Apuntes de Estadistica 2Bach

Tema 1Introdu i�on>Qu�e es la Estad��sti a? >Para qu�e sirve? Estas son dos preguntas que normalmentese ha en los alumnos que optan por esta asignatura. Seg�un el D.R.A.E., Estad��sti a es la\ ien ia que utiliza onjuntos de datos num�eri os para obtener inferen ias basadas en el �al ulo de probabilidades". En esta introdu i�on se tratar�a de a larar esta de�ni i�on y deresponder a la segunda pregunta.El ini io de la Estad��sti a se rela iona on la idea de ha er ensos de pobla i�on. Se tiene onstan ia de ensos realizados en China sobre el 2238 a. de C. En Egipto se ensaban lasriquezas y en Roma el n�umero de habitantes y su distribu i�on por el territorio. As��, enprin ipio \Estad��sti a" se de�ni�o omo la \ ien ia de las osas que pertene en al Estado".La Teor��a de la Probabilidad, en sus or��genes, surgi�o omo una teor��a de juegos deazar, despu�es se extendi�o r�apidamente al estudio de fen�omenos ole tivos de tipo a tuarial, omenzando por el �al ulo de anualidades y el an�alisis de tablas de mortalidad. Pero hastael siglo XVI no se tienen noti ias de un tratamiento ient�� o de los juegos de azar, uandoGerolamo Cardano (1501-1576) publi �o su libro \Libro de juegos de azar" en el que seutilizan reglas de multipli a i�on para probabilidades en su esos independientes. M�as tardeNi olo Fontana {apodado \Tartaglia" por su tartamudez{ (1499-1557) y Galileo Galilei(1564-1642) profundizaron en la ombinatoria y la probabilidad.Desde 1650 a 1700 se ini i�o la Teor��a de Probabilidad omo ien ia, bas�andose en lamayor��a de los asos en juegos de azar y se llegaron a utilizar los on eptos de esperanzamatem�ati a, su eso dependiente e independiente y a apli ar la multipli a i�on y la adi i�onen este ampo.Desde 1700 a 1850 se desarrolla asi en plenitud la Teor��a de Probabilidad; se des ubrenlas m�as importantes variables aleatorias que ontribuyen al desarrollo del �al ulo de probabi-lidades. Tambi�en existen es ritos y estudios sobre distribu iones ontinuas y su vin ula i�on on las distribu iones dis retas.En el siglo XX y ahora en el XXI la Estad��sti a llega a formar parte de la vida otidianade ualquier persona e in uye de manera sobresaliente en todos los �ambitos de los nego ios,la pol��ti a, los deportes, et . y se profundiza en las diversas apli a iones que puede llegara tener en la toma de de isiones. En el siglo pasado surge la �gura fundamental de E.Borel (1871-1956) y H. Lebesgue (1875-1941) que a~naden rigor a la teor��a de onjuntos ymedidas en las matem�ati as; despu�es A. Kolmogorov (1903-1987), on ese rigor matem�ati o,expone las bases axiom�ati as de la Estad��sti a partiendo de los on eptos matem�ati os demedida fundamentados por los dos anteriores. No hay que olvidar que la probabilidad esuna medida.Por todo lo anteriormente expuesto, la Estad��sti a se entiende omo una ien ia que1

TEMA 1. Introdu i�on 2estudia los fen�omenos so iales, e on�omi os y f��si os a partir de datos num�eri os. Gra ias ala uni�on de la Estad��sti a on la Teor��a de la Probabilidad se pueden resolver problemas en asi todos los ampos ient�� os y a tividades humanas:� E onom��a: el ar�a ter abrumadoramente uantitativo de esta dis iplina obliga a lautiliza i�on de m�etodos estad��sti os que pongan orden en el aos num�eri o y ayuden asa ar on lusiones.� Demograf��a: desde el siglo XVII el estudio de tasas de mortalidad y na imiento hahe ho que las dos ien ias vayan de la mano.� Psi olog��a y So iolog��a: se trata de en ontrar regularidades en los omportamientoshumanos de por s�� diversos.� Industria: en el ontrol de alidad en ualquier pro eso produ tivo.� Empresa: un estudio estad��sti o ha e un resumen e� az de la realidad que rodeaal mundo de la empresa y ayuda a tomar de isiones en las l�ogi as situa iones dein ertidumbre.� F��si a: la imposibilidad de las medi iones exa tas de las part�� ulas subat�omi as obligaa medi iones probabil��sti as. Me �ani a estad��sti a, radia tividad, . . .� Qu��mi a: Termodin�ami a, teor��a in�eti a de los gases, para probar la e� a ia de losmedi amentos y rendimientos de fertilizantes.� Astronom��a: omo ontrol de las medi iones y rea i�on de mapas del universo.� Meteorolog��a: predi iones de tiempo mediante series temporales.� Gen�eti a: los trabajos estad��sti os de Pearson y Fisher on�rmaron las leyes enun- iadas por Mendel.� Biolog��a y Medi ina: la in uen ia de Pearson ambi�o los h�abitos de investiga i�on.� Agronom��a: gran parte de los estudios estad��sti os se realizaron en sus omienzos engranjas agr�� olas.� Ling�uisti as: es muy re iente su des ubrimiento omo utilidad en el an�alisis de textos, ompara i�on de lenguas a �n de en ontrar ra�� es om�unes.� Paleontolog��a y Arqueolog��a: las t�e ni as de an�alisis multivariantes son herramien-tas para lasi� ar, por ejemplo, los trozos de vasijas o dientes de mamut.� Deporte: los ojeadores de la NBA miran las estad��sti as de los jugadores antes de ira verlos personalmente.� ... y un largo et �etera.Durante este urso abordaremos la Estad��sti a desde dos puntos de vista.Combinatoria y C�al ulo de Probabilidades: trataremos en este apartado el aso pr�a -ti o del �al ulo efe tivo de la posibilidad de que o urra uno o varios su esos on retos.Tambi�en utilizaremos t�e ni as para ontar los diferentes asos que pueden su eder alrealizar un experimento.Estad��sti a: veremos qu�e opera iones ha er on datos obtenidos mediante una en uesta, �omo hay que realizar el sondeo, qu�e on lusiones podemos sa ar de ellos (Estad��sti ades riptiva) y �omo generalizar esas on lusiones (Estad��sti a inferen ial).2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

Tema 2T�e ni as de re uento.CombinatoriaLos n�umeros de los sorteos de las distintas loter��as, los posibles resultados en las quinie-las, posibles \manos" en juegos de artas, maneras de elegir delegado y subdelegado en una lase..., son todas ellas uestiones que trata de resolver la Combinatoria.En este ap��tulo aprenderemos a \ ontar".2.1 Diagramas de �arbolEs la t�e ni a de re uento m�as sen illa, m�as intuitiva pero a menudo m�as larga y m�aspesada.Consiste en rear un \�arbol" que una las agrupa iones requeridas. Solo ha e faltasentido om�un, aten i�on y pa ien ia.Ejemplo 2.1.1 Una hi a tiene en su armario 3 amisetas, 2 pantalones y 3 zapatillasdeportivas. >De u�antas formas distintas podr�a vestirse para ha er deporte?Solu i�on: designamos las tres amisetas por 1; 2; 3 , los dos pantalones por p1; p2 y laszapatillas por z1; z2; z3.Formemos el diagrama de �arbol: ZapatillasPantalonesCamisetas

3� 2� 33� 23 z3z2z1z3z2z1z3z2z1z3z2z1z3z2z1z3z2z1p1p2p1p2p1p2

1 2 3Si ontamos los elementos de la�ultima olumna, tenemos quepodr�a formar 18 equipa ionesdistintas: 1p1z1, 1p1z2,. . ., 3p2z3.

Ejemplo 2.1.2 Un restaurante anun ia en su \men�u del d��a" 5 primeros platos, 4 segundosy 6 postres. >Cu�antos men�us distintos ofre e el restaurante?Solu i�on: en vez de dibujar el �arbol, si observamos el diagrama anterior, podemos multi-pli ar dire tamente los tres n�umeros, 5� 4� 6, es de ir, 120 men�us distintos.3

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 42.2 Varia iones sin repeti i�onLLamaremos varia iones ordinarias o varia iones sin repeti i�on, de m elementostomados de n en n, a los diferentes grupos que on esos m elementos se pueden formar, detal modo que en ada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferen ia delos dem�as, bien en alguno de los elementos, bien en el orden de olo a i�on de los mismos.En este aso se debe umplir siempre que n � m y las varia iones de m elementostomados de n en n se representa por: Vm;n o V nmSupongamos que tenemos m elementos:a1; a2; a3; . . . ; amy queremos ha er grupos de:1 elemento: enton es tendremos m grupos posibles.2 elementos: suponiendo que ogemos a1 podemos elegir luego entre los m � 1 restantespara formar los grupos.Pero esto lo podemos ha er no solo on el elemento a1 sino on ualquiera de los melementos que tenemos, as�� pues, podemos formar m� 1 grupos distintos on ada melementos que tenemos, obteniendo en total:m � (m� 1) grupos3 elementos: suponemos que tenemos una pareja ompuesta on los elementos a1a2. En-ton es para formar un grupo de 3 elementos on a1a2 en primer lugar, tenemos m� 2elementos posibles y por lo tanto m� 2 posibilidades.Como ten��amos m � (m � 1) parejas posibles enton es por ada una habr�a m � 2posibilidades y por tanto en total tendremos:m � (m� 1) � (m� 2) gruposSiguiendo el razonamiento se llega a la on lusi�on que los grupos posibles que se puedenformar on m elementos tomados de n en n es:Vm;n = m � (m� 1) � (m� 2) � � � (m� n+ 1)es de ir, el produ to des endente de n fa tores empezando desde m.Ejemplo 2.2.1 En un alfabeto de 21 letras. >Cu�antas s��labas distintas, de tres letras dis-tintas ada una, se pueden formar?Solu i�on: dos s��labas son distintas si tienen distintas letras o est�an en distinto orden, luegoson varia iones de 21 elementos tomados de tres en tres y por tanto:m = 21 n = 3 =) V21;3 = 21 � 20 � 19| {z }3 elementos = 7 9802Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 52.3 Varia iones on repeti i�on>Cu�anto dinero tetienes que gastarpara tener la om-pleta seguridad dea ertar los 14?

Llamamos varia iones on repeti i�on de m elementos tomados de n en n, a losdiferentes grupos que on ellos se pueden formar, de tal modo que en ada grupo entren nelementos, pudiendo alguno repetirse una o varias ve es y onsiderando dos grupos distintossi se diferen ian en alg�un elemento, o en el orden en que est�an olo ados.En este aso no es ne esario que n � m ya que puede repetirse elementos.El n�umero de todas las posibles varia iones on repeti i�on de m elementos tomados den en n se representa por: V Rm;n o V RnmSupongamos que tenemos m elementos:a1; a2; a3; � � � ; amy queremos ha er grupos de:1 elemento: evidentemente solo habr�a m grupos distintos.2 elementos: una vez es ogido un elemento, por ejemplo el a1, podemos elegir el segundoelemento de la posible pareja de entre los m elementos que tenemos {pues podemosrepetir{, obteniendo m posibilidades distintas una vez es ogido el primero. Comopodemos es oger el primero de entre los m elementos posibles resulta un total de:m �m = m2 grupos3 elementos: una vez que tenemos dos elementos ualesquiera podemos elegir el ter ero deentre losm elementos que tenemos; es de ir, de adam2 parejas existenm posibilidadesde formar tr��os y por tanto en total obtendr��amos:m2 �m = m3 gruposSiguiendo el razonamiento se llega a la on lusi�on que los posibles grupos que se puedenformar on m elementos tomados de n en n en este aso son:V Rm;n = mnEjemplo 2.3.1 >Cu�antos ara teres del alfabeto Morse se podr�an es ribir utilizando 6 sig-nos (puntos o rayas)?Solu i�on: dos ara teres son distintos si tienen distintos signos o en distinto lugar, pudi�en-dose repetir signos en un ar�a ter, por tanto, son varia iones on repeti i�on:m = 2 n = 6 =) V R2;6 = 26 = 642.4 Permuta iones sin repeti i�onLlamaremos permuta iones de m elementos a las varia iones de esos m elementostomados de m en m, es de ir, a los diversos grupos que on ellos se pueden formar, de modoque, entrando todos ellos en ada grupo, se diferen ien ada uno de ellos solamente en elorden de olo a i�on de los elementos.Las permuta iones de m elementos se representan de la siguiente forma:Pm = Vm;m2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 6Siguiendo la de�ni i�on de las varia iones y omo en este aso n = m, obtenemos:Vm;m = Pm = m � (m� 1) � � � (m�m+ 1) = m � (m� 1) � � � 1Por tanto llegamos a la on lusi�on de:Pm = m � (m� 1) � (m� 2) � � � 1 = m!Nota: por de�ni i�on 0! = 1Ejemplo 2.4.1 >Cu�antos n�umeros de in o ifras es posible formar on las ifras 1, 3, 5,7, 9, sin que se repita ninguna?Solu i�on: ada n�umero se distingue de otro por la olo a i�on de la ifras y todos los n�umerostienen las mismas ifras sin repetirse ninguna, por lo tanto se trata de permuta iones:P5 = 5 � 4 � 3 � 2 � 1 = 1202.5 Permuta iones on repeti i�onDado un onjunto M de m elementos, entre los uales hay un ierto n�umero a de unamisma lase, otro n�umero b de otra lase, un ter ero de otra lase, y as�� su esivamente,llamaremos permuta iones on repeti i�on a las diferentes formas en que se puedenordenar esos m elementos, donde una ordena i�on se distingue de otra por el lugar queo upan dos elementos distintos.De un grupo ualquiera que se forme, hay que eliminar todos los grupos iguales a �elque se derivan de permutar los elementos iguales en posi iones que o upaban entre s�� queequivale a permutar el n�umero de elementos de la misma lase. As��, se obtiene la f�ormula:P a;b; ;��m = m!a! � b! � ! � � �Ejemplo 2.5.1 >Cu�antos n�umeros distintos de diez ifras se pueden es ribir on las ifras1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4?Solu i�on: P 4;3;210 = 10!4! � 3! � 2! = 12 6002.6 Combina iones sin repeti i�on>Eres apaz de ave-riguar u�antas om-bina iones posibleshay en el sorteo deLa Primitiva?

Se llaman ombina iones sin repeti i�on de m elementos, tomados de n en n, a losdiferentes grupos que se pueden formar on los m elementos, de modo que en ada grupoentren n de ellos, diferen i�andose un grupo de otro en, al menos, uno de sus elementos.Las ombina iones de m elementos tomados de n en n se representan por:Cm;n o CnmSupongamos que tenemos m elementos distintos:a1; a2; a3; � � � ; amSi hallamos las varia iones de m elementos tomados de n en n, obtenemos que un grupoformado, por ejemplo, por los elementos a1a2a3 � an apare er�a repetido tantas ve es omo2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 7podamos permutar esos n elementos. Esto signi� a que a la hora de hallar las ombina ionesde m elementos tomados de n en n, estos Pn grupos en verdad se onsiderar�an el mismo ypor tanto solo debe ser ontado una vez.Esto o urre on ada grupo que apare e en las varia iones, por tanto, para hallar las ombina iones de m elementos tomados de n en n hay que tomar grupos de Pn elementos onsiderados iguales en las varia iones de m elementos tomados de n en n. As�� obtenemos:Cm;n = Vm;nPnCon lo ual la f�ormula para hallar ombina iones queda:Cm;n = m � (m� 1) � (m� 2) � � � (m� n+ 1)1 � 2 � 3 � � �n = m!n! � (m� n)! = �mn �Ejemplo 2.6.1 >Cu�antos grupos de tres \voluntarios" pueden formarse en una lase de in o alumnos?Solu i�on: son in o elementos que debemos agrupar de tres en tres sin que puedan repetirsey sin distinguir el orden en que se presentan; por tanto son ombina iones:m = 5 n = 3 =) C5;3 = 5!3! � 2! = 1206 � 2 = 102.7 Combina iones on repeti i�onSe llaman ombina iones on repeti i�on de m elementos, tomados de n en n, a losdiferentes grupos que se pueden formar on los m elementos, de modo que en ada grupoentren n de ellos, repetidos o no, diferen i�andose un grupo de otro en, al menos, uno de suselementos. Aqu�� n puede ser mayor que m.Las ombina iones on repeti i�on de m elementos tomados de n en n se representan por:CRm;n o CRnmy la f�ormula viene dada por CRm;n = �m+ n� 1n �Esta f�ormula se demuestra por indu i�on que es un pro edimiento que se es apa de losobjetivos de este urso, por lo que se pide un a to de fe.Ejemplo 2.7.1 >Cu�antas � has de domin�o hay?Solu i�on: son siete elementos (la blan a, 1, 2,...,6) que hay que agrupar de dos en dos, sindistinguir el orden (es lo mismo el 1-2 que el 2-1) y pudi�endose repetir (existen las � hasdobles). Por tanto se trata deCR7;2 = � 7 + 2� 12 � = � 82 � = 8!2! � 6! = 8 � 72 = 28 � has2.8 El n�umero ombinatorioSe de�ne el n�umero ombinatorio omo el n�umero de ombina iones ordinarias de melementos tomados de n en n; se indi a on el s��mbolo�mn �2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 8y se lee \m sobre n" siendo m y n n�umeros naturales tales que n � m.�mn � = m!n! � (m� n)! = m(m� 1)(m� 2) � � � (m� (n� 1))n!Propiedades:(1) �m0 � = �mm� = 1 �m1 � = � mm� 1� = m(2) �mn � = � mm� n�(3) F�ormula de Stiefel: �mn � = �m� 1n� 1 �+�m� 1n �(4) �mn � = �m� 1n� 1 �+�m� 2n� 1 �+�m� 3n� 1 �+ � � �� nn� 1�+�n� 1n� 1�(5) (a+ b)n = nXi=0 � ni � an�ibi binomio de NewtonAdem�as el n�umero ombinatorio forma el llamado tri�angulo de Pas al, formado este porlos diversos n�umeros ombinatorios uya base y orden van variando:� 00 �� 10 � � 11 �� 20 � � 21 � � 22 �� 30 � � 31 � � 32 � � 33 �� 40 � � 41 � � 42 � � 43 � � 44 �... ... ... ... ... ...11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1... ... ... ... ... ...y omo se puede ver, ada valor es suma de los dos que le pre eden en la pir�amide. Luegosi queremos hallar (x + y)3, utilizando esta propiedad y la �ultima propiedad del n�umero ombinatorio, tendremos:(x+ y)3 = � 30 �x3 +� 31 �x2y +� 32 �xy2 +� 33 � y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3o tambi�en:(x� y)3 = (x+ (�y))3 = � 30 �x3 +� 31 �x2(�y) +� 32 �x(�y)2 +� 33 � (�y)3 == x3 � 3x2y + 3xy2 � y32Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 92.9 C�omo abordar un problema de ombinatoriaA la hora de abordar un problema de ombinatoria lo primero que hay que ha er esidenti� ar el n�umero de elementos de que se disponen as�� omo u�antos hay que elegir.Despu�es basta on seguir el uadro siguiente y al ular el n�umero exa to.

Combina ionesCombina iones on repeti i�onVaria ionesVaria iones on repeti i�onPermuta ionesPermuta iones on repeti i�on>Hay alg�unelementorepetido?

>Se puedenrepetir?>Se puedenrepetir?

En ada grupo,>apare entodos los melementos?>Da igual elorden en quese elijan?

� 7^j

3sSINO33ss

SISI

NONO

SINO NO

SI

2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 10PROBLEMAS DE COMBINATORIA(1) Un �arbol tiene 20 ramas: de ada una salen 15 brotes y de ada brote salen 12 hojas.>Cu�antas hojas tiene el �arbol?(2) >Cu�antas parejas distintas se pueden formar on las in o vo ales, sin que estas serepitan?(3) >De u�antas formas se pueden repartir tres premios distintos entre Antonio, Maril�o,Loli, Natanael y Gloria, de manera que, a lo sumo, re iban un �uni o premio?(4) >De u�antas formas diferentes se pueden ubrir los puestos de presidente, se retario ytesorero de un lub de balon esto sabiendo que hay 12 posibles andidatos?(5) Cal ula: (a) V7;3, (b) V10;4, ( ) V9;7(6) Halla el valor de n y k, sabiendo que:(a) Vn;k = 6 � 5 � 4 (b) Vn;k = 1 � 2 � 3 � 4 � 5 ( ) Vn;k = 8 � 7 � 6 � 5 � 4(7) En un alfabeto de 21 letras, >Cu�antas \palabras" distintas, de 5 letras ada una, sepueden formar?(8) >Cu�antos n�umeros de uatro ifras distintas se formar�an on las in o primeras ifras?(9) >Cu�antos son los n�umeros naturales que se pueden formar on las ifras 1, 2, 3, 4 y 5,sin repetir ninguna?(10) El n�umero de varia iones de ierto n�umero de objetos, tomados de in o en in o, esigual al de las varia iones de los mismos objetos, tomados de uatro en uatro. Hallael n�umero de objetos.(11) El n�umero de varia iones de n objetos, tomados de dos en dos, es 42. Cal ula eln�umero de objetos.(12) >De u�antas formas podr�an olo arse en �la diez alumnos, si suponemos que hay dosque o upan siempre el mismo lugar, uno el primero y otro el �ultimo?(13) >Cu�antos n�umeros hay entre 5 000 y 6 000 que tengan todas sus ifras diferentes?(14) >Cu�antos n�umeros de tres ifras pueden formarse sin que se repitan ifras en el mismon�umero?(15) Con las letras de la palabra DISCO, > u�antas ordena iones distintas se pueden ha erque empie en por O?(16) Una empresa produ e erraduras de ombina i�on. Cada ombina i�on onsta de tresn�umeros enteros entre del 0 al 99, ambos in lusive. Por el pro eso de onstru i�on, ada n�umero solo puede apare er una sola vez en la lave de la erradura. >Cu�antas erraduras distintas on ombina iones diferentes pueden ha erse?(17) (a) >Cu�antos n�umeros diferentes pueden formarse usando uatro de las ifras 1, 2, 3, 4,5 y 6 si las ifras no pueden repetirse? (b) >Cu�antos empiezan por tres? ( ) >Cu�antosa aban en 45?(18) Cuatro amigos van al ine, pero a �ultima hora uno de ellos no puede asistir. >De u�antas formas pueden sentarse los tres restantes en las uatro buta as reservadas?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 11(19) Con las ifras 1, 2 y 3, > u�antos n�umeros de in o ifras pueden formarse? >Cu�antosson pares?(20) Los tel�efonos de una provin ia tienen 9 n�umeros, pero la primera ifra no puede ser ni0, ni 1, ni 2. >Cu�antos n�umeros de tel�efono diferentes se pueden adjudi ar?(21) Las tarjetas de r�edito suelen diferen iarse una de otra por un �odigo formado por 16d��gitos. >Cu�antas tarjetas de r�edito diferentes se pueden ha er?(22) >Cu�anto dinero tendr��a que jugar un quinielista para tener absoluta seguridad dea ertar una quiniela de 14 resultados?(23) >Cu�antas matr�� ulas de o hes podremos presentar si ada matr�� ula onsta de uatro ifras que se pueden repetir seguidas de tres onsonantes (salvo la Q y la ~N) quetambi�en se pueden repetir?(24) >Cu�antas \palabras" es posible obtener en el alfabeto Morse (punto y raya), utilizando\palabras" de 1, 2, 3, 4 y 5 signos?(25) Supongamos que las pla as de matr�� ula de los o hes de un ierto pa��s onsistenen uatro letras seguidas de tres n�umeros, por ejemplo, BPHT994. >Cu�antas pla asdistintas pueden formarse on este pro edimiento?(26) >Cu�antos n�umeros api �uas hay de seis ifras?(27) Resuelve: (a) V Rn;2 � V Rn�1;2 = 7 (b) V Rn;2 + 3V Rn�1;2 = 73(28) >De u�antas formas se pueden sentar seis personas en una �la de seis buta as de un ine?(29) Con las letras de la palabra PELUCA:(a) >Cu�antas ordena iones distintas se pueden ha er?(b) >Cu�antas empiezan por P? >Cu�antas empiezan por PEL?(30) >De u�antas formas pueden disponerse en la mano in o artas determinadas de unabaraja espa~nola?(31) En una es alada, una determinada ordada est�a ompuesta por in o es aladores.Teniendo en uenta que van uno detr�as de otro, >de u�antas formas podr�an llegar a la ima?(32) >De u�antas formas pueden olo arse los 11 jugadores de un equipo de f�utbol teniendoen uenta que el portero no puede o upar otra posi i�on distinta que la porter��a?(33) En el banquete que sigue a una boda se sientan en la mesa presiden ial o ho personas,in luidos los novios. >De u�antas formas distintas se pueden sentar de manera que losnovios no se separen?(34) Una se retaria ha es rito 12 artas dirigidas a 12 personas distintas, y sus orrespon-dientes sobres. A la hora de meter las artas en los sobres re ibe una llamada detel�efono y, sin �jarse, va introdu iendo, al azar, las artas en los sobres. >De u�antasformas distintas podr�a rellenar los sobres?(35) Es ribe todas las permuta iones que puedes obtener on las letras de la palabra CASO.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 12(36) >Cu�antos n�umeros de in o ifras es posible formar on las ifras 1, 2, 3, 4 y 5, sin quese repita ninguna? >Cu�antos de esos n�umeros tienen un tres en el ter er lugar?(37) En un ban o hay sentadas in o personas. >De u�antas formas diferentes puedensentarse?(38) >Cu�antas palabras pueden formarse on las letras de la palabra ISABEL, on tal deque no vayan dos vo ales ni dos onsonantes juntas y sin repetir letras?(39) >De u�antas maneras se pueden repartir 8 problemas entre 8 alumnos?(40) Con las letras de la palabra VELOZ, > u�antas palabras de in o letras diferentespodemos formar? >Cu�antas omienzan por vo al y terminan por vo al?Si es ribimos en orden alfab�eti o todas las palabras de in o letras diferentes, >qu�elugar o upa la ordena i�on VELOZ?(41) Con las ifras 1, 1, 2, 2 y 3, > u�antos n�umeros de in o ifras se pueden formar?(42) >Cu�antas letras de in o signos se pueden formar en el alfabeto Morse on 3 rayas ydos puntos?(43) >Cu�antas palabras distintas podremos formar utilizando ada vez todas las letras dela palabra VIVIR? >Y on las letras de la palabra ACALLAR?(44) >De u�antas formas distintas pueden olo arse 9 bolas de las que uatro son blan as,tres amarillas y dos azules?(45) Una l��nea de ferro arril tienen 25 esta iones. >Cu�antos billetes diferentes habr�a deimprimir, si ada billete lleva impresas las esta iones de origen y destino?(46) >Cu�antos grupos de in o podr�an formarse on los 30 alumnos de una lase, en elsupuesto de que un grupo se diferen ie de otro por lo menos en un alumno?(47) >Cu�antas re tas quedar�an determinadas por in o puntos de un plano, suponiendo queno haya tres en l��nea re ta?(48) En una bolsa hay do e bolas numeradas del 1 al 12. >De u�antas formas distintaspuedes tomar in o de esas bolas?(49) En una on�ter��a hay seis tipos diferentes de pasteles. >De u�antas formas se puedenelegir bandejas de uatro pasteles?(50) >De u�antas formas pueden ombinarse los siete olores del ar o iris tom�andolos detres en tres?(51) Una f�abri a de helados anun ia en su propaganda que el liente puede es oger entre4 495 helados distintos de tres sabores. Comprueba si es ierto sabiendo que en totaltienen 31 sabores.(52) En una ierta provin ia existen 10 pueblos que est�an omuni ados entre s��. >Cu�antos aminos hay que realizar para que siempre exista omuni a i�on entre dos pueblos ualesquiera?(53) A una reuni�on a uden 30 personas. Se de ide onstruir omisiones de seis personaspara estudiar un ierto plan. >Cu�antas omisiones distintas se pueden formar?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 13(54) Para jugar al domin�o, siete � has ha en un juego. Sabiendo que tiene 28 � has,> u�antos juegos diferentes se pueden ha er?(55) Resuelve las e ua iones: (a) 2Cn;3 = Vn;2 (b) Vn;2 � Cn;2 = 190(56) Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 kg >Cu�antas pesadas diferentes se pueden realizar?(57) Con un grupo de 12 alumnos de un urso deben ha erse uatro equipos de tres personas ada uno para asistir a uatro exposi iones distintas. >Cu�antas forma iones distintaspueden ha erse?(58) Se tienen in o libros azules, tres negros y siete blan os, >de u�antas maneras diferentesse pueden alinear en un estante si han de olo arse juntos los del mismo olor? (sesupone que los libros son distintos).(59) Cal ula las siguientes poten ias:(2 + x)5 (�3 + x)6 (4� x)7 (x� 2y)4(60) Resuelve:(a) Cn;3 = 35 � (n� 2) (b) � 9n+ 4� = � 92n� 1� ( ) � 3n� 110 � = � 3n� 116 �


TEMA 2. T�e ni as de re uento. Combinatoria 14


Tema 3C�al ulo de probabilidades3.1 Introdu i�on>Llover�a el pr�oximo �n de semana? >ganar�a el Betis la liga esta temporada? >saldr�apremiado on el gordo de Navidad un n�umero terminado en seis? >aprobar�as Estad��sti a?Son todas ellas situa iones imposibles de prede ir a ien ia ierta y a las que llamamossitua iones de in ertidumbre.Cuando un meteor�ologo predi e el tiempo atmosf�eri o no ofre e una erteza absoluta sinoque informa de u�al es la situa i�on atmosf�eri a m�as probable en fun i�on de los datos quetiene en la mano. Si nos anun ian que ma~nana el ielo estar�a soleado no podemos dedu irde ello que es imposible que llueva, tan s�olo que es po o probable.Si en un sondeo ele toral uno de los partidos presenta una gran diferen ia de inten i�onde voto respe to a los dem�as, diremos que es muy probable que gane las ele iones. Yeste grado de ertidumbre ser�a mayor uanto m�as �able sea el sondeo, es de ir, uanto m�asextenso y representativo de la pobla i�on sea.Podemos realizar experimentos que en las mismas ondi iones y ir unstan ias se veri-� an de la misma manera. Tal o urre en la mayor��a de los fen�omenos f��si os y pueden serexpresados por f�ormulas matem�ati as. A estos experimentos se les llama deterministas.Hay otros fen�omenos o su esos que, aunque se reali en en las mismas ondi iones y ir unstan ias:(1) no se puede prede ir el resultado y(2) si se repite el experimento un su� iente n�umero de ve es y se anotan los resultadosobtenidos, se observar�a que la fre uen ia on la que ada uno de los posibles resultadosapare e tiende a estabilizarse.Estos fen�omenos que no obede en a leyes �jas y que m�as bien dependen del azar re ibenel nombre de su esos esto �asti os, aleatorios o fortuitos.Ejemplo 3.1.1 Si se lanza al aire 100 ve es una moneda, aproximadamente saldr�an unas50 aras y unas 50 ru es.3.2 Su esos aleatoriosDe�ni i�on 3.2.1 Al onjunto de todos los resultados que se pueden obtener en un experi-mento aleatorio se le llama espa io muestral; se designa por la letra (omega may�us ula)y sus elementos se olo an entre llaves y separados por omas.Ejemplo 3.2.2 Si lanzamos un dado obtenemos que = f1; 2; 3; 4; 5; 6g.De�ni i�on 3.2.3 Un su eso de un experimento aleatorio es ada uno de los sub onjuntosdel espa io muestral . Se designan por letras may�us ulas: A, B, C . . . y sus elementos se olo an entre llaves y separados por omas. 15

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 16Ejemplo 3.2.4 Siguiendo on el ejemplo anterior, posibles su esos ser��an:A = f1; 3; 5g sa ar n�umero impar; B = f3; 6g sa ar m�ultiplo de 3:Un su eso se veri� a si, al realizar una prueba del experimento aleatorio, obtenemosun resultado que es un elemento del su eso. Tambi�en se di e que se presenta o que serealiza.3.3 Tipos de su esos(1) Su eso elemental: es ada uno de los resultados simples que se obtiene al realizar elexperimento. Es ada uno de los elementos del espa io muestral.Ejemplo 3.3.1 Los su esos elementales al lanzar un dado son:A = f1g B = f2g C = f3g D = f4g E = f5g F = f6g(2) Su eso seguro: es aquel que siempre se veri� a, es de ir, todo el espa io muestral .Ejemplo 3.3.2 Sa ar menos de 11 al lanzar un dado: A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g(3) Su eso imposible: es aquel que no se realiza nun a. Lo representamos por O/ .Ejemplo 3.3.3 Sa ar mas de 8 al lanzar un dado: A = O/(4) Su eso ontrario o omplementario de A: es aquel su eso que se umple uandono se umple A; es de ir, aquel su eso ompuesto por todos los su esos elementalesque no se en uentran en A. Se representa por A o por A.Ejemplo 3.3.4 Sea el su eso A = f3; 6g \sa ar m�ultiplo de 3" al lanzar un dado.Enton es A = f1; 2; 4; 5g, o sea, \no sa ar m�ultiplo de 3".3.4 Opera iones on su esos(1) Igualdad: dos su esos A y B son iguales si est�an formados por los mismos su esoselementales. Se representa por A = B.(2) In lusi�on: un su eso A est�a in luido ( ontenido) en otro su eso B si todo su esoelemental de A pertene e tambi�en a B. Se representa por A � B.Ejemplo 3.4.1 Sean A = f3; 6g y B = f2; 3; 6g; enton es se umple que A � B.(3) Uni�on: llamamos su eso uni�on de A y B al su eso que se realiza uando uando loha e A o uando lo ha e B. Se representa por A [ B.A [ B = fx 2 = x 2 A o x 2 BgEjemplo 3.4.2 Si A = f2; 3; 4g y B = f3; 6g enton es A [ B = f2; 3; 4; 6g2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 17(4) Interse i�on: llamamos su eso interse i�on de A y B al su eso que se realiza uandolo ha en A y B a la vez. Se representa por A \ B.A \ B = fx 2 E = x 2 A y x 2 BgEjemplo 3.4.3 Si A = f2; 3; 4g y B = f3; 6g enton es A \B = f3g(5) Diferen ia: llamamos diferen ia de dos su esos A y B, y se representa por A � B, uando se umple A pero no se umple B.A�B = fx 2 E = x 2 A y x 62 BgEjemplo 3.4.4 Si A = f2; 3; 4g y B = f3; 6g enton es A�B = f2; 4g y B�A = f6g3.4.1 Propiedades(a) A [ = (b) A [ O/ = A( ) A [ A = (d) A \ = A(e) A \ O/ = O/ (f) A \ A = O/(g) A�B = A [ B �B (h) A�B = A \ B(i) A [ B = A \B (j) A \B = A [ BLas propiedades (i) y (j) son ono idas omo las \leyes de De Morgan".3.4.2 CompatibilidadDos su esos son ompatibles uando pueden darse los dos a la vez, es de ir, su inter-se i�on es no va ��a.Ejemplo 3.4.5 Si A = f2; 4; 6g y B = f3; 6g, existe la posibilidad de que los dos su esos severi�quen a la vez: salir el 6. A y B son ompatibles porque A \ B 6= O/ .Del mismo modo, dos su esos son in ompatibles uando al darse uno, no puede darseel otro, es de ir, su interse i�on es va ��a.Ejemplo 3.4.6 Si A = f1; 3; 5g y B = f2; 6g, nun a pueden darse los dos a la vez. A y Bson in ompatibles porque A \ B = O/ .3.5 Probabilidad de su esos. Regla de Lapla e3.5.1 De�ni i�on l�asi a de probabilidadREGLA DE LAPLACE: La probabilidad de un su eso A es igual al o iente entre eln�umero de su esos elementales de A y el n�umero de su esos elementales posibles:P (A) = Casos favorablesCasos posiblesEjemplo 3.5.1 Supongamos que tenemos una baraja de 40 artas y sa amos una arta alazar.(1) >Cu�al es la probabilidad de que salga el 4 de bastos?(2) >Cu�al es la probabilidad de que salga una opa?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 18(3) >Cu�al es la probabilidad de que salga una �gura?Solu i�on:(1) Solo hay un 4 de bastos en la baraja y se puede sa ar 40 posibles artas, enton es:P (Sa ar 4 de bastos) = 140(2) Hay 10 artas que son opa y nos interesa que salga entre las 40 posibles:P (Sa ar Copa) = 1040(3) Hay 12 �guras en la baraja (3 por ada palo) entre las 40 posibles:P (Sa ar �gura) = 12403.5.2 De�ni i�on axiom�ati a de probabilidadLlamamos probabilidad a toda apli a i�on P de�nida entre los onjuntos y el intervalo errado [0; 1℄: P : �! [0; 1℄A �! P (A)que veri� a los axiomas siguientes:(1) P () = 1; la probabilidad del su eso seguro es 1.(2) Si A \ B = O/ , enton es P (A [B) = P (A) + P (B)3.5.3 Propiedades(1) P (A) = 1� P (A)(2) P (O/ ) = 0(3) Si A y B son dos su esos ualesquiera, enton es P (A[B) = P (A)+P (B)�P (A\B)(4) Si A � B enton es P (A) � P (B)(5) P (A�B) = P (A)� P (A \ B) = P (A [ B)� P (B)(6) P (A[B[C) = P (A)+P (B)+P (C)�P (A\B)�P (A\C)�P (B\C)+P (A\B\C)3.6 Probabilidad ondi ionada y ompuestaEn el �al ulo de las probabilidades de algunos su esos, su valor var��a en fun i�on de los ono imientos de determinadas informa iones relativas a estos su esos.Se llama probabilidad ondi ionada del su eso B respe to al su eso A, y lo denota-remos por P (B=A) al o iente: P (B=A) = P (A \ B)P (A)y se lee: \Probabilidad de que o urra B sabiendo que ha o urrido A" o bien \probabilidadde B dado A".2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 19Ejemplo 3.6.1 En una lase hay 50 alumnos, 30 hi as y 20 hi os. 22 hi as y 18 hi osson de Bonares. Si formamos un uadro on los datos:A OBonarenses 22 18 40No bonarenses 8 2 1030 20 50 P (A \ B) = 2250 \ser hi a Y de Bonares"P (O \ B) = 250 \ser hi o Y no de Bonares"P (A=B) = 810 \DADO que no es de Bonares, ser hi a"P (B=O) = 1820 \DADO que es hi o, ser de Bonares"Ejemplo 3.6.2 Se lanzan dos dados:(1) >Cu�al es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?(2) Si la suma de puntos ha sido 7. >Cu�al es la probabilidad de que en alguno de los dadoshaya salido un tres?Solu i�on: sean los su esos A =fla suma de los puntos es 7g y B =fen alguno de los dadosha salido un 3g.(1) Los asos posibles al lanzar dos dados son 36 y los asos favorables del su eso A son6, a saber: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1). Por tanto:P (A) = 636 = 16(2) En este aso, el su eso B=A es \salir en alg�un dado 3, si la suma ha sido 7". Los asosposibles son los 6 anteriores y 2 los favorables: (3,4); (4,3). Por tanto:P (B=A) = 26 = 13Apli ando la f�ormula dire tamente, sin ontar los asos tendr��amos:P (B=A) = P (A \ B)P (A) = 236636 = 133.6.1 Dependen ia o independen ia de su esosTenemos P (A=B) = P (A \ B)P (B) y por tanto P (B=A) = P (B \ A)P (A) . Despejando:P (A \B) = P (A=B) � P (B) = P (B=A) � P (A)Dos su esos son independientes si el he ho de realizarse uno no reper ute en que sereali e el segundo. Es de ir, si P (A=B) = P (A) o si P (A \ B) = P (A) � P (B).De igual modo, dos su esos son dependientes si el he ho de realizarse uno reper ute enque se reali e el segundo. Es de ir, si P (A=B) 6= P (A) o si P (A \ B) 6= P (A) � P (B).Nota: no onfundir su esos independientes (P (A \ B) = P (A) � P (B)) on su esos in om-patibles (P (A \ B) = O/ ).2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 203.6.2 Probabilidad ompuestaSi A y B son dos su esos ualesquiera, enton es se tiene queP (A \B) = P (A) � P (B=A)Ejemplo 3.6.3 Se tienen dos barajas de artas de 40 artas ada una. Se sa a una artade la primera baraja y luego se sa a una de la segunda. >Cu�al es la probabilidad de sa ardos bastos?Solu i�on: uando se sa a la arta de la primera baraja, no in uye en nada en la que saldr�aen la segunda y por tanto son su esos independientes. Si llamamos B1 al su eso \sa ar unbasto de la primera baraja" y B2 al su eso \sa ar un basto de la segunda baraja" obtenemos:P (B1 \ B2) = P (B1) � P (B2=B1) = P (B1) � P (B2) = 1040 � 1040 = 14 � 14 = 000625Ejemplo 3.6.4 Se tiene una baraja de artas de 40 artas. Se sa an dos artas de la baraja.>Cu�al es la probabilidad de sa ar dos bastos?Solu i�on: sa ar la primera arta de la baraja in uye en la segunda arta en el n�umero de artas que quedan y por tanto son su esos dependientes. Si llamamos B1, a sa ar un bastola primera vez y B2 a sa ar un basto la segunda vez obtenemos:P (B1 \B2) = P (B1) � P (B2=B1) = 1040 � 939 = 14 � 313 = 000576La probabilidad ompuesta se puede generalizar a m�as de dos su esos. Sean A,B y Ctres su esos. Enton esP (A \ B \ C) = P (A) � P (B=A) � P (C=B \ C):Sean A1; A2 � � � ; An n su esos,P (A1 \ A2 \ � � � \ An) = P (A1) � P (A2=A1) � � �P (An=A1 \ A2 \ � � � \ An�1):3.7 Probabilidad totalSe de�ne un sistema ompleto de su esos omo una familia de su esos A1; A2; � � � ; Ande que umplen:� Son in ompatibles dos a dos: Ai \ Aj = O/ si i 6= j.� La uni�on de todos es el total: n[i=1Ai = .Ejemplo 3.7.1 Si = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, A = f1; 2g, B = f3; 5; 6g y C = f4g es un sistema ompleto de su esos.3.7.1 Teorema de la probabilidad totalSi tenemos un sistema ompleto de su esos A1; A2 � � � ; An y B un su eso ualquiera de del que se ono en las probabilidades ondi ionadas P (B=Ai), enton es la probabilidad delsu eso B viene dada por la expresi�on:P (B) = P (A1) � P (B=A1) + P (A2) � P (B=A2) + � � �+ P (An) � P (B=An)2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 21Ejemplo 3.7.2 Una ompa~nia dedi ada al transporte p�ubli o explota tres l��neas de una iudad, de forma que el 60% de los autobuses ubre el servi io de la primera l��nea, el 30% ubre la segunda y el 10% ubre el servi io de la ter era l��nea. Se sabe que la probabilidadde que, diariamente, un autob�us de aver��e es del 2%, 4% y 1%, respe tivamente, para adal��nea. Determina la probabilidad de que, en un d��a, un autob�us sufra una aver��a.Solu i�on: el su eso \sufrir una aver��a" Av puede produ irse en ualquiera de las tres l��neas,(L1, L2, L3). Seg�un este teorema y teniendo en uenta que:P (Av=L1) = 0002 P (Av=L2) = 0004 P (Av=L3) = 0001tenemos que:P (Av) = P (L1) � P (Av=L1) + P (L2) � P (Av=L2) + P (L3) � P (Av=L3) == 006 � 0002 + 003 � 0004 + 001 � 0001 = 00012 + 00012 + 00001 = 000253.8 Teorema de BayesEs una generaliza i�on del teorema de la probabilidad total. Si tenemos un sistema ompletode su esos A1; A2 � � � ; An y B un su eso ualquiera de del que se ono en las probabilidades ondi ionadas P (B=Ai),P (Ai \ B) = P (Ai=B) � P (B) = P (B=Ai) � P (Ai)enton es P (Ai=B) = P (B=Ai) � P (Ai)P (B)por ser A1; A2 � � � ; An un sistema ompleto de su esosP (B) = P (A1) � P (B=A1) + P (A2) � P (B=A2) + � � �+ P (An) � P (B=An)enton es P (Ai=B) viene dada por la expresi�on:P (Ai=B) = P (B=Ai) � P (Ai)P (A1) � P (B=A1) + P (A2) � P (B=A2) + � � �+ P (An) � P (B=An)Ejemplo 3.8.1 Se tienen tres urnas: U1 on tres bolas rojas y 5 negras, U2 on dos bolasrojas y una negra y U3 on dos bolas rojas y 3 negras. Alguien oge una bola de una urna yresulta que es roja. >Cu�al es la probabilidad de haber sido extra��da de la urna U1?Solu i�on: llamamos R al su eso de sa ar una bola roja y N al su eso de sa ar bola negra.La probabilidad pedida es P (U1=R); utilizando el teorema de Bayes obtenemos:P (U1=R) = P (U1) � P (R=U1)P (U1) � P (R=U1) + P (U2) � P (R=U2) + P (U3) � P (R=U3) == (1=3) � (3=8)(1=3) � (3=8) + (1=3) � (2=3) + (1=3) � (2=5) = 45173 = 00262Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 22PROBLEMAS DE PROBABILIDAD(1) En el experimento que onsiste en lanzar un dado �ubi o y anotar el resultado de la ara superior, al ula la probabilidad de:(a) Salir par.(b) Salir impar.( ) Salir m�ultiplo de 3.(d) Salir m�ultiplo de 5.(2) Hay seis artas on los n�umeros 1, 2, 3, 5, 6, 7. Se toma una al azar.(a) >Cu�al es la probabilidad de que se obtenga un n�umero menor que 4?(b) >Cu�al es la probabilidad de que el n�umero que se obtenga sea divisible por 2?(3) Luisa y Marta intervienen en un torneo de ajedrez. La primera que gane dos partidasseguidas o tres alternas gana el torneo. En uentra el espa io muestral de todos losresultados posibles.(4) Dos amigas est�an jugando a las artas. Rosa di e que la pr�oxima arta que se extraigaser�a un rey y Silvia di e que ser�a �gura. >Cu�al de las dos tiene mayor probabilidad dea ertar?(5) Extraemos una arta de una baraja espa~nola. Halla las siguientes probabilidades:(a) Que sea un rey o un as.(b) Que sea un rey o una opa.(6) Una urna ontiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Deter-mina la probabilidad de que:(a) Sea roja o verde.(b) Sea roja o amarilla.( ) No sea roja.(7) Halla la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:(a) Dos aras.(b) Dos ru es.( ) Una ara y una ruz.(8) Halla la probabilidad qde que al lanzar al aire 5 monedas, salgan:(a) Cin o aras.(b) Cuatro aras.( ) Tres aras.(9) Averigua la probabilidad que existe de que al arrojar dos dados al aire, salga:(a) En el primero un m�ultiplo de 3, y en el segundo, un n�umero par.(b) En el primero, mayor que 2, en el segundo, n�umero impar.(10) Cal ula la probabilidad de que al lanzar tres dados al aire, salga:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 23(a) Una suma par.(b) Una suma que sea m�ultiplo de tres.( ) Una suma que sea m�ultiplo de 4.(d) Una suma mayor que 15.(e) Una suma que sea m�ultiplo de 10.(11) >Cu�al es la probabilidad de que al lanzar dos dados al aire salgan dos n�umeros iguales?(12) En la baraja espa~nola se extraen simultaneamente tres artas, >Cu�al es la probabilidadde que dos sean ases?(13) >Cu�al es la probabilidad de que al extraer simultaneamente, in o artas de una barajade 40, salgan tres ases y dos artas iguales entre s��?(14) En una bolsa hay 12 bolas blan as y 20 verdes. Si se ha en uatro extra iones,seguidas, >qu�e probabilidad habr�a de que las uatro bolas sean blan as?(a) Devolviendo ada vez la bola extra��da.(b) No devolvi�endolas.(15) En una bolsa hay 6 bolas blan as y 8 azules. >Cu�al es la probabilidad de que, al ha er uatro extra iones a la vez, no sean las uatro blan as?(16) Tenemos una urna on nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento,que onsiste en sa ar una bola de la urna, anotar el n�umero y devolverla a la urna.Consideramos los siguientes su esos: A=fsalir un n�umero primog y B=fsalir un n�u-mero uadradog.(a) Cal ula los su esos A [B y A \ B.(b) los su esos A y B, >son ompatibles o in ompatibles?( ) Halla los su esos ontrarios de A y de B.(17) >Cu�al de las siguientes fun iones de�nen una probabilidad en = fA;B;Cg?(a) P (A) = 1=4 P (B) = 1=3 P (C) = 1=2(b) P (A) = 2=3 P (B) = �1=3 P (C) = 2=3( ) P (A) = 1=6 P (B) = 1=3 P (C) = 1=2(d) P (A) = 0 P (B) = 1=3 P (C) = 2=3(18) Sea P una probabilidad de�nida en = fA;B;Cg. Halla P (A) en los asos:(a) P (B) = 1=3 P (C) = 1=4(b) P (A) = 2 � P (B) P (C) = 1=4( ) P (C) = 2 � P (B) P (B) = 3 � P (A)(19) En una determinada f�abri a de autom�oviles, el 6% de los o hes tienen defe tos en elmotor, el 8% tiene defe tos en la arro er��a y el 2% tiene defe tos en ambos.(a) >Cu�al es la probabilidad de que un o he tenga al menos un defe to?(b) >Y la probabilidad de que un o he no sea defe tuoso?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 24(20) Dos personas, A y B, se organizan el siguiente juego: Tiran un dado tres ve es. Sisale alg�un 1, gana A. Si no sale ning�un 1, gana B. >Cu�al de las dos personas tienemayor probabilidad de ganar?(21) Una asa tiene dos es aleras. La es alera A tiene 10 pisos, en uatro de ellos hay joyas;en la es alera B, in o pisos tienen joyas y in o no. Un ladr�on entra al azar en unade las es aleras y luego en uno de los pisos. >Cu�al es la probabilidad de que entre enun piso on joyas?(22) Una urna A, ontiene 5 bolas rojas y tres blan as. Otra urna B, ontiene 2 bolasblan as y 6 rojas. Si se sa a una bola de ada urna. >Cu�al es la probabilidad de quesean de igual olor?(23) En una asa hay tres llaveros A, B y C, el primero on in o llaves, el segundo on 7y el ter ero on 8, de las que s�olo una de ada llavero abre la puerta del trastero. Sees oge al azar un llavero y, de �el, una llave para intentar abrir el trastero. Se pide:(a) >Cu�al ser�a la probabilidad de que a ierte on la llave?(b) >Cu�al ser�a la probabilidad de que el llavero es ogido sea el ter ero y la llave noabra?(24) Consideramos el fen�omeno aleatorio extraer una arta de la baraja de uarenta yanotarla a los su esos A =fsa ar orog, B =fsa ar reyg, C =fsa ar el rey de bastosg.Determina los su esos siguientes:A \ C A \ B \ C A [ B [ C A [ B(25) Una moneda est�a fabri ada de manera que la probabilidad de sa ar ara es triple dela de obtener ruz. Cal ula la probabilidad de obtener ara y de obtener ruz en ellanzamiento de di ha moneda.(26) Las letras de la palabra CARLOS se olo an al azar una seguida de otra. >Cu�al es laprobabilidad de que las dos vo ales queden juntas?(27) Sean A y B dos su esos tales que P (A) = 004, P (B) = 003 y P (A \B) = 001. Cal ularazonadamente: (a) P (A [B), (b) P (A [ B), ( ) P (A \ B)(28) De una urna que ontiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una bola alazar. Cal ula la probabilidad de que sea:(a) una bola roja (b) una bola verde ( ) una bola roja o verde.(29) De una urna que ontiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen su esivamente dos bolas.Halla la probabilidad de que sean:(a) las dos negras (b) las dos rojas ( ) una roja y otra negra.(30) El apit�an de un submarino lanza uatro torpedos a un buque enemigo. Si la probili-dad de que ada torpedo haga blan o es del 40%. >Cu�al es la probabilidad de que elbuque sea al anzado?(31) En el lanzamiento de uatro monedas, al ula la probabilidad de que:(a) salga al menos una ruz ; (b) dos sean aras y dos ru es ; ( ) salga alguna ara.(32) Una urna ontiene 5 bolas blan as y 7 negras. Se sa an al azar tres bolas. Halla laprobabilidad de que al menos una sea blan a.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 25(33) Extraemos una arta de la baraja espa~nola; si sale �gura, extraemos una bola de laurna I; en aso ontrario, la extraemos de la urna II. Las urnas tienen la siguiente omposi i�on:Urna I: 4 bolas blan as y 8 verdes Urna II: 6 bolas verdes y 5 rojas.Cal ula las probabilidades de los siguientes su esos:(a) La bola es verde y de la urna II.(b) La bola es blan a.(34) La probabilidad de que una persona adquiera en un librer��a un peri�odi o es de 0'4. Laprobabilidad de que adquiera una revista es de 0'3. La probabilidad de que adquieraambas publi a iones es de 0'2. Cal ula las probabilidades de los siguientes su esos:(a) Que adquiera alguna publi a i�on.(b) Que adquiera solo un peri�odi o.( ) Que no adquiera ninguna.(35) La probabilidad de que una alumna apruebe Matem�ati as es del 0'6, la de que apruebeLengua es de 0'5 y de que apruebe las dos es de 0'2.(a) >Cu�al es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura?(b) >Y de que no apruebe ninguna?( ) >Y de que apruebe Matem�ati as y no Lengua?(d) >Es independiente aprobar Lengua de aprobar Matem�ati as?(36) Se lanza un dado dos ve es. Cal ula la probabilidad de que en la segunda tirada seotenga un n�umero mayor que en la primera.(37) En una universidad en la que solo hay estudiantes de Arquite tura, Cien ias y Letras,terminan la arrera el 5% de Arquite tura, el 30% de Cien ias y el 50% de Letras.Elegido un estudiante al azar se pide:(a) La probabilidad de que sea de Arquite tura y haya terminado.(b) La probabilidad de que haya terminado sus estudios.(38) Una empresa del ramo de la alimenta i�on elabora sus produ tos en uatro fa tor��as:F1, F2, F3 y F4. El por entaje de produ i�on total que se fabri a en ada fa tor��a es del40%, 30%, 20% y 10%, respe tivamente, y adem�as el por entaje de envasado in orre tode ada fa tor��a es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un produ to de la empresa alazar. >Cu�al es la probabilidad de que se en uentre defe tuosamente envasado?(39) Se tiene una urna va ��a y se lanza una moneda al aire. Si sale ara, se introdu e enla urna una bola blan a y, si sale ruz, se introdu e una bola negra. El experimentose repite tres ve es y, a ontinua i�on, se introdu e la mano en la urna, retirando unabola. >Cu�al es la probabilidad de que en la urna queden una bola blan a y otra negra?(40) Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos aras, se extrae una bola de la urna I, que ontiene 2 bolas blan as y 3 negras. Si sale ara y ruz, se extrae una bola de la urnaII, que ontiene 4 bolas blan as y una negra. Si salen dos ru es, se extrae una bolade la urna III, que ontiene 3 bolas blan as y 2 negras. >Cu�al es la probabilidad deextraer bola blan a despu�es de lanzar las monedas y sa ar la bola?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 26(41) Tres m�aquinas,M1, M2 yM3, produ en el 45%, 30% y 25%, respe tivamente, del totalde las piezas produ idas en una f�abri a. Los por entajes de produ i�on defe tuosa deestas m�aquinas son del 3%, 4% y 5%.(a) Sele ionamos una pieza al azar; al ula la probabilidad de que sea defe tuosa.(b) Tomamos al azar una pieza y resulta ser defe tuosa; al ula la probabilidad dehaber sido produ ida por la m�aquina M2.( ) >Qu�e m�aquina tiene la mayor probabilidad de haber produ ido la itada piezadefe tuosa?(42) Tenemos tres urnas: U1 on tres bolas rojas y 5 negras, U2 on dos bolas rojas y 1negra y U3 on dos bolas rojas y 3 negras. Es ogemos una urna al azar y extraemosuna bola. Si la bola ha sido roja, > u�al es al probabilidad de haber sido extra��da de laurna U1?(43) Para un dado numerado del 1 al 6, se pide:(a) En uentra la probabilidad de que salga un tres, si se sabe que sali�o impar.(b) Cal ula la probabilidad de que salga par, si se sabe que sali�o mayor que tres.(44) A un ongreso asisten el mismo n�umero de hombres que de mujeres. El 60% de loshombres tiene 40 a~nos o m�as y el 30% de las mujeres tiene menos de 40 a~nos. Se pide:(a) Se elige al azar una persona que asiste al ongreso. >Cu�al es la probabilidad deque sea mujer?(b) Si se elige al azar una persona que asiste al ongreso. > u�al es la probabilidad deque tenga menos de 40 a~nos?( ) Si se elige un asistente al azar y se observa que tiene m�as de 40 a~nos. >Cu�al es laprobabilidad de que di ha persona sea una mujer?(45) Un estudiante ha e dos pruebas el mismo d��a. La probabilidad de que pase la primeraprueba es del 0'6. La probabilidad de que pase la segunda es del 0'8 y de la que paseambas es del 0'5. Se pide:(a) La probabilidad de que pase al menos una prueba.(b) La probabilidad de que no pase ninguna prueba.( ) >Son las pruebas independientes?(d) La probabilidad de que pase la segunda prueba en el aso de no haber superadola primera.(46) Entre todos los alumnos del �ultimo urso de ba hillerato de una iudad, el 80% ursaingl�es y el 20% fran �es. Se sabe, adem�as, que el 53% son mujeres. Se elige al azar unode esos alumnos de �ultimo urso y resulta ser mujer. >Cu�al es la probabilidad de queesta alumna urse fran �es?(47) Una urna ontiene tres bolas rojas y una blan a; otra urna ontiene 4 bolas rojas y 2blan as y una ter era ontiene 1 bola roja y 2 blan as. Se extrae una bola de una deellas y se omprueba que es roja. Halla la probabilidad de que haya sido extra��da dela primera urna.(48) En un olegio, el 5% de los hi os y el 6% de las hi as son m�as altos de 1'67m.Adem�as, el 60% de los estudiantes son mujeres. Si un estudiante es elegido al azar yes m�as alto de 1'67m, > u�al es la probabilidad de que sea una mujer?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 27(49) Una urna ontiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dosdel mismo olor. A ontinua i�on, se extrae una segunda bola.(a) Halla la probabilidad de que la segunda bola sea roja.(b) Halla la probabilidad de que las dos bolas extra��das sean del mismo olor.(50) En una bolsa A hay 4 bolas negras y 5 blan as. En otra bolsa B hay dos negras y tresblan as. Se elige al azar una bolsa y se extrae de ella una bola.(a) Halla la probabilidad de que la bola extra��da sea negra.(b) Halla la probabilidad de que la bola extra��da sea blan a.(51) En una urna hay 6 bolas blan as y 3 negras. Se extraen su esivamente tres bolas sinreemplazamiento. Cal ula la probabilidad de que salga alguna bola negra.(52) Una urna ontiene dos bolas blan as y dos rojas, y otra urna tres blan as y dos rojas.Se pasa una bola de la primera a la segunda urna y despu�es se extrae una bola dela segunda urna, que resulta ser blan a. Determina la probabilidad de que la bolatrasladada hubiese sido blan a.(53) Se tienen dos urnas, una on 8 bolas blan as y 4 verdes; la otra on, 6 bolas blan as y10 verdes. Se extrae una bola de ada urna. Cal ula la probabilidad de que sean delmismo olor.(54) Un joyero ompra los relojes en dos asas proveedoras. La primera le sirve el 60%de los relojes, de los uales el 0'4 son defe tuoso. La segunda le propor iona el resto,siendo defe tuoso el 1,5%. Un d��a, el joyero, al vender un reloj, observa que este nofun iona. Halla la probabilidad de que el reloj pro eda de la primera asa proveedora.(55) Una urna A ontiene 5 bolas blan as y 3 negras. Otra urna B, 6 bolas blan as y4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas que resultan ser negras.Cal ula la probabilidad de que la urna elegida haya sido la B.(56) Dos profesores omparten un n�umero de tel�efono. De las llamadas que llegan, 2/5 sonpara A y 3/5 son para B. Sus o upa iones do entes les alejan de este tel�efono, demodo que A est�a fuera el 50% del tiempo y B el 25%. Cal ula la probabilidad de queno est�e ninguno para responder al tel�efono y las probabilidades de estar presente elprofesor uando le llamen.(57) Una urna ontiene dos bolas, que pueden ser blan as, negras o una blan a y otra negra.Se a~nade una bola blan a a la bolsa y despu�es se extrae una bola al azar. >Cu�al es laprobabilidad de que sea blan a?


TEMA 3. C�al ulo de probabilidades 28


Tema 4Variables unidimensionalesComo hemos visto al prin ipio, la Estad��sti a es la ien ia que trata de los fen�omenosde la vida, que los estudia, analiza e interpreta.Antes de omenzar on el estudio y an�alisis de datos re ogidos mediante observa iones,debemos asimilar el lenguaje y los on eptos que vamos a utilizar4.1 De�ni iones� Pobla i�on, universo o onjunto referen ial: ualquier onjunto de objetos agru-pables de ualquier naturaleza (pobla i�on mundial, n�umero de tuer as produ idas enuna fa tor��a...). Esta pobla i�on debe de estar de�nida on pre isi�on.� Muestra: ualquier sub onjunto de la pobla i�on.� Individuos: los elementos que omponen la pobla i�on estudiada.� Car�a ter: propiedad que permite lasi� ar a los individuos de la pobla i�on. Sedistinguen dos tipos de ara teres estad��sti os: uantitativos y ualitativos.{ Cara teres estad��sti os uantitativos: aquellos que se pueden medir (la tallade un individuo, el di�ametro de una tuer a,...){ Cara teres estad��sti os ualitativos: aquellos que no se pueden medir (laprofesi�on de una persona, el idioma elegido en el ba hillerato,...)� Modalidad: las diferentes situa iones posibles de un ar�a ter estad��sti o ualitativo(del ar�a ter \profesi�on", son modalidades abogado, profesor, m�edi o...)� Variable estad��sti a: fun i�on que aso ia a ada individuo un valor del ar�a terestad��sti o uantitativo que estemos estudiando. Seg�un el tipo de valores que puedatomar la variable estad��sti a podemos diferen iarla en:{ Variable estad��sti a dis reta: uando sus posibles valores son aislados y pue-den ordenarse mediante el orden natural (edad, asignaturas, o hes vendidos,...){ Variable estad��sti a ontinua: uando sus posibles valores son \ ontinuos",es de ir, entre dos valores de la variable, esta puede tomar todos los valoresintermedios (distan ia entre dos puntos del intervalo [0,1℄, di�ametro de una tuer a,tiempo de vida de una bombilla...)� Serie estad��sti a: onjunto de observa iones o medidas realizadas en una pobla i�on,atendiendo a una o varias ara ter��sti as determinadas.4.2 Tratamiento de la informa i�onPara analizar una muestra se siguen los siguientes pasos:29

TEMA 4. Variable unidimensional 30(1) Re ogida de datos. Consiste en la toma de datos num�eri os pro edentes de la muestra.(2) Ordena i�on de los datos. Una vez re ogidos los datos los olo aremos en orden re ienteo de re iente.(3) Re uento de fre uen ias. Efe tuaremos el re uento de los datos obtenidos.(4) Agrupa i�on de los datos. En aso de que la variable sea ontinua, o bien dis retapero on un n�umero de datos muy grande, es muy a onsejable agrupar los datos en lases. Una vez de idido el n�umero de lases, es a onsejable es oger los l��mites de lase (inferior Li y superior Ls), de modo que se sit�uen en n�umeros \redondos" , omom�ultiplos de 5 �o de 10. Se debe pro urar que todas las lases tengan la misma amplitudo tama~no. A los puntos medios de ada lase se les llama mar a de lase.(5) Constru i�on de la tabla estad��st�� a. En la tabla deber�an �gurar los valores de la va-riable (y en aso de que se en uentre agrupada en lases, los limites inferior y superior,as�� omo la mar a de lase), fre uen ias absolutas y fre uen ias relativas. A ve eses onveniente in luir las fre uen ias absolutas a umuladas y las fre uen ias relativasa umuladas. En mu has o asiones es interesante trabajar on por entajes; estos seobtienen multipli ando las fre uen ias relativas por 100.(6) Representa i�on gr�a� a de la distribu i�on mediante el diagrama m�as ade uado.Ejemplo 4.2.1 Consideremos una muestra sa ada de la pobla i�on formada por los 150alumnos de un urso determinado. La muestra onsta de 20 alumnos. Se les pregunta u�an-tos hermanos tiene ada uno, a lo que responden 1; 2; 0; 1; 3; 4; 3; 1; 2; 1; 0; 5; 3; 2; 1; 2; 2; 0; 1; 0.La variable que onsideramos es \n�umero de hermanos de ada uno". Construimos la tablaestad��sti a siguiente:En prin ipio tenemos que el tama~no de la muestra N = 20 enton es:Respuestas xi fi hi Fi Hi0 hermanos 0 4 0'2 4 0'21 hermano 1 6 0'3 10 0'52 hermanos 2 5 0'25 15 0'753 hermanos 3 3 0'15 18 0'94 hermanos 4 1 0'05 19 0'955 hermanos 5 1 0'05 20 16 hermanos 6 0 0 20 1donde� xi son los valores que toma la variable aleatoria.� fi (fre uen ia absoluta) es el n�umero de ve es que se repite el valor xi.� hi (fre uen ia relativa) es el o iente entre fi y N .� Fi (fre uen ia absoluta a umulada) es la suma de todas las fre uen ias absolutasde todos los valores anteriores a xi m�as fi.� Hi (fre uen ia relativa a umulada) es el o iente entre Fi y N .Ejemplo 4.2.2 Consideremos los 150 alumnos del ejemplo anterior y omo variable esta-d��sti a \la estatura". Como son tan variadas las agrupamos en \ lases" y es ribimos omoxi el punto medio de ada lase (la mar a de lase):2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 31Clases xi fi hi Fi Hi160-165 m 162'5 15 0,1 15 0'1165-170 m 167'5 60 0'4 75 0'5170-175 m 172'5 40 0'26 115 0'76175-180 m 177'5 20 0'13 135 0'9180-185 m 182'5 10 0'06 145 0'96185-190 m 187'5 5 0'03 150 14.3 Gr�a� as estad��sti as4.3.1 Variables dis retasDiagrama de barrasConsiste en una representa i�on, normalmente plana, en ejes artesianos, donde el eje Xtoma los valores de la variable y el eje Y la fre uen ia, dibuj�andose una barra verti al dean hura op ional y de altura la orrespondiente a la fre uen ia de ada modalidad.Ejemplo 4.3.1 Ha iendo la gr�a� a relativa al ejemplo 4.2.1 obtenemos:123456

0 1 2 3 4 5 6 N�umero de hermanosNo de alumnos

Gr�a� as de l��neasEs b�asi amente igual a la anterior, diferen i�andose en que en vez de barras verti ales,se unen los puntos orrespondientes a ada xi y su fre uen ia.Ejemplo 4.3.2 Ha iendo la gr�a� a relativa al ejemplo 4.2.1 obtenemos:123456

0 1 2 3 4 5 6 N�umero de hermanosNo de alumnos

Pi togramasConsiste en tomas omo unidad un s��mbolo ualquiera para el que debemos �jar previa-mente el valor que le asignamos omo tal unidad. Existe la posibilidad de ha er una mez la on este tipo y on otro ualquiera.Ejemplo 4.3.3 Ha iendo la gr�a� a relativa al ejemplo 4.2.1 obtenemos:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 320123456No de hermanos Cada dibujo orresponde a un alumno

Se toresConsiste en mostrar las fre uen ias de las xi propor ionalmente a se tores de una ir- unferen ia.1 hermano 0 hermanos2 hermanos

3 hermanos4 hermanos5 hermanos

4.3.2 Variables ontinuasHistogramasEs un gr�a� o formado por re t�angulos unidos unos a otros, uyos v�erti es de la base oin iden on los extremos del intervalo y el entro del intervalo on la mar a de lase, querepresentamos en el eje de abs isas. En el eje de ordenadas se representa la fre uen ia de la lase.Ejemplo 4.3.4 Ha iendo la gr�a� a relativa al ejemplo 4.2.2 obtenemos:60402015105160 165 170 175 180 185 190 Talla de los alumnosFre uen ias


TEMA 4. Variable unidimensional 33Pol��gono de fre uen ias a umuladasEs un gr�a� o on las mismas ara ter��sti as que el histograma pero on las fre uen iasa umuladas en el eje de ordenadas uniendo los extremos de las lases mediante l��neas re tas.Ejemplo 4.3.5 Ha iendo la gr�a� a relativa al ejemplo 4.2.2 obtenemos:

160 165 170 175 180 185 190 Talla de los alumnosFre uen iasa umuladas 1501451351157515

4.4 Medidas de entraliza i�onLas tablas estad��sti as y las representa iones gr�a� as dan una idea global de los datosque estamos tratando, sin embargo, se ha e ne esario simpli� ar ese onjunto de datosmediante unas medidas llamadas de entraliza i�on. Aqu�� estudiaremos la media, la medianay la moda.4.4.1 Media aritm�eti aEs la suma de los valores que toma la variable dividido por el n�umero de elementos.Se denota por X y se al ula X = kXi=1 xi � fiNEjemplo 4.4.1 Considerando el ejemplo 4.2.1 anterior, onstruimos la tabla:xi fi Fi xi � fi0 hermanos 0 4 4 01 hermanos 1 6 10 62 hermanos 2 5 15 103 hermanos 3 3 18 94 hermanos 4 1 19 45 hermanos 5 1 20 56 hermanos 6 0 20 020 34 dividiendo 34 entre 20 obtenemos X = 1072Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 34Ejemplo 4.4.2 Siguiendo on el ejemplo 4.2.2 anterior, ompletamos la tabla on:xi fi Fi xi � fi160� 165 m 16205 15 15 243705165� 170 m 16705 60 75 10050170� 175 m 17205 40 115 6900175� 180 m 17705 20 135 3550180� 185 m 18205 10 145 1825185� 190 m 18705 5 150 93705150 25 700dividiendo 25 700 entre 150 tenemosX = 171033

4.4.2 ModaEs el valor de la variable al que le orresponde mayor fre uen ia. Es la modalidad quem�as se repite. Se representa por Mo.En un estudio estad��sti o on intervalos, el intervalo que m�as apare e se le denominaintervalo modal o lase modal y su moda responde a la f�ormula:Mo = Li + � d1d1 + d2�Li = L��mite inferior de la lase modal.d1 = Diferen ia entre la fre uen ia absoluta de la lase modal y la de la lase ontigua inferior.d2 = Diferen ia entre la fre uen ia absoluta de la lase modal y la de la lase ontigua superior. = Amplitud del intervalo de la lase modal.Puede o urrir que haya m�as de una moda.4.4.3 MedianaEs el valor de la variable que divide a la pobla i�on, en dos partes iguales, habiendotantos valores por en ima omo por debajo de ella. Se representa por Me. Se pueden dardos asos:El primero es el aso de una variable dis reta. Si N es impar, la mediana es el valor queo upa el lugar N+12 . Si N es par, se tomar�a la media aritm�eti a de los dos valores entralesN2 y N2 + 1.El segundo es si el estudio se ha e on datos agrupados en lases, el intervalo que dejala muestra dividida en dos se llama intervalo de mediana y se al ula la mediana mediantela f�ormula siguiente: Me = Li + fi �N2 � Fi�1�Li = Extremo inferior del intervalo de mediana. = Amplitud del intervalo de mediana.fi = Fre uen ia absoluta del intervalo de mediana.Fi�1 = Fre uen ia a umulada del intervalo anterior al intervalo de mediana.Ejemplo 4.4.3 Del ejemplo 4.2.1 tenemos que:Mo = 1 Me = 1 + 22 = 1; 52Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 35Ejemplo 4.4.4 Del ejemplo 4.2.2 tenemos que la lase modal es [165; 170℄ y siguiendo lasf�ormulas obtenemos: Mo = 165 + 5 4545 + 20 = 168046Me = 165 + 560 �1502 � 15� = 1704.4.4 CuantilesAs�� omo la mediana divide la pobla i�on en dos partes, si la divisi�on se ha e en 4, 10 o100 partes iguales llegaremos al on epto de uantil. Prin ipalmente hay tres tipos:Cuartiles� Primer uartil Q1 : es el valor de la variable por debajo del ual queda 1=4 delos elementos de la serie. Con variable ontinua se utiliza la f�ormula de la medianaapli ada a los uartiles: Q1 = Li + fi �N4 � Fi�1�Li = Extremo inferior del intervalo de Q1. = Amplitud del intervalo de Q1.fi = Fre uen ia absoluta del intervalo de Q1.Fi�1 = Fre uen ia a umulada del intervalo anterior al intervalo de Q1.� Ter er uartil Q3 : es el valor de la variable por debajo del ual queda 3=4 de loselementos de la serie. Si la variable es ontinua o hemos utilizado lases obtenemos:Q3 = Li + fi �3N4 � Fi�1�Evidentemente el segundo uartil oin ide on la mediana.De ilesSi se divide la serie en diez partes iguales tendremos los de iles, que ser�an 9 de ilesdistintos:� De il 1 D1 : es el valor de la variable que deja el 10% de los valores de la pobla i�onpor debajo de �el. Si es una variable ontinua usaremos la f�ormula ya ono ida:D1 = Li + fi �N10 � Fi�1�...D9 = Li + fi � 9N10 � Fi�1�An�alogamente o urre para los dem�as de iles: D2, D3, . . .D9.Per entilesSi se divide la serie en ien partes iguales tendremos los per entiles, que ser�an 99 per- entiles distintos:� Per entil 1 P1 : es el valor de la variable que deja el 1% de los valores de la pobla i�onpor debajo de �el.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 36An�alogamente o urre para los dem�as per entiles: P2, P3, . . .P99. Con variable ontinuausamos: P1 = Li + fi � N100 � Fi�1�...P99 = Li + fi � 99N100 � Fi�1�4.5 Medidas de dispersi�onLas medidas de dispersi�on tienen por objeto dar una idea de la mayor o menor on en-tra i�on de los valores de un distribu i�on alrededor de los valores entrales.4.5.1 Re orrido o rangoEs la diferen ia entre los valores mayor y menor que toma la variable estad��sti a. Serepresenta por R.Ejemplo 4.5.1 Siguiendo on el ejemplo 4.2.1 del tema anterior obtenemos:R = 6� 0 = 6Ejemplo 4.5.2 Siguiendo on el ejemplo 4.2.2 del tema anterior obtenemos:R = 190� 160 = 304.5.2 Re orrido o rango inter uart��li oEs la diferen ia entre los valores Q3 y Q1 (�o P75 y P25).Ejemplo 4.5.3 Siguiendo on el ejemplo 4.2.1 obtenemos:Rango inter uart��li o = 3� 1 = 2Ejemplo 4.5.4 Siguiendo on el ejemplo 4.2.2 obtenemos:Q3 = 170 + 540 �3 � 1504 � 75� = 174068Q1 = 165 + 560 �1504 � 15� = 166087Rango inter uart��li o = 174068� 166087 = 70814.5.3 Desvia i�on mediaEs la media de las diferen ias (en valor absoluto) entre los valores y la media aritm�eti a.DM = P jx� xij � fiN4.5.4 VarianzaEs la media aritm�eti a de los uadrados de las desvia iones respe to de la media arit-m�eti a. Se representa por �2. Se al ula:�2 = P(x� xi)2 � fiN = P fix2iN � x22Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 374.5.5 Desvia i�on t��pi aEs la ra��z uadrada de la varianza. Se representa por �. Se al ula:� = p�2Ejemplo 4.5.5 Siguiendo on el ejemplo 4.2.1 de variable dis reta, ompletamos la tabla:xi fi Fi xi � fi jxi � xj jxi � xjfi x2i fi0 hermanos 0 4 4 0 107 608 01 hermanos 1 6 10 6 007 402 62 hermanos 2 5 15 10 003 105 203 hermanos 3 3 18 9 103 309 274 hermanos 4 1 19 4 203 203 165 hermanos 5 1 20 5 303 303 256 hermanos 6 0 20 0 403 0 020 34 22 94DM = 2220 = 101; �2 = 9420 � (107)2 = 1081; � = p�2 = 10345Ejemplo 4.5.6 Siguiendo on el ejemplo 4.2.2 on lases, ompletamos la tabla:xi fi Fi xi � fi jxi � xj jxi � xjfi x2i fi160� 165 m 16205 15 15 2 43705 8083 132045 396 093075165� 170 m 16705 60 75 10 050 3083 22908 1 683 375170� 175 m 17205 40 115 6 900 1017 4608 1 190 250175� 180 m 17705 20 135 3 550 6017 12304 630 125180� 185 m 18205 10 145 1 825 11017 11107 333 06205185� 190 m 18705 5 150 93705 16017 80085 175 781025150 25 700 725 4 408 68705DM = 725150 = 4083; �2 = 4408 68705150 � (171033)2 = 36014; � = p�2 = 6001


TEMA 4. Variable unidimensional 38PROBLEMAS DE VARIABLE UNIDIMENSIONAL(1) En una muestra de 100 piezas se han en ontrado 6 sin ning�un defe to, 15 on undefe to, 20 on dos defe tos, 30 on 3 defe tos, 16 on 4 defe tos, 10 on 5 defe tos, 3 on 6 defe tos. Expresa este resultado:(a) Por medio de un diagrama de barras y de se tores.(b) Haz una tabla estad��sti a de fre uen ias.( ) Completa el estudio estad��sti o.(2) Al ha er un di tado en una lase, los uarenta alumnos han obtenido el siguienteresultado; 1 alumno on 0 faltas, 3 on 1, 4 on 2, 7 on 3, 6 on 4, 8 on 5, 5 on 6, 2 on 7, 1 on 8, 2 on 9 y 1 on 10 faltas. Expr�esalo mediante una tabla de fre uen iasabsoluta y relativa y ompleta el estudio estad��sti o.(3) Toma uatro monedas, l�anzalas al aire 40 ve es y anota u�antas ve es te ha salido 4 aras, 3 aras, 2 aras, 1 ara y 0 aras. Expresa el resultado mediante dos diagramasdiferentes y haz su tabla orrespondiente.(4) Coge dos dados, arr�ojalos al aire 50 ve es y anota u�antas ve es te ha salido omo suma;2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Exp�on los resultados en una tabla de fre uen ias.(5) He ha una en uesta a 120 familias, di�o este resultado: 12 familias on 1 hijo; 16 on2; 28 on 3; 20 on 4; 12 on 5; 7 on 6; 8 on 7; 6 on 8; 4 on 9; 4 on 10; 2 on 11;1 on 12:(a) Expresa este resultado en tabla de fre uen ia.(b) Expresa mediante diagramas.(6) La extensi�on en miles de kil�ometros uadrados de varios pa��ses o identales es: Por-tugal 92; Espa~na 505; Fran ia 551; Italia 301; Suiza 41; B�elgi a 30; Holanda 32.Representa la extensi�on relativa de estos paises en el diagrama de se tores.(7) Las edades de los empleados de una empresa son; 22, 27, 35, 23, 37, 24, 31, 28, 24, 38,23, 36, 25, 37, 22, 34, 27, 29, 28, 32, 35, 36, 26, 34, 33, 25, 23, 26, 32, 25, 29, 37, 34,23, 27, 35, 32, 24, 38, 33, 35, 31, 29, 30, 26, 31, 39, 34, 30, 27, 29, 36, 32, 30, 28, 33,29, 28, 25, 31, 24. Construye la tabla de fre uen ias de las edades.(8) Los pre ios por kilo de unos produ tos alimenti ios son: 40, 45, 50, 45, 55, 60, 45,50, 65, 45, 50, 75, 65, 50, 55, 45, 60, 65, 70, 55, 60, 50, 45, 60, 65, 55, 45, 50, 50, 65.Realiza la tabla de fre uen ias y expr�esalo en un diagrama de barras.(9) Representa mediante diagramas y realiza la tabla de fre uen ia de los siguientes apar-tados:(a) Los bene� ios de la empresa P�erez S.A. (en miles de euros), durante los a~nos1970-81, fueron: 300, 350, 275, 300, 250, 200, 200, 175, 150, 100, 75, 50, respe -tivamente.(b) Las estaturas de 30 soldados de un batall�on en m son: 170, 162, 160, 185, 187,176, 162, 167, 176, 170, 180, 185, 167, 167, 162, 185, 170, 180, 170, 176, 170, 176,162, 185, 170, 176, 180, 176, 176, 167.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 39(10) A ierto espe t�a ulo asisten 50 personas de las siguientes edades: 25, 29, 25, 14, 33,33, 24, 24, 27, 22, 25, 27, 20, 23, 20, 23, 14, 17, 25, 15, 21, 21, 29, 21, 33, 26, 33, 24, 29,13, 17, 18, 25, 20, 22, 25, 17, 27, 25, 23, 31, 37, 31, 24, 18, 26, 27, 16, 19, 21. Realizael estudio estad��sti o mediante mar as de lase de amplitud 4.(11) De las siguientes distribu iones, realiza el estudio estad��sti o: lases fi12-16 116-20 420-24 724-28 1428-32 832-36 536-40 440-44 2 lases fi0-10 410-20 720-30 1130-40 1840-50 2750-60 2260-70 1470-80 880-90 690-100 3

lases fi14-16 216-18 518-20 720-22 1222-24 1424-26 926-28 628-30 3 lases fi1.000-5.000 1205.000-10.000 15010.000-15.000 21015.000-20.000 30020.000-25.000 28025.000-30.000 20030.000-35.000 13035.000-40.000 100 lases fi140-150 12150-160 24160-170 36170-180 80180-190 32190-200 8200-210 2

lases fi40-44 244-48 648-52 1252-56 1656-60 1460-64 864-68 668-72 3(12) Los alumnos matri ulados en C.O.U. el a~no 1984 en die io ho entros de Ba hilleratofueron: 43; 79; 61; 114; 85; 32; 60; 68; 73; 104; 57; 87; 275; 108; 219; 82; 236; 60:(a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 40.(b) Representa gr�a� amente el histograma orrespondiente.( ) Cal ula la media, la mediana, la moda y la desvia i�on t��pi a de los datos agru-pados.(d) Cal ula los uartiles primero y ter ero.(13) El siguiente histograma de fre uen ias absolutas representa las notas orrespondientesa un examen de Matem�ati as en un grupo de 50 alumnos:20131052 2 4 6 8 102Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 40(a) Representa el pol��gono de fre uen ias a umuladas.(b) Cal ula la media y la desvia i�on t��pi a de la distribu i�on.( ) Cal ula la mediana y los uartiles de la distribu i�on. >Qu�e representan estospar�ametros?(14) Se onsidera una distribu i�on de datos uyo histograma de fre uen ias absolutas es elque sigue:20 40 60 80 100

86542Cal ula razonadamente la media, la desvia i�on t��pi a, la mediana, la moda y los uar-tiles y dibuja el pol��gono de fre uen ias a umuladas.(15) El onsumo de arburante (en litros) de una ota de 90 amiones a lo largo de un d��aest�a tabulado en la siguiente tabla de fre uen ias:Consumo Camiones0 - 10 810 - 20 1220 - 30 1030 - 40 1440 - 50 2150 - 60 1660 - 70 9(a) Representa el histograma de fre uen ias absolutas.(b) Cal ula la media y la varianza de la distribu i�on. Expli a brevemente qu�e infor-ma i�on suministran estos par�ametros.( ) Cal ula la mediana y los uartiles inferior y superior de la distribu i�on.(16) El diagrama de barras de la �gura representa el n�umero de hijos de 32 parejas.123456

1 2 3 4 5 6 7 8 92Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 41(a) Dibuja el pol��gono de fre uen ias a umuladas orrespondiente.(b) Obt�en razonadamente la media y la desvia i�on t��pi a de la distribu i�on.( ) Cal ula la mediana, la moda y los uartiles y expli a brevemente para qu�e seutilizan estos par�ametros.(17) Se onsidera una distribu i�on de datos agrupados en intervalos uyo pol��gono de fre- uen ias a umuladas es el de la �gura.201493 20 40 60 80 100Cal ula razonadamente:(a) La tabla de distribu i�on de fre uen ias absolutas e histograma orrespondiente.(b) Media y desvia i�on t��pi a.( ) Mediana y uartiles.(d) Moda.(18) Los gastos mensuales de alimenta i�on de una muestra de 1000 familias espa~nolas est�antabuladas en la siguiente distribu i�on de fre uen ias:Intervalos de gasto N�umero de familias750 - 850 40850 - 950 65950 - 1050 1081050 - 1150 1551150 - 1250 2201250 - 1350 1701350 - 1450 1421450 - 1550 801550 - 1650 20donde el gasto se expresa en euros.(a) Representa el histograma de fre uen ias absolutas.(b) Cal ula la media y la desvia i�on t��pi a de la distribu i�on. >De qu�e depende que lamedia de una distribu i�on sea m�as o menos representativa de la muestra? Razonala respuesta.( ) Cal ula la mediana y la moda de la distribu i�on.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 4. Variable unidimensional 42(19) En la siguiente tabla �guran las notas de una evalua i�on de un grupo de 20 alumnos:Alumnos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Lengua 4 4 1 9 2 5 5 4 6 3 3 6 6 3 1 5 8 4 4 4Matem�ati as 3 7 4 10 6 1 8 7 5 1 1 2 5 4 1 7 7 6 6 5F��si a 5 7 4 10 5 8 9 7 6 3 5 6 8 7 3 8 8 3 4 6Ingl�es 3 2 1 9 2 5 7 3 4 1 2 4 4 4 1 6 7 1 3 4Historia 6 4 5 7 4 4 6 4 7 4 4 6 6 5 4 5 7 4 6 5Dibujo 5 5 5 9 8 2 8 7 8 2 6 5 7 3 2 9 7 5 5 6(a) Cal ula la media aritm�eti a, la mediana y la moda de ada asignatura.(b) Cal ula el re orrido, la varianza y la desvia i�on t��pi a de ada asignatura.( ) Halla la media geom�etri a (MG = npQxi) de ada una de las asignaturas.(d) Haz un estudio estad��sti o de ada asignatura.(e) Halla la nota media de los alumnos uyo n�umero es m�ultiplo de 5.(f) Halla la desvia i�on t��pi a de los alumnos uyo n�umero es m�ultiplo de 5.


Tema 5Variable bidimensionalEn m�ultiples problemas estad��sti os, la observa i�on de un fen�omeno da lugar a obten i�onde medidas de dos ara teres. As�� pues, se pueden observar el peso y la talla de personaso la velo idad y el re orrido de frenada de un autom�ovil, pudi�endose estudiar la rela i�onexistente entre ambas.Consideremos pues una pobla i�on de N individuos des ritos simult�aneamente por dosvariables X e Y . Tendremos enton es una variable estad��sti a bidimensional (X;Y ). Eneste tema estudiaremos la rela i�on de las variables entre s��.Las variables estad��sti as bidimensionales las representamos por el par (X;Y ), dondeX es una variable unidimensional que toma los valores x1, x2, . . . , xn e Y es otra varia-ble unidimensional que toma los valores y1, y2, . . . , ym. Por tanto, la variable estad��sti abidimensional (X;Y ) toma los valores:(x1; y1); (x2; y2); . . . ; (xn; yn)5.1 Representa iones gr�a� asDependiendo del tipo que sean las variables, las prin ipales representa iones gr�a� as quese adoptan para son las siguientes,5.1.1 X e Y dis retasSe representa sobre el plano y los ejes oordenados, expresando sobre el eje de abs isas losvalores de la variable X y sobre el eje de ordenadas los valores de la variable Y , expresandolos puntos (xi; yi) sobre la orrespondiente oordenada mediante un ��r ulo on entro endi ho punto y uya super� ie es propor ional a la fre uen ia de di ho valor. Se denomina aeste tipo de gr�a� o: nube de puntos.Ejemplo 5.1.1 X Y fi3 2 14 5 35 5 56 6 36 7 27 6 27 6 18 9 110 10 1 2345678910

3 4 5 6 7 8 9 105.1.2 X e Y son ontinuasSe realiza lo que se llama un estereograma que onsiste en una generaliza i�on delhistograma en tres dimensiones. Sobre el plano se trazan los ejes sobre los que tomaremos43

TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 44los valores de las variables X e Y , respe tivamente y perpendi ularmente a ellos, sobre ada re t�angulo, se levanta un paralelep��pedo, uyo volumen es propor ional a la fre uen iaabsoluta onjunta aso iada a di ho re t�angulo.Ejemplo 5.1.2Edad de la esposaFre uen ias

246820 26 32 38 Edad del esposo18 26 34 42

5.2 Tablas bidimensionalesEn una distribu i�on bidimensional, los valores suelen apare er repetidos, por lo tanto,los datos podemos representarlos mediante una tabla simple en la que apare e solo losdatos no nulos y el n�umero de repeti iones.Ejemplo 5.2.1X = Cali� a i�on de Matem�ati as 3 4 5 6 6 7 7 8 10Y = Cali� a i�on de F��si a 2 5 5 6 7 6 7 9 10N�umero de alumnos 4 6 12 4 5 4 2 1 2O bien, podemos expresar los datos en una tabla de doble entrada en la que losdatos se expresan en matri es donde el n�umero de �las y olumnas depende de los n�umerosde valores que tomen las variables y los elementos de la matriz son el n�umero de ve es queapare e el elemento que equivale a ese �la en la variable X y esa olumna en la variable Y ,o vi eversa.Ejemplo 5.2.2 # Y X ! 3 4 5 6 7 8 9 10 Total2 4 43 04 05 6 12 186 6 4 107 5 2 78 09 1 110 2 2Total 4 6 12 11 6 1 0 2 422Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 455.3 Distribu i�on marginalSe denomina distribu i�on marginal al estudio de ada una de las variables que formanla variable bidimensional pero omo si fuesen variables unidimensionales, o sea, sin que lein uyan los valores obtenidos en la otra variable. Su estudio se realiza omo ya se haexpli ado en temas anteriores pero on la siguiente nota i�on:X = media aritm�eti a de la variable X .Y = media aritm�eti a de la variable Y .�2X = varianza de la variable X .�2Y = varianza de la variable Y .�X = desvia i�on t��pi a de la variable X .�Y = desvia i�on t��pi a de la variable Y .5.4 Correla i�onSe llama orrela i�on a la teor��a que trata de estudiar \la rela i�on o dependen ia" queexiste entre las dos variables que intervienen en una distribu i�on bidimensional. En este ap��tulo onsideraremos series ualesquiera y trataremos de ver la rela i�on que existe entresus valores; a esta rela i�on entre los valores de un ole tivo se le llama orrela i�on. Porejemplo, existe orrela i�on entre la edad y la altura de un grupo de adoles entes. Lo queaprenderemos a medir es el grado de rela i�on que existe entre ambas, pudi�endose dar el asode que dos variables no tengan ninguna rela i�on.5.4.1 Tipos de orrela i�onCuando en una serie estad��sti a intervienen solo dos variables, hablaremos de orrela i�onsimple; si se estudian m�as de dos variables, la orrela i�on entre ellas, si existe, se llamar�a orrela i�on m�ultiple.En una variable bidimensional (que es la �uni a que trataremos) intentaremos hallar la urva que m�as se aproxima a la nube de puntos que apare e al representar las variables sobreel plano. Seg�un sea esa urva hablaremos de distintos tipos de orrela i�on:� Lineal: si la urva que m�as se aproxima es una re ta.� Fun ional: si la urva que m�as se aproxima no es una re ta.A su vez, seg�un la in lina i�on que tome esta urva o re ta, la orrela i�on tambi�en puede ser:� Positiva: si la urva es re iente.� Negativa: si la urva es de re iente.Lineal positiva Fun ional positiva Fun ional negativa2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 46Si los valores de las variables relativas a dos series dan puntos en el plano que est�an sobreuna re ta, la orrela i�on se di e que es perfe ta. En los dem�as asos la nube de puntos seaglutinar�a en torno a una l��nea llamada re ta de regresi�on. En este urso nos limitaremosa aproximar la nube de puntos a una re ta y nun a a una fun i�on no lineal.5.4.2 Coe� iente de orrela i�on linealEmpezaremos on un nuevo par�ametro que rela iona los dos variables. Se llama ova-rianza de una variable bidimensional (X;Y ) a la media aritm�eti a de las desvia iones de ada una de las variables respe to de sus medias respe tivas. La ovarianza se representapor �XY . �XY = P(xi �X)(yi � Y )fiP fi = PxiyifiP fi �XYA partir de la ovarianza podemos al ular el par�ametro m�as utilizado para medir elnivel de dependen ia entre las variables de una distribu i�on bidimensional.El oe� iente lineal de Pearson se de�ne mediante la siguiente expresi�on:� = �XY�X ��YSe puede apre iar que el signo de la ovarianza es el que determina el signo de �, portanto podemos on luir que:� Si la ovarianza es positiva la orrela i�on es positiva.� Si la ovarianza es negativa la orrela i�on es negativa.� Si la ovarianza es nula no existe orrela i�on.La orrela i�on no puede ser, en valor absoluto, mayor que uno, de tal modo que:� Si � = 0 no existe orrela i�on entre las variables.� Cuanto m�as er a de 0 est�e � menos dependen ia habr�a.� Cuanto m�as er a de 1, en valor absoluto, est�e �, m�as dependen ia habr�a entre lasvariables.5.4.3 Re tas de regresi�onUna vez hallada el tipo de dependen ia entre las variables, ya nos falta solamente hallarla re ta que mejor se aproxima a la nube de puntos de la variable bidimensional de la quehemos estado hablando.Existen dos tipos de re tas distintas, seg�un la aproxima i�on que deseemos tener onrespe to a la nube de puntos:La re ta que m�as se aproxima a la nube de puntos en el sentido de que ha e m��nima lasuma de las distan ias al uadrado de los puntos a ella es :y � Y = �XY�2X (x�X)y se le llama re ta de regresi�on de Y sobre X . Esta re ta se utiliza para \prede ir" unvalor de la variable Y dado uno de la variable X .2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 47De igual manera se obtiene la re ta de regresi�on de X sobre Y , uya e ua i�on orresponde a: x�X = �XY�2Y (y � Y )Esta re ta se utiliza para \prede ir" un valor de la variable X dado uno de la variable Y .Se ve laro en las f�ormulas que ambas re tas pasan por el punto (X;Y ) y adem�as uandom�as orrela i�on haya entre las variables menor es el �angulo que forman las dos re tas. Si� = �1, enton es las dos re tas oin iden.


TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 48PROBLEMAS DE VARIABLE BIDIMENSIONAL(1) De los siguientes apartados haz un estudio ompleto omparativo de ambas variables:dibujo de la nube de puntos, tipo de orrela i�on y re tas de regresi�on on el punto de orte de ambas:(a) La tabla siguiente muestra la lasi� a i�on de los 10 primeros equipos de la ligaprofesional de f�utbol y el n�umero de partidos ganados:Clasi� a i�on 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Ganados 13 12 11 7 8 7 8 7 6 7>Cu�antos partidos se estima habr�a ganado un equipo que o upa el lugar de imo-ter ero?(b) La tabla siguiente muestra la lasi� a i�on de los 10 primeros equipos de la ligaprofesional de f�utbol y el n�umero de partidos perdidos:Clasi� a i�on 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Perdidos 2 2 4 4 6 5 8 6 5 7>Cu�antos partidos se estima habr�a perdido un equipo que o upa el lugar de imo-ter ero?( ) La tabla siguiente muestra los gastos en publi idad y las ventas de una empresaexpresados en millones:Gastos 1 2 3 4 5 6 7 8Ventas 15 16 14 17 20 18 18 19>Qu�e ventas se esperan en millones para un mes que se dedique a publi idad 11millones?(d) El ��ndi e de mortalidad (Y ) de 7 grupos que onsum��an diariamente (X) igarri-llos apare e en la tabla siguiente:X 3 5 6 15 20 40 45Y 0'2 0'3 0'3 0'2 0'7 1'4 1'5>Qu�e ��ndi e de mortalidad se espera para una persona que fuma 60 igarrillosdiarios?(e) Los siguientes datos representan la nota de sele tividad (X) y la nota media delprimer urso (Y ) de o ho alumnos:X 6'3 5'2 5 7'3 6 7'2 5 6'1Y 7'1 6'1 4 9'1 5 3'9 6 7'1Si un alumno obtuvo una nota media en el primer urso un 7, >qu�e nota se esperaque saque en sele tividad?(f) Se ha experimentado un nuevo aditivo (X) en 8 o hes, obteni�endose los siguientesresultados relativos a la redu i�on de �oxido de nitr�ogeno (Y ):X 1 1'5 2 2'5 3 4 4 6Y 1 5 11 10 13 15 29 21Si en un o he se experiment�o una redu i�on de �oxido y = 6, >qu�e antidad deaditivo se a~nadi�o?(g) Una empresa se dedi a a montar paneles prefabri ados. Hasta el momento harealizado 7 obras, uyos metros uadrados y horas de trabajo se re ogen a onti-nua i�on:m2 4 000 6 000 2 000 8 000 10 000 5 000 3 000horas 7 400 9 800 4 600 12 200 14 000 82 000 5 800>Cu�antas horas tardar�a en montar 14 000 m2 de paneles?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 49(h) El volumen de importa iones y de produ i�on, expresado en millones, de unaempresa durante los seis �ultimos a~nos viene dado por la siguiente tabla:Importa iones 22 33 45 50 65 67Produ i�on 105 120 125 130 140 154Si el a~no pr�oximo se piensa exportar por valor de 80 millones de pesetas, > u�alser�a la produ i�on esperada?(i) Se ha estudiado el gasto en espe t�a ulos (X) y la renta disponible mensual (Y )de seis familias y se ha obtenido la siguiente tabla:X 0'3 0'5 0'6 0'9 1 1'4Y 6 7 8 10 15 21>Cu�anto se espera gaste en espe t�a ulos una familia que tiene una renta disponiblemensual de 12?(j) Se ha medido el ontenido en ox��geno (Y ) en miligramos por litro de un lago auna profundidad de x metros obteni�endose la siguiente tabla:X 15 20 30 40 50 60 70Y 6'5 5'6 5'4 6 4'6 1'4 0'1Para una profundidad omprendida entre 75 y 80 m, >qu�e ontenido en ox��genose podr�a estimar?(2) Las estaturas (X) en m y pesos (Y ) en kg de 10 jugadores de balon esto de un equiposon:Estatura 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205Peso 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101Cal ula las re tas de regresi�on, el oe� iente de orrela i�on. Si un equipo � ha a unjugador que mide 208 m, >se puede prede ir su peso? >es �able la predi i�on?


TEMA 5. VARIABLE BIDIMENSIONAL 50


Tema 6Modelos dis retosYa hemos visto que existen mu hos experimentos uyo resultado no se puede prede irantes de ser realizado y que denominamos experimentos aleatorios. Un experimento deeste tipo lleva aso iado su espa io muestral = fx1; x2; . . . ; xn . . .g. Llamamos variableestad��sti a o variable aleatoria a toda apli a i�on que aso ia a ada elemento del espa iomuestral un n�umero real. Se denota por letras may�us ulas X , Y , Z, . . .Distinguimos entre variables dis retas y variables ontinuas dependiendo de si tieneun n�umero numerable de elementos o no. Una variable aleatoria dis reta debe umplir:� Las probabilidades de los valores aso iados a ualquier elemento deben ser mayores oiguales que ero. P (X = xi) � 0 8xi 2 X� La suma de las probabilidades de los valores aso iados a todos sus elementos debe ser1, ya que deben formar un sistema ompleto de su esos.nXx=1P (X = xi) = 1La segunda ondi i�on es l�ogi a ya que una variable dis reta hemos visto que toma unn�umero �nito o numerable de valores. Existe un gran n�umero de experimentos que siguenla misma regla de probabilidad y por lo tanto podemos generalizar y estudiar esa regla deforma general para apli arla en los asos en que se pueda. A esto es a lo que nos vamos adedi ar a partir de ahora.6.1 Fun i�on de probabilidad y distribu i�onSi tenemos una variable aleatoria X que toma los valores fx1; x2; . . . ; xn; . . .g enton esse llama fun i�on de probabilidad de una variable aleatoria dis reta X , a la apli a i�onque a ada valor xi de la variable le ha e orresponder la probabilidad de que la variabletome di ho valor: f(xi) = P (X = xi)Propiedades:� La fun i�on es no negativa.f(xi) = P (X = xi) � 0 8xi 2 X� La suma de los valores debe ser igual a 1.nXx=1 f(xi) = nXx=1P (X = xi) = 151

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 52Ejemplo 6.1.1 Supongamos el experimento de lanzar un dado. X aso ia a ada tirada elvalor que sale en la ara superior.16 1 2 3 4 5 6 Xf(x) La fun i�on de probabilidad ser�a:f(1) = P (X = 1) = 16f(2) = P (X = 2) = 16...f(6) = P (X = 6) = 16Dada una variable aleatoria dis reta X , llamamos fun i�on de distribu i�on de di havariable a la apli a i�on que a ada valor xi de la variable le asigna la probabilidad de queesta tome valores menores o iguales a xi.F (xi) = P (X � xi) = iXj=1 P (X = xj)Propiedades:� La fun i�on es no de re iente.� El l��mite de la fun i�on uando x tiene a �1 es ero. limx!�1F (x) = 0� El l��mite de la fun i�on uando x tiene a +1 es 1. limx!+1F (x) = 1� Existe el l��mite por ambos lados de todos los valores pero solo es ontinua por ladere ha.Ejemplo 6.1.2 Siguiendo on el ejemplo 6.1.1 obtenemos:

1=62=63=64=65=611 2 3 4 5 6 X

F (x) - F (1) = P (X � 1) = 16F (2) = P (X � 2) = 26F (3) = P (X � 3) = 36F (4) = P (X � 4) = 46F (5) = P (X � 5) = 56F (6) = P (X � 6) = 66 = 16.2 Par�ametros de una variableExisten dos par�ametros b�asi os que sirven para medir la media y la on entra i�on dedatos de una variable estad��sti a.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 53Llamaremos media aritm�eti a o esperanza matem�ati a de una variable aleatoriadis reta a la media aritm�eti a de todos sus valores.X = E(X) = � = nXi=1 xi � P (X = xi) = x1P (X = x1) + � � �+ xnP (X = xn)Ejemplo 6.2.1 Seg�un el ejemplo 6.1.1:E(X) = � = 1 � 16 + 2 � 16 + � � �+ 6 � 16 = 216 = 305Llamaremos varianza de una variable aleatoria dis reta a la media aritm�eti a de ladiferen ia de los valores on la esperanza, al uadrado.var(X) = �2X = nXi=1(xi � �)2 � P (X = xi) = nXi=1 P (X = xi) � x2i � �2 = E(X2)�E(X)2Ejemplo 6.2.2 Una vez m�as, siguiendo on el ejemplo 6.1.1var(X) = �2X = (1� 305)2 � 16 + (2� 305)2 � 16 + � � �+ (6� 305)2 � 16 = 15056 = 20583Llamaremos desvia i�on t��pi a de una variable aleatoria dis reta a la ra��z uadrada desu varianza. �X =vuut nXi=1(xi � �)2 � P (X = xi) =vuut nXi=1 P (X = xi) � x2i � �2Ejemplo 6.2.3 Seg�un el ejemplo 6.1.1 de nuevo�X = p20583 = 106076.3 Distribu i�on binomialConsideremos ahora un experimento muy om�un: el que solo tiene dos resultados posi-bles. Si o urre el he ho esperado se dir�a que hemos obtenido un �exito y si no es as��, diremosque obtenemos un fra aso. En estas ondi iones, la probabilidad de �exito la denotamospor p y la de fra aso por q = 1 � p. Los experimentos que siguen este tipo de distribu- i�on se llaman \experimentos de Bernouilli" y la variable aleatoria dis reta X que asignaa ada experimento \�exito" o \fra aso" se di e que sigue una distribu i�on de Bernouilli o,sen illamente es una variable de Bernouilli (X � Be(p)).Ejemplo 6.3.1 Supongamos el experimento de sa ar � ha en el par h��s. Solo hay dossu esos:(1) Sa ar un 5, que ser�a �exito on probabilidad p = 1=6.(2) No sa ar 5, que ser�a fra aso on probabilidad q = 1� p = 5=6.Consideremos ahora que el experimento de Bernouilli se repite un n�umero determinado deve es bajo las siguientes ondi iones:(1) En ada prueba solo son posibles dos resultados: �exito (A) o fra aso (A).(2) El resultado obtenido en ada prueba es independiente de los resultados obtenidosanteriormente.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 54(3) La probabilidad de �exito es P (A) = p y la de fra aso es P (A) = 1�P (A) = 1� p = q.Estas probabilidades son onstantes.(4) El experimento onsiste en n ensayos id�enti os.Todo experimento que tenga estas ara ter��sti as diremos que sigue un modelo binomialde distribu i�on. Si n = 1 tenemos el modelo de Bernouilli.De�nimos la variable aleatoria binomial X omo el n�umero de �exitos obtenidos en unexperimento de n ensayos. Se representa por X � Bi(n; p):Bi(n; p) mide la probabilidad de obtener un n�umero de �exitos al realizar el experimenton ve es on probabilidad de �exito p.Ejemplo 6.3.2 Un jugador de balon esto, seg�un un seguimiento he ho durante la liga, tieneun 80% de a iertos en los tiros libres. Este ono imiento nos permite aso iar al experimentola variable de Bernouilli X = 1 si en esta y X = 0 si falla. Su fun i�on de probabilidad ser��a:fX(x) = 8<: P (X = 0) = P (no anasta) = 002 si x = 0P (X = 1) = P ( anasta) = 008 si x = 10 si x 6= 0; 16.3.1 Fun i�on de probabilidadVeamos la probabilidad de que al realizar n experimentos se onsigan exa tamente r�exitos; es de ir, si X es la variable binomial \n�umero de �exitos en n intentos", bus amosP (X = r). Supongamos para ello el su eso B = f onseguir r �exitos seguidos y luego n� rfra asos seguidosg: B = A \ A \ A \ � � � \ A| {z }r \A \ A \ � � � \ A| {z }n�rComo los experimentos son independientes, la probabilidad de B ser��a:P (B) = P (A) � P (A) � P (A) � � � � � P (A)| {z }r �P (A) � P (A) � � � � � P (A)| {z }n�rSimpli� ando: P (B) = pr � qn�rAhora solo nos queda hallar de uantas formas posibles pueden darse r a iertos en nintentos. Seg�un el �al ulo de probabilidades se trata de permuta iones on repeti i�on de nelementos de los que se repiten r por un lado y n� r por otro (que equivale a ombina ionesde n elementos tomados de r en r), on lo que nos queda que:P (X = r) = � nr � pr � qn�rLa fun i�on de probabilidad de una variable que siga una distribu i�on binomial ser�a:X � Bi(n; p) =) fX(r) = P (X = r) = � nr � pr � qn�r si 0 � r � nEjemplo 6.3.3 Supongamos que el jugador del ejemplo anterior realiza 5 lanzamientos enun partido. >Cu�al es la probabilidad de que en este exa tamente 3?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 55Sea X el n�umero de en estes despu�es de 5 lanzamientos, enton es:X � Bi(5; 008) =) fX(3) = P (X = 3) = � 53 � 0083 � 0025�3 = 002048Tendr�a un 20'48% de posibilidades de en estar 3 anastas.6.3.2 Fun i�on de distribu i�onApli ando la de�ni i�on de fun i�on de distribu i�on, obtenemos:FX (x) =8>>><>>>: 0 r < 0rXi=0 � ni � pi � qn�i r � x < r + 1 ;; r = 0; . . . ; n� 11 x � nEjemplo 6.3.4 >Cu�al es la probabilidad de que el jugador anterior en estase al menos dos anastas al lanzar 5?P (X � 2) = 1�P (X � 1) = 1�FX(1) = 1� 1Xi=0 � 5i � 008i �0025�i = 1�0000672 = 00993286.3.3 Media y varianzaCal ulemos la esperanza matem�ati a de una distribu i�on binomial a partir de ladistribu i�on de Bernouilli.Si X � Be(p) enton es E(X) = 1 � p+ 0 � q = pPodemos onsiderar la variable binomial omo una suma de \n" variables de Bernouilli.Como la media (la esperanza) es lineal:Y � Bi(n; p) enton es E(Y ) = E(X) +E(X) + � � �+E(X) = n � pPara hallar la varianza a tuamos de forma similar. Suponemos que tenemos un experi-mento X que sigue una distribu i�on de Bernouilli.X � Be(p) enton es �2X = (1� p)2 � p+ (0� p)2 � q = p � qSupongamos ahora que:Y � Bi(n; p) enton es �2Y = �2X +�2X + � � �+ �2X = n � p � qA partir de la varianza es f�a il hallar la desvia i�on t��pi a:�Y =p�2Y = pn � p � qEjemplo 6.3.5 Siguiendo on nuestro jugador, > u�antos puntos se espera que marque desdela l��nea de personales si tira 15 ve es?Los puntos de tiros libres X del jugador siguen una distribu i�on binomial de par�ametrosn = 15 y p = 008, es de ir X � Bi(15; 008), por lo tanto:E(X) = n � p = 15 � 008 = 12La desvia i�on t��pi a ser�a: �X = pn � p � q = p15 � 008 � 002 = 204Lo que signi� a que anotar�a asi siempre entre 906 � 10 y 1404 � 14 puntos por partido detiro libre.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 566.4 Distribu i�on de PoissonLa distribu i�on de Poisson o de los \su esos raros" es la distribu i�on de probabilidad quese apli a a su esos on probabilidad muy baja de o urrir. Se obtiene a partir del l��mitede una binomial uando el n�umero de experimentos (n) tiende a in�nito y el produ toentre n y la probabilidad de �exito (p) se mantiene onstante, es de ir np = � que es el�uni o par�ametro. Se denota por X � Po(�). En general utilizaremos la distribu i�on dePoisson omo aproxima i�on de experimentos binomiales donde el n�umero de pruebas esmuy alto, pero la probabilidad de �exito muy baja. A ve es se suele utilizar omo riterio deaproxima i�on: Si n > 30 y p � 001) Bi(n; p) ' Po(n � p)Tambi�en se utiliza para medir la antidad de \�exitos" en un intervalo de tiempo.6.4.1 Fun i�on de probabilidadVeamos la fun i�on de probabilidad de X \n�umero de �exitos", on � omo par�ametro.X � Po(�)) fX(k) = P (X = k) = e�� kk! ; on k = 0; 1; 2; . . .6.4.2 Media y varianzaLa media (esperanza) y la varianza de una Poisson oin iden:E(X) = var(X) = �Ejemplo 6.4.1 Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de o urrir, p=1/1000.Cal ula la probabilidad de que en una iudad on 5000 habitantes haya m�as de 2 personas on esa enfermedad. Cal ula el n�umero esperado de habitantes que la pade en.Consideramos la v.a. X \n�umero de personas que pade en la enfermedad". Se trata de unmodelo binomial, pero puede ser aproximado por un modelo de Poisson:X � Bi(n = 5000; p = 00001) ' Po(n � p) = Po(5)El n�umero esperado es enton es � = 5 y la probabilidad pedida es:P (X � 2) = 1�P (X < 2) = 1�P (X = 0)�p(X = 1) = 1�e�5 � 500! �e�5 � 511! � 009595723180Ejemplo 6.4.2 El n�umero de lientes que llega a un ban o sigue una distribu i�on de Poissonde media 120 lientes por hora. >Cu�al es la probabilidad de que en un minuto lleguen porlos menos tres lientes?Sea la v.a. X \n�umero de personas que entran el ban o por minuto". Como entran 120 porhora, por minuto entran 2. Luego X � Po(2) y la probabilidad pedida esP (X � 3) = 1� P (X < 3) = 1� P (X = 0)� P (X = 1)� P (X = 2) � 0032332358386.5 Distribu i�on geom�etri aLa distribu i�on geom�etri a es la distribu i�on de probabilidad del n�umero de experimentosde Bernoulli ne esarios para obtener un �exito. El �uni o par�ametro de esta distribu i�on es p,la probabilidad de �exito. Se denota por X � Ge(p).2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 576.5.1 Fun i�on de probabilidadVeamos la fun i�on de probabilidad de X \n�umero de experimentos ne esarios para on-seguir un �exito", on p la probabilidad de �exito. X puede tomar valores desde 1 hastain�nito.P (X = 1) = p (es de ir, el primer experimento es \�exito"), P (X = 2) = qp (primeroun \fra aso" y luego un \�exito"), P (X = 3) = q2p (dos \fra asos" y un \�exito") y as��su esivamente. Por tanto:X � Ge(p)) fX(k) = P (X = k) = qk�1p; on k = 1; 2; . . .6.5.2 Media y varianzaLa media (esperanza) de X es:E(X) = 1Xk=1 k � P (X = k) = 1pPod�eis en ontrar una demostra i�on enhttp://www. idse.it r.a . r/revistamate/ ontribu iones-v6-n1-set2005/siweb/node2.htmlLa varianza de X es:var(X) = �2X = nXi=1(xi ��)2 �P (X = xi) = nXi=1 P (X = xi) �x2i ��2 = E(X2)�E(X)2 = qp2Ejemplo 6.5.1 Consideremos de nuevo el experimento de sa ar � ha en el par h��s. Un\�exito" ser�a sa ar un 5, probabilidad p = 1=6. No sa ar 5, que ser�a \fra aso", probabilidadq = 1� p = 5=6. >Cu�al es la probabilidad de sa ar � ha en el uarto lanzamiento?X � tiradas ne esarias para sa ar un \5" ;X � Ge(1=6)P (X = 4) = (5=6)3 � 1=6 � 0009645061728>Cu�al es el n�umero esperado de lanzamientos para sa ar � ha?E(X) = 1=p = 66.6 Distribu i�on binomial negativa o de Pas alLa distribu i�on binomial negativa o de Pas al es la distribu i�on de probabilidad del n�umerode experimentos de Bernoulli ne esarios para obtener el r-�esimo �exito. Los par�ametros deesta distribu i�on son p, la probabilidad de �exito, y r, el n�umero de �exitos. Se denota porX � BN(r; p). (Para r = 1, se trata de un geom�etri a).6.6.1 Fun i�on de probabilidadVeamos la fun i�on de probabilidad de X \n�umero de experimentos ne esarios para on-seguir r �exitos", on p la probabilidad de �exito. X puede tomar valores desde r hastain�nito.P (X = r) = pr (es de ir, los r primeros experimentos son \�exitos"), P (X = r+1) = rqpr(un \fra aso" y r \�exitos"; el fra aso no puede ser el �ultimo), y as�� su esivamente. Por tanto:X � BN(r; p)) fX(k) = P (X = k) = � k � 1r � 1 � prqk�r on k = r; r + 1; . . .2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 586.6.2 Media y varianzaLa media (esperanza) de X es:E(X) = 1Xk=1 k � P (X = k) = rpLa varianza de X es:var(X) = �2X = nXi=1(xi��)2 �P (X = xi) = nXi=1 P (X = xi) �x2i ��2 = E(X2)�E(X)2 = rqp2Ejemplo 6.6.1 Consideremos el experimento de lanzar un dado. Un \�exito" ser�a sa ar un3, probabilidad p = 1=6. No sa ar 3, que ser�a \fra aso", probabilidad q = 1�p = 5=6. >Cu�ales la probabilidad de sa ar el uarto \tres" en el d�e imo lanzamiento?X � tiradas ne esarias para sa ar 4 \treses" ;X � BN(4; 1=6)P (X = 10) = � 93 � (1=6)4 � (5=6)6 � 00005168178652>Cu�al es el n�umero esperado de lanzamientos para onseguir uatro \treses"?E(X) = r=p = 24


TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 59PROBLEMAS DE VARIABLE DISCRETA(1) La probabilidad de ura i�on debido a un ierto tratamiento m�edi o es de 0'65. Cal ulala probabilidad de que un grupo de 10 enfermos se uren 5.(2) Se supone que la probabilidad de na er var�on es 0'45. Halla la probabilidad de que enuna familia en la que naz an 8 hijos sean:(a) Todos varones.(b) Al menos dos varones.( ) Ninguno var�on.(3) Si el 15% de los tornillos fabri ados por una m�aquina son defe tuosos, halla la proba-bilidad de que entre 5 tornillos haya dos defe tuosos.(4) Se dispone de una muestra de 600 familias on 4 hijos. >En u�antas se debe esperarque tengan dos hijas, si la probabilidad de na er var�on es del 0'45?(5) En un uestionario hay 10 preguntas \verdadero-falso". Halla la probabilidad de on-testar orre tamente al menos 5 preguntas si deben ontestarse todas.(6) En un uestionario hay 10 preguntas on 3 op iones. Halla la probabilidad de ontestar orre tamente al menos 5 preguntas si deben ontestarse todas.(7) En un uestionario de 20 preguntas de \verdadero-falso", por ada respuesta mal seresta una pregunta orre ta. Si hay que ontestar todas, halla la probabilidad deaprobar (es de ir, sa ar un 10).(8) Si se lanza una moneda al aire 10 ve es. Cal ula la probabilidad de obtener:(a) Ninguna ara.(b) Como m��nimo dos aras.( ) Cuatro ru es.(9) Un entro de forma i�on sabe que el 65% de sus titulados obtienen empleo duranteel a~no siguiente de obtener el t��tulo. Si elegimos 12 titulados, > u�al es la media, lavarianza y la desvia i�on t��pi a de los que en uentran trabajo?(10) El 1% de los pa ientes a los que les suministramos un medi amento para regular latensi�on arterial sufre efaleas. Si administramos este medi amento a seis pa ientes,determina:(a) La probabilidad de que ninguno sufra efaleas.(b) La probabilidad de que m�as de uno padez a efaleas.( ) Si lo administramos a 1 000 pa ientes, el n�umero medio que sufrir�an efaleas y sudesvia i�on t��pi a.(11) Para ontrolar la alidad de unas m�aquinas antes de ser vendidas, se las mantiene enfun ionamiento durante varias sesiones de trabajo. Durante una sesi�on de trabajo,una m�aquina puede ometer hasta 3 fallos. Se realizan 250 sesiones on una m�aquinay se han obtenido los siguientes resultados:N�umero de fallos 0 1 2 3Sesiones 85 110 47 82Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 60>Puede a�rmarse que estos datos siguen una distribu i�on Bi(3; p)?� Cal ula X.� Cal ula p.Nota: A este pro eso se le denomina ajuste a una distribu i�on binomial.(12) Un gestor administrativo puede resolver al d��a 0, 1, 2, 3 �o 4 gestiones, siendo indepen-dientes una de otra. Al abo de 100 d��as de trabajo ha resuelto:Gestiones 0 1 2 3 4Fre uen ias 10 4 38 42 6Ajusta los datos a una distribu i�on binomial.(13) Sea X una variable aleatoria uya fun i�on de probabilidad viene dada porP (X = r) = 18; (r = 2; 3; . . . ; 9)Se pide hallar:(a) La fun i�on de probabilidad.(b) La media y desvia i�on t��pi a.( ) Las probabilidades:P (X � 6); P (4 < X < 7) P (X < �3)(14) Un dado ha sido alterado on el f��n de alterar las probabilidades de obtener las dife-rentes aras. As��, si X representa la puntua i�on al anzada en una tirada, se tiene:P (X = 1) = 16 � 2k P (X = 3) = P (X = 4) = 16P (X = 2) = 16 � k P (X = 5) = 16 + kP (X = 6) = 16 + 2kDetermina k para que el valor esperado de X , E(X) sea igual a 4.(15) En una manzana de asas hay 15 apar amientos. En ada apar amiento puede en- ontrarse o no un autom�ovil, on independen ia de lo que o urra en los otros. Si laprobabilidad de que un apar amiento est�e o upado es de 0'4,(a) Identi� a y des ribe este modelo de probabillidad.(b) Cal ula la probabilidad de que un ierto d��a se en uentren 8 autom�oviles apar a-dos.(16) Si el 20% de los errojos produ idos por una m�aquina son defe tuosos, determina laprobabilidad de que de 4 errojos elegidos al azar:(a) 1 sea defe tuoso.(b) omo mu ho 2, sean defe tuosos.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 61(17) El departamento de ontrol de alidad de una f�abri a de aparatos de televisi�on realiza uatro ontroles. De 600 televisores se han obtenido los siguientes datos:Fallos 0 1 2 3 4Televisores 136 219 58 6 1Ajusta esta distribu i�on emp��ri a a una distribu i�on binomial y halla las fre uen iaste�ori as esperadas.(18) En una iudad se ha he ho un estudio sobre 1 000 familias on in o hijos para averiguarel n�umero de hijas que tienen y se ha obtenido la siguiente tabla:Chi as 0 1 2 3 4 5Familias 54 202 334 279 115 16Ajusta esta distribu i�on emp��ri a a una distribu i�on binomial y halla las fre uen iaste�ori as esperadas.(19) Si una distribu i�on binomial tiene por par�ametros n = 50 y p = 006, > u�al ser�a ladesvia i�on t��pi a?(20) El 10% de las bombillas de las farolas que iluminan una iudad se funde antes de una~no. Si esta iudad tiene 1 000 bombillas, al ula el n�umero medio de bombillas quedeben ser reemplazadas y la varianza.(21) De una urna on 4 bolas blan as y 6 negras extraemos 3 bolas on devolu i�on. Sea lavariable aleatoria el n�umero de bolas blan as extra��das.(a) Cal ula y representa la fun i�on de probabilidad de la variable aleatoria.(b) Cal ula y representa la fun i�on de distribu i�on de la variable.( ) Cal ula la esperanza matem�ati a y la desvia i�on t��pi a.(22) La variable X tiene la siguiente fun i�on de probabilidad:Xi 2 3 6 7 8 10Pi 0'2 0'1 0'2 0'1 0'2 0'2(a) Representa la fun i�on de probabilidad.(b) Representa la fun i�on de distribu i�on.( ) Cal ula la media y la desvia i�on t��pi a.(23) Para aprobar un urso de estad��sti a se ha en tres ex�amenes. De los 200 alumnospresentados se han re ogido los siguientes resultados:Ex�amenes aprobados 0 1 2 3Fre uen ias 11 34 35 120Ajusta los datos a una distribu i�on binomial.(24) Un sistema de prote i�on ontra ohetes est�a onstituido por n unidades de radar quefun ionan independientemente, ada una on una probabilidad del 0'9 de dete tar un ohete que pase por la zona que ubren todas las unidades.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 62(a) Si n = 5 y un ohete entra en la zona, >Cu�al es la probabilidad de que uatrounidades de radar dete ten el ohete?(b) >Cu�al debe de ser n para que la probabilidad de dete tar el ohete que entra enla zona sea de 0'999?(25) Un agente de seguros ontrata 6 p�olizas on personas de 35 a~nos y de buena salud.Seg�un los datos de que disponen, la probabilidad de que esa persona est�e viva dentrode 30 a~nos es de 0'85. Halla la probabilidad de que dentro de 30 a~nos vivan:(a) Las seis personas.(b) Al menos 3 personas.( ) S�olo dos personas.(d) Al menos uno.(26) En una l��nea a�erea se estima que el 4% de las personas que ha en reserva para unvuelo, luego no se presentan a �el. Para ello, para un avi�on de 73 plazas a ostumbrana vender 75 pasajes.>Cu�al es la probabilidad de que todas las personas que se presenten al vuelo tenganplaza disponible?(27) Una entralita de tel�efonos suele re ibir 20 llamadas al d��a. >Cu�al es la probabilidadde que un ierto d��a no re iba m�as de 4 llamadas.(28) Una empresa manufa turera produ e ir uitos integrados, de los uales el 1% sondefe tuosos. En uentra la probabilidad de que una aja que ontiene 100 ir uitos nopresente ir uitos defe tuosos. Contrasta este resultado usando la distribu i�on Poisson.>Cu�ales son tus on lusiones?(29) Se sabe que la probabilidad de que un ni~no en edad es olar presente es oliosis (unaforma de desvia i�on de la olumna vertebral) es 00004. De una muestra de 5 000 ni~nos, al ula:(a) La probabilidad de que menos de 5 ni~nos presenten es oliosis.(b) La probabilidad de que 8, 9, o 10 ni~nos presenten es oliosis.(30) Cierta �area del Caribe ni arag�uense resulta afe tada, en promedio, por 6 hura anesal a~no. Se supone que la apari i�on de hura anes, sigue una distribu i�on de Poisson.Cal ule:(a) La probabilidad de que la regi�on se en uentre afe tada por menos de 4 hura anesen un a~no.(b) La probabilidad de que la regi�on se en uentre afe tada por entre 6 y 8 hura anesen un a~no.(31) Una prisi�on de m�axima seguridad reporta que el n�umero de intentos de es ape por messigue aproximadamente una distribu i�on de Poisson on una media de 1'5 intentos/mes.Cal ula:(a) La probabilidad de tres intentos de es ape durante el pr�oximo mes.(b) La probabilidad de al menos un intento de es ape el pr�oximo mes.(32) Un supervisor de seguridad en una empresa ree que el n�umero esperado de a identeslaborales por mes es de 3'42Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 63(a) >Cu�al es la probabilidad de que el pr�oximo mes o urran exa tamente dos a i-dentes?(b) >Cu�al es la probabilidad de que el pr�oximo mes o urran tres o m�as a identes?(33) Se observa que una sustan ia radia tiva emite un promedio de 3'87 part�� ulas � durante7'5 segundos. En uentra la probabilidad de que al menos emita una part�� ula en unsegundo.(34) La Agen ia de Medio Ambiente (AMA) es quien estable e los est�andares para garan-tizar la alidad de las emisiones de aire por parte de las empresas. El l��mite m�aximopermitido de obre en las emisiones es de 10 part�� ulas por mill�on y la empresa en laque trabajas tiene un valor medio de emisiones de uatro part�� ulas por mill�on.(a) Si se de�ne X omo el \n�umero de part�� ulas por mill�on en una muestra", > u�ales la desvia i�on t��pi a de X de la empresa?(b) Si el n�umero medio de part�� ulas por mill�on en su empresa es efe tivamente de uatro por mill�on, >hay temor a que la Agen ia multe a la empresa por ontaminarel aire? Expl�� alo.(35) Los ambios en los pro edimientos de los aeropuertos requieren de estudios minu iosos.Los ��ndi es de llegadas de los aviones son un fa tor importante que se debe tomar en uenta. Suponga que los aviones peque~nos llegan a ierto aeropuerto siguiendo unadistribu i�on Poisson, on una tasa promedio de seis aviones por hora. Halla:(a) La probabilidad de que exa tamente 4 aeronaves peque~nas lleguen durante unper��odo de 1 hora.(b) La probabilidad de que al menos 4 lleguen durante un per��odo de 1 hora.(36) Un fabri ante de autom�oviles est�a preo upado por un defe to en el sistema de frenos de ierto modelo de veh�� ulo. Este defe to puede ser ausa de a identes automovil��sti os.Si la distribu i�on de probabilidades del n�umero de a identes del modelo del veh�� uloen uesti�on debido al defe to indi ado anteriormente sigue una distribu i�on de Poisson on un promedio de 5 veh�� ulos/a~no. Cal ula:(a) La probabilidad de que a lo sumo 3 veh�� ulos por a~no puedan sufrir a identesdebido a un defe to en su sistema de frenos.(b) La probabilidad de que en un a~no no o urran a identes debido al defe to en elsistema de frenos.( ) La probabilidad de que en un a~no o urran al menos 6 a identes por defe tos enel sistema de frenos.(37) La probabilidad de que una persona tenga perro en una ierta urbaniza i�on de Huelvaes de 003. Halla la probabilidad de que la d�e ima persona entrevistada al azar en di haurbaniza i�on sea la uarta que tiene un perro.(38) Cada vez que el profesor de autoes uelaX lleva a un alumno a examinarse este aprueba on una probabilidad del 65%. El profesor Y un 60%. En una ma~nana se examinan 10alumnos de ada profesor y se apuestan una ena a ver si X onsigue antes el uartoaprobado que Y el quinto. >Qu�e probabilidad es mayor?(39) La probabilidad de que un profesor apruebe una oposi i�on es de 0012. Cal ula laprobabilidad de que:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 64(a) El profesor apruebe la opos i i�on en el ter er intento.(b) El profesor apruebe la oposi i�on antes del quinto intento.(40) Para el dise~no de un programa de veri� a i�on de dis o duro se asume que la probabi-lidad de en ontrar un se tor da~nado es 0001. Suponiendo que se realiza una revisi�onsobre un dis o, omprobando sus se tores aleatoriamente:(a) Si se revisan 100 se tores del dis o >Cu�al es el valor esperado y la varianza deln�umero de se tores da~nados que pueden obtenerse? Expli a la respuesta.(b) Si se han le��do 5 se tores y ninguno est�a da~nado >Cu�al es la probabilidad de quese deban leer m�as de 7 se tores para en ontrar el primer se tor da~nado?(41) Una arni er��a adquiere pollos ongelados de dos proveedores distintos. Se sabe queel proveedor A surte el 70% de los pollos a la arni er��a, mientras que el proveedor Bsurte el 30% restante. En un estudio sanitario realizado re ientemente se determin�oque el 15% de los pollos produ idos por el proveedor A y el 10% de los produ idospor el proveedor B est�an ontaminados on la ba teria Es heri hia oli. Si uandose vende un pollo en la arni er��a, este se sele iona al azar de un ontenedor dondepueden en ontrarse pollos adquiridos en ualquiera de los proveedores, y que la ventade un pollo es independiente de las dem�as. Cal ula:(a) P(\Un pollo est�e ontaminado on E. Coli")(b) P(\De los pr�oximos 10 pollos vendidos, menos de 3 pollos est�en ontaminados on E. Coli")( ) P(\El 8Æ pollo vendido en un d��a sea el primero que se en uentra ontaminado")(d) Si la arni er��a ompra un lote de 950 pollos por d��a, >Cu�antos pollos se esperaque est�en ontaminados?(42) Se presume que en ierta zona geogr�a� a hay ya imientos petrol��feros. Para realizarla explora i�on, la zona geogr�a� a se divide en 10 ampos. En ada ampo hay una erteza del 35% de que exista un ya imiento. Se realiza una prospe i�on en ada ampo on un mismo equipo. Se asume que la prospe i�on siempre da resultados orre tos.Halla:(a) La probabilidad de que tengan que realizarse 5 prospe iones antes de en ontrarel primer ya imiento.(b) La probabilidad de que m�as de 7 ampos tengan un ya imiento.( ) La probabilidad de que se hallan realizado al menos 3 prospe iones on resultadonegativo antes de en ontrar el segundo ya imiento.(d) Si ada prospe i�on uesta 50 millones de euros y ada ya imiento hallado su-pone una ganan ia de 500 millones. Cal ula la ganan ia esperada sobre la zonageogr�a� a.(43) En una l��nea de ensamblaje, algunos veh�� ulos presentan fallos aleatorios de alinea i�onen las ruedas debido a que un robot falla on una probabilidad de 0015. Suponiendoque el ensamblaje de ada veh�� ulo es independiente de los otros, al ula:(a) La probabilidad de que el o tavo veh�� ulo ensamblado sea el primero on fallosde alinea i�on.(b) La probabilidad de que en una produ i�on de 15 veh�� ulos, al menos el 20% delos mismos presenten problemas de alinea i�on.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 65( ) La probabilidad de que tengan que ensamblarse m�as de 5 veh�� ulos para en ontrarel 2Æ on problemas de alinea i�on.(d) >Cu�antos veh�� ulos espera que no tengan fallos de alinea i�on en una produ i�onde 40 veh�� ulos?(44) Una en uesta realizada en Sevilla a 17 000 estudiantes universitarios, revela que el70% desaprueba el onsumo de igarrillos. Si se sele iona al azar un grupo de 18estudiantes >Cu�al es la probabilidad de que m�as de 9, pero menos de 14 estudiantesdesaprueben el onsumo de igarrillos?


TEMA 6. MODELOS DISCRETOS 66


Tema 7Modelos ontinuosEn esta unidad estudiaremos el ejemplo por ex elen ia de una distribu i�on de probabi-lidad de tipo ontinuo. La distribu i�on normal o de Gauss o de Lapla e-Gauss .El modelo de la urva normal sirve omo aproxima i�on a una gran antidad de fen�o-menos reales de gran importan ia pr�a ti a. Primero generalizaremos los tipos de fun ionesy par�ametros de una variable aleatoria ontinua ualquiera y luego nos entraremos en ladistribu i�on de Gauss .Aunque las ideas que llevan a la onstru i�on de las fun iones y par�ametros de una varia-ble aleatoria ontinua son las mismas que las de las variables aleatorias dis retas, tenemosque tener en uenta que ya no podremos hallas la probabilidad de un su eso on reto, sinode un intervalo.Ejemplo 7.0.2 Utilizando la de�ni i�on de probabilidad de un su eso en variable dis reta,halla la probabilidad de que al preguntar a alguien por un n�umero entre 0 y 1 , elija el 0'357.Solu i�on: seg�un la de�ni i�on l�asi a de probabilidad:P (Elegir 00357) = Casos favorablesCasos posibles = 1+1 = 0De este modo todas las probabilidades son ero y llegar��amos a la on lusi�on que la sumade todas las posibilidades es ero, es de ir, esa persona nun a dir��a un n�umero entre 0 y 1,lo ual es falso.7.1 Fun iones y par�ametros7.1.1 Fun i�on de densidadLa fun i�on de densidad en una variable ontinua es la orrespondiente a la fun i�on deprobabilidad en la variable aleatoria dis reta y por tanto debe umplir las mismas ondi io-nes. Suponiendo que f(x) es la fun i�on de densidad:� f(x) � 0 en todo el dominio de la fun i�on.� El �area en errada bajo la urva f(x) es la unidad. (Re uerda que esa �area es unaintegral, que no es m�as que una suma in�nita).� La probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo [x0; x1℄ es el �area bajola urva en tal intervalo.Ejemplo 7.1.1 Supongamos la siguiente fun i�on de densidad de la variable aleatoria on-tinua X: f(x) = 8<: 0 x < 01=3 0 � x � 30 3 < x67

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 68Se puede omprobar on fa ilidad que umple todas las ondi iones de una fun i�on de den-sidad. Adem�as para hallar P (1 < X < 2) ser��a:P (1 < X < 2) = Z 21 13 dx = x3 i21 = 23 � 13 = 13Ejemplo 7.1.2 Supongamos la siguiente fun i�on de densidad de la variable aleatoria on-tinua X: f(x) =8<: 1b� a x 2 [a; b℄0 x 62 [a; b℄Se puede omprobar on fa ilidad que umple todas las ondi iones de una fun i�on de den-sidad. A esta distribu i�on se le denomina distribu i�on uniforme.Como onse uen ia de la ter era propiedad de la de�ni i�on de fun i�on de densidad ysabiendo, por �al ulo integral, omo se halla el �area en errada por una urva entre dosvalores, podemos on luir que:P (x0 � X � x1) = Z x1x0 f(x) dx7.1.2 Fun i�on de distribu i�onAl igual que en el aso dis reto, a partir de la de�ni i�on de fun i�on de densidad, podemosllegar a la de�ni i�on de fun i�on de distribu i�on de una variable aleatoria ontinua on soloapli ar la de�ni i�on general de fun i�on de distribu i�on.En este aso, la suma de las probabilidades, al ser una fun i�on, se onvierte en la integral, omo se ha visto en �al ulo integral, y resulta que dada una variable aleatoria ontinua X uya fun i�on de densidad es f(x), su fun i�on de distribu i�on es la apli a i�on que a adavalor xi de la variable le asigna la probabilidad de que esta tome valores menores o igualesa xi; se la designa por F (x):F (xi) = P (X � xi) = Z xi�1 f(x) dxEjemplo 7.1.3 Siguiendo on el ejemplo anterior obtenemos mediante la integra i�on de lafun i�on de densidad:f(x) =8<: 1b� a x 2 [a; b℄0 x 62 [a; b℄ =) F (x) = 8>><>>: 0 x < aZ xa 1b� a dt x 2 [a; b℄1 x � b =)=) F (x) = 8>><>>: 0 x < ax� ab� a x 2 [a; b℄1 x > b1a b a bf(x) F (x)1b� a X uniforme


TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 69Esta fun i�on umple las mismas ondi iones que la fun i�on de distribu i�on de la variabledis reta:� F (x) es una fun i�on no de re iente.� limx!�1F (x) = 0� limx!+1F (x) = 1� Existe el l��mite en todos los puntos por ambos lados aunque solo es ontinua por ladere ha.Adem�as la variable ontinua umple:� F (x1)� F (x0) = P (x0 � X � x1)� F 0(x) = f(x)7.1.3 Par�ametrosLos par�ametros de la variable aleatoria ontinua son los mismos que on la variablealeatoria dis reta, siempre teniendo en uenta que la suma tiene su an�alogo en la integral:� Media o esperanza matem�ati a: � = E(X) = Z +1�1 x � f(x) dx� Varianza: �2 = var(X) = Z +1�1 (x� �) � f(x) dx = Z +1�1 (x2 f(x)) dx � �2� Desvia i�on t��pi a: � = +sZ +1�1 (x� �) � f(x) dx = +sZ +1�1 (x2 f(x)) dx � �27.2 La distribu i�on normalSe llama as�� porque durante mu ho tiempo se pens�o que ese era el omportamientonormal de todos los fen�omenos. Se re��a que todas las distribu iones ontinuas eran normales.Esto es as�� porque gran antidad de fen�omenos siguen una distribu i�on muy pare idaa la normal en simetr��a y probabilidad y, adem�as, uando el n�umero de experimentos osu esos es muy elevado, pr�a ti amente todas las distribu iones m�as importantes se asemejana la normal. Este �ultimo resultado es de gran importan ia y se ono e on el nombre deTeorema entral del l��mite y que servir�a para al ular de forma muy aproximada ualquierdistribu i�on, ompar�andola o ajust�andola a la normal.7.2.1 Curva normal o ampana de GaussLa distribu i�on normal tiene la siguiente gr�a� a (tambi�en ono ida omo la ampana deGauss):��3� ��2�� +� �+2� �+3�

1�p2�2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 70Sus propiedades m�as importantes son:� La urva es sim�etri a respe to a la re ta x = �, donde presenta el m�aximo absoluto.� La media, la mediana y la moda oin iden en �.� La urva es asint�oti a en el eje de abs isas.� El �area en errada por la urva es 1.� Entre � � � y � + � se halla el 68'27% del �area, entre � � 2� y � + 2� el 95'45% yentre �� 3� y �+ 3� el 99'73%.7.2.2 Fun i�on de densidadLa fun i�on de densidad de la distribu i�on normal tiene la siguiente expresi�on:f(x) = 1�p2� e� 12 �x�� 2donde � es la media y � es la desvia i�on t��pi a de X . Esta fun i�on representa la distribu i�onnormal de media � y desvia i�on t��pi a � y se denota N(�; �).� Su dominio es toda la re ta real.� Es sim�etri a respe to de �, o sea, respe to a la re ta x = �.� Tiene omo as��ntota horizontal al eje OX , o sea, y = 0.� Es re iente en x < � y de re iente en x > �.� Al anza un m�aximo en x = � y toma el valor:f(�) = 1�p2�� Tiene dos puntos de in exi�on en los puntos x = �� y en x = �+ �.� El �area omprendida en los siguientes intervalos es:{ En (�1;+1) es 1.{ En (�1; �) y en (�;+1) es 0'5.{ En (�� ; �+ �) es 0'6827.{ En (�� 2�; �+ 2�) es 0'9545.{ En (�� 3�; �+ 3�) es 0'9973.�4 �2 2 4 6 �6 �4 �2 2 4 6N(0; 1) N(2; 1)j � N(0; 1)N(0; 2)N(0; 006)� ��001500300045 00150030004500602Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 71Esta fun i�on queda perfe tamente determinada al ono erse su media � y su desvia i�ont��pi a �. La fun i�on se desplaza ha ia dere ha o izquierda seg�un � y es m�as alta y estre hao m�as baja y an ha seg�un el valor de �.Los �al ulos a partir de esta ompli ada e ua i�on po as ve es son ne esarios ya queexisten tablas donde se pueden en ontrar f�a ilmente esta informa i�on. Lo que s�� es ne esarioes el ono imiento del pro eso de tipi� a i�on y el manejo de tablas.7.2.3 Distribu i�on normal est�andar. Manejo de tablasLa distribu i�on normal est�andar o normal tipi� ada, que representamos porN(0; 1),es la distribu i�on normal de media 0 y desvia i�on t��pi a 1. Esta es la distribu i�on uyastablas manejaremos. Su fun i�on de densidad es:f(x) = 1�p2� e�x22Manejo de tablas:En estas tablas apare e representado P (Z � k) (�area sombreada) siendo Z � N(0; 1):�4 �2 2 4k001500300045

Debemos tener siempre en uenta que el �area que abar a la urva es 1 y que la urva essim�etri a respe to del eje Y.� P (X � a) on a positivo.Basta on mirar a la tabla bus ando el la olumna de la izquierda el valor de la unidady la d�e ima y en la �la superior la ent�esima.Ejemplo 7.2.1 Supongamos que queremos hallar P (Z � 2017); bus aremos en la olumna de la izquierda 201 y en la �la superior 0007.007#201 �! 009850Luego P (Z � 2017) = 009850� P (Z � a) on a negativo. Por simetr��a de la fun i�on, obtenemos:P (Z � a) = 1� P (Z � �a)Ejemplo 7.2.2 Supongamos que queremos hallar P (Z � �2017); enton es tenemosque: P (Z � �2017) = 1� P (Z � 2017) = 1� 009850 = 0001502Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 72� P (Z � a) on a positivo. Por simetr��a de la fun i�on y omo el �area es 1, obtenemos:P (Z � a) = 1� P (Z � a)Ejemplo 7.2.3 Supongamos que queremos hallar P (Z � 2017); enton es tenemosque: P (Z � 2017) = 1� P (Z � 2017) = 1� 009850 = 000150� P (Z � a) on a negativo. Por simetr��a de la fun i�on, obtenemos:P (Z � a) = P (Z � �a)Ejemplo 7.2.4 Supongamos que queremos hallar P (Z � �2017); enton es tenemosque: P (Z � �2017) = P (Z � 2017) = 009850� P (a < Z � b) on a y b ualesquiera. Para hallar el �area entre a y b tendremos que al ularlo mediante la propiedad de la fun i�on de distribu i�on:P (a < Z � b) = P (Z � b)� P (Z � a)y solo queda hallar tales probabilidades seg�un los valores de a y b.Ejemplo 7.2.5 Supongamos que queremos hallar P (�102 � Z � 2017); enton estenemos que: P (�102 � Z � 2017) = P (Z � 2017)� P (Z � �102) == P (Z � 2017)� (1� P (Z � 102)) = 009850� (1� 008849) = 0086997.2.4 Tipi� a i�onUna vez sabido �omo se halla ualquier probabilidad de Z � N(0; 1), para hallar ual-quier probabilidad de X � N(�; �) habr�a que ha er una peque~na transforma i�on llamada\tipi� a i�on". Se trata de onvertir una variable aleatoria ontinua X � N(�; �), en unavariable normal est�andar (Z � N(0; 1)), mediante dos pro esos de transforma i�on:� Trasla i�on: trasladar la media � al origen.� Redu i�on: ontraer la gr�a� a para que la desvia i�on t��pi a valga 1.Esto se onsigue on el siguiente ambio de variable: si X � N(�; �):X � N(�; �) =) Z = X � �� N(0; 1)o sea, P (X � a) = P �Z � a� �� Ejemplo 7.2.6 Dada la variable aleatoria ontinua X � N(7; 3), al ula P (X � 4)Solu i�on:Ha emos el ambio Z = X � 73P (X � 4) = P �Z � 4� 73 � = P (Z � �1) = 1� P (Z � 1) = 1� 008413 = 0015872Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 737.2.5 Aproxima i�on a la binomialCuando tenemos una variable aleatoria que sigue una distribu i�on binomialX � Bi(n; p)el �al ulo de P (X � r) es ada vez m�as ompli ado uanto mayores son n y r. Un m�e-todo sen illo para simpli� ar los �al ulos es el ajuste de una distribu i�on binomial a unadistribu i�on normal.La distribu i�on binomialBi(n; p) se puede aproximar a una distribu i�on normalN(np;pnpq)si n es lo su� ientemente grande y p y q no est�an er a de ero.Se onsidera buena la aproxima i�on si np � 5 y nq � 5. El pro eso es el siguiente:X � Bi(n; p) Normaliza i�on=) Y � N(np;pnpq) Tipi� a i�on=) Z = Y � nppnpq � N(0; 1)Ejemplo 7.2.7 Un estudio muestra que el 75% de los miembros de un lub son mujeres.Vienen a una �esta 1 000 miembros del lub de entre los 11 000 so ios. >Qu�e probabilidadhay de que al menos 260 sean hombres?Solu i�on: De�nimos X omo el n�umero de hombres que van a la �esta:X � Bi(1 000; 0025)hallamos np y nq:np = 1000 � 0025 = 250 > 5 nq = 1000 � 0075 = 750 > 5por lo que X se puede aproximar a una normal del siguiente modo:� = np = 250 �X = p1 000 � 0025 � 0075 = 1307luego Y � N(250; 13075) y enton es:P (X � 260) ' P (Y � 25905) = P �Z � 25905� 2501307 � ' 1�P (Z � 0069) = 1�007549 = 002451Como X es una variable dis reta, si queremos hallar la probabilidad P (X = k), ten-dremos que aproximar el valor desde el ajuste he ho on la normal a trav�es de un intervalo entrado en k al ser ahora ontinua,P (X = 260) ' P (260� 005 � Y � 260 + 005)Ejemplo 7.2.8 Siguiendo on el ejemplo anterior obtenemos:P (X = 260) ' P (25905 � Y � 26005) = P �25905� 2601307 � Z � 26005� 2501307 � =P (0069 � Z � 0077) = 007794� 007549 = 000245Por �ultimo podemos generalizar el pro eso de normaliza i�on a ualquier variable alea-toria uya media y desvia i�on t��pi a sean �nitas. Este resultado se ono e on el nombre deTeorema entral del l��mite.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 74PROBLEMAS DE VARIABLE CONTINUA(1) Cal ula en una N(0; 1) las siguientes probabilidades:(a) P (Z � 2; 6)(b) P (Z � �0; 43)( ) P (Z � 2; 57)(d) P (Z � �1; 08)(e) P (1; 1 � Z � 2; 3)(f) P (�1; 43 � Z � 2; 03)(g) P (�0; 4 � Z � 0; 4)(h) P (�1; 35 � Z � 1; 35)(2) Cal ula en una N(5; 105) las siguientes probabilidades:(a) P (X � 2)(b) P (3 � X � 6)( ) P (�1 � X � 2)(d) P (4 � X � 6)(3) Cal ula en una N(110; 8) las siguientes probabilidades:(a) P (X � 120)(b) P (X � 90; 5)( ) P (105; 5 � X � 116)(d) P (108 � X � 112)(4) Cal ula las probabilidades de las siguientes distribu iones binomiales mediante apro-xima i�on a la normal:(a) X es una Bi(50; 0025). Cal ula P (X = 10); P (X < 20); P (15 < X < 22)(b) X es una Bi(120; 006). Cal ula P (X � 85); P (X � 65); P (62 � X � 82)(5) Contestamos a un test de verdadero-falso. Cal ula la probabilidad de a ertar 12 o m�asrespuestas sobre 24 preguntas.(6) Halla la probabilidad de obtener m�as de 20 ve es un 8 al tirar 100 ve es dos dados.(7) Si el sueldo de los fun ionarios se distribuye normalmente on media de 1 200 y unadesvia i�on t��pi a de 200 , > u�antos fun ionarios de un grupo de 10 000 se espera quetengan un sueldo entre 1 200 y 1 500 ?, > u�antos fun ionarios se espera que tenganun sueldo menor que 1 000 ?(8) Las puntua iones obtenidas en un test de aptitudes ada a~no a estudiantes universi-tarios sigue una distribu i�on N(500; 100).(a) >Qu�e por entaje de estudiantes universitarios se espera que obtengan puntua io-nes entre 500 y 675?(b) >Qu�e por entaje de estudiantes se espera que logren puntua iones superiores a630?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 75( ) >Qu�e probabilidad hay de que un estudiante elegido al azar tenga una puntua i�onsuperior a 700?(9) El in o por iento de los termostatos fabri ados en las mismas ondi iones no satisfa- en las espe i� a iones t�e ni as. Si se extrae una muestra de 2 000 termostatos, halla,mediante la aproxima i�on normal, la probabilidad de que la muestra ontenga m�as de120 termostatos defe tuosos. >Cu�al es la probabilidad de que esta muestra ontengaexa tamente 100 termostatos defe tuosos?(10) Supongamos que en un ierto urso las notas de Matem�ati as se distribuyen normal-mente on una media de 6 y una desvia i�on t��pi a de 3. >Cu�al es la probabilidad deque un estudiante:(a) Apruebe la asignatura?(b) Obtenga entre 7 y 8 puntos, ambos in lusive?( ) Obtenga 9 o m�as de 9 puntos?(11) La dura i�on de un televisor es de 8 a~nos, on una desvia i�on de 0'5. Si la vida �utildel televisor se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que un televisor durem�as de 10 a~nos.(12) Los pesos de los individuos de una pobla i�on se distribuyen on media 70 kg y desvia- i�on t��pi a 5 kg. De una pobla i�on de 6 000 personas, al ula u�antas de ellas tendr�anun peso omprendido entre 65 y 75 kg.(13) Se lanza una moneda 100 ve es. Halla la probabilidad de:(a) Obtener a lo sumo 40 aras.(b) Obtener m�as de 40 aras.(14) Se onsidera la siguiente tabla de fre uen ias agrupadas:Intervalo [3,5-6,5) [6,5-9,5) [9,5-12,5) [12,5-15,5) [15,5-18,5)Fre uen ia 3 5 9 6 2(a) Dibuja el orrespondiente histograma y al ula la media y la desvia i�on t��pi a.(b) Cal ula la probabilidad de que una variable normal on media y desvia i�on t��pi aiguales a las obtenidas en el apartado enterior sea mayor que 12'5.(15) Las pre ipita iones anuales de una regi�on son, en media, de 2 000 ml=m2, on una des-via i�on t��pi a de 300 ml=m2. Cal ula, suponiendo que sigue una distribu i�on normal,la probabilidad de que en un a~no determinado la lluvia no supere los 1 200 ml=m2.(16) El peso de las tru has de una pis ifa tor��a sigue una ley N(200; 50). Se extrae una alazar.(a) >Cu�al es la probabilidad de que su peso no ex eda los 175 gramos?(b) >Cu�al es la probabilidad de que su peso ex eda los 230 gramos?( ) >Cu�al es la probabilidad de que su peso est�e omprendido entre 225 y 275 gramos?(17) El peso de los toros de una determinada ganader��a se distribuye on una distribu i�onnormal de 500 kg de media y 45 kg de desvia i�on t��pi a. Si la ganader��a tiene 2 000toros:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 76(a) >Cu�antos pesar�an m�as de 450 Kg?(b) >Cu�antos pesar�an menos de 450 Kg?( ) >Cu�antos pesar�an entre 490 y 510 Kg?(18) Varios test de inteligen ia dieron una puntua i�on que sigue una ley normal de media100 y desvia i�on t��pi a 15. Determinar el por entaje de pobla i�on que obtendr��a un oe� iente entre 95 y 110. >Qu�e intervalo entrado en 100 ontiene el 50% de lapobla i�on?En una pobla i�on de 2 500 habitantes, > u�antos individuos se espera que tengan un oe� iente superior a 125?(19) Tras un test de ultura general se observa que las puntua iones obtenidas siguen unadistribu i�on N(65; 18). Se desea lasi� ar a los examinados en tres grupos (baja,media, alta) de modo que haya en el primero un 20% de la pobla i�on y 65% en elsegundo y un 15% en el ter ero. >Cu�ales deben ser las puntua iones que mar an elpaso de un grupo a otro?(20) Se sabe que dos pobla iones distintas , X e Y , se distribuyen normalmente on media 0.Adem�as, P (X � 2) = P (Y � 3) = 001587. Se pide al ular sus respe tivas varianzas(21) La nota media de las pruebas de a eso orrespondiente a los estudiantes que quer��aningresar en una fa ultad era 5'8 y la desvia i�on t��pi a 1'75. Fueron admitidos los denota superior a 6.(a) >Cu�al fue el por entaje de admitidos si la distribu i�on es normal?(b) >Con qu�e probabilidad exa tamente 4 de ada 10 estudiantes son admitidos?(22) Un sa o que ontiene 400 monedas es va iado sobre una mesa. Halla la probabilidad:(a) de que aparez an m�as de 210 aras.(b) de que el n�umero de aras sea menor que 180.( ) de que el n�umero de aras est�e omprendido entre 190 y 210, ambos in lusive.(23) Las tallas de un grupo de 62 alumnos vienen dadas por la siguiente tabla:Talla ( m) 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185 185-190NÆ Alumnos 4 6 11 20 10 7 4Ajusta esta distribu i�on emp��ri a a una distribu i�on normal y halla las fre uen iasabsolutas esperadas en esta distribu i�on te�ori a.(24) Los pesos de 56 alumnos vienen dados por la siguiente tabla:Peso (kg) 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85NÆ Alumnos 3 7 12 15 11 6 2Ajusta esta distribu i�on emp��ri a a una distribu i�on normal y halla las fre uen iasabsolutas esperadas en esta distribu i�on te�ori a.(25) El peso de los 400 estudiantes de ba hillerato de un entro sigue una distribu i�on nor-mal uyo peso medio es de 75 kg y desvia i�on t��pi a 7 kg. Cal ula u�antos estudiantes:(a) Pesan entre 60 y 80 kg.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 77(b) Pesan m�as de 70 kg.(26) La densidad de unas plan has de poliestireno sigue una distribu i�on normal de me-dia 0'2 gr= m3 y una desvia i�on t��pi a 0'05 gr= m3. Si una f�abri a produ e 20 000plan has, al ula:(a) El n�umero de plan has que tendr�a una densidad mayor que 0'25 gr= m3.(b) El n�umero de plan has uya densidad se en ontrar�a entre 0'15 y 0'3 gr= m3.(27) La nota media de Matem�ati as en una onvo atoria de Sele tividad tiene aproximada-mente una distribu i�on normal de media 4'25 y una desvia i�on est�andar de 1'8. >Qu�epropor i�on de estudiantes obtuvo una nota entre 4 y 5 puntos?(28) En una ferreter��a venden ajas de lavos: el n�umero de lavos de ada aja sigue unadistribu i�on normal de par�ametro N(200; 10).(a) >Qu�e por entaje de ajas ontiene entre 180 y 220 lavos?(b) Si se devuelve el importe de las ajas que ontienen menos de 180 lavos y ompra-mos dos ajas, > u�al es la probabilidad de que tengan que devolvernos el importede las dos ajas?(29) En una distribu i�on N(0; 1), >qu�e valor deja a su izquierda un �area igual a 0'8315?(30) Se ha omprobado que el 70% de los alumnos de segundo de ba hillerato a aban el urso en junio. Si se elige una muestra de 200 alumnos de segundo de ba hillerato alazar, > u�al es la probabilidad de que al menos 150 a aben el urso en junio? >y de queexa tamente 150 a aben el urso en junio?(31) Si se lanza una moneda 500 ve es, halla la probabilidad de que el n�umero de arasobtenidas no di�era de 250 en m�as de 10.


TEMA 7. MODELOS CONTINUOS 78


Tema 8Teor��a de muestras. Nivel de on�anza8.1 Muestra y pobla i�onHasta ahora hemos trabajado on Estad��sti a des riptiva: dada una pobla i�on, deter-min�abamos iertos par�ametros (media, mediana, varianza,. . . ) que nos permit��an estudiarlas ara ter��sti as de esa pobla i�on.Ahora bien, son muy fre uentes los asos en los que la pobla i�on es muy numerosa(pobla i�on espa~nola, mayores de 18 a~nos, . . . ), es dif�� il de estudiar (dura i�on de una pilao motor, . . . ) o no es posible estudiar todos los individuos (resisten ia a la presi�on de unobjeto, exibilidad de una barra, . . . ). En estos asos no trabajaremos on toda la pobla i�onsino on una muestra, y de ella sa aremos on lusiones para toda la pobla i�on. Es lo que sellama Estad��sti a inferen ial. Antes, vamos a de�nir unos on eptos previos:� Pobla i�on: es el onjunto total de individuos sus eptibles de poseer la informa i�onbus ada.� Muestra: es la parte de la pobla i�on en la que se miden las ara ter��sti as estudiadas.� Muestreo: es el pro eso seguido para la extra i�on de la muestra.� En uesta: es el pro eso de obtener la informa i�on bus ada entre los elementos de lamuestra o \a opio de datos obtenidos mediante onsulta o interrogatorio" (DRAE).8.2 Tipos de muestreoLa primera uesti�on que surge al realizar una en uesta a una parte de la pobla i�on es qu�epro edimientos debemos utilizar para obtener una muestra que nos permita ha er buenasestima iones.Atendiendo a la manera de elegir los elementos, podemos tener:� Muestreo on reemplazamiento: es aquel que uando un elemento es tomado dela pobla i�on vuelve de nuevo a ella para poder ser elegido de nuevo.� Muestreo sin reemplazamiento: es el que se efe t�ua sin devolver a la pobla i�on elelemento que se va eligiendo para onstruir la muestra.� Muestreo no aleatorio: es el que se realiza de forma que todos los elementos de lapobla i�on no tienen la misma probabilidad de ser in luidos en la muestra.Ejemplo 8.2.1 Una en uesta que se realiza por tel�efono, o mediante E-mail. S�oloresponder�an los que tengan tel�efono o orreo ele tr�oni o.79

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 80� Muestreo aleatorio: es el que se efe t�ua teniendo en uenta que ada miembro dela pobla i�on tiene la misma probabilidad de ser elegido en la muestra.Ejemplo 8.2.2 Una en uesta realizada puerta a puerta o en la alle. Todos van porla alle.8.2.1 Muestreos aleatoriosLos muestreos aleatorios se pueden dividir en:� Muestreo aleatorio simple: se parte de un listado de los elementos de la pobla i�ony posteriormente se sele ionan aleatoriamente los n elementos que forman la muestra.Todos los elementos de la pobla i�on tienen la misma probabilidad de ser elegidos paraformar parte de la muestra.Este tipo de muestreo debe de umplir dos ondi iones:{ Cada individuo debe tener la misma probabilidad de ser elegido para la muestra.{ La sele i�on de un individuo no debe afe tar a la probabilidad de que sea sele - ionado otro ualquiera.� Muestreo aleatorio sistem�ati o: se debe de ordenar previamente a todos los indi-viduos de la pobla i�on, luego se elige uno al azar y a ontinua i�on se eligen todos losdem�as a intervalos onstantes, hasta ompletar la muestra.Si en una pobla i�on de tama~no N hay que elegir una muestra de tama~no n, habr�a quetomar individuos en intervalos de longitud k = Nn .� Muestreo aleatorio estrati� ado: se divide la pobla i�on en estratos o subgru-pos homog�eneos de tama~nos N1, N2, . . . , Nk. De ada estrato se elige una muestraaleatoria simple de tama~nos n1, n2, . . . , nk, de forma que:N = N1 +N2 + � � �+Nkn = n1 + n2 + � � �+ nkSi adem�as se umple que: n1N1 = n2N2 = n3N3 = nNtendremos un muestreo estrati� ado propor ional.8.3 Distribu iones muestralesCuando tomamos una muestra de una pobla i�on, su media se omporta estad��sti amentebien, o sea, se aproxima a la media general siguiendo leyes perfe tamente previsibles. Estonos permitir�a ha er inferen ias pre isas a partir de ellas, e in luso, ono er el riesgo queasumimos. Estas inferen ias se ha en a partir de par�ametros muestrales (estimadores).Vamos a estudiar omo se omportan las muestras y que informa i�on podemos obtener deellas.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 818.3.1 Distribu i�on muestral de mediasSupongamos que queremos saber el rendimiento medio de un estudiante de segundode ba hillerato, la longitud media de los esp�arragos o el salario medio de un obrero de la onstru i�on.Consideremos ahora una serie de muestras de tama~no n, X1, X2, X3, . . . de las quehallamos la media en ada una: x1, x2, x3, . . . y sus desvia iones t��pi as: �1, �2, �3, . . .Los distintos valores de xi dan lugar a una variable aleatoria que denominados X,distribu i�on muestral de medias y se de�ne:X a ada muestra le aso ia su media.X : fX1; X2; � � �g �! fx1; x2; � � �gXi �! xiSuponiendo que la media de la pobla i�on total es � y que su desvia i�on t��pi a es �, sepuede demostrar que:(1) La media de la variable aleatoria X, �X , es igual a la media de la pobla i�on:�X = x1 + x2 + x3 + � � �n�umero de muestras posibles = �(2) La desvia i�on t��pi a de la variable aleatoria X, �X , es igual al o iente entre la des-via i�on t��pi a de la pobla i�on y pn, donde n es el tama~no de la muestra:�X = �pn(3) La distribu i�on de la variable aleatoria X se omporta:� Si la pobla i�on sigue una distribu i�on N(�; �) enton es la distribu i�on muestralde medias sigue una distribu i�on normal:X � N ��; �pn�� Si la pobla i�on no sigue una distribu i�on normal enton es si se umple que n � 30,por el Teorema entral del l��mite tendremos que la distribu i�on muestral demedias se aproxima bastante a una distribu i�on normal:X � N ��; �pn�Nota: para un muestreo sin reemplazamiento se tiene que:�X = �pn �rN � nN � 1aunque uando N es muy grande, la ra��z uadrada tiene a uno.Ejemplo 8.3.1 La distribu i�on de las ali� a iones de los alumnos de segundo de ba hille-rato tiene una media de 5'5 puntos y una desvia i�on t��pi a de 3 puntos. Si elegimos unamuestra de 40 alumnos, > u�al es la probabilidad de que la media de la muestra sea menorque 5 puntos?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 82Solu i�on: de�namosX omo la variable que mide las medias muestrales. Como n = 40 � 30,podemos de ir que la variable muestral se aproxima a una normal:� = 505 �pn = 0047 =) X � N(505; 0047)Solo nos queda al ular mediante tipi� a i�on: P (X � 5)P (X � 5) = P (Z � 5� 5050047 ) = P (Z � �1006) = 1� P (Z � 1006) = 001446Ejemplo 8.3.2 Las estaturas de 1 200 estudiantes de un instituto se distribuyen normal-mente on media 1072 m y una desvia i�on t��pi a de 009 m. Si se toman 100 muestras de 36estudiantes ada una, se pide:(1) La media y la desvia i�on t��pi a esperada en la distribu i�on muestral de medias.(2) >En u�antas muestras abr��a esperar una media entre 1068 y 1073 m?(3) >En u�antas muestras es de esperar que la media sea menor que 1069 m?Solu i�on:(1) Utilizando la teor��a obtenemos:�X = � = 1072 m �X = �pn = 009p36 = 0015 m(2) Como n � 30 podemos apli ar el teorema entral del l��mite y ajustar la distribu i�onmuestral a una normal: X � N(1072; 0015)Tipi� ando los valores 1068 y 1073 obtenemos:P (1068 � X � 1073) = P �1068� 10720015 � Z � 1073� 10720015 � == P (�0027 � Z � 0007) = 005279� (1� 006064) = 001343por lo tanto se espera que obtengamos aproximadamente 13 muestras on esas ara -ter��sti as.(3) Tipi� ando de nuevo:P (X � 1069) = P �Z � 1069� 10720015 � = P (Z � �002) = 1� 005793 = 0042078.3.2 Distribu i�on muestral de propor ionesSupongamos que queremos determinar la propor i�on de una pobla i�on que posee un ierto atributo (tener T.V., tener 2 hijos, . . . ). Esa pobla i�on sigue una distribu i�on binomialen la que tener esa ara ter��sti a se onsidera �exito ( on probabilidad p) y el no tenerla,fra aso ( on probabilidad q = 1� p).Consideremos una serie de muestras de tama~no n, X1, X2, X3, . . . de las que vamoshallando la propor i�on de individuos que presentan la ara ter��sti a p1, p2, p3, . . .Los distintos valores pi dan lugar a una variable aleatoria que denominaremos P̂ , llamadadistribu i�on muestral de propor iones y se de�ne:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 83P̂ es la propor i�on de �exito de los datos de una muestra.P̂ : fX1; X2; � � �g �! fp1; p2; � � �gXi �! piSuponiendo que la probabilidad de �exito de la pobla i�on es p y que la de fra aso esq = 1� p se puede demostrar que:(1) La media y la desvia i�on t��pi a de la variable P̂ son:�(P̂ ) = p �(P̂ ) =rp � qnNota: los par�ametros de las propor iones muestrales de tama~no n se obtienen divi-diendo los par�ametros binomiales entre n:Distribu i�on binomial � = np � = pnpqDistribu i�on muestral �(P̂ ) = p �(P̂ ) =rpqn(2) La distribu i�on de la variable aleatoria P̂ sigue una distribu i�on normal:P̂ � N �p;rpqn �siempre que np � 5, nq � 5 y n � 30 para que pueda apli arse el teorema entral dell��mite. La aproxima i�on ser�a mejor uanto m�as er a de 005 se en uentre p.Ejemplo 8.3.3 La va una ontra la meningitis meningo o ea de tipo C inmuniza al 90%de las personas ino uladas. Si elegimos una muestra de 50 personas, > u�al es la probabilidadde que la propor i�on de la muestra sea mayor o igual al 85%?Solu i�on: de�namos la variable P̂ omo la propor i�on de inmuniza i�on de un muestra. Comon = 50 � 30 podemos aproximar esta variable a una distribu i�on normal:p = 009 rpqn = 00042 =) P̂ � N(009; 00042)Solo nos falta al ular por tipi� a i�on: P (P̂ � 0085)P (P̂ � 0085) = P �Z � 0065� 00900042 � = P (Z � �1019) = 008838.3.3 Distribu i�on muestral de diferen iasSupongamos que tenemos dos pobla iones diferentes y que no nos onformamos onestudiar sus medias, sino que deseamos ompararlas (tama~no entre ultivos, nivel es olarentre dos olegios,. . . ).Supongamos que tenemos dos pobla iones, una primera de media �X y desvia i�on t��pi a�X y la segunda on una media �Y y una desvia i�on t��pi a �Y .Tomamos muestras de tama~no nX en la primera pobla i�on y de tama~no nY en la segunda, al ulando seguidamente las medias de estas muestras en la primera pobla i�onx1; x2; x3; . . .2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 84y las medias de las muestras de la segunda pobla i�ony1; y2; y3; . . .Llamaremos distribu i�on muestral de las diferen ias a la variable denotada por X � Yque toma el valor de la diferen ia de las medias muestralesx1 � y1; x2 � y2; x3 � y3; . . .Se puede demostrar que:(1) La media de la variable aleatoria X � Y , �X�Y , es igual a la diferen ia de medias delas pobla iones �X�Y = �X � �Y(2) La desvia i�on t��pi a de X � Y , �X�Y se aproxima a�X�Y 's�2XnX + �2YnY(3) A medida que nX y nY re en, la distribu i�on X � Y , se aproxima a una normalX � Y � N 0��X � �Y ;s�2XnX + �2YnY 1ANota: si �X y �Y no son ono idas, se aproximan estas por las desvia iones t��pi as desendas muestras, siempre que el tama~no de la muestra sea superior a 100.Ejemplo 8.3.4 Se es oge al azar una muestra de 40 hombres que tienen un salario mediode 1 000 euros y una desvia i�on t��pi a de 30 euros. Tambi�en se es oge al azar una muestrade 30 mujeres que tienen un salario medio de 900 euros y una desvia i�on t��pi a de 25 euros.>Cu�al es la probabilidad de que la diferen ia de los sueldos medios sea mayor que 110 euros?Solu i�on: datos de la muestra de hombres:�X = 1000 �X = 30 nX = 40Datos de la muestra de mujeres:�Y = 900 �Y = 25 nY = 30Tenemos por teor��a que:X � Y � N 1 000� 900;r30240 + 25230 ! = N(100; 3080058)Ahora solo nos falta hallar: P (X � Y > 110)P (X�Y > 110) = P �Z > 110� 1003080058 � = P (Z > 2063117) = 1�P (Z < 2063117) = 000042552Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 858.4 Constru i�on de muestras. M�etodo de Monte CarloA ve es es pre iso la rea i�on de muestras representativas de una ierta pobla i�on te-niendo en uenta el n�umero de elementos que ompone la muestra.El m�etodo m�as usual para la onstru i�on de muestras es el llamado m�etodo de MonteCarlo, que permite determinar una muestra representativa de una determinada distribu i�onde probabilidad.Este m�etodo sigue 5 etapas b�asi as suponiendo que partimos de una distribu i�on quesigue una normal de media � y de desvia i�on t��pi a �:(1) Se determina el tama~no de la muestra que queremos rear.(2) Se sele ionan tantos n�umeros aleatorios entre [0; 1℄ omo elementos tenga la muestra.(3) Se determina el valor de una distribu i�on N(0; 1) al que orresponde la probabilidaddeterminada en el apartado anterior.(4) Se tipi� a ada valor del apartado anterior a una normal de media � y desvia i�ont��pi a �.(5) Se aproximan los valores, si da lugar, por redondeo a valores enteros o los orrespon-dientes seg�un el aso on reto.Ejemplo 8.4.1 Se onsidera una variable aleatoria X tal queX � N(5; 3)Construye una muestra de tama~no diez mediante los n�umeros aleatorios siguientes:02; 22; 85; 19; 48; 74; 55; 24; 89; 69Solu i�on: Nos aleatorios entre [0; 1℄ N(0; 1) N(5; 3) Aproximado02 0002 = 1� 0098 �2006 �1018 �122 0022 = 1� 0078 �0077 2069 385 0085 1004 8012 819 0019 = 1� 0081 �0088 2036 248 0048 = 1� 0052 �0005 4085 574 0074 0064 6092 755 0055 0013 5039 524 0024 = 1� 0076 �0071 2087 389 0089 1023 8069 969 0069 0050 6050 78.5 Estima i�on de intervalos de on�anzaAl ha er una estima i�on de un par�ametro (media, tama~no de la muestra,...) podemos darun valor exa to (estima i�on puntual) o bien dar un intervalo en el que puede en ontrarseese par�ametro (estima i�on por intervalos de on�anza). La estima i�on puntual se utilizapo o puesto que la antidad de datos que se obtienen no suele ser su� iente y ser��a muyarriesgado estimar los par�ametros para toda la pobla i�on. Es m�as �util �jar un intervalo deaproxima i�on estimando el grado de on�anza y �abilidad que se tiene en �el. En este tema,a partir de una distribu i�on, onseguiremos dar un intervalo entrado en la media dondese en ontrar�an, presumiblemente, a partir de los valores de una muestra, los valores de lospar�ametros de la pobla i�on �jando tambi�en el grado de redibilidad de di ho resultado.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 868.5.1 Intervalos de on�anzaIntervalo de on�anza: es el intervalo en el que, on una ierta probabilidad, est�a ontenido el par�ametro que se est�a estimando.Nivel de on�anza: es la probabilidad de que el intervalo de on�anza ontenga alverdadero valor del par�ametro.Nivel de riesgo: es la probabilidad de que en di ho intervalo no est�e ontenido el valordel par�ametro.Supongamos que queremos obtener un riesgo m�aximo � en el �al ulo de un par�ametromediante la inferen ia a una pobla i�on que sigue una distribu i�on normal de media 0 ydesvia i�on t��pi a 1: X � N(0; 1)esto signi� a que queremos hallar un intervalo entrado en la media tal que la probabilidadde que X est�e en ese intervalo sea 1� �, o sea:P (�a � X � a) = 1� �siendo (�a; a) el intervalo de on�anza. Hallemos a:P (�a � X � a) = P (X � a)�P (X � �a) = P (X � a)�(1�P (X � a)) = 2 �P (X � a)�1y esto debe ser igual a 1� �, luego:2 � P (X � a)� 1 = 1� � =) P (X � a) = 2� �2 =) P (X � a) = 1� �2Al valor de a lo denotaremos por Z�2Ejemplo 8.5.1 Si X � N(0; 1) > u�al es el intervalo entrado en el origen que tiene proba-bilidad 0082?Solu i�on: 1� � = 0082 =) � = 0018 =) �2 = 0009P (X � a) = 1� 0009 = 0091 =) a = 10345Luego el intervalo ser�a: (�10345; 10345)Si en vez de seguir la variable aleatoria una distribu i�on normal de media 0 y desvia i�ont��pi a 1, siguiese una distribu i�on Y � N(�; �), solo tendr��amos que tipi� ar los resultados.Luego si hemos obtenido que: P (X � a) = 1� �2Como Z � N(�; �), obtenemos:Z � �� = a =) Z = �+ a � � Z � �� = �a =) Z = �� a � �enton es si Z � N(�; �) el intervalo de on�anza de Z para un nivel de riesgo � ser�a:(�� Z�2 � �; �+ Z�2 � �)donde Z�2 es el valor de la distribu i�on normal X , de media 0 y desvia i�on t��pi a 1 tal que:P (X � Z�2 ) = 1� �22Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 87Ejemplo 8.5.2 Si X � N(5; 2) > u�al es el intervalo entrado en 5 que tiene probabilidad0082?Solu i�on: 1� � = 0082 =) � = 0018 =) �2 = 0009P (X � Z�2 ) = 1� 0009 = 0091 =) a = 10345Luego el intervalo ser�a: (5� 10345 � 2; 5 + 10345 � 2) = (2031; 7069)8.5.2 Intervalos de on�anza en distribu iones muestralesApli ando el estudio realizado en el apartado anterior a las distribu iones muestrales,podremos estimar el grado de on�anza y vera idad de un intervalo que ontenga el par�ame-tro de la pobla i�on a partir del estudio de una muestra on reta, on solo seguir el uadroadjunto: Distribu iones Intervalos de on�anzamuestralesDe la mediaX �� Z�2 � �pn; �+ Z�2 � �pn�De la propor i�onP̂ �� Z�2 �rpqn ; �+ Z�2 �rpqn �De la diferen iaX � Y 0�� Z�2 �s�2XnX + �2YnY ; �+ Z�2 �s�2XnX + �2YnY 1AEjemplo 8.5.3 Halla el intervalo de probabilidad on una on�anza de 009, para el pesomedio de una muestra de 100 re i�en na idos, sabiendo que la pobla i�on de re i�en na idossigue una distribu i�on normal de media � = 3100 gramos y desvia i�on t��pi a � = 150.Solu i�on: si 1� � = 009 =) � = 001 y �2 = 0005. Si determinamos el valor de Z orrespon-diente a 0'95 de probabilidad, resulta Z�2 = 1; 645, valor intermedio de 1,64 y 1,65:P (Z � 10645) = 009500Luego el intervalo ser�a:�3 100� 10645 � 150p100 ; 3 100+ 10645 � 150p100� = (3 0750235 ; 3 1240675)2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 888.6 Error y tama~no muestralHemos visto desde el prin ipio del tema que uanto mayor es el tama~no de la muestra,menor es el error que se omete al ha er inferen ia. Tambi�en hemos estimado el intervalode on�anza que obtenemos al ha er una muestra on reta uya an hura viene dada por:Z�2 � �Se puede apre iar tambi�en que la an hura del intervalo de on�anza en las distribu ionesmuestrales, tanto de la media omo de la propor i�on, dependen tanto del nivel de riesgo o on�anza omo del n�umero de elementos que forman la muestra.Cuando de imos que el intervalo de on�anza es:(�� Z�2 � � ; �+ Z�2 � �)estamos a�rmando que se omete un error m�aximoZ�2 � �para un nivel de on�anza 1� �.Llamaremos error admitido, y lo denotaremos por E, a:E = Z�2 � �En el aso de la distribu i�on muestral de la media ser�a:Z�2 � �pny en el aso de la distribu i�on muestral de la propor i�on:E = Z�2 �rp � qnEn la mayor��a de las en uestas se intenta al anzar un grado de on�anza alto on unerror admitido m��nimo a estable er, ya que se pro ura que el oste de la en uesta sea elmenor posible. Para ello, y sabiendo que el error admitido depende tanto del nivel de on�anza omo del n�umero de elementos de la muestra, ser�a ne esario al ular u�al es eln�umero m��nimo de elementos de la muestra para al anzar un grado de on�anza y un errora eptable.Partiendo de la f�ormula del error admitido y �jando desde un prin ipio el nivel de on-�anza y el error admitido que deseamos, podemos al ular el tama~no m��nimo de la muestra(tama~no muestral) para que se umplan las ondi iones ini iales de nivel de on�anza yerror.Suponiendo que deseamos un nivel de riesgo m�aximo � y un error admitido m�aximo dee podemos al ular el n�umero m��nimo de elementos de la muestra para onseguir que se umplan las previsiones:� Para la distribu i�on muestral de la media:E = Z�2 � �pn = Z�2 � �pn < e =) Z�2 � �2e < pn =) Z2�2 � �2e2 < n� Para la distribu i�on muestral de la propor i�on:E = Z�2 �rp � qn = Z�2 � pp � qpn < e =) Z�2 � pp � qe < pn =) Z2�2 � p � qe2 < n2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 89Ejemplo 8.6.1 Se desea realizar una investiga i�on para estimar el peso medio de los hijosre i�en na idos de madres fumadoras. Se admite un error m�aximo de 50 gramos, on una on�anza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desvia i�on t��pi a de peso mediode tales re i�en na idos es de 400 gramos, >qu�e tama~no m��nimo de muestra se ne esita en lainvestiga i�on?Solu i�on: omo el nivel de on�anza es 0095 enton es:1� � = 0095 =) � = 0005 =) �2 = 00025 =) 1� �2 = 00975 =) Z�2 = 1096Como E = Z�2 � �pn y queremos que E < 50, tendremos:50 > 1096 � 400pn =) pn > 1096 � 40050 =) pn > 15068 =) n > 245086Luego el tama~no de la muestra debe ser n = 246


TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 90PROBLEMAS DE MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA(1) En ierta pobla i�on habitan 1 500 ni~nos y j�ovenes, 7 500 adultos y 1 000 an ianos. Sedesea realizar un estudio para ono er el tipo de a tividades de o io que se deseanin luir en el nuevo parque en onstru i�on. Para ello, van a ser en uestados 200individuos elegidos al azar.(a) Expli a qu�e pro edimiento de sele i�on ser��a el m�as ade uado utilizar: muestreo on o sin reemplazamiento.(b) Si se utiliza muestreo estrati� ado, > u�al ser�a el tama~no muestral orrespondientea ada estrato?(2) Una pobla i�on est�a formada por solo 5 elementos, on valores 3, 5, 7, 9, 11. Con-sideramos todas las muestras posible de tama~no 2 on reemplazamiento que puedanextraerse de esa pobla i�on. Se pide al ular:(a) La media de la pobla i�on.(b) la desvia i�on t��pi a de la pobla i�on.( ) La media de la distribu i�on muestral de medias.(d) La desvia i�on t��pi a de la distribu i�on muestral de medias, es de ir, el error t��pi ode las medias.(3) Los tornillos fabri ados por ierta m�aquina de pre isi�on, que se distribuye seg�un unanormal, tiene un peso medio de 142'32 gramos y una desvia i�on t��pi a de 8'5 gramos.(a) Halla la probabilidad de que una muestra elegida al azar de 25 tornillos, tomadaentre ellos, tenga un peso medio superior a 144,6 gramos.(b) Realiza el mismo �al ulo si la muestra que se toma es de 100 tornillos.(4) Una m�aquina ha fabri ado 800 piezas de pre isi�on on un peso medio de 150 gramosy una desvia i�on t��pi a de 20 gramos. Cal ula la probabilidad de que una muestra de80 piezas elegidas entre las fabri adas tenga un peso total de m�as de 12400 gramos.(5) Se sabe que el o iente intele tual de los alumnos de una universidad se distribuyeseg�un la ley normal de media 100 y varianza 7'29.(a) Halla la probabilidad de que la muestra de 81 alumnos tenga un o iente intele -tual medio inferior a 109.(b) Halla la probabilidad de que la muestra de 36 alumnos tenga un o iente intele -tual medio superior a 109.( ) Se elige al azar una persona. Halla la probabilidad de que su C.I. est�e entre 100y 103.(6) Se quiere ono er la estan ia media de pa ientes de un hospital. Se tienen datosreferidos a la estan ia, expresada en d��as, de 800 pa ientes, de donde se ha sa ado losresultados siguientes: x = 801 d��as � = 9 d��asSe pide obtener un intervalo de on�anza del 95% para la estan ia media.(7) La nota de un grupo de alumnos es aproximadamente normal on media � = 505 ydesvia i�on t��pi a � = 008.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 91(a) Hallar la media y la desvia i�on t��pi a de las medias muestrales.(b) Cal ular la probabilidad de que la media muestral de 4 alumnos elegidos al azarsea mayor que 5'2.(8) El peso de las tru has de una pis ifa tor��a sigue una leyN(200; 50). Se toman muestrasde 60 tru has y se al ula su peso medio. Halla las probabilidades de que la mediamuestral:(a) Sea mayor que 210 gramos.(b) Sea menor que 185 gramos.( ) Est�e entre 210 y 225 gramos.(9) La variable aleatoria X ha e orresponder los valores 1, 2, 3, 4 y 5 a una pobla i�onformada por in o individuos.(a) Construye una tabla on todas las muestras de tama~no dos.(b) Halla la media y la desvia i�on t��pi a de la variable aleatoria X .( ) Halla la media y la desvia i�on t��pi a de la variable aleatoria X , uya distribu i�ones la de las medias muestrales.(d) Comprueba que �X = � y que �X = �pn(10) Si las notas de Matem�ati as en las pruebas de a eso a la universidad siguen unadistribu i�on normal N(5; 2) y elegimos al azar una muestra de 100 estudiantes.(a) >Qu�e probabilidad hay de que la nota media en Matem�ati as de estos 100 alumnosest�a entre 4'5 y 5?(b) Si la muestra hubiese sido de 1.000 alumnos, >qu�e probabilidad tendr��amos deque la nota media estuviera entre 4'5 y 5?( ) >Por qu�e es mayor el segundo resultado?(11) Una pobla i�on est�a formada por los elementos 1, 2, 4 y 6.(a) Cal ula la propor i�on P de ifras impares.(b) Para ada una de las muestras on reemplazamiento de tama~no dos, al ula lapropor i�on de ifras impares.( ) Cal ula la media y la desvia i�on t��pi a de la distribu i�on muestral de propor iones.(12) Una m�aquina fabri a piezas de pre isi�on. En su produ i�on habitual fabri a un 3% depiezas defe tuosas. Un liente re ibe una aja de 500 piezas pro edente de la f�abri a.(a) >Cu�al es la probabilidad de que en uentre m�as del 5% de piezas defe tuosas enla aja?(b) >Cu�al es la probabilidad de que en uentre menos de un 1% de piezas defe tuosas?(13) Los 6 000 huevos de una partida tienen masas que est�an distribuidas normalmente. Sees ogen al azar 10 huevos y se halla que sus masas son:40; 41; 36; 44; 42; 48; 49; 38; 50; 38 gramos(a) Halla la media y la desvia i�on t��pi a de la muestra.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 92(b) Suponiendo que la masa media de los huevos de la partida es la misma que la al ulada en el apartado (a), pero que la desvia i�on t��pi a de la masa es de 5'5gramos, demuestra que el n�umero de huevos de la partida on masa superior a50 gramos es aproximadamente 440.( ) Sabiendo que 5 000 de los 6 000 huevos tienen masa superiores a x gramos, estimael valor de x.(14) En una muestra aleatoria de 1 000 personas, est�an de a uerdo en que el Ministeriode E onom��a mantenga la presi�on �s al el 65%. Halla el intervalo de on�anza del99%. En una en uesta realizada el a~no anterior hab��a resultado un 68% favorable almantenimiento de la presi�on. >Cae este valor dentro del margen de on�anza de lanueva en uesta?(15) Una nueva droga ha urado al 85% de los enfermos a los que se le ha apli ado. De-terminar las distribu iones en el muestreo de la propor i�on de enfermos urados paramuestras de tama~no 30, 100 y 1 000 personas.(16) En una pobla i�on de 6 personas, tres poseen una determinada ara ter��sti a y tres no.(a) >Qu�e propor i�on de personas posee esta ara ter��sti a?(b) Considera todas las posibles muestras de tama~no dos y halla en ada aso lapropor i�on pi. >Cu�al es la media de estas propor iones? >y la desvia i�on t��pi a?(17) Si el 60% de los li en iados de una fa ultad en uentran trabajo el primer a~no despu�esde a abar la arrera y sele ionamos al azar 25 de esos estudiantes, >qu�e probabilidadhay de que al menos 15 de ellos en uentren trabajo el primer a~no?(18) Se quiere dotar a un pabell�on de deportes de un buen sistema de ilumina i�on. Atal �n se analizan dos muestras de l�amparas pro edentes de dos f�abri as diferentes.Examinada la primera muestra de 100 l�amparas, se tiene una vida media de 1 500horas on una desvia i�on t��pi a de 150 horas. La muestra de 130 bombillas del segundofabri ante ofre e una vida media de 1 380 horas, on una desvia i�on t��pi a de 70 horas.Halla los l��mites de on�anza para las diferen ias de medias al 99%. >Cu�al ser�a lal�ampara elegida?(19) Sa sabe que la talla media de los ni~nos re i�en na idos de una determinada omunidadaut�onoma A se distribuye seg�un una N(66; 6), mientras que los de la omunidad au-t�onoma B se distribuye seg�un una N(62; 4). Si se toman muestras al azar de 50 ni~nosre i�en na idos de ada omunidad aut�onoma:(a) >Cu�ales son los par�ametros media y desvia i�on t��pi a de la diferen ia de mediasmuestrales?(b) Hallar la probabilidad de que la diferen ia de muestras de las tallas de los ni~nosre i�en na idos de una de las muestras sea inferior a 3 m.(20) En las pruebas de a eso a la universidad A se ha obtenido una ali� a i�on mediade 5'8 on una desvia i�on t��pi a de 1'25; mientras que en las pruebas de a eso a launiversidad B se ha obtenido una ali� a i�on media de 5'6 on una desvia i�on t��pi ade 1'5. Si se toman al azar muestras de 100 alumnos de ada universidad, > u�al esla probabilidad de que los alumnos de A tengan una ali� a i�on media al menos 3d�e imas superior a los alumnos de la universidad B?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 93(21) La ompa~nia a�erea A sabe que el tiempo de retraso de sus aviones se distribuye normal-mente on un retraso medio de 10 minutos y desvia i�on t��pi a de 2 minutos, mientrasque en otra ompa~nia B su retraso medio es de 15 minutos y desvia i�on t��pi a de 4minutos. Si se toman muestras al azar de 100 vuelos, hallar la probabilidad de que ladiferen ia en los tiempos medios de retraso sea menor que 1'5 minutos.(22) Supongamos que la altura media de los jugadores de balon esto es de 1'95 metros, onuna desvia i�on t��pi a de 0'2 metros, mientras que la altura media de los jugadores def�utbol es de 1'70 metros on una desvia i�on t��pi a de 0'25 metros. Si elegimos unamuestra de 25 jugadores de balon esto y 36 futbolistas, > u�al es la probabilidad deque la altura media de los jugadores de balon esto supere a la de los futbolistas en 0'3metros?(23) Se ha extra��do una muestra de 145 alumnos de una es uela de arte, a los que se les hapropuesto un test de habilidad. La media y la desvia i�on t��pi a obtenida de la muestrason 82 y 14, respe tivamente, A partir de estos datos, al ula el intervalo en el ualse hallar�a la media de pobla i�on al nivel de on�anza del 95%. Cal ula el intervalo de on�anza para los mismos datos orrespondientes al nivel de on�anza del 99%.(24) Para estimar la propor i�on de estudiantes de una universidad que est�a a favor de lareinser i�on so ial del delin uente, se entrevist�o aleatoriamente a 500 estudiantes. El58% estaba a favor. Cal ula el intervalo de on�anza, a nivel de on�anza del 95%, enel ual se hallar�a la pobla i�on universitaria que se en uentra a favor.(25) Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presentan a las pruebas de sele tividadrevela que la edad media es de 18'1 a~nos. Halla un intervalo de on�anza del 90% parala edad media de todos los estudiantes que se presentan a las pruebas, sabiendo quela desvia i�on t��pi a de la pobla i�on es de 0'4.(26) La dura i�on de bombillas sigue una distribu i�on normal de media des ono ida y des-via i�on t��pi a de 50 horas. Para estimar la dura i�on media, se experimenta on unamuestra de tama~no n. Cal ula el tama~no de n para que, on un nivel de on�anza del95%, se haya onseguido un error en la estima i�on inferior a 5 horas.(27) Se han realizado 50 lanzamientos de una moneda y se han obtenido 30 aras. Hallarel intervalo de on�anza para el par�ametro propor i�on de aras que se obtendr��an sirealiz�aramos un n�umero muy grande de lanzamientos. Halla el intervalo de on�anzaal nivel de on�anza del 90%, 95% y 99%.(28) Se ha estudiado una muestra formada por 40 ni~nos de 6 a~nos y se ha observado que15 de ellos dan positivo en una prueba de agresividad. Hallar el intervalo de on�anzaal nivel del 95% para el par�ametro propor i�on de positivos ante el test de agresividadpara la pobla i�on formada por todos los ni~nos espa~noles de 6 a~nos.(29) Un psi �ologo es olar quiere estimar la media de tiempo de rea i�on de los alumnos deprimero de primaria. Para ello a elegido una muestra de 35 alumnos y ha obtenido lossiguientes tiempos de rea i�on, en minutos:103; 008; 101; 100; 102; 009; 105; 006; 102; 101; 104; 103; 101; 102; 105; 103; 009102; 103; 101; 105; 008; 009; 101; 102; 104; 102; 009; 100; 101; 100; 102; 009; 008; 101Hallar el intervalo de on�anza para la media de tiempo de rea i�on al nivel del 90%.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 8. Teor��a de muestras. Nivel de on�anza 94(30) Un estudio de mer ado ha determinado que el pre io de los libros de ien ias sigueuna distribu i�on normal de desvia i�on t��pi a de 2'70 euros. Se desea estimar el pre iomedio de los libros de ien ias; para ello se elige una muestra aleatoria formada por34 libros y se determina que la media muestral es x = 21 euros. Halla el intervalo de on�anza para el pre io medio de los libros de ien ias al nivel de 99%.(31) Se sabe que los pesos medios de los toros de lidia se distribuyen normalmente, los dela ganader��a A on una desvia i�on t��pi a de 45 kg y los de la ganader��a B on unadesvia i�on t��pi a de 51 kg. Se desea estimar la diferen ia de pesos medios de ambasganader��as; para ello se elige una muestra de 50 toros de la ganader��a A y 38 toros dela ganader��a B. Se al ulan los pesos medios muestrales y se obtiene:XA = 490 kg XB = 475 kgHalla el intervalo de on�anza para la diferen ia de medias de pesos medios al niveldel 95%.(32) Si tenemos una pobla i�on formada por in o individuos, en los que la variable X tomalos valores 1, 2, 3, 4 y 5:(a) Considera todas las muestras de tama~no dos y halla para ada una el intervalode on�anza, on un nivel de on�anza del 0'95.(b) Comprueba que, aproximadamente, el 95% de estos intervalos ontiene a la mediapobla ional.(33) El n�umero de piezas fabri adas por una m�aquina A en in o d��as ha sido: 50, 48, 53,60 y 37, y en esos mismos d��as, otra m�aquina B ha fabri ado: 40, 51, 62, 55 y 64 piezas.Sabemos que la desvia i�o t��pi a de la m�aquina A es de 8'3 y la de la m�aquina B, de9'6; luego si queremos hallar el intervalo de on�anza para la diferen ia de medias onun nivel de on�anza del 95%, >qu�e deber��amos ha er?(34) Se desea ha er una estima i�on sobre la edad media de una determinada pobla i�on.Cal ula el tama~no de la muestra, ne esario para poder realizar di ha estima i�on onun error menor de medio a~no a un nivel de on�anza del 99'73%. Se ono e se estudiosprevios que la edad media de di ha pobla i�on tiene una desvia i�on t��pi a de � = 3.(35) Deseamos ono er el n�umero de personas mayores de edad que ser��a ne esario in luiren una en uesta para estimar la lase de a tividad en Espa~na on un error absolutode E = 0004 y un nivel de on�anza del 99'73%. Se dispone de un valor P = 0045 del�ultimo enso.(36) Una empresa dedi ada a las palomitas ompra el ma��z dire tamente a los agri ultores.Antes de efe tuar la ompra, un agente de la ompa~n��a quiere estimar la probabilidad pde que el grano de ma��z se abra al fre��rlo. >Cu�antos granos deber�a examinar para estarseguro al nivel del 90% de que el error m�aximo que ometa es 0'01? Se ha realizado unestudio sobre una peque~na muestra de 60 gramos, en la que obtuvo que 48 se abr��an.>Qu�e opinas?(37) Sabemos que el peso de los re i�en na idos sigue una distribu i�on N(303; 005). Con el �nde a tualizar estos datos sele ionamos una nueva muestra. >Qu�e tama~no de muestradebemos de elegir para ometer un error m�aximo de 0'1 kilos on un nivel de on�anzadel 95%?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

Tema 9Contraste de hip�otesis9.1 Introdu i�onHemos tratado en temas anteriores las on lusiones que se pueden sa ar de una muestrasabiendo omo se distribuye la pobla i�on entera. Vamos a estudiar ahora si, sabiendo omose distribuye una pobla i�on, el par�ametro que la de�ne es orre to o no, y en ada asosabremos omo a tuar.Supongamos que una investiga i�on da omo resultado que la nota media de Matem�ati asen alumnos de segundo de ba hillerato es de 6'2 on una desvia i�on t��pi a de 0'8 (hip�otesisnula) y queremos saber si esta a�rma i�on de que la media es 6'2 es ierta o no (hip�otesisalternativa).Para ello, tomamos una muestra y al ulamos su media muestral (estad��sti o de on-traste) y �jamos un nivel de on�anza para el onstraste, que ser�a 1 � �. Este nivel de on�anza nos propor iona un intervalo de on�anza (regi�on de a epta i�on) que ser�a:(�z�2 ; z�2 )A z�2 tambi�en se le denomina valor r��ti o y se representa por z Ahora solo nos faltar�a omprobar si esa media muestral esta dentro de la regi�on dea epta i�on o no; si estuviese, suponemos que era ierta la hip�otesis nula y si no, esta lare hazamos.9.2 De�ni iones previas� CONTRASTE DE HIP�OTESIS: pro edimiento estad��sti o por el que investiga lavera idad de una hip�otesis sobre una pobla i�on.� HIP�OTESIS NULA, H0: es la hip�otesis que queremos ontrastar, onsiderada alprin ipio omo verdadera y que a eptaremos o re hazaremos despu�es de realizar el ontraste.� HIP�OTESIS ALTERNATIVA, Ha: ualquier otra hip�otesis que nos sit�ue frentea H0 y que si se a epta, omo onse uen ia del ontraste, se re haza H0.� ESTAD�ISTICO DE CONTRASTE: es la variable aleatoria uyo valor para unamuestra determinada nos permitir�a tomar la de isi�on sobre la a epta i�on o el re hazode la hip�otesis.� REGI�ON DE ACEPTACI�ON: es el onjunto de valores del estad��sti o de ontrasteque nos lleva a a eptar la hip�otesis nula.95

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 96� REGI�ON DE RECHAZO: es el onjunto de valores del estad��sti o de ontrasteque nos lleva a re hazar la hip�otesis nula.� CONTRASTE BILATERAL: se produ e uando la regi�on de re hazo est�a formadapor dos regiones disjuntas.� CONTRASTE UNILATERAL: se produ e uando la regi�on de re hazo est�a for-mada por un solo onjunto de puntos.El ontraste de hip�otesis y por tanto la de isi�on de re hazo o a epta i�on de una hip�otesisdepende de la muestra es ogida, lo que nos lleva a dedu ir que puede ometerse errores enlas de isiones, pues podemos re hazar una hip�otesis siendo ierta o a eptarla siendo falsa.Justamente a la probabilidad de ometer un error se le llama nivel de signi� a i�on yse designa por �, miestras que a la probabilidad de no ometer error se denomina poten iade ontraste y se designa por 1� �. H0 es ierta H0 es falsaSe a epta H0 sin error error tipo IISe re haza H0 error tipo I sin errorEjemplo 9.2.1 Se supone que la temperatura del uerpo humano es 37 grados on unadesvia i�on t��pi a de 0'9 grados. Veamos si es ierta di ha a�rma i�on.Solu i�on : designamos H0 � la media es 37 grados y Ha � la media no es 37 grados.Tomamos una muestra:3707; 3607; 3705; 37; 3709; 3706; 3701; 37; 3608; 3701y llamamos X al estad��sti o uya media es 37'24. Sabemos que la distribu i�on muestral dela media es: N �37; 009p10� = N(37; 00285)Supongamos que queremos un nivel de signi� a i�on de � = 0005, o sea, 1� � = 0095, uyointervalo de a epta i�on es: (�Z�2 ; Z�2 ) = (�1096; 1096)tipi� ando el valor 37'24 a la normal N(0; 1), obtenemos:37024� 3700285 = 0; 93 2 (�1096; 1096)luego la hip�otesis se a epta on una poten ia de ontraste del 95%.9.3 Etapas en un ontraste de hip�otesisPara realizar ualquier ontraste de hip�otesis es onveniente seguir los siguientes pasos:(1) De�nir la hip�otesis nula y la hip�otesis alternativa. Ambas hip�otesis deben serex luyentes entre s��. Dependiendo de la hip�otesis alternativa puede haber:� Contraste bilateral: si Ha � p 6= p0� Contraste unilateral: si Ha � p > p0 o bien, Ha � p < p02Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 97(2) Fijar el nivel de signi� a i�on y determinar la regi�on de a epta i�on. Losniveles de signi� a i�on suelen ser: 0'005, 0'001, 0'0001(3) Determinar el estad��sti o de ontraste apropiado. Depende del par�ametro sobreel que se elabora la prueba. Pueden ser:� si la hip�otesis es sobre la media pobla ional, Z = X � ��pn� si la hip�otesis es sobre la propor i�on pobla ional, Z = P̂ � pq p�qn� si la hip�otesis es sobre las diferen ias de medias, Z = (X � Y )� (�X � �Y )q�2XnX + �2YnY(4) Cal ular el valor del estad��sti o usado en la prueba.(5) Tomar la de isi�on e interpretarla.Ejemplo 9.3.1 Una dama a�rma que el sabor de una taza de t�e on le he es distinto uandose vierte antes la le he que el t�e. Para ontrastar esta informa i�on se preparan diez tazasde t�e, en in o se vierten antes la le he y en las otras antes el t�e. A ontinua i�on, la damaprueba en orden aleatorio las diez tazas y a ierta en o ho de las diez. >Es este he ho unaeviden ia signi� ativa a favor de la hip�otesis?Solu i�on : sea H0 � fel sabor de una taza de t�e es indiferente del orden en que se viertant�e y le heg Sea Ha � fel sabor de una taza de t�e es distinto si se vierte primero la le he yluego el t�e o al ontrariog. Si la hip�otesis nula se umple y da lo mismo, la distribu i�on dea ierto de las tazas de t�e seguir�an una distribu i�on on probabilidad 0'5 de a ertar. LuegoH0 � p = 0; 5 y Ha � p > 0; 5 y el estad��sti o de ontraste ser�a:Z = P̂ � prp � qn = P̂ � 0; 50; 5 � 0; 510 = P̂ � 0; 50; 16Para un nivel de signi� a i�on del 0'05 y omo se trata de un ontraste unilateral tendremosque Z� = 1065. Veamos si 0'8 se mantiene dentro de la regi�on de a epta i�on:008� 0050016 = 10875Como 1'875 es mayor que 1'65 este valor ae en la regi�on de re hazo y por tanto es falso queda igual el orden que sirvamos la le he y el t�e.9.4 Contraste de hip�otesis para la mediaSi partimos de una distribu i�on N(�; �) on � ono ida y queremos ontrastar � on �0 on un nivel de signi� a i�on �, tomando una muestra de tama~no n uya media muestral esx, enton es sabiendo que el estad��sti o es:Z = X � ��pntenemos:2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 98� Ha � � 6= �0 ( ontraste bilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z�2 ; Z�2 )� Ha � � < �0 ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�1 ; Z�)� Ha � � > �0 ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z� ; +1)Ejemplo 9.4.1 La velo idad media de la �ultima ontrarreloj en Espa~na se ree que fue de40 Km/h on una desvia i�on t��pi a de 5 Km/h. Para ontrastar esta informa i�on se de ideestudiar la velo idad media de 15 orredores, on el siguiente resultado:43 43; 2 45 43; 1 3905 45 43 4203 3906 40 39 45 39 4401 4206>Se puede a eptar esta hip�otesis omo ierta on un nivel de signi� a i�on de 5%?Solu i�on : en este aso tenemos que: H0 � � = 40 y Ha � � 6= 40 El estad��sti o de ontrasteser�a: Z = X � �0�pn = X � 405p15Como el nivel de on�anza es del 5% enton es � = 0005 y por tanto se tendr�a que:Z�2 = 1096 =) Regi�on de a epta i�on (�1096; 1096)Como el valor medio de la muestra es 42'23 tendremos:42023� 40103 = 1071 2 (�1096; 1096)luego admitimos que la media ha sido de 40 Km/hSi no se ono iese � y el tama~no de la muestra fuera mayor de 30 se sustituye la varianza�2 por la uasi-varianza �̂2, donde:�2 = nXi=1 (xi � x)2N �̂2 = nXi=1 (xi � x)2N � 1luego: �̂ =r NN � 1 � �9.5 Contraste de hip�otesis para la propor i�onSi partimos de una distribu i�on Bi(n; p) y queremos ontrastar p on p0 on un nivel designi� a i�on �, tomando una muestra de tama~no n uya propor i�on muestral es p̂, enton essabiendo que el estad��sti o es: Z = P̂ � prp � qn tenemos:� Ha � p 6= p0 ( ontraste bilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z�2 ; Z�2 )� Ha � p < p0 ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�1 ; Z�)� Ha � p > p0 ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z� ; +1)2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 99Ejemplo 9.5.1 El fabri ante de una rema para quemaduras a�rma que tiene una efe ti-vidad del 90%. Sele ionamos una muestra de 40 personas on quemaduras y les apli amosla rema, de forma que 32 de ellas resultan aliviadas. Contrasta la a�rma i�on del fabri ante on un nivel de signi� a i�on del 5%.Solu i�on : Tenemos que: H0 � p = 009 y que Ha � p 6= 009 y adem�as � = 0005 on lo que:Z�2 = 1096Luego es un ontraste bilateral donde a eptaremos la a�rma i�on H0 si:�Z�2 < P̂ � p0rp0 � (1� p0)n < Z�2es de ir, �1; 96 < 008� 009r009 � 00140 < 1096Pero di ho o iente es -2'1 que no pertene e al intervalo, luego la a�rma i�on era falsa onun nivel de signi� a i�on del 5%9.6 Contraste de hip�otesis para la diferen ia de mediasSi partimos de dos pobla ionesN(�X ; �X) yN(�Y ; �Y ) on varianzas ono idas y quere-mos ontrastar �X��Y on un nivel de signi� a i�on �, tomando una muestra de tama~no nXpara la pobla i�on primera y una muestra de tama~no nY para la segunda, enton es sabiendoque el estad��sti o es: Z = (X � Y )� (�X � �Y )s�2XnX + �2YnYtenemos:� Ha � �X � �Y 6= � ( ontraste bilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z�2 ; Z�2 )� Ha � �X � �Y < � ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�1 ; Z�)� Ha � �X � �Y > � ( ontraste unilateral) la regi�on de a epta i�on ser�a: (�Z� ; +1)Ejemplo 9.6.1 Queremos omprobar si existen diferen ias entre dos grupos de alumnosde entros diferentes, para lo ual realizamos el mismo examen a 30 estudiantes del primergrupo y a 35 del segundo obteniendo omo resultado:Nota media Desvia i�on t��pi aGrupo 1 5'5 0'5Grupo 2 5'2 1Contrasta la diferen ia entre los grupos on un nivel de signi� a i�on del 1%.Solu i�on : de�nimos las hip�otesis omo sigue:H0 � �X � �Y = 0 Ha � �X � �Y 6= 0 � = 0; 01 =) Z�2 = 205752Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 100Luego a eptaremos H0 si: �20575 < (505� 205)� 0r005230 + 1235 < 20575Como el o iente es 1'56 podemos de ir que apenas hay diferen ia on un nivel de signi� a- i�on del 1%9.7 Interpreta i�on de una � ha t�e ni aEn toda en uesta debe apare er una � ha t�e ni a on, al menos los siguientes ��tems:� �Ambito: Lugar donde se realiza el estudio; na ional, omar al...� Universo: Personas sobre las que se ha he ho la en uesta.� Muestra: N�umero de datos re ogidos.� Margen de error: Margen de on�anza (error admitido, intervalos de on�anza... )� Sele i�on: Sistema elegido para la re ogida de datos: aleatoria, por alguna ualidad...� Entrevistas: M�etodo de re ogida de datos; personal, en la alle...� Fe has de trabajo: Fe has entre las que se han re ogido los datos.� Realiza i�on: Nombre del grupo de trabajo.� Equipo t�e ni o: Personas que integran di ho grupo.Mediante la � ha podemos saber si la en uesta est�a bien realizada y los valores y onse- uen ias reales que podemos sa ar de ella.Ejemplo 9.7.1 Fi ha t�e ni a de una en uesta de opini�on p�ubli a en un peri�odi o de difusi�onna ional: FICHA T�ECNICA� �Ambito: Na ional ex epto Ceuta, Melilla y las Islas Canarias.� Universo: Pobla i�on de 15 y m�as a~nos de edad.� Muestra: 1 000 entrevistas.� Margen de error: �302% para p=q=0,5 y un nivel de on�anza del 95'5%para datos globales.� Sele i�on: Aleatoria de se iones ensales para la determina i�on del hogar ypor uotas de sexo y edad para el entrevistado.� Entrevistas: Personales en el hogar del entrevistado.� Fe has de trabajo: del 2 al 20 de febrero de 2004.� Realiza i�on: INTERGALLUP, S.A.(1) Comprueba que el n�umero de entrevistados es orre to.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 101(2) Si en una de las preguntas han ontestado a�rmativamente el 68,3% de los entrevista-dos, > u�al es el intervalo de a epta i�on seg�un los datos t�e ni os.?Solu i�on:(1) Al ser la informa i�on de la � ha p = q = 005, la distribu i�on muestral de propor ionessigue una ley normal de media p = 005 y una desvia i�on t��pi a de� =s005 � 005nsiempre que n > 30.La distribu i�on que queremos estudiar se distribuye seg�un:N �005; 005pn�Para un nivel de on�anza del 95'5%, su valor r��ti o orrespondiente es Z = 2Luego si el error que se omete es del 3'2%, utilizando que:E = Z �sp � qn < 0; 032 =) n > Z2 � p � qE2 =) n > 4 � 005 � 005000322 = 976056Por lo tanto el tama~no de n = 1000 es orre to.(2) En este aso p = 00683 luego el intervalo de a epta i�on ser�a:00683� 2 � 005p1 000 < p < 00683 + 2 � 005p1 000


TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 102PROBLEMAS DE CONTRASTE DE HIP�OTESIS(1) Prueba que en las pruebas bilaterales para un nivel de ontraste del 95% el valor deZ�2 es igual a 1096(2) Comprueba que los valores r��ti os Z� para las pruebas de hip�otesis unilaterales o-rrespondientes a los niveles de signi� a i�on del 10%, 5%, 1% y 0,1% son : -1'28 �o 1'28;-1'645 �o 1'645; -2'33 �o 2'33 y -3'09 �o 3'09, respe tivamente.(3) Una en uesta a 64 profesionales de un institu i�on revel�o que el tiempo medio de empleoera de 5 a~nos, on una desvia i�on t��pi a de 4. Considerando el nivel de signi� a i�ondel 0'05, >sirven estos datos de soporte de que el tiempo medio de empleo de losprofesionales de esta institu i�on est�a por debajo de los 6 a~nos? (Suponemos que lapobla i�on de profesionales se distribuye normalmente).(4) La vida media de una muestra de 100 tubos uores entes produ idos por una empresaes de 1 570 horas, on una desvia i�on t��pi a de 120 horas. Si � es la vida media detodo lo produ ido en esa empresa, ontrasta la hip�otesis de que � = 1600 horas ontrala hip�otesis alternativa � 6= 1600 horas, utilizando un nivel de signi� a i�on de 0'05.(5) El salario medio orrespondiente a una muestra de 1 600 personas de ierta pobla i�ones de 93 500 pesetas. Se sabe que la desvia i�on t��pi a de los salarios en la pobla i�ones de 20000 pesetas. >Se puede a�rmar, on un nivel de signi� a i�on de 0'01, que elsalario medio en di ha pobla i�on es de 95 000 pesetas?(6) Un test de inteligen ia en EE.UU. se distribuye N(102; 15). Al trasladarlo a la pobla- i�on espa~nola, en una muestra de 100 individuos se obtuvo una media de 104, >qu�epodemos inferir al 95% de on�anza?(7) La vida media de las l�amparas de 60 vatios est�a garantizada por lo menos en 800 horas, on una desvia i�on t��pi a de 120 horas. Se es oge al azar una muestra de 25 l�amparasde un grupo y despu�es de omprobarla se al ula una vida media de la muestra de750 horas, para un nivel de signi� a i�on del 0'05, >habr��a que rehazar el grupo por no umplir las garant��as?(8) Se en uentra que una muestra de 625 piezas tiene una longitud media de 20'05 mm.Para un nivel de signi� a i�on del 0'001, >puede onsiderarse razonable la muestra omouna muestra aleatoria, extra��da de un grupo produ ido, on una longitud media de 20mm y una desvia i�on t��pi a de 0'1 mm?(9) La produ i�on de una m�aquina se distribuye seg�un una ley normal y fabri a piezas onun peso medio de 245 gramos y una desvia i�on t��pi a de 36'3 gramos. Para omprobarsi las piezas que produ e en la a tualidad est�an de a uerdo a estas normas, se toma ada uatro horas una muestra de 16 piezas y se determina su peso medio. Cal ulalos l��mites de on�anza del 99% y 95%.(10) Se ree que el tiempo medio de o io que dedi an al d��a los estudiantes de ba hilleratosigue una distribu i�on normal de 350 minutos y desvia i�on t��pi a de 60 minutos. Para ontrastar esta hip�otesis, se toma una muestra aleatoria formada por 100 alumnos,y se observa que el tiempo medio es de 320 minutos. >Qu�e se puede de ir de estaa�rma i�on al nivel del 10%?(11) Se quiere ontrastar el ontenido de az�u ar de distintos argamentos de remola ha. Sesabe que el ontenido medio de az�u ar para remola ha de regad��o es del 18% y on2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 103media superior para el de se ano, siendo la desvia i�on t��pi a del 6% para ambos asos.Se toma una muestra de 20 argamentos. >Qu�e valor de la media permitir�a tomar lade isi�on si es de se ano o de ragad��o al nivel del 5%?(12) El Ministerio de Edu a i�on, ha e in o a~nos hizo una en uesta sobre la distribu i�onde las edades del profesorado de edu a i�on espe ial y obtuvo que se distribu��an seg�ununa normal de media 39 a~nos. Se ree que �ultimamente la media ha aumentado, paralo ual se ha tomado una muestra aleatoria formada por 38 profesores, uyas edadeshan sido: 35; 37; 39; 42; 40; 39; 41; 40; 39; 38; 38; 47; 43; 41; 40; 39; 38; 39; 41;45; 41; 38; 42; 29; 32; 45; 46; 29; 37; 40; 41; 43; 39; 41; 43; 32; 32; 39Contrasta la hip�otesis apuntada sobre el aumento de la edad media al nivel del 5%.(13) Un experto en temas ele torales, basado en los resultados de anteriores omi ios, sos-tiene que, si se elebran ele iones generales en la a tualidad, tan solo a udir��a a votarel 48% del ele torado. Sin embargo, en un sondeo ele toral realizado re ientemente on una muestra de 1 500 personas, 800 mani�estan su inten i�on de votar. Plantea laprueba de hip�otesis m�as ade uada, para un nivel de signi� a i�on del 0,05 y omentael resultado.(14) Existe la hip�otesis de que en la Comunidad Aut�onoma de Castilla y Le�on realizanestudios de nivel medio en mismo n�umero de varones que de mujeres. Mediante unsistema aleatorio tomamos una muestra de 1 000 expedientes es olares, de los uales532 son varones y 468 son mujeres. >Es este un resultado po o probable o, por el ontrario, se ajusta a la gran mayor��a del 99% de los resultados?(15) Un profesor propone a sus alumnos un uestionario para responder verdadero o falso.Para omprobar la hip�otesis de que los alumnos ontestan al azar, adopta la siguienteposi i�on:� Si al menos 7 respuestas son a ertadas, el estudiante no ha ontestado al azar.� Si hay menos de 7 respuestas a ertadas, ha ontestado al azar.Halla la probabilidad de re hazar la hip�otesis uando sea orre ta.(16) Tras 100 lanzamientos de una moneda se observa que tan solo en 35 o asiones a salido ara. Utilizando la aproxima i�on normal, omprueba, al nivel de signi� a i�on del5%, si el resultado propor iona eviden ia que permite re hazar la hip�otesis de que laprobabilidad de obtener ara on esta moneda es de 0'5. >Qu�e on lusi�on podemossa ar si en una nueva experien ia on la misma moneda hemos obtenido 41 aras?(17) Un medi amento tradi ional usado en la ura i�on de enfermos reum�ati os obtiene un30% de resultados positivos. Se est�a probando un nuevo medi amento. Sobre unamuestra de 20 enfermos reum�ati os, se re uperaron 13 utilizando el nuevo medi a-mento. >Qu�e podemos dedu ir?(18) Durante el a~no 2004, los 25 670 na idos en ierta omunidad aut�onoma se distribuyeronen 13333 ni~nos y 12 337 ni~nas. >Es verosimil la hip�otesis de que ni~nos y ni~nas na en on igual probabilidad?2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

TEMA 9. CONTRASTE DE HIP�OTESIS 104(19) Tomada una muestra aleatoria de 120 alumnos de un entro de ense~nanza, se omprob�oque el 23% de la muestra proven��a de niveles e on�omi os altos. >Es ompatible esteresultado on la suposi i�on de que menos del 30% del alumnado del entro provienede lases altas, al 95% de nivel de on�anza?(20) El fabri ante de un produ to m�edi o sostiene que tiene un 90% de efe tividad en dismi-nuir los efe tos de la alergia por un periodo de 8 horas. Se suministro di ho produ to auna muestra de 200 pa ientes que ten��an alergia, de los uales 160 en ontraron alivio.Con estos datos, >es ierta la asevera i�on del fabri ante?(21) El ayuntamiento de una iudad a�rma que el 65% de los a identes juveniles de los �nesde semana son debidos al al ohol. Un investigador de ide ontrastar di ha hip�otesis,para lo ual toma una muestra formada por 35 a identes y observa que 24 de ellos hansido debidos al al ohol. >Qu�e podemos de ir sobre la a�rma i�on del ayuntamiento?(22) Un entrenador a�rma que sus jugadores en los entrenamientos en estan m�as del 92%de los tiros libres. Con el �n de ontrastar esta a�rma i�on se ha elegido aleatoriamenteuna muestra de 60 lanzamientos, de los uales 42 han entrado en la anasta. Estosresultados, >ponen en duda al entrenador o no?.(23) Con el �n de determinar la pobla i�on de familias numerosas, se toma una muestrade 800 familias, siendo la propor i�on obervada de 0'18. Formulamos la hip�otesis nulaH0 � p = 0020. Contr�astala on un nivel de signi� a i�on � = 0005.(24) Despu�es de realizar 60 lanzamientos on una determinada moneda, obtenemos 35 arasy 25 ru es. Ante este resultado, uno de los jugadores indi a que di ha moneda debeestar tru ada, de forma que hay m�as posibilidades de obtener ara que ruz, peroel otro jugador mantiene que no lo est�a. Contrasta esta hip�otesis on un nivel designi� a i�on del 5% y realiza el mismo ontraste si de los 60 lanzamientos, 50 son aras.(25) Una revista publi a el siguiente titular: LOS HOMBRES GASTAN M�AS DINEROEN REGALOS DE NAVIDAD QUE LAS MUJERES. Un investigador sospe ha quedi ha a�rma i�on puede ser ierta. Los resultados que ha ofre ido la en uesta que sirvede base al titular son: Entrevistas Media de gasto Desvia i�on t��pi aVarones 615 229 286Mujeres 715 217 455Sabiendo que la muestra ha sido realizada por muestreo aleatorio, podemos a�rmar, on un nivel de signi� a i�on del 0'05, que el titular de la revista es ierto. Compru�ebalo.(26) Dos a ademias de idiomas preparan para una prueba espe �� a. En la a ademia A hay30 estudiantes y la nota media obtenida es 5'2. En la a ademia B hay 36 estudiantes yla nota media es 4'7. La desvia i�on t��pi a de los resultados de esta prueba, al uladaa partir de varios ientos de andidatos anteriores, es 1'2. Contrasta si los estudiantesde idiomas de la a ademia A son mejores que los de la a ademia B.2Æ Ba hillerato / Estad��sti a I.E.S. C. Pulido Rubio. Bonares

Apuntes de Estadistica 2Bach

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