Apuntes campos electromagnéticos ED1
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|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ
Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica Electrónica
APUNTES DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
Ed1
AUTOR:
PAUL TERRAZAS L. ARICA – CHILE
2016
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
I CAMPOS ELECTROMAGETICOS 1.1.- Introduccion al campo electromagnético
1.2.-Ecuaciones de maxwell generalizada
1.3.-Producto punto y cruz
1.4.- Campos
1.5.-Gradiente y divergente
1.6.-Rotor o rotacional
1.7.-Ejercicios resueltos
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
1.1.-INTRODUCCION AL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
En el curso de ELECTROMAGNETISMO se ha aprendido la Electroestática y
Magnetoestática, considerando el campo electromagnético ( ) y el Campo de Densidad
de Flujo Magnético ( ) como propiedades diferentes y sin relación alguna, sin embargo la
naturaleza nos muestra que esto no es asi, y por ende se hace necesario enfrentar este tipo
de problemas considerando el fenómeno electromagnético unificado, incorporar el tiempo y
ver las variables que fueron omitidias en un fenómeno real. En el curso de CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS, unificar estas propiedades en ecuaciones simples y prácticas
para solucionar problemas de ingeniería.
1.2.-Ecuaciones de Maxwell
, -
,
-
,
-
,
-
,
-
1.-Ley de Gauss para el campo eléctrico
∮
2.-Ley de Gauss para el campo magnético
∮
3.-Ley de faraday
∮
∮
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
4.- Ley de Ampere generalizada
∮
∮
Ley de lorentz
1.3.-PRODUCTO PUNTO Y CRUZ
1.3.1.-Producto punto
| || |
| || |
| || | ( )
| | | || | ( )
1.3.2.-Producto cruz Se define el producto cruz o vectorial como
|
|
- Ĵ x -
Ĵ
-
El producto cruz de los vectores unitarios son cíclicos y por ello
podemos saber sus respectivos signos dependiendo de su sentido de dirección ixj=k jxk=i kxi=j y ixk=-j kxj=-i jxi=-k
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Propiedades producto cruz:
| | | || |
( ) ( )
( ) ( )
( )
1.4.- Campos
1.4.1.-Campos escalares
( )
( ) ( )
1.4.2.-Campos vectoriales
( ) ( ) ( )
nabla (vector)
Ejemplo:
1.5.-Gradiente y Divergente
1.5.1-Gradiente (vector) Actúa sobre campos escalares y lo
convierte en vector.
Ejemplo:
Sea ( ) ( )
( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
1.5.2- Divergente (escalar) Actúa sobre un campo vectorial
y lo convierte en escalar.
Ejemplo:
Sea ( )
Recordando
( )
1.5.3.- El gradiente de un divergente
( ) 4
5
4
5 4
5 4
5
1.5.4.-El divergente de un gradiente
(
)
( )
1.6.-ROTOR o rotacional
||
||
4
5 (
) 4
5
Ejemplo
( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
1.8.1.-Divergente de un rotor=0
( )
4
5
(
)
4
5
CLASE 3
Rotor de un gradiente es cero
( ) ||
|| 0
.
/
.
/1 0
.
/
.
/1 0
.
/
.
/1 =0
1.7.-Ejercicios resueltos
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Demostrar ( )
Tomando la definición del Laplaciano a un vector . En Ese contexto será la gradiente de la
divergencia de , menos el rotacional del rotacional de La divergencia del gradiente de carece de sentido ya que no es un escalar.
( )
Despejando y equiparando ambas ecuaciones:
( )
Desarrollo:
||
|| 4
5 (
) 4
5
( ) |
|
4
5 (
) 4
5|
|
6
4
5
(
)7 6
4
5
4
57 6
(
)
4
57
64
5 4
57 64
5 4
57 64
5 4
57
6
7 6
7 6
7
Sea: ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
4
5 4
5 (
) ( )
Desarrollando
=0
1 0
1 0
1
=0
1 0
1 0
–
1K
Ambos términos son iguales
( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
II ONDAS Y MEDIOS DE PROPAGACIÓN
2.1.-Teorema Stoke
2.2.-Ecuación de onda
2.3.-Ecuacion de maxwell en el vacío
2.4.-Soluciones armónicas
2.5.-Materia resumen.
2.6.-Ejercicios resueltos
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
2.1.-Teorema Stoke
∫
∮
∫
∮
Sea por definición:
( ) =
. / podemos sacar el valor de t
( ) =
( )
.
/ =
( )
.
/ =
( )
.
/ =
(
)
(
)
(
)
2.2.-Ecuación de onda
(
)
Suponiendo:
[
]
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
[
]
√
0
1
( ) ( ) ( )
, -
, -
, -
2.2.1.-Caso unidireccional
( ) ( )
4
5 ( )
( )
( )
( )
, -
( )
( )
, -
Sea
( ) * ( ) +
Correspondiente a una transformación fasorial
( ) * ( ) +
Reemplazando en [Eq.2]
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
( )
( )
{
( ) }
{
( ) }
Ecuación de la onda 1-D
2.3.-ECUACION DE MAXWELL EN EL VACÍO
, -
,
-
,
-
,
-
,
-
2.4.-Soluciones armónicas
( ) * ( ) +
( ) * ( ) +
Vector onda
i) ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
{ ( ) }
{ ( ) } ( )
2 . ( )/3
( )
ii) ( )
( )
iii) ( )
( )
{ ( ) }
* ( )
+
{ ( ) } *
( )
+
{ ( )} * ( )
+
{ ( )} * ( ) ++
{ ( )} * ( ) ++
{ ( )} * ( ) ++
{ ( )} { ( ) +}
{ ( ( ) ( ) )}
. ( ) ( )/
( ) ( )
iv) ( )
( )
( ) ( )
Al proponer las soluciones armónicas las ecuaciones de Maxwell se
hacen independiente del tiempo.
1) ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
2) ( )
3) ( ) ( )
4) ( )
Para resolver el nuevo set de ecuaciones.
( ) ( )
( ) ( )
) ( )
( ) ( )
( )
0
1
0 1
,
-
( ) [ ]
( )
2) ( )
3) ( ) ( )
( ) |
|=
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
( ) |
|=
( ) |
|
( )
( )
) ( ) ( )
( )
Anexo
) ()
( ) ( )
( )
6)
√
7)
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
2.5.-MATERIA RESUMEN.
Son soluciones armónicas, suponiendo que conocemos como varía t en el
tiempo.
( ) * ( ) +
( ) * ( ) +
Se propuso la siguiente solución particular.
( ) ( )
( ) ( )
Y los vectores
Las ecuaciones de maxwell se reducen
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
K es vector onda que apunta en la dirección que viaja la onda.
Unificando obtenemos
( ) * ( ) +
( ) * ( ) +
( ) 2 ( ) ( )3
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
( ) 2 ( ) ( )3
, -
,
-
,
-
,
-
,
-
√
2.6.-EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 1:
( ) ( )
( ) ( ) * ( ) ( )+
2 ( ) ( )3 { }
Ejemplo 2:
* ( )+
{ ( )} * ( ) ( )+
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
( )
Ejemplo 3:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Desarrollo:
( ) * ( ) ( )+
* ( ) ( ) ( ) ( ) +
Ejemplo 4
( ) ( ) ( )
( ) { ( ) }
( ) {,( ) ( ) - }
( ) {( ) ( ) }
( ) {( ) ( ) }
( ) {( ) ( )+ * ( ) ( )}
( ) *( ) ( ) ( ) ( )+
* ,( ) ( ) ( ) ( )-
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ,( ) ( )-
( ) ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
III MEDIOS MATERIALES
3.1.-Medios anisotrópicos
3.2.-Medios no lineales
3.3.-Medios no homogeneo
3.4.-Medios dispersivos
3.5.-Resumen medios materiales
3.6.-Ecuaciones de maxwell en medios materiales
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
MEDIOS
MATERIALES
No lineales ( ) ( )
Anisotrópicos ( ) ( )
No Homogéneos ( ) ( )
Dispersivos ( ) ( )
En el curso sefocalizará en:
-Medios Lineales
-Isotrópicos
-Homogéneos
3.1.-MEDIOS ANISOTRÓPICOS
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
[
] [
]
Para tomar en cuenta la reacción de la materia se define el vector
desplazamiento eléctrico.
De acuerdo a como polariza el material se distinguen varios casos
3.2.-MEDIOS NO LINEALES
Son medios cuyas características electromagnéticas son función de la
intensidad del campo aplicado. Sin embargo cuando aplica un campo muy
grande obtenemos un campo no lineal
3.3.-MEDIOS NO HOMOGENEO
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-10 -5 0 5 10
B
Columna2
H
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Son cuyas características electromagnéticas varían en cada punto del material
( )
( )
3.4.-MEDIOS DISPERSIVOS
Son aquellos que no conservan la energía es decir disipan energía a medida
que la onda viaja a travéz del material.
( )
( )
3.6.-RESUMEN MEDIOS MATERIALES
C/m2
3.7.-ECUACIONES DE MAXWELL MEDIOS MATERIALES
( ) 2 ( ) ( )3
( ) 2 ( ) ( )3
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
√
3.8.-Vector de POYNTING
3.9.-Resistencia del medio
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
RESUMEN GENERAL
______________________________________________________________________
Ecuaciones de Maxwell
Soluciones armónicas
( ) * ( ) +
( ) * ( ) +
Unidades
, -
,
-
[
]
,
-
,
-
,
-
,
-
_________________________________________________________________________
Constantes
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
MEDIOS VACÍOS
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
_________________________
______________________
MEDIOS MATERIALES
( )
( ) √
( ) ( )
( )
____________________________
√
Velocidad onda
√ C=
√
√
VECTOR POYNTING
( ) ( ) ( )
, ( ) ( )-
,
-
∫ ( )
* ( )
( )+
*
+
Propiedad conjugado
( )
√
√
√
( ) (
)4
5 4
5 ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
EJERCICIO PRUEBA
En un medio no magnético
( ) ( ) [
]
a) Encontrar y el campo magnético correspondiente
b) Encontrar el vector de Poyting y la densidad de potencia promedio
Solución
a) El campo corresponde a la superposición de 2 ondas, una que viaja en y
otra que viaja en
Onda que viaja en
( ) ( ) [
]
Datos que nos da de forma inmediata
| |
En un medio material la velocidad de propagación no es la luz
√ ,
| |
| |
√
√
√
(
)
De la Ecuación de Maxwell
[
]
( ) ( ) [
]
( )
( ) [
]
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
En forma alternativa
Si la onda viaja en y el campo tiene componente , debe tener componente
en
( )
( )
La impedancia del medio es √
( )
( ) [
]
( )
( ) [
]
Onda que viaja en
( ) ( ) [
]
Datos que nos da de forma inmediata
| |
De la Ecuación de Maxwell
[
]
( ) ( ) [
]
( )
( ) [
]
Anexamente: Si la onda viaja en y el campo tiene componente , debe tener
componente en
( )
( ) [
]
( )
( ) [
]
( )
( ) [
]
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Entonces por superposicion
( )
( ) [
]
( ) [
]
( )
4 ( ) [
] ( )5 [
]
b) Encontrar el vector de Poynting y la densidad de potencia promedio.
Para ello calcularemos primeramente:
( ) ( ) ( )
Y realizaremos un cambio del dominio temporal al dominio fasorial.
( )
4 ( ) [
] ( )5 [
]
[
]
||
||
[(
) (
)]
[(
) (
)]
[(
) (
)]
[(
, ( )- ) (
, ( )- )]
De forma anexa
||
( ) ( )
( )
( )
||
[(
, ( )- ) (
, ( )- )]
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Calculando vector de Poynting
* ( )
( )+
Para ello realizaremos el conjugado de :
( )
( )
( ) [
]
[
]
[
]
( ) ( ) ( ) [
]
[
]
||
||
(
)
(
)
2 ( )
( )3
(
) ,
-
,
-
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Consulta del autor al profesor
1.- sobre Conjugado
) ( ) ( )
( ) ( )
b) ( )
( )
Debido a que el conjugado de un real es el real y el de un complejo su inverso aditivo,
además: ( )
2.- ¿Cómo hago la expresión sen(wt-kr) y cos(wt-kr) en forma exponencial?
a) ( ) ( )
( )
Recordan que: ( ) * ( ) +
( ) { }
( ) * ( )+
( ) * , ( ) ( )-+
( ) * ( ) ( )-+
( ) * ( ) ( )-+
( ) ( )
) ( ) ( )
( ) Aplicamos el mismo criterio
( ) * ( ) ( )-+
( ) ( )
c) ( ) ( )
( )
d) ( ) ( )
( )
Ejercicio Clave
( ) ( ) ( )
( ) En este caso se puede factorizar
( ) ( )
|CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
IV MEDIOS DISPERSIVOS
4.1.-Medios dispersivos
Son aquellos que la onda pierde energía al propagarse
Ecuación de Maxwell para campos que varían armónicamente
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )