy (a) Los puntos de contacto son:

222

1 21 ==+= m

rmx

222

1 21 ==+

=mry

Encontramos cuatro puntos; pero solo ( 2,,2 ) y ( 2,2 .) satisfacen las ecuaciones (a). El primer punto pertenece a la circunferencia dada y a la tangente cuya pendiente es (m = +1), mientras que el segundo es el punto de contacto de la tangente cuya pendiente (m = -1).

4.3 Calculo de los parmetros de la circunferencia dada su ecuacin en forma general

Teniendo la ecuacin de la circunferencia en la forma general, una las formas ya establecidas, se debe identificar de la misma, los elementos: radio y coordenadas del centro.

Para este fin, usaremos el mtodo de completar cuadrados, partiendo de la forma:

022 =++++ FEyDxyx (2)

Si en el primer miembro de la ecuacin, separamos por grupos la (x) y la (y), agregamos los valores necesarios para formar cuadrados perfectos, sumamos en el segundo miembro los valores aadidos en el primero:

( )FEDEEyyDDxx 441

4422

22

22 +=

+++

++

)4(41

2222

22

FEDEyDx +=

++

+

La ecuacin anterior corresponde con la forma ordinaria de la

circunferencia, en la cual se expresa que un punto cualquiera de la circunferencia

permanece a la distancia:

FED 421 22 + Del punto fijo

2,

2ED

Es decir, tenemos la ecuacin de una circunferencia cuyo centro es el punto

=),( khC

2

,2

ED y su radio r = FED 421 22 + .

4.4.- Condiciones para que una ecuacin del tipo Ax2,+,Bxy,+,Cy2,+,Dx,+,Ey,+,F= 0 sea una circunferencia.

Sabemos que FEDr 421 22 +=

Analizando la expresin que nos da la longitud del radio, podemos observar

que se presentan tres casos: 4.4.1.- La ecuacin representa una circunferencia real

1.- Si D2 + E2 - 4F > 0, el radical tiene un valor real y tenemos una circunferencia real.

4.4.2.- La ecuacin representa un punto 2.- Si D2 + E2 - 4F = 0 , entonces r = 0 y tenemos una circunferencia, que se

reduce a un solo punto: su centro. 4.4.3.- La ecuacin no tiene una representacin en el plano (circunferencia imaginaria)

3.- Si D2 + E2 - 4F < 0, el radical tiene un valor imaginario y no hay realmente circunferencia. Decimos en este caso que se trata de una circunferencia imaginaria.

Sabemos que la ecuacin Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F + Bxy = 0 con A y C

0, B = 0, se reduce a la forma (2), despus de dividir ambos miembros entre (A) y cambiar D = D/A, E = E/A y F = F/A. Por lo tanto: TODA ECUACION DE SEGUNDO GRADO EN (x, y), SIN EL TERMINO (xy), DONDE LOS COEFICIENTES DE x2, y2 SEAN IGUALES, REPRESENTA UNA CIRCUNFERENCIA, UN PUNTO O UN LUGAR GEOMETRICO IMAGINARIO.

EJEMPLO 14.4: Encontrar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es: x2 + y2 - 8x - 14y + 40 = 0 Solucin: D = - 8, E= - 14 F = 40 por lo tanto D2 =64, E2 = 196 4F= 160 D2 + E2 - 4F > 0 64 + 196 160 = 100 > 0 por lo tanto es una circunferencia real, cuya ecuacin es: (x2 - 8x + 16) + (y2 - 14y + 49 ) = 16 + 49 40 (x - 4 )2 + (y - 7)2 = 25 De donde: h = 4, k = 7 Coordenadas del centro C(4,7) radio r = 5 EJEMPLO 15.4: Encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuacin es: 5x2 + 5y2 - 6x + 8y - 10 =0. El coeficiente de x2 y el de y2 son iguales (5); Por lo tanto probablemente es una circunferencia Solucin: Dividiendo la ecuacin entre (5)

258

5622 =++ yxyx

2516

2592

2516

58

259

56 22 ++=++++ yyxx

354

53 22 =

++

yx

De donde: h = 3/5 , k = -4/5 r = 3 ' Coordenadas del centro C(3/5, - 4/5) radio r = 3

EJEMPLO 16.4 Dada la ecuacin que se indica determinar cual es su lugar geomtrico. x2 + y2 - 8x - 8y + 32 = 0 Solucin: D = - 8, E= - 8 F = 32 por lo tanto D2 =64, E2 = 64 4F= 128 D2 + E2 - 4F > 0 64 + 64 128 = 0 = 0 por lo tanto es una circunferencia que se reduce a UN PUNTO, cuya ecuacin es: (x2 - 8x + 16) + (y2 - 8y + 16 ) = 16 + 16 32 (x - 4 )2 + (Y - 4)2 = 0 De donde: h = 4, k = 4 Coordenadas del centro C(4,4) radio r = 0 EJEMPLO 17.4 Dada la ecuacin que se indica determinar cual es su lugar geomtrico. x2 + y2 - 6x - 8y + 20 = 0 Solucin: D = -6, E= - 8 F = 40 por lo tanto D2 =36, E2 = 64 4F= 160 D2 + E2 - 4F > 0

36 + 64 160 = -60 < 0 La ecuacin no tiene una representacin en el plano (circunferencia imaginaria)

Tema adicional al programa. Para complementar el estudio de la circunferencia, dejndolo como tema opcional se analiza el caso cuando dos circunferencias se grafican en el mismo plano: 5.- INTERSECCION ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS.- Para encontrar los puntos donde dos circunferencias se cortan, hemos de resolver el sistema formado por sus ecuaciones. Observamos que restando las ecuaciones :

011122 =++++ FyExDyx

022222 =++++ FyExDyx (a)

Resulta:

0)()()( 212121 =++ FFyEExDD (b) Ecuacin que representa una lnea recta, llamada eje radical, que contiene los puntos de interseccin de las dos circunferencias (a), porque los valores de las variables (x, y) que satisfacen simultneamente las ecuaciones (a), satisfacen tambin la ecuacin (b), ya que esta se obtuvo de las dos primeras.

En resumen: Para encontrar los puntos donde se cortan las dos circunferencias (a), es suficiente resolver el sistema formado por la ecuacin (b) y una de las ecuaciones (a).

EJEMPLO18.4: Encontrar los puntos de interseccin de las circunferencias que tienen por ecuaciones x2 + y2 = 10 x2 + y2 - 6x - 6y + 14 = 0 (a)

Restando la segunda de la primera obtenemos:

6x + 6y = 24

x + y = 4 (eje radical) ... (b)

Resolviendo la ecuacin (b) con la primera de las ecuaciones (a), obtenemos: x2 + (4 - x)2 = 10 x1 = 1; y1 = 3 x2 = 3 y2 = 1

Vemos que los puntos (1, 3) Y (3, 1) donde el eje radical corta a la primera circunferencia (la que tiene su centro en el origen), son los mismos puntos donde las circunferencias se cortan (fig 6)

P(1,3)

R(3,1)

fig.6 EJEMPLO 19.4: Encontrar los puntos de interseccin de las dos circunferencias que tienen por ecuaciones:

21648822 =+ yxyx 422 =+ yx

Restando estas dos ecuaciones: 21688 = yx

Esta ltima es la ecuacin del eje radical, cuya interseccin con ambas

circunferencias se reduce a un solo punto: ( )2,2 (figura 7). Y se observa que las circunferencias son tangentes entre s.

C(4,4)

0

fig.7 EJEMPLO 20.4: Encontrar los puntos donde se cortan las circunferencias: x2 + y2 + 6x + 4y - 4 = 0 (a) x2 + y2 - 4x - 6y + 11 = 0 Respuesta: La ecuacin del eje radical es:

322151010

=+=+

yxyx

Resolviendo en forma similar a los ejemplos anteriores, se encontrar que este eje radical no corta a las circunferencias en ningn punto del plano real, ya que las races son imaginarias.; lo que significa que las circunferencias no se cortan, como se ve en la figura 8.

fig.8

C2

C1(-3,-2)

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular la ecuacin de cada una de las circunferencias y graficar si los datos son: 4-1.- Tiene por centro el origen y pasa por el punto (-3, 4) Sol x2 + y2 =25 4-2.- Tiene por centro el origen y pasa por el punto ( 6, 8) Sol x2 + y2 =100 4-3 Tiene por centro el origen y pasa por el punto ( 7, 4) Sol x2 + y2 =65 4-4.- Tiene por centro el punto (-3, 4) y es tangente al eje y'y. Sol. x2 + y2 + 6x - 8y + 16 = 0 4-5 Tiene por centro el punto ( 3, -4) y es tangente al eje y'y. Sol. x2 + y2 - 6x +12y + 36 = 0 4-6 Pasa por los puntos (0, 1), (-1,2) Y (-4, -1). Encontrar las coordenadas del centro, graficar las circunferencias que siguen, despus de encontrar las coordenadas del centro y el radio. 4-9 2x2 + 2 y2 - 6x + 10y + 7 = 0 Sol h = -1.5 k = 2.5 r2 = 5 4-10 4x2 + 4y2 - 8x + 16y + 4 = 0 Sol h = 1 k = 2 r2 = 4 4-11 5x2 + 5y2 + 10x + 10y + 5 = 0 Sol h = -1 k = 1 r2 = 1 4-12 4x2 +4y2 - 4x + 8y + 5 = 0 4-13 5X2 + 5y2 - 3x - 4y + 1 = 0 Encontrar las coordenadas del centro y el radio y graficar la circunferencia que cumple las siguientes condiciones y encontrar su ecuacin: 4-14 Pasa por los puntos A(-5,-1), B(4, 6) y C(-2, -2) Sol h = -2 k = -1 r2 = 25 4-15 Pasa por los puntos A( 0, 5), B(5, 0) y C(-5, 0) Sol h = 0 k = 0 r2 = 25 4-16 Pasa por los puntos A(1, 6), B(-3, 6) y C(-5, -0) Sol h = -2 k = 1 r2 = 20 4-17 Pasa por los puntos (1, -1) Y (-5, 2), Y tiene su centro sobre la recta x - y + 7 = 0. 4-18 Tangente a los dos ejes y pasa por el punto (4, 3).

UNIDAD V LA PARBOLA

OBJETIVO PARTICULAR

Al concluir la unidad, el alumno identificar y aplicar las propiedades relacionadas con el lugar geomtrico llamado parbola, determinando los distintos parmetros, su ecuacin respectiva y viceversa.

Se le llama parbola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales.

5.1 ECUACIN EN FORMA ORDINARIA O CANNICA

5.1.1. ELEMENTOS DE LA PARBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ, PARAMETRO Y LADO RECTO. (FIG. 1):

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parbola cuenta con una serie de elementos o parmetros que son bsicos para su descripcin, mismos que se definen a continuacin:

VRTICE (V): Punto de la parbola que coincide con el eje focal.

EJE FOCAL (ef): Lnea recta que divide simtricamente a la parbola en dos ramas y pasa por el vrtice.

FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parbola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vrtice.

DIRECTRIZ (d): Lnea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vrtice y fuera de las ramas de la parbola.

DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vrtice y foco, as como entre vrtice y directriz.

CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parbola.

CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco. LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

rama de la parabola

rama de la parabola

p

p

FIG. 1

ef V F

d

4p = LR

D

(0,0)(p,0)(-p,0)

FIG. 1A

P

(x,y)(-p,y)

FV X

Y

Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguiente grfica de una parbola:

5.1.2. ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE EST EN EL ORIGEN.

La ecuacin algebraica que describe a la parbola se encuentra expresada en funcin de la posicin geomtrica de los elementos que la conforman, as como de la orientacin propia de la misma, resultando en una ecuacin caracterstica de cada caso particular.

A efecto de ejemplificar la forma de obtener la ecuacin mencionada, se trabaja con la parbola cuyo vrtice est en el origen, su eje focal coincidiendo con el eje de las X y cuyas ramas se abren hacia la derecha.

Atendiendo a la definicin de la parbola, se sabe que la distancia entre un punto p cualquiera de coordenadas (x,y), y el foco f ser igual a la distancia existente entre la recta directriz (d) y dicho punto, segn se aprecia en la fig 1A.

De lo anterior resulta:

__________

PFPD =

Calculando la distancia entre los puntos anteriores mediante la frmula de distancia entre dos puntos, resulta:

( ) ( )

2_____

22_____

)(

)(

pxPD

yypxPD

+=

+=

y

( ) ( )

22_____

22_____

)(

0

ypxPF

ypxPF

+=

+=

Sustituyendo en la expresin de distancias resulta:

( ) ( ) 222 ypxpx +=+

Elevando ambos miembros de la ecuacin al cuadrado y desarrollando, se tiene:

22222

222

22

)()(

yppxxppxx

ypxpx

++=++

+=+

22222 22 yppxxppxx =+++

Simplificando trminos semejantes y reordenando la expresin, se obtiene:

pxy 42 = (I)

La cual, es la ecuacin de la parbola en su forma ordinaria o cannica.

Anlogamente a la demostracin anterior, se puede obtener la ecuacin que describe una parbola cuyo vrtice no coincide con el origen del sistema de ejes coordenados. (ver seccin 5.1.3)

(0,0)

y

x

fv

2p

2p

(-p,0) (p,0)

(-p,2p)

(-p,-2p)

LONGITUD DEL LADO RECTO

Procediendo de una manera similar a la empleada para la deduccin de la ecuacin anterior, podemos enseguida deducir una formula que nos permita calcular la longitud del lado recto:

Partiendo de la ecuacin:

pxy 42 =

Y sustituyendo x por p se obtiene:

)(42 ppy =

22 4 py =

Extrayendo raz cuadrada en ambos miembros, resulta:

py 2=

Por lo que las coordenadas de los extremos del lado recto son (-p,2p) y (-p,-2p), como se observa en la siguiente grfica:

Si se calcula la distancia entre los extremos del lado recto, resulta:

( )ppLR 22 =

ppLR 22 +=

Por lo tanto

pLR 4=

x + p = 0

(0,0)(p,0)(-p,0)

FIG. 2

X

Y

FV

FIG. 3

(-p,0) (p,0)(0,0)

x - p = 0

FV

Y

X

CASO I Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas X (fig. 2)

ECUACIN DE LA PARABOLA pxy 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ px

CASO II Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las abscisas X (fig. 3)

ECUACIN DE LA PARABOLA pxy 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0= px

y + p = 0

(0,0)

(0,p)

(0,-p)

FIG. 4

X

Y

F

V

y - p = 0

(0,0)

(0,p)

(0,-p)

FIG. 5

Y

XV

F

CASO III Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas Y (fig. 4)

ECUACIN DE LA PARABOLA pyx 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ py

CASO IV Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las ordenadas Y (fig. 5)

ECUACIN DE LA PARABOLA pyx 42 = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0= py

Se observa que en los casos anteriores, solamente existe un termino al cuadrado, y ste indica cual de los ejes coordenados es perpendicular al eje focal. Adems, el signo del termino a la primera potencia indica hacia donde se abre la grfica.

(3,0)

x = -3

FV

Y

X

EJEMPLO 1.5

Obtenga la ecuacin de la parbola cuyo foco tiene coordenadas (3,0) y por directriz la recta x = -3.

Con los datos anteriores se elabora la siguiente grfica:

Se puede observar que el vrtice esta en el origen, por lo tanto p = 3.

Si la coordenada del foco es (3,0) y el vrtice est en el origen, se trata de una parbola que se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas, por lo tanto su ecuacin es:

pxy 42 =

Sustituyendo los valores de los datos conocidos resulta:

xy

xy

12

)3(4

2

2

=

=

EJEMPLO 2.5

Una parbola pasa por el punto (6,-3), tiene su vrtice en el origen y su eje focal coincide con el eje de las ordenadas. Obtenga su ecuacin as como la ecuacin de su directriz.

Puesto que la parbola es vertical y pasa por el punto (6,-3), se concluye que se extiende en el sentido negativo de las ordenadas, por lo cual la ecuacin buscada es del tipo: pyx 42 =

(-p,0) (p,0)(0,0)

2p

2p

(-p,-2p)

(-p,2p)d

Y

XVF

Si el punto (6,-3) pertenece a la grfica, entonces necesariamente satisface a la ecuacin, por tanto, sustituyendo valores:

p

p

1236

)3(4)6( 2

=

=

Despejando p:

31236

==p

Conocido el valor de la distancia focal p, se sustituye en la forma correspondiente de la ecuacin, y resulta:

yx )3(42 =

yx 122 =

ECUACION DE LA DIRECTRIZ

El tipo de grafica corresponde con 0= py

Sustituyendo el valor de p, resulta:

03=y

EJEMPLO 3.5

Partiendo de la ecuacin de la parbola xy 82 = , obtenga las coordenadas del vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longitud del mismo y adems la ecuacin de la directriz.

De la grfica se observa que el vrtice tiene las coordenadas:

V(0,0)

Y adems de la grfica y del anlisis de la ecuacin, se obtiene el valor de la distancia focal:

S xy 82 = Y pxy 42 =

Entonces

248

84

=

=

=

p

p

p = 2

De acuerdo a lo anterior y segn el grfico de apoyo las coordenadas del foco sern:

F (-2,0)

Ya que la directriz intersecta al eje de las abscisas en el punto (2,0), su ecuacin ser:

x 2 = 0

Las coordenadas de los extremos del lado recto, al estar alineadas con el foco tienen la misma abscisa y sus ordenadas se obtienen sumando y restando a la ordenada del foco, el doble de la distancia focal p:

p = 2

Por lo que: 2p = 2(2) = 4

Ordenada del foco y = 0

Extremo superior: (-2,0+4)

(-2,4)

Extremo inferior: (-2,0-4)

(-2,-4)

La longitud del lado recto es pLR 4=

Por lo que entonces:

)2(4=LR

LR = 8 u

EJERCICIOS

5.1 Dada la ecuacin de la parbola yx 282 = obtenga las coordenadas del vrtice, del foco, de los extremos del lado recto, as como la longitud del mismo y la ecuacin de su directriz.

5.2 Encuentre la ecuacin de una parbola cuyo foco tiene coordenadas (4,0) y su directriz es x + 4 = 0.

5.3 Grafique la curva correspondiente a y = x2. Sealando adems las coordenadas de sus elementos caractersticos.

5.4 La seccin transversal de un canal de excedentes en una presa es una parbola con una profundidad de 3 mts. y de 6 mts de abertura. Encuentre la ecuacin que describe dicha parbola.

5.5 Determine las coordenadas del foco, la longitud del lado recto y las coordenadas del punto por donde la directriz corta al eje coordenado, en una parbola cuya ecuacin es: 3y2 = -4x

5.1.3 ECUACIONES DE LA PARBOLA CUYO VRTICE NO COINCIDE CON EL ORIGEN.

Cuando el vrtice se localiza en cualquier punto, al que por convencin se le asignan las coordenadas (h,k), y ste es distinto al origen, la ecuacin que describe a la parbola cambia en funcin de la posicin de este punto y adems de la orientacin de la curva respecto de los ejes coordenados.

(0,0)(h+p,k)

FIG. 6

(h,k)

Y

F

XV

x - h + p = 0

d

x - h + p = 0

(0,0)(h - p,k)

FIG. 7

(h,k)

Y

X

FV

CASO I

Este lo consideraremos en el caso de que la parbola se extienda en el sentido positivo del eje de las abscisas X (FIG. 6)

ECUACIN DE LA PARBOLA )(4)( 2 hxpky = ECUACIN DE LA DIRECTRIZ 0=+ phx

CASO II Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las abscisas X (FIG. 7)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 hxpky = ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0= phx

y - k + p = 0

(0,0)

(h,k+p)

FIG. 8

(h,k)

Y

X

V

F

y - k - p = 0

(0,0)

(h,k-p)

FIG. 9

(h,k)

Y

X

V

F

CASO III

Cuando la parbola se extiende en el sentido positivo del eje de las ordenadas Y (FIG. 8)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 kyphx = ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0=+ pky

CASO IV

Cuando la parbola se extiende en el sentido negativo del eje de las ordenadas Y (FIG. 8)

ECUACIN DE LA PARABOLA )(4)( 2 kyphx = ECUACIN DE LA RECTA DIRECTRIZ 0= pky

En todos los casos anteriores la longitud del lado recto se calcula empleando la frmula descrita en la seccin anterior.

pLR 4=

EJEMPLO 4.5

Encontrar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (3,2) y foco en (5,2).

SOLUCION:

Analizando las coordenadas de vrtice y foco, se observa que su ordenada es comn, por lo que se concluye que estn alineados horizontalmente y que el foco est a la izquierda del vrtice. Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuacin tiene la forma:

)(4)( 2 hxpky =

Siendo las coordenadas del vrtice (h,k), se sustituyen en la ecuacin y resulta:

)3(4)2( 2 = xpy

En donde el parmetro p representa la distancia del vrtice al foco, y sta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes:

p = 5 3

p = 2

Sustituyendo:

)3)(2(4)2( 2 = xy

Resulta:

)3(8)2( 2 = xy

Ecuacin escrita en la forma ordinaria

EJEMPLO 5.5

Determine las coordenadas del vrtice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuacin de la directriz, en una parbola cuya ecuacin es:

(x+6)2 = -24(y-2)

Solucin: la ecuacin corresponde a una parbola vertical cuyas ramas se abren en el sentido negativo de las ordenadas, cuya forma es:

(x-h)2 = -4p(y-k)

De lo anterior se observa que:

- 4p = - 24

Por lo tanto, la longitud del lado recto es:

pLR 4=

LR = 24 u

De igual forma se observa que las coordenadas del vrtice corresponden con los valores de h y k, tomando en cuenta los signos respectivos, se deduce que el vrtice es el punto de coordenadas:

V(-6,2)

S

4p = - 24 ,

Entonces la distancia focal p ser:

6424

244

=

=

=

p

p

Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa comn a ambos puntos y calculando la diferencia de la ordenada del vrtice y la distancia focal.

F(-6,2-6)

F(-6,-4)

?10.00 m

24.00 m

ALTO 18.00 m

Para determinar ecuacin de la directriz se sustituyen los datos conocidos p y k en:

0= pky

062 =y

Resultando la ecuacin:

08=y

EJERCICIOS

5.6 Grafique la parbola cuya ecuacin es

+=

121

x12- 4)-(y 2 indicando las coordenadas de los extremos del ancho focal, del foco y vrtice, as como la longitud lado recto y la directriz.

5.7 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyo vrtice pertenece a la recta 7x + 3y = 4, con eje focal horizontal y que pasa por los puntos (3,-5) y (1.5,1).

5.8 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es el punto (2,3), con eje simtrico vertical y que pasa por el punto (4,5).

5.9 Hallar la distancia que separa el centro de un tnel con forma de arco parablico y altura mxima de 18 mts. con respecto del punto de sujecin de una seal colocada a una altura de 10 mts. El tnel tiene una luz total de 24 mts.

5.10 Encuentre la ecuacin de la parbola cuyos extremos del lado recto son los puntos (3,-5) y (19,-5). Considere que el vrtice corresponde a un punto mximo en la curva.

(0,0)

(50,280)

FIG. 8

(50,80)

Y

X

F

V

5.11 Por inspeccin, encuentre la ecuacin, expresada en su forma general, para la siguiente parbola, as como las coordenadas de los extremos del ancho focal y la ecuacin de su directriz.

5.2. ECUACIN DE LA PARBOLA EN FORMA GENERAL.

En cualquiera de los casos anteriores, la estructura de la ecuacin de la parbola tiene las siguientes caractersticas:

Existe solamente una variable al cuadrado y otra lineal. El coeficiente de la variable lineal (4p) representa la proporcin del lado

recto con respecto de la distancia focal.

Pero adems de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, es una ecuacin de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de este tipo.

5.3. OBTENCIN DE LA ECUACIN DE LA PARBOLA.

Para llegar a dicha expresin general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma cannica de la ecuacin.

Tomando como ejemplo la forma:

( ) ( )kyphx = 42

Desarrollando resulta:

0442

442

22

22

=++

=+

pkpyhhxx

pkpyhhxx

Multiplicando la ecuacin por un coeficiente A con la intencin de generalizar, y considerando A 0

0442 22 =++ ApkApyAhAhxAx

Reordenando

( ) 04240424

22

22

=++

=++

pkhAAhxApyAx

ApkAhAhxApyAx

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

Sustituyendo los coeficientes D,E y F en la ecuacin

02 =+++ FEyDxAx

Que es la ecuacin de una parbola horizontal en su forma general.

Anlogamente para una parbola de orientacin vertical, la ecuacin en su forma general ser:

02 =+++ FEyDxCy

EJEMPLO 6.5

Una parbola tiene vrtice en el punto (- 4,2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuacin y exprsela en la forma general.

(SE DEJA AL ALUMNO QUE GRAFIQUE LA DIRECTRIZ Y LA POSICION DEL VERTICE PARA ILUSTRAR LA SOLUCION)

Analizando las coordenadas del vrtice y la posicin de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posicin de la parbola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor mayor que la ordenada del vrtice, por lo tanto las ramas de la parbola se extienden en el sentido negativo del eje de las Y.

( ) FApkhEAh

DAp

=+

=

=

4

2

4

2

c) Las coordenadas del vrtice no corresponden con las del origen. d) Dado lo anterior se trata entonces de una parbola cuya ecuacin

ordinaria es del tipo:

)(4)( 2 kyphx =

De las coordenadas del vrtice se obtiene:

h = - 4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vrtice y de la recta directriz, resultando:

p = 5 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuacin ordinaria, resulta:

)(4)( 2 kyphx =

)2)(3(4))4(( 2 = yx

)2(12)4( 2 =+ yx

2412)4( 2 +=+ yx

Desarrollando el binomio al cuadrado

24121682 +=++ yxx

Simplificando e igualando a cero la ecuacin se tiene:

024121682 =+++ yxx

081282 =++ yxx Que es la ecuacin buscada.

5.4. CLCULO DE LOS PARMETROS DE LA PARBOLA DADA SU ECUACIN.

EJEMPLO 7.5

Dada la ecuacin de la parbola 04682 =++ xyy , encuentre las coordenadas del vrtice y del foco, as como la ecuacin de su directriz.

Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuacin anterior llevndola a la forma ordinaria.

Como primer paso se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (Y) y la variable lineal (X) junto con el termino independiente

4682 =+ xyy

Con la intencin de factorizar se procede a la adicin (en ambos miembros de la ecuacin) de un trmino adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto:

16461682 +=++ xyy

Simplificando: 1261682 +=++ xyy

Factorizando resulta:

)2(6)4( 2 +=+ xy

Que es la ecuacin ordinaria de una parbola con vrtice fuera del origen, horizontal y que se extiende en el sentido positivo del eje de las abscisas, segn lo visto anteriormente.

)(4)( 2 hxpky =

Con lo cual se puede determinar que:

k = - 4

h = - 2

Por lo tanto el vrtice tiene las coordenadas V(-2,-4)

Adems:

S 4p = 6

Entonces 23

46

==p

Considerando la orientacin ya sealada de la parbola y el valor de p, es posible determinar la posicin del foco, ya que ste estar alineado a la derecha del vrtice a una distancia p desde h, y con la misma ordenada k, resultando:

),( kphf +

)4,232( +f

)4,21( f

La ecuacin de la directriz se obtiene de 0=+ phx ,

Resultando:

023)2( =

+x

023

24

=++x

027

=+x

EJERCICIOS:

5.12 Encuentre el vrtice, foco, la ecuacin de la directriz, as como la longitud del lado recto de las parbolas siguientes:

a) 242 += xxy b) 0454142 =+++ xyy

5.13 Determine la ecuacin de la parbola que tiene por vrtice al punto (-3,5), de eje paralelo al eje X y que pasa por el punto (5,9)

5.14 Encuentre la ecuacin de la parbola, en su forma general, que pasa por los puntos (2,5), (- 2, - 3) y (1,6)

5.15 El cable de suspensin de un puente colgante adquiere una catenaria parablica. Las columnas que lo soportan miden 60 m de altura y se encuentran espaciadas a 500 m quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 10 m sobre la superficie del puente. Considere como eje X la superficie del puente y como eje Y la simetra del cable, para encontrar la altura de un punto situado a 80 m del centro del puente.

5.16 Encuentre la ecuacin en forma general de la parbola con foco en (0,6) y con directriz superpuesta al eje X

5.17 Encuentre la ecuacin en forma general de la parbola que tiene foco en ( - 2, 3 ) y cuyos extremos del lado recto son ( - 2, 2) y (- 2, 4).

5.5. CONDICIONES PARA QUE UNA ECUACIN DEL TIPO Ax+Cy+Dx+Ey+F = 0 CORRESPONDA A UNA PARBOLA.

La ecuacin general de segundo grado

022 =++++ FEyDxCyAx

corresponde a una parbola al cumplirse la siguiente condicin:

El coeficiente de una de las variables al cuadrado es cero y el otro es distinto de cero, es decir que solamente existe una cantidad x o bien una y, pero no de manera simultnea.

00 == CA

El estudio detallado de este tema se realizar en la unidad VIII correspondiente con el ESTUDIO GENERAL DE LAS CONICAS.

UNIDAD VI

LA ELIPSE

OBJETIVO PARTICULAR

Al concluir la unidad, el alumno conocer y aplicar las propiedades relacionadas con el lugar geomtrico llamado elipse, determinando los distintos parmetros, su ecuacin respectiva y viceversa.

6.1. ECUACIN EN FORMA COMN O CANNICA DE LA ELIPSE

Definicin

Es el lugar geomtrico formado por el conjunto de puntos cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a

6.1.1 Elementos de la elipse

F1 y F2: a estos puntos se les denomina focos y se encuentran ubicados sobre el eje focal, designando a la distancia entre ellos como 2c

C: Es el centro de la elipse, es el punto donde se intersecan los ejes mayor y menor, representa adems el punto medio entre los focos y los vrtices.

V1 y V2: Son los vrtices de la elipse, representan los puntos donde coinciden el eje focal y la elipse, y la distancia entre ellos es 2a.

B1 y B2: Son los extremos del eje menor de la elipse, es decir son los puntos donde coinciden la elipse y el eje transversal (llamado tambin eje conjugado tomando en cuenta que el eje transversal es el segmento de recta perpendicular al eje focal en el centro del mismo).

B1

B

( c, 0 )( -c, 0 )

V1( -a, 0 )

V ( a, 0 )

XF2F1C

Y

Figura 1

Eje mayor de la elipse: es la distancia entre V1 y V2

Eje menor de la elipse o transversal: es la distancia entre B1 y B2

Distancia Focal: Es la distancia que existe entre los focos F1 y F2

Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco, la elipse tiene 2 lados rectos.

abctoLado

22Re =

Excentricidad: Se representa con la letra e y es la relacin que existe entre la distancia focal (2c) y la longitud del eje mayor (2a).

ac

ace ==

22

B1

B

( c,0)( -c,0)V1 ( -a, 0 )V ( a, 0 )

X

Y

F2F1

Figura 2

6.1.2. ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO EST EN EL ORIGEN.

Si graficamos una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidiendo con el eje de las X, se obtiene una figura como la siguiente:

B1( 0 ,- b )

( 0 , b )B

( c, 0 )( - c, 0 )

V1 ( -a, 0 ) V ( a, 0 )

X

Y

PUNTO P ( x, y )

R2R1

F2F1

ba

c

Figura 3

Como se defini previamente, para que un punto P(x,y) pertenezca a la elipse debe cumplir con R1 + R2 = 2a

Utilizando la ecuacin de distancia entre dos puntos:

R1 + R2 = 2a

( )( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =-+-+-+--Despejando la primera de las races anteriores, para poder eliminar el radical de la izquierda, se tiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )2222 020 -+--=-+-- ycxaycx }Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]222222 020 -+--=-+-- ycxaycxDesarrollando los binomios al cuadrado

222222222 2)(442 ycxcxycxaaycxcx ++-++--=+++

Simplificando trminos semejantes:

222 )(444 ycxaaxc +--=

Dividiendo la ecuacin por 4

xcaycxa -=+- 222)(

Elevando nuevamente al cuadrado y agrupando trminos semejantes nos queda:

224222222 caayacxax -=+-

Factorizando x de los dos primeros trminos y a en el segundo miembro:

)()( 22222222 caayacax -=+-En el tringulo rectngulo BCF2 de la figura 3, se observa que:

222 cab -=

Sustituyendo:

222222 bayabx =+

Multiplicando por 221ba

nos queda:

122

2

2

=+by

ax

Que es la ecuacin de la elipse en su forma ordinaria con centro C(0,0).

En la cual (x,y) son las coordenadas de cualquier punto que pertenezca ala elipse.

Anlogamente si la elipse tiene su eje mayor sobre el eje Y, se deja al alumno la obtencin de su ecuacin, aplicando un procedimiento similar al anterior, debiendo llegar al siguiente resultado:

122

2

2

=+ay

bx

Analizando las ecuaciones anteriores podemos observar que los denominadores de los trminos en el primer miembro se intercambian.

Por la naturaleza geomtrica de la elipse, siempre se tiene que a>b,debido a lo cual el mayor de los denominadores nos indicar cual de los ejes coordenados coincide con el eje focal.

Ejemplo 1.6 Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos

F (2,0) y F (-2,0), y excentricidad e= 2 / 3.

Solucin:

Como la excentricidad se define mediante e= c/a =2/3por medio de la relacin a2=b2+c2 se podr determinar el valor de b por:

Si: c= 2 entonces c2= 4a= 3 entonces a2= 9

Por las coordenadas de los focos se determina que el eje focal es paralelo al eje x y su ecuacin ser de la forma

122

2

2

=+by

ax

Sustituyendo

159

22

=+yx

Ejercicio 6.1 Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos

F (3,0) y F (-3,0), y excentricidad e= 1 / 3.

549 =-=b

Ejercicio 6.2 Hallar la ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos

F (6,0) y F (-6,0), y excentricidad e= 2 / 5.

6.1.3. ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO EST EN EL ORIGEN.

Cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen en un punto al que por convencin se le asignan las coordenadas (h,k) y si adems su eje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuacin que la define es la siguiente:

1)()( 22

2

2

=-

+-

bky

ahx

S su centro se encuentra fuera del origen pero su eje focal es paralelo al eje Y entonces la ecuacin que la define es la siguiente:

1)()( 22

2

2

=-

+-

aky

bhx

Aunque la ecuacin de la elipse cambia debido a su posicin, el resto de los elementos se puede calcular empleando las mismas frmulas, es decir:

abctoLado

22Re =

ac

ace ==

22

Ejemplo 2.6 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos las coordenadas (-2,1) y (2,2) y la longitud de su eje mayor es 7

SOLUCION Aplicando directamente la definicin:

( ) ( ) ( ) ( ) 72212 2222 =-+-+-++ yxyxOrdenando miembros para determinar su ecuacin

( ) ( ) ( ) ( )2222 22712 -+--=-++ yxyx

Elevando al Cuadrado ambos miembros y desarrollando los binomios

( ) ( ) 44442214491244 222222 +-++-+-+---=+-+++ yyxxyxyyxx

Simplificando

( ) ( )22 22145228 -+--=-+ yxyx

Elevando una vez ms al cuadrado y desarrollando los binomios

196196491961964952208467616 2222 +-++-=--+++ yyxxyxxyyx

Finalmente 02841441248433 22 =--++- yxyxyx

Que corresponde a una elipse de ejes oblicuos o rotados respecto a los ejes coordenados (x, y)

Ejercicio 6.3 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos las coordenadas (-3,1) y (3,2) y la longitud de su eje mayor es 6

Ejercicio 6.4 Determina la ecuacin de la elipse que tiene por focos las coordenadas (-2,3) y (2,5) y la longitud de su eje mayor es 9

6.2. Ecuacin en forma general.

Para que la ecuacin:

022 =++++ FEyDxCyAx

Represente una elipse, los coeficientes A y C deben ser diferentes y del mismo signo, ya que si A = C, entonces representara una circunferencia.

6.3. Obtencin de la ecuacin.

Para ejemplificar, consideremos la ecuacin de la elipse escrita en forma ordinaria:

1)()( 22

2

2

=-

+-

bky

ahx

Desarrollando los cuadrados queda:

122 222

2

22

=+-

++-

bkyky

ahxhx

Obteniendo el comn denominador

1)2()2( 222222222

=+-++-

bakykyahxhxb

Quitando el denominador:

22222222 )2(2)2( bakykyahxhxb =+-++-Desarrollando:

2222222222222 22 bakaykayahbxhbxb =+-++-Reordenando:

022 2222222222222 =-++--+ bakahbykahxbyaxb

Haciendo que:

b2 = Aa2= C-2hb2= D-2ka2 = Eb2h2 + a2k2 -a2b2 = F

Obtenemos: la ecuacin general de una elipse

022 =++++ FEyDxCyAx

Ejemplo 3.6 Dada la elipse 16

)5(2

)3( 22=

-+

+ yx determine su forma

general, obteniendo todos sus elementos

Solucin:

La ecuacin es de la forma 1)()( 22

2

2

=-

++

aky

bhx por lo cual su eje focal

es paralelo a l eje y.

Para pasar a su forma general multiplicaremos toda la expresin por 6

=

-+

+ 16

)5(2

)3(622 yx

6)5()3(3 22 =-++ yxDesarrollamos binomios y simplificamos para obtener su forma general

04610183 2 =+-++ yxyxSu centro se localiza en (-3,5)

222 == bb

662 == aaDe la relacin a2=b2+c2Entonces c2=6-2 =4

c= 2

Los Focos se localizan en )25,3( - , los vrtices en )65,3( - y sus extremos en )5,2(3( -

Su excentricidad 81.06

2==e

Sus Lados rectos 63.162*2

==LR

Sus Directrices 53 +=y

Ejercicio 6.5 Dada la elipse 18

)7(4

)5( 22=

-+

+ yx determine su forma

general, obteniendo todos sus elementos

6.4 Clculo de los parmetros de la elipse dada su ecuacin.

6.5. Condiciones para que una ecuacin del tipo Ax+Cy+Dx+Ey+F=0 sea una elipse.

Ya se vio que la ecuacin 022 =++++ FEyDxCyAx es la ecuacin general de una elipse pero debe cumplir con ciertas condiciones como

que A y c deben ser diferentes y de signo positivo ya que si son iguales lo que tenemos es una circunferencia y no una elipse.

De la ecuacin general se tiene tres diferentes casos, si de esta ecuacin se completan sus cuadrados tenemos que:

FC

EA

DCEyC

ADxA -+=

++

+

4422

2222

En esta ltima ecuacin el valor del segundo miembro determina el lugar geomtrico que representa como se explicara en los incisos siguientes:

6.5.1. LA ECUACIN REPRESENTA UNA ELIPSE REAL.

22

22

++

+

CEyC

ADxA >0

En este caso el lugar geomtrico que representa es una elipse.

6.5.2. LA ECUACIN NO TIENE REPRESENTACIN EN EL PLANO (ELIPSE IMAGINARIA).

22

22

++

+

CEyC

ADxA =0

En este caso el lugar geomtrico que representa es un punto.

6.5.3. LA ECUACIN REPRESENTA UN PUNTO.

22

22

++

+

CEyC

ADxA < 0

En este caso no representa ningn lugar geomtrico llamado elipse.

Ejemplo 4.6 A partir de la siguiente ecuacin 01915018259 22 =--++ yxyx Determinar sus elementos.

SolucinFactorizando trminos comunes

191)2(25)2(9 22 =-++ yyxx

Completando cuadrados

2222

22

2225

229191

22225

2229

+

+=

+-+

++ yyxx

Simplificando259191)12(25)12(9 22 ++=+-+++ yyxx

Factorizando

9(x+1)2+25(y-1)2=225

Multiplicando por 2251

Nos queda: 19

)1(25

)1(=

-+

+ yx

La ecuacin obtenida es la de una elipse con eje mayor paralelo al eje x dado que el nmero a se encuentra en el denominador de l binomio que contiene a x y centro fuera del origen por tanto sus elementos son:

5252 == aa392 == bb

.c= 4

154

Las rectas directrices son:

)1(4252

-===c

aheax

X1=5.25 X2=-7.25

Considerando la traslacin de ejes, si se toma el centro de la elipse como el nuevo origen 25.6=x

Ejercicio 6.6 A partir de la siguiente ecuacin 019061253616 22 =--++ yxyx Determinar sus elementos.

1

UNIDAD VII. LA HIPRBOLA. DEFINICIN:

La Hiprbola es el conjunto de puntos en el plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el mismo plano, llamados focos, es constante e igual a 2a. 7.1 Ecuacin en forma comn o cannica de la hiprbola. 7.1.1 Elementos: En la grfica dada a continuacin (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes: C Centro. Asntotas (rectas que se cortan en el centro) V Vrtices. a = CV Semieje real (transverso) F Focos. b = CB Semieje imaginario (conjugado) c = CF Semieje focal.

Fig. 1.

Convencionalmente se utilizan los subndices (1) para los elementos que se localizan abajo y a la izquierda del centro y (2) para los que estn arriba y a la derecha del centro.

2

Relacin matemtica entre a, b y c. Es posible comprobar geomtricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vrtice a cualquiera de los extremos del eje imaginario (Fig. 2)

Fig. 2

De la figura anterior se puede ver que: 222 bac += 7.1.2. Ecuaciones de la hiprbola cuyo centro est en el origen

A) Eje real paralelo al eje X.

En la grfica (Fig. 3) se puede observar que: 11 PFd = y 22 PFd = , de donde, por la frmula de distancia entre dos puntos:

221 )0())(( += ycxPF 222 )0()( += ycxPF

22

1 )( ycxPF ++= 222 )( ycxPF += De la definicin de la hiprbola se tiene que add 221 = , y sustituyendo:

3

Fig. 3

aycxycx 2)()( 2222 =+++ , despejando la primera raz:

2222 )(2)( ycxaycx ++=++ ; elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) ( )222222 )(2)( ycxaycx ++=++ ; desarrollando: ( )22222222 )()(44)( ycxycxaaycx ++++=++ , desarrollando:

22222222 )()(442 ycxycxaayccxx ++++=+++

222222222 2)(442 yccxxycxaayccxx +++++=+++ ; despejando:

4

222222222 )(4242 ycxayccxxayccxx +=++++ , reduciendo:

222 )(444 ycxaacx += , dividiendo por 4 ambos miembros:

222 )( ycxaacx += ; elevando nuevamente al cuadrado: ( )22222 )()( ycxaacx += ; desarrollando:

])[(2 2224222 ycxaacxaxc +=+

)2(2 22224222 yccxxaacxaxc ++=+

22222224222 22 yacacxaxaacxaxc ++=+ ; enviando trminos en x e y al lado izquierdo:

42222222222 22 acayacxaxacxaxc =+ ; reduciendo trminos semejantes:

422222222 )( acayaxaxc = ; factorizando:

)()( 22222222 acayaacx = ; por la relacin entre a, b y c:

222222 acbbac =+= ; sustituyendo:

222222 bayabx = ; dividiendo todo por ab:

22

22

22

22

22

22

baba

baya

babx = ; simplificando:

122

2

2

=by

ax

B) Eje real paralelo al eje Y. De forma similar es posible llegar a la ecuacin cuando el eje real es vertical (paralelo al eje Y) y se deja como ejercicio al alumno. En este caso la ecuacin resultante deber ser:

122

2

2=

bx

ay

5

Ecuaciones de las asntotas: De la figura 1, se observa que las asntotas, adems de pasar por el origen, pasan por los vrtices del rectngulo formado por las distancias entre los vrtices y las distancias entre los extremos del eje imaginario, dos de estos vrtices son los que tienen coordenadas (a, b) y (a, b). Dado que se conocen dos puntos por donde pasa la asntota, se puede utilizar

la ecuacin dos puntos vista en la unidad II: )( 112

121 xxxx

yyyy = .

Sustituyendo las coordenadas del centro (0, 0), y del vrtice (a, b), se tiene:

)0(000

= xaby , simplificando: x

aby =

Para la otra asntota, las coordenadas que se van a sustituir en la ecuacin son las del centro (0, 0) y las del otro vrtice (a, b), por lo que se tiene:

)0(0

00 = xaby , simplificando: x

aby =

Excentricidad: La excentricidad, al igual que en la elipse, representa la relacin entre las distancias de foco a foco y de vrtice a vrtice, esto es:

ac

ace ==

22

. Ahora bien, por la relacin entre a, b y c, se observa que c es mayor

que a y que b, por lo tanto la excentricidad en la hiprbola siempre es mayor que la unidad: 1>e Lado Recto: Tambin en la hiprbola se pueden calcular las longitudes de los lados rectos, para lo cual se utiliza la misma ecuacin que en la elipse:

abLR

22= EJEMPLO 1.7

6

Hallar la ecuacin de la hiprbola concentro en el origen, eje real paralelo al eje 0x, uno de cuyos vrtices est en (3, 0) y uno de sus focos en (5, 0). Determinar, adems, las coordenadas de los extremos del eje imaginario y las ecuaciones de sus asntotas.

Fig. 4

Para comenzar, al observar la figura 4, la distancia CV1 = 3 y es igual al valor de a, y la distancia CF2 = 5, que equivale al valor de c. haciendo uso de la relacin entre a, b y c se tiene:

222 bac += 222 acb = 222 )3()5( =b 9252 =b 162 =b 162 =b 4=b

Dado que los vrtices y los focos estn sobre el eje X, el eje real es horizontal y la ecuacin correspondiente:

7

122

2

2=

by

ax

Sustituyendo los valores de a y b:

1)4()3( 22

2

2= yx

La ecuacin pedida es, por tanto:

Para los extremos del eje imaginario, es necesario avanzar desde el centro y de manera perpendicular al eje real, una distancia igual a b, tanto en un sentido como en otro, con lo cual se llega a los puntos B1(0, 4) y B2(0, 4). Las ecuaciones de las asntotas se obtienen a partir de las ecuaciones correspondientes al eje real horizontal, esto es:

xaby = y x

aby = , sustituyendo los valores de a y b, se obtiene:

xy34= y xy

34= ; que igualando a cero y ordenando quedan:

034 = yx y 034 =+ yx .

EJEMPLO 2.7 Hallar la ecuacin de la hiprbola con centro en el origen, eje real paralelo al eje Y, si uno de sus focos est en (0, 10) y uno de los extremos del eje imaginario es el punto (8, 0). Dar tambin las coordenadas de sus vrtices, el valor de su excentricidad y la longitud de su lado recto. Como se puede observar en la figura 5, las distancias CV1 y CB1 equivalen a los valores de c y b, respectivamente, y dado que el eje real es vertical, la ecuacin correspondiente es:

1169

22= yx

8

122

2

2=

bx

ay

Pero no se tiene el valor de a, por lo que utilizando la relacin entre a, b y c:

222 bac += , de donde: 222 bca = , sustituyendo y efectuando operaciones:

222 )8()10( =a 641002 =a 362 =a y 6=a Sustituyendo los valores de a y b:

1)8()6( 22

2

2= xy

16436

22= xy , que es la ecuacin pedida.

Figura 5.

9

Para la excentricidad:

ace =

610=e , simplificando:

35=e . Ntese que aunque en este caso la

excentricidad vale 35

, 5c y 3a .

Para el lado recto: abLR

22= . Sustituyendo valores:

6)8(2 2=LR

364=LR

Ejercicios: 7.1 Encontrar la expresin matemtica para la ecuacin de la hiprbola que tiene su centro en el origen y su eje mayor es paralelo al eje 0y (eje vertical). 7.2 Los focos y los vrtices de una hiprbola son los puntos: F(5, 0), F(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica e indicar las asntotas. 7.3 Utilizando un procedimiento similar al del apartado 7.1.4(), demuestra que las ecuaciones de las asntotas de una hiprbola, cuyo eje real es vertical, son:

xbay = , y x

bay = .

7.4 Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por: 6397 22 = xy . Determine: coordenadas de los focos, de los vrtices, y ecuaciones de las asntotas. Trace la grfica.

7.1.3. Ecuacin de la hiprbola cuyo centro no est en el origen

El procedimiento algebraico para la deduccin de las ecuaciones de la hiprbola con centro en cualquier punto fuera del origen es similar al realizado anteriormente para cuando el centro est en el origen y se deja al estudiante como ejercicio. Las ecuaciones correspondientes a las dos posibles situaciones del eje real (horizontal o vertical) son:

1)()( 22

2

2=

bky

ahx Eje Real horizontal (paralelo al eje X).

10

1)()( 22

2

2=

bhx

aky Eje Real vertical (paralelo al eje Y).

De igual modo, es posible demostrar que las ecuaciones de las asntotas para los dos casos citados arriba son:

)( hxabky = Eje Real horizontal (paralelo al eje X).

)( hxbaky = Eje Real vertical (paralelo al eje Y).

Las frmulas para el clculo de la excentricidad y el lado recto son las mismas que las usadas anteriormente. EJEMPLO 3.7 El centro de una hiprbola esta en (3, 2), su distancia focal es de 10 unidades y uno de los vrtices es el punto (1, 2). Hallar su ecuacin y determinar las coordenadas de los focos y de los extremos del eje imaginario, as como las ecuaciones de sus asntotas. En la grfica de la Figura 6, se observa que la distancia CV2 es igual a 4 (a = 4), en tanto que la distancia focal es igual a 10, esto es 2c = 10, por lo tanto c = 5. de la relac